精品解析：浙江杭州市紫金港中学2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试卷

2026-2027学年浙江省杭州市紫金港中学八年级（上）月考 数学试卷（10月份） 一、选择题（共30分） 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 4，4，8 D. 8，8，8 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：A、3+4＜8，不能构成三角形； B、5+6=11，不能构成三角形； C、4+4=8，不能构成三角形； D、8+8＞8，能构成三角形． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键． 2. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一判断各选项，即可得出答案． 【详解】解：A．∵， ∴，故该选项不成立，不符合题意， B．∵，， ∴，故该选项一定成立，符合题意， C．当时，，，即，故该选项不一定成立，不符合题意， D．∵， ∴， ∴，故该选项不成立，不符合题意． 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为，故C符合题意． 4. 如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ） A. 已知两边及夹角 B. 已知三边 C. 已知两角及夹边 D. 已知两边及一边对角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了常见的基本作图，熟练掌握基本作图是解题的关键．由图可知已知线段，，，由此即可判断解答． 【详解】解：由图可知：已知线段，，， 故选：C． 5. 如图，两根钢条、的中点O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具，的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（ ） A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 角角边 【答案】A 【解析】 【分析】由是、的中点， 可得：，，再由，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【详解】解：∵是 、的中点， ∴，， 在和 中， ， ∴． 6. “如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题，可作为反例说明的一组数值是（　　） A. a＝﹣1，b＝﹣1 B. a＝﹣1，b＝1 C. a＝1，b＝2 D. a＝1，b＝1 【答案】B 【解析】 【分析】逐项代入计算即可． 【详解】A.当＝﹣1，b＝﹣1时，|a|＝|b|，此时a＝b；故不能说明“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题； B.当a＝﹣1，b＝1时，|a|＝|b|，此时a＝﹣b；故能说明“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题； C.当a＝1，b＝2时，|a|≠|b|，此时a≠b；故不能说明“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题； D.当a＝1，b＝1时，|a|＝|b|，此时a＝b；故不能说明“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题； 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理，判断一个命题是假命题的方法可以举出反例． 7. 若方程组的解，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】理解清楚题意，运用二元一次方程组的知识，解出k的取值范围． 【详解】∵0＜x+y＜1， 观察方程组可知，上下两个方程相加可得：4x+4y=k+4， 两边都除以4得，x+y=， 所以＞0， 解得k＞-4； ＜1， 解得k＜0． 所以-4＜k＜0． 故选B． 【点睛】当给出两个未知数的和的取值范围时，应仔细观察找到题中所给式子与它们和的关系，进而求值． 8. 小明要从甲地到乙地，两地相距2千米．已知小明步行的平均速度为100米/分，跑步的平均速度为200米/分，若要在不超过15分钟的时间内到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设小明需要跑步x分钟，根据题意可列不等式为（　　） A. 200x+100（15﹣x）≥2000 B. 200x+100（15﹣x）≤2000 C. 200x+100（15﹣x）≥2 D. 100x+200（15﹣x）≥2 【答案】A 【解析】 【分析】根据“跑步的路程+步行的路程≥2000米”可得不等式． 【详解】解：设小明需要跑步x分钟， 根据题意可列不等式为200x+100（15-x）≥2000， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算其蕴含的不等式关系是解题的关键． 9. 如图，叠放在上，使顶点，重合，边落在内．已知，，，那么与的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角的和差关系得出，，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，顶点，重合，， ∴， ∴， ∴． 10. 已知关于，的不等式组：有以下说法：①若它的解集是，则；②当时，它无解；③若它的整数解只有2，3，4，则；④若它有解，则．其中所有正确说法的序号是（ ）． A. ①②③ B. ①②④ C. ④ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式组的解集的定义，解不等式组，不等式组解集的整数解等概念，逐项分析即可 【详解】① 解不等式①得： 解不等式②得： 若的解集是 则 ①正确； ②当时，原不等式组为： 解不等式①得： 解不等式②得： 则原不等式组无解 ②正确； ③若有解，由①可知解集为： 若它的整数解只有2，3，4，则 ③正确； ④若有解，由①可知解集为： 则 ④不正确. 综上所述，正确的是①②③. 故选A. 【点睛】本题考查了不等式组的解集的定义，解不等式组，不等式组解集的整数解等概念，熟练以上知识是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. “的倍与的和是正数”用不等式表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】需准确将文字描述转化为数学符号，明确运算顺序与不等关系； 【详解】解：的倍可表示为， 与的和可表示为， 正数的数学含义为数值大于， 可列得不等式． 12. 如图，是边的垂直平分线，若，则=_______________ 【答案】5． 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可得AD＝CD，进而求出BD的长度． 【详解】∵DE是△ABC边AC的垂直平分线，∴AD＝CD． ∵BC＝9，AD＝4，∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣AD＝9﹣4＝5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 13. 把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式________． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【解析】 【详解】原命题“对顶角相等”中，条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 14. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知不等式的解集判断的符号，得到及与的数量关系，再利用不等式的基本性质求解目标不等式 【详解】解：∵不等式的解集是，不等号方向发生改变， ∴，且两边除以后可得， 对于不等式，两边同时除以负数，不等号方向改变， ∴． ∵， ∴， 解得． 15. 在中，是边上的高线，已知，，，则的面积是________． 【答案】或 【解析】 【分析】三角形的高是对应边所在直线的垂线，需分垂足在线段上、垂足在线段的延长线上两种情况，结合三角形面积公式计算． 【详解】解：当垂足在线段上时， ∵是边上的高线，，，， ∴， ∴； 当垂足在线段的延长线上时， ∵是边上的高线，，，， ∴， ∴， 综上，的面积为或． 16. 如图，中，，，为延长线上一点，，且，与的延长线交于点，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作，交的延长线于点M，通过证明得到，再根据已知条件证明，从而得到，设，找出和与x的关系即可得解答． 【详解】解：过点E作，交的延长线于点M，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， ∴． 三、解答题（共72分） 17. 解下列不等式（组）． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照一元一次不等式的求解步骤计算即可; （2）先分别求解两个不等式的解集，再取公共部分得到不等式组的解集； 【小问1详解】 解：, ∴, ∴, 解得：; 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为． 18. 如图，已知，，，则．请说明理由（填空）． 解：，， （已知）， ，即 ． 在和中， （ ）． （全等三角形的对应角相等）． 【答案】，，，，，，， 【解析】 【分析】首先利用线段的和差得到，然后利用证明，即可得到． 【详解】解：，， （已知）， ，即． 在和中， ． （全等三角形的对应角相等）． 19. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点． （1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）． ①作∠DAC的平分线AM．②连接BE并延长交AM于点F． （2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由． 【答案】解：（1）作图如下： （2）AF∥BC且AF=BC理由如下： ∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C． 由作图可知：∠DAC=2∠FAC， ∴∠C=∠FAC．∴AF∥BC． ∵E是AC的中点，∴AE=CE． ∵∠AEF=∠CEB ，∴△AEF≌△CEB （ASA）．∴AF=BC． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据题意画出图形即可． （2）首先根据等腰三角形的性质与三角形外角的性质证明∠C=∠FAC，进而可得AF∥BC；然后再证明△AEF≌△CEB，即可得到AF=BC． 20. 已知：如图，在中，平分．在上截取，连结．若， （1）求证：； （2）求的周长． 【答案】（1） 证明：平分， ， 在和中， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）先由平分证明，再根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）根据全等三角形的对应边相等得，由先求出的值，再求出的值，即得到的周长． 此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、根据转化思想求三角形的周长等知识与方法，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并证明是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， 的周长是． 21. 一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 观察：； 猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被_____________整除． 验证： （1）若这个“对称数”是979，请通过计算验证小红的猜想； （2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为，十位数字均为，请你通过推理说明小红的猜想是正确的． 【答案】（1） 解：猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除． ； （2） 设三位数，则： ， 能被整除， 能被整除， 小红的猜想是正确的． 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，有理数的混合运算； （1）根据题意，举出两个对称数并进行计算验证即可； （2）设三位数，则去括号合并化简即可说明小红的猜想是正确的． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 的三边长，，． （1）的周长可表示为 （请用含有的代数式来表示）； （2）当a分别取和3时，三角形都存在吗？若存在，求出的周长，若不存在，请说出理由； （3）若，，，求的值． 【答案】（1） （2） 当时，存在，周长为；当时，不存在， 理由： 当时，，，， ，， 当时，存在，； 当时，，，， ， 当时，不存在； 综上所述，当时，存在，周长为；当时，不存在，理由是； （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形周长等于三边之和，列代数式合并同类项即可； （2）根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边分别判断即可； （3）根据三角形全等，对应的边相等，列出等量关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 的周长可表示为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ，， ，， ， 即， ， ，，， ， 即， 将代入得：， ． 23. 某商场推出两种优惠方案． 方案一：购买商品一律按标价的九折优惠； 方案二：若购物金额满500元，则超出500元的部分按八折优惠． （1）若顾客购买标价为800元的商品，选择哪种方案更划算？请通过计算说明． （2）设顾客购买商品的标价为x元（），分别用含x的代数式表示两种方案下顾客需要支付的金额，然后分析当x满足什么条件时，方案二更优惠． 【答案】（1）选择方案一更划算，理由： 方案一：按标价的九折优惠，购买标价为800元的商品需支付（元）， 方案二：购物金额满500元，超出部分为（元）， 这部分按八折优惠，则需支付（元）； 因为， 所以选择方案一更划算； （2）方案一：；方案二：；当时，方案二更优惠 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用、列代数式、解一元一次不等式等知识点，读懂题目信息，理解两种优惠方法是解题的关键． （1）分别按“方案一”和“方案二”求得所需要的金额，然后再比较即可； （2）先列出方案一：需支付元，方案二：需支付（元），再根据方案二更优惠得，解一元一次不等式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设顾客购买商品的标价为x元（）， 方案一：需支付元； 方案二：需支付（元）； 若方案二更优惠，则， 移项可得：， 即， 解得， 所以当时，方案二更优惠． 24. 综合与实践 【基础巩固】（1）如图1，已知与相交于点，，是的中点，求证：． 【深入探究】（2）如图2，在（1）的条件下，过点，分别作，于点，，若． ①试判断与是否全等，并证明你的结论． ②当，时，求的长． 【拓展探究】（3）如图3，要测量河流的长，因为无法测河流附近的点A，可以在外任取一点，在的延长线上任取一点，连接，，并且延长到点，使；延长到点，使，连接并延长到点，使点，，A在同一条直线上，若测量出米，则河流米，请说明理由． 【答案】（1）， 证明：∵是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． （2）①， 证明如下： ∵， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴．. ②； （3）理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．熟练掌握各种判定方法，正确的找到3个对应条件是证明全等的关键． （1）根据证明即可． （2）①根据可得，又由，可得，根据即可证明． ②由题意可知，，又由，可得的长，从而可求出的长． （3）先根据证明，则可得，由此可得．再根据证明，由此可得米． 【详解】（1） 略 （2）解：① 略 ②由①得， ∵， ∴， ∴，即的长为． （3）解：理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年浙江省杭州市紫金港中学八年级（上）月考 数学试卷（10月份） 一、选择题（共30分） 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 4，4，8 D. 8，8，8 2. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ） A. 已知两边及夹角 B. 已知三边 C. 已知两角及夹边 D. 已知两边及一边对角 5. 如图，两根钢条、的中点O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具，的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（ ） A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 角角边 6. “如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题，可作为反例说明的一组数值是（　　） A. a＝﹣1，b＝﹣1 B. a＝﹣1，b＝1 C. a＝1，b＝2 D. a＝1，b＝1 7. 若方程组的解，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 小明要从甲地到乙地，两地相距2千米．已知小明步行的平均速度为100米/分，跑步的平均速度为200米/分，若要在不超过15分钟的时间内到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设小明需要跑步x分钟，根据题意可列不等式为（　　） A. 200x+100（15﹣x）≥2000 B. 200x+100（15﹣x）≤2000 C. 200x+100（15﹣x）≥2 D. 100x+200（15﹣x）≥2 9. 如图，叠放在上，使顶点，重合，边落在内．已知，，，那么与的数量关系是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于，的不等式组：有以下说法：①若它的解集是，则；②当时，它无解；③若它的整数解只有2，3，4，则；④若它有解，则．其中所有正确说法的序号是（ ）． A. ①②③ B. ①②④ C. ④ D. ②④ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. “的倍与的和是正数”用不等式表示为________． 12. 如图，是边的垂直平分线，若，则=_______________ 13. 把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式________． 14. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是________． 15. 在中，是边上的高线，已知，，，则的面积是________． 16. 如图，中，，，为延长线上一点，，且，与的延长线交于点，若，则的值为________． 三、解答题（共72分） 17. 解下列不等式（组）． （1）； （2）． 18. 如图，已知，，，则．请说明理由（填空）． 解：，， （已知）， ，即 ． 在和中， （ ）． （全等三角形的对应角相等）． 19. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点． （1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）． ①作∠DAC的平分线AM．②连接BE并延长交AM于点F． （2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由． 20. 已知：如图，在中，平分．在上截取，连结．若， （1）求证：； （2）求的周长． 21. 一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 观察：； 猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被_____________整除． 验证： （1）若这个“对称数”是979，请通过计算验证小红的猜想； （2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为，十位数字均为，请你通过推理说明小红的猜想是正确的． 22. 的三边长，，． （1）的周长可表示为 （请用含有的代数式来表示）； （2）当a分别取和3时，三角形都存在吗？若存在，求出的周长，若不存在，请说出理由； （3）若，，，求的值． 23. 某商场推出两种优惠方案． 方案一：购买商品一律按标价的九折优惠； 方案二：若购物金额满500元，则超出500元的部分按八折优惠． （1）若顾客购买标价为800元的商品，选择哪种方案更划算？请通过计算说明． （2）设顾客购买商品的标价为x元（），分别用含x的代数式表示两种方案下顾客需要支付的金额，然后分析当x满足什么条件时，方案二更优惠． 24. 综合与实践 【基础巩固】（1）如图1，已知与相交于点，，是的中点，求证：． 【深入探究】（2）如图2，在（1）的条件下，过点，分别作，于点，，若． ①试判断与是否全等，并证明你的结论． ②当，时，求的长． 【拓展探究】（3）如图3，要测量河流的长，因为无法测河流附近的点A，可以在外任取一点，在的延长线上任取一点，连接，，并且延长到点，使；延长到点，使，连接并延长到点，使点，，A在同一条直线上，若测量出米，则河流米，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $