精品解析：黑龙江省哈尔滨市道外区五校联盟2025-2026学年八年级上学期期中数学试题

2025-2026学年度上学期“五校联盟”八年级期中调研测试 数学试卷 一、选择题(每题3分) 1. 公式的运算依据是（） A. 乘法结合律 B. 乘法分配律 C. 积的乘方法则 D. 同底数幂的乘法法则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了乘法分配律；公式表示一个数乘以多个数的和，等于这个数分别乘以每个数再相加，这符合乘法分配律的定义． 【详解】解：是乘法分配律的直接应用． 故选：B． 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括幂的乘方、积的乘方、同底数幂的加减乘除等．需根据规则逐一验证各选项． 【详解】解：选项A：∵，∴A正确； 选项B：∵，∴B错误； 选项C：∵，∴C错误； 选项D：∵，∴D错误． 故选：A． 3. 下面四个数学符号中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析即可；理解定义，找到对称轴是解题的关键． 【详解】解：A、B、C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故不符合题意； D选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故符合题意； 故选：D． 4. 如图， 已知，，则图中全等三角形共有（ ） 对． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，证明得出，，进而证明，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， 在中， ∴ 在中， ∴ 综上所述，图中全等三角形共有对 故选：C． 5. 已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，则的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先根据多项式乘多项式法则计算多项式与的乘积，然后根据乘积展开式不含的一次项，列出关于的方程，解方程即可． 本题考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 【详解】解： ， 多项式与的乘积展开式中不含的一次项， ， ． 故选：C． 6. 如图，在中，，按以下步骤作图：分别以为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线MN交AB于点D，连结．若，，则的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法及性质，三角形的周长，根据作图过程可知，是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的作法及性质是解题的关键． 【详解】解：根据作图过程可知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 故选：． 7. 如图，将一个有角的三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，则三角板的直角边的长为（ ）     A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质和勾股定理，明确题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． 如图，作于H，根据含度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，作于H，     ∵三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，即，， ∴等腰直角三角形的直角边， 故选B． 8. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是( ) A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵∠B=∠DEF，AB=DE， ∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF； ∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF； ∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键． 9. 如图，在等边三角形，边上的高， 是 上的一个动点，是边 的中点，在点运动的过程中，的最小值是 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查等边三角形的性质、轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线；先连接，再根据，将转化为，最后根据两点之间线段最短，根据等边三角形的各边上的高相等，求得的长，即为的最小值． 【详解】连接， 等边中，是边上的高 ∴垂直平分 ， 当，， 三点共线时，， 等边中，是边的中点， 是等边三角形边上的高， 和中 ， 的最小值为， 故选：B． 10. 如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转时点不与，重合，给出以下个结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤四边形的面积的面积．其中正确的结论有几个( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形和全等三角形的性质与判定，观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等(，)，根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断． 【详解】解：如图， ，， 是等腰直角三角形， ，是中点， ，， 、都是的余角， ， 在与中， ， )， 同理可证， ①由得到，故①②正确； ②由得到， 是直角， 是等腰直角三角形，故③正确； 由得到， 则， 故⑤正确； 无法证明，故④不正确， 故选：B． 二、填空题(每题3分) 11. 若，则____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则，计算右边指数之和． 【详解】解： ∴． 故答案为：． 12. 如图， 在四边形 中， ， ， ， 则 的度数为__________ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据直角三角形的两个锐角互余得出，证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ，，且， ， ， 故答案为：． 13. 若单项式与是同类项，则这两个单项式的积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由同类项定义求出a，b的值，再求单项式的乘积即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，，即：， ∴单项式的积为 故答案为． 【点睛】本题考查同类项定义以及单项式乘单项式，关键是根据同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项，求出a，b的值． 14. 如图， 在 中， ， 平分， ，．则点到的距离为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得． 【详解】解：如图，过点D作于E， ，平分， ， 即点D到的距离为． 故答案为：． 15. 如图，在中， ， ，垂足为．已知， ， 则 _________ 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查勾股定理，解题关键是作出辅助线，根据勾股定理列方程求解，根据，在上取一点使得，连接，根据垂直平分线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质以及已知得出则，根据已知数据，即可求解． 【详解】解：如图，在上取一点使得，连接， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ∴； 故答案为：． 16. 如图， 将 折叠使点 落在处， 折痕为．若，则的度数为______________ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，折叠的性质，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 由折叠性质可知，，然后通过外角性质可得，，则，从而有，然后代入即可求解． 【详解】解：如图， 由折叠性质可知，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 已知，则________． 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆运算，幂的乘方逆运算．根据同底数幂的乘法逆运算，幂的乘方逆运算法则得到，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 18. 如果，那么我们规定．例如：因为所以．若，那么__________ 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，积的乘方的应用；根据新定义先求得，再根据积的乘方进行计算即可求解． 【详解】由规定，得． ∵， ∴．代入表达式：． 故答案为：． 19. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则其顶角的度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质，本题属于基础题型． 分两种情况画出图形，根据等腰三角形的性质、外角的性质即可求出答案． 【详解】解：当是锐角三角形时，，如图，， ， ∴， 当是钝角三角形时，，交的延长线于点D， ∴， ∴， 故答案为：或． 20. 如图，△ABC中（AB＞BC），G在CB的延长线上，边AC的垂直平分线DE与∠ABG的角平分线交于点M，与AB交于点D，与AC相交于E，MN⊥AB于N．已知AB=13，BC=9，MN=3，则△BMN的面积是____． 【答案】3 【解析】 【分析】连接AM，CM，做MK⊥CG，垂足为K．先证明△MBK≌△MBN，Rt△AMN≌Rt△CMK，得到，BK=BN，AN=CK，通过线段的代换求出BN，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接AM，CM，做MK⊥CG，垂足为K， ∵ME为AC的垂直平分线， ∴AM=MC， ∵BM平分∠ABG，MN⊥AB，MK⊥CG， ∴∠MBK=∠MBN，∠MKB=∠MNB=90°， 又∵MB=MB， ∴△MBK≌△MBN， ∴MN=MK，BK=BN， ∴Rt△AMN≌Rt△CMK， ∴AN=CK， ∴AN=CK=BC+BK=BC+BN， ∴BN=AN-BC=AB-BN-BC， ∴2BN=AB-BC=13-9=4， ∴BN=2， ∴△BMN的面积为． 故答案为：． ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线性质、角平分线等知识，根据题意添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 三、解答题(每题60分) 21. 计算下列各题： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、积的乘方、单项式的除法，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）根据乘方、零指数幂运算法则进行计算即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后合并同类项即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 先化简，再求值： 其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法与化简求值，根据单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，再合并同类项，最后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 23. 如图， 在平面直角坐标系中，， ，，． （1）在图中作出关于轴对称的； （2）写出，，三点的坐标： ， ， （3）在（1）（2）的条件下， 连接， 直接写出的面积为 【答案】（1） 如图，为所作； （2）、、 （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图轴对称变换，三角形的面积，写出坐标系中点的坐标； （1）利用关于轴对称的点的坐标特征写出、、三点的坐标，然后描点即可得到； （2）由（1）得、、三点的坐标； （3）用所围长方形的面积减去三个三角形的面积可计算出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：、、， 故答案为：、、；． 【小问3详解】 解：的面积． 24. 阅读材料，回答问题． 我国著名数学家华罗庚曾在所撰写的《数学是我国人民所擅长的学科》一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比的睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例． 在我国南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪(约11世纪上半叶)发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”． 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方(左右)两数之和．事实上，这个三角形给出了 的展开式(按a的次数由大到小的顺序)的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着 展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着 展开式中各项的系数；等等． 根据上面的材料回答下列问题： （1）图中括号里的数为 （2）请写出 的展开式 （3）利用上面的规律计算： (结果写成幂的形式) 【答案】（1）6 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据杨辉三角的规律即可求解； （2）根据规律写出第6行的6个数对应展开式中各项的系数； （3）令，代入（2）中的式子，即可求解． 【小问1详解】 解：根据杨辉三角的规律可得图中括号里的数为 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据杨辉三角第6行的6个数分别为，，，，， ∴ 【小问3详解】 解：当时， ∴ 25. 小明家住房结构如图所示： （1）小明家的居住面积是多少平方米．(、单位：米) （2）他打算把卧室和客厅铺上地板，若米时，并且每平方米地板的价格是元，购买地板的总费用不超过元，求的最大值是多少． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，不等式的应用； （1）根据长方形的面积减去边长为的长方形的面积，即可求解． （2）根据图形求得卧室和客厅的面积，代入，结合题意，列出不等式，解不等式，即可求解． 【小问1详解】 解： 小明家的居住面积是平方米； 【小问2详解】 解：根据题意得，卧室和客厅的面积为： 当时， 解得： ∴的最大值是 26. 已知是等边三角形，点是的中点，，两边分别交直线、于点、． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当的两边分别交线段、延长线于点、时，作垂直于，求证： （3）如图3，当的两边分别交线段、延长线于点、时，，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：如图，取的中点，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴； （2） 证明：如图，取的中点，连接， 同（1）可得是等边三角形， ∵ ∴ 同理可得， ∴， ∴ ∴ （3） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）取的中点，连接，可得是等边三角形，进而证明，即可得证； （2）取的中点，连接，同理可得，则，即可得证； （3）取的中点，连接，得出，设，则，，，得出，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接， 同理可得， ∴， ∵，， 设，则，，， ∴ ∴ 解得： ∴ 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、分别在轴、轴上，，点在线段上，，过点作，交的延长线于点，直线交轴于点． （1）求点的坐标； （2）动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿折线轴负方向以每秒个单位长度的速度运动．、两点同时出发，且点到达点处时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示． （3）在（2）的条件下，是否存在值，使得是以坐标轴为对称轴的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时：；当时： （3）存在，或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，列函数关系式，写出点的坐标； （1）证明得出，即可求解； （2）分两种情况讨论，当时，点在上，当时，点在轴的负半轴，根据三角形的面积公式列出关系式，即可求解； （3）根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论，，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：当时： 如图，点在上， 依题意，， ∴ 当时，如图，点在轴的负半轴， ∴， ∵， ∴ 综上，当时：；当时： 【小问3详解】 解：当时， 当时，即， 解得： ； 当时， 当时，即， 解得：； 综上所述，存在，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期“五校联盟”八年级期中调研测试 数学试卷 一、选择题(每题3分) 1. 公式的运算依据是（） A. 乘法结合律 B. 乘法分配律 C. 积的乘方法则 D. 同底数幂的乘法法则 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面四个数学符号中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图， 已知，，则图中全等三角形共有（ ） 对． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，则的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 3 6. 如图，在中，，按以下步骤作图：分别以为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线MN交AB于点D，连结．若，，则的周长为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，将一个有角的三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，则三角板的直角边的长为（ ）     A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是( ) A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF 9. 如图，在等边三角形，边上的高， 是 上的一个动点，是边 的中点，在点运动的过程中，的最小值是 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转时点不与，重合，给出以下个结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤四边形的面积的面积．其中正确的结论有几个( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题(每题3分) 11. 若，则____________ 12. 如图， 在四边形 中， ， ， ， 则 的度数为__________ 13. 若单项式与是同类项，则这两个单项式的积是_____． 14. 如图， 在 中， ， 平分， ，．则点到的距离为__________ 15. 如图，在中， ， ，垂足为．已知， ， 则 _________ 16. 如图， 将 折叠使点 落在处， 折痕为．若，则的度数为______________ 17. 已知，则________． 18. 如果，那么我们规定．例如：因为所以．若，那么__________ 19. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则其顶角的度数为___________． 20. 如图，△ABC中（AB＞BC），G在CB的延长线上，边AC的垂直平分线DE与∠ABG的角平分线交于点M，与AB交于点D，与AC相交于E，MN⊥AB于N．已知AB=13，BC=9，MN=3，则△BMN的面积是____． 三、解答题(每题60分) 21. 计算下列各题： （1） （2） 22. 先化简，再求值： 其中． 23. 如图， 在平面直角坐标系中，， ，，． （1）在图中作出关于轴对称的； （2）写出，，三点的坐标： ， ， （3）在（1）（2）的条件下， 连接， 直接写出的面积为 24. 阅读材料，回答问题． 我国著名数学家华罗庚曾在所撰写的《数学是我国人民所擅长的学科》一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比的睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例． 在我国南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪(约11世纪上半叶)发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”． 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方(左右)两数之和．事实上，这个三角形给出了 的展开式(按a的次数由大到小的顺序)的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着 展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着 展开式中各项的系数；等等． 根据上面的材料回答下列问题： （1）图中括号里的数为 （2）请写出 的展开式 （3）利用上面的规律计算： (结果写成幂的形式) 25. 小明家住房结构如图所示： （1）小明家的居住面积是多少平方米．(、单位：米) （2）他打算把卧室和客厅铺上地板，若米时，并且每平方米地板的价格是元，购买地板的总费用不超过元，求的最大值是多少． 26. 已知是等边三角形，点是的中点，，两边分别交直线、于点、． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当的两边分别交线段、延长线于点、时，作垂直于，求证： （3）如图3，当的两边分别交线段、延长线于点、时，，，求线段的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、分别在轴、轴上，，点在线段上，，过点作，交的延长线于点，直线交轴于点． （1）求点的坐标； （2）动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿折线轴负方向以每秒个单位长度的速度运动．、两点同时出发，且点到达点处时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示． （3）在（2）的条件下，是否存在值，使得是以坐标轴为对称轴的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $