精品解析：浙江杭州市弘益中学2026-2027学年上学期八年级10月独立练习 数学

杭州市弘益中学2026学年第一学期10月独立 练习数学 一、选择题（每题3分，共10题，共30分） 1. 下列数学符号中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉一个三角架，则下列四根木棒的长度应选（ ） A. B. C. D. 3. 如图，的边上的高是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 中垂线的性质定理 C. 角平分线的性质定理 D. 等腰三角形的“三线合一” 7. 如图，数学课上，老师向同学们展示了以下作图步骤： ①作线段，分别以A，B为圆心，以长为半径作弧，两弧的交点为C； ②以点C为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点D； ③连结． 则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 点C在的垂直平分线上 D. 8. 如图，中，，点在上，．设，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段、线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，平分交于点G，平分交于点D，相交于点F，交的延长线于点E，连接，①若，则；②；③；④．其中结论中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（每小题3分，共6题，共18分） 11. 写一个能说明命题“对于任何实数a，都有”是假命题的a的值为_______． 12. 在中，如果，根据三角形按角进行分类，这个三角形是_________三角形． 13. “同位角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是_________． 14. 如图，在的正方形网格中，线段、的端点均在格点上，则 ___________ 15. 如图，中，，，则的长为_________． 16. 如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有．若，，则： （1）________°； （2）____________________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为，点、、均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①的边上找到一点，连接，使平分的面积； （2）在图②中画出，使，其中点不与点重合． 18. 已知：如图，，，，试说明． 证明：∵（已知）， ， （已知）， ____________，即， 在与中， ， （_________）， _________=_________（_________）， ∴． 19. 同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦 （1）填空：如图①，若直角边，直角边，则斜边_________； （2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边、在一条直线上，请利用几何图形之间的面积关系，试说明； 20. 如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． （1）若，的周长为，则的长为_________； （2）已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 21. 如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点M． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 22. 为测量一块区域间的距离，提供了以下方案：如图1，先在平地上取一个可直接到达的点，连接，并分别延长至点，延长至点，使，最后测出的长即为间的距离． （1）请你说说该方案可行的理由； （2）由于在处有一堵墙阻挡了路线，使得无法按照题干的方案测出的长，但在图2中可测得，请据此求出间的距离． 23. 如图，在中，于点，点E在上，，连结．M，N分别是的中点，连结． （1）求证：． （2）求证：是等腰直角三角形． （3）若，求的长． 24. 【问题初探】 如图，和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，即，，． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，连接、，则线段与的数量关系是　　，位置关系是　　； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 如图（3），在四边形中，，，，连接，，，点到直线的距离为7，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市弘益中学2026学年第一学期10月独立 练习数学 一、选择题（每题3分，共10题，共30分） 1. 下列数学符号中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 2. 现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉一个三角架，则下列四根木棒的长度应选（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中三边的关系求解；关键是求得第三边的取值范围． 首先根据三角形的三边关系求得第三根木棒的取值范围，再进一步找到符合条件的答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得∶ 第三根木棒的长度应大于，而小于． 故选：B． 3. 如图，的边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的高的定义，进行判断即可. 【详解】解：由题意和图可知，， ∴的边上的高是. 4. 已知等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴的角为顶角， ∴底角度数为． 5. 如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等，熟记判定定理的内容是解题关键．由可推出，结合各选项的条件即可作出判断． 【详解】解：∵， ∴，即； 若，则通过可证，故A不符合题意； 若，则通过可证，故B不符合题意； 若，则通过可证，故C不符合题意； 若时，不能推出，故D符合题意； 故选：D． 6. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 中垂线的性质定理 C. 角平分线的性质定理 D. 等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 故选：D． 7. 如图，数学课上，老师向同学们展示了以下作图步骤： ①作线段，分别以A，B为圆心，以长为半径作弧，两弧的交点为C； ②以点C为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点D； ③连结． 则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 点C在的垂直平分线上 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定、直角三角形的性质判断即可． 【详解】解：由作图知，， ∴是等边三角形，是等腰三角形，点C在的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∴， 故选项A错误，选项B、C、D正确． 8. 如图，中，，点在上，．设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，直角三角形两锐互余解答 【详解】解：， ， ，， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了三角形外角，直角三角形，熟练掌握三角形外角性质，直角三角形两锐角性质，是解决此类问题的关键 9. 如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段、线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，连接，先证明，得到，从而推出当三点共线且时最小，即此时最小，由三线合一定理得到，则，故当最小时，，同理可得，则，利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线且时最小，即此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，， 同理可得，则， ∴， ∴当取得最小值时，的度数为， 故选：D． 10. 如图，在中，，平分交于点G，平分交于点D，相交于点F，交的延长线于点E，连接，①若，则；②；③；④．其中结论中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，可得，，可判断①；根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，可得，从而得到，进而得到，再由直角三角形的性质可判断②；延长交于点H，证明，可得点E为的中点，再结合直角三角形的性质可判断③；在取点N使，连接，证明，可得，进而得到，可证明，从而得到，可判断④． 【详解】解：∵，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵平分，平分 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 如图，延长交于点H，则， ∵， ∴， ∴，即点E为的中点， 当时，， 但是题干中，则，相矛盾， 故，故③错误； 如图，在上取点N使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的为①②④． 二、填空题（每小题3分，共6题，共18分） 11. 写一个能说明命题“对于任何实数a，都有”是假命题的a的值为_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了命题、不等式、乘方，熟练掌握命题真假的判定方法是解题关键．根据不等式的性质和乘方运算即可得． 【详解】解：当时，，此时，命题是假命题，符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 在中，如果，根据三角形按角进行分类，这个三角形是_________三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理，结合已知的角的等量关系求出最大角的度数，即可判断三角形按角的分类． 【详解】解：∵三角形内角和为 ∴在中， 又∵ 即 解得 ∴该三角形为直角三角形． 13. “同位角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是_________． 【答案】两直线平行，同位角相等 【解析】 【详解】解：原命题“同位角相等，两直线平行”的题设为同位角相等，结论为两直线平行． ∴ 根据互逆命题的定义，交换原命题的题设与结论即可得到它的逆命题． ∴ 所求逆命题为两直线平行，同位角相等． 14. 如图，在的正方形网格中，线段、的端点均在格点上，则 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，通过“边角边”证明，根据全等三角形的性质可得，进而得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，中，，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，由等腰三角形的性质求得，由勾股定理求得，再在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∴，， 在中，， ∴的长为． 16. 如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有．若，，则： （1）________°； （2）____________________． 【答案】 ①. 135 ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质、角平分线性质和等腰三角形的判定和性质； （1）由折叠得和，由题意得和，根据，即可求得； （2）延长交于H，根据题意，进一步得到是等腰直角三角形，求得，，有三角形面积求得，即可求得答案． 【详解】解：（1）由折叠的性质得到：，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）延长交于H，如图， ∵，平分， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质得到， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为，点、、均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①的边上找到一点，连接，使平分的面积； （2）在图②中画出，使，其中点不与点重合． 【答案】（1）所求图形，如图所示； （2）所求图形，如图所示； 【解析】 【分析】（1）找到的中点为点，连接，根据三角形的面积，证明平分的面积，点即为所求． （2）取格点F，使得点F到的距离为4，再连接、，即可解答． 【小问1详解】 解：找到的中点为点，连接， ∴， 过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴点即为所求． 【小问2详解】 解：过点作于点，过点作于点，由网格可得，，； ∴，， 由图可得， 在和中， ， ∴， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴即为所求． 18. 已知：如图，，，，试说明． 证明：∵（已知）， ， （已知）， ____________，即， 在与中， ， （_________）， _________=_________（_________）， ∴． 【答案】，，，，，全等三角形的性质 【解析】 【详解】证明：∵（已知）， ， （已知）， ，即， 在与中， ， ， （全等三角形的性质）， ∴． 19. 同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦 （1）填空：如图①，若直角边，直角边，则斜边_________； （2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边、在一条直线上，请利用几何图形之间的面积关系，试说明； 【答案】（1） （2）解：∵两个相同的直角三角形边、在一条直线上， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 整理得， ， ∴． 【解析】 【小问1详解】 解：根据勾股定理得， ∵直角边，直角边， ∴， 解得（负值舍去）， ∴斜边； 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． （1）若，的周长为，则的长为_________； （2）已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】（1） （2）点在边的垂直平分线上，理由，如下： 连接，， ∵直线垂直平分边，点在上， ∴， ∵点在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点在边的垂直平分线上． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，求出，根据三角形的周长，则，即可求出； （2）连接，，根据垂直平分线的性质，进行解答，即可． 【小问1详解】 解：∵直线垂直平分边， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点M． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵，是斜边上的高， ∴， ∴，， ∵的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）由和高得到，，再根据角平分线得到，即可得到，则，即可得到是等腰三角形； （2）由，得到，则，根据求出，最后根据三角形内角和计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 22. 为测量一块区域间的距离，提供了以下方案：如图1，先在平地上取一个可直接到达的点，连接，并分别延长至点，延长至点，使，最后测出的长即为间的距离． （1）请你说说该方案可行的理由； （2）由于在处有一堵墙阻挡了路线，使得无法按照题干的方案测出的长，但在图2中可测得，请据此求出间的距离． 【答案】（1） 解：该方案可行，理由如下：； 在和中， ， ， ； 故该方案可行； （2），之间的距离为 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）该方案是利用全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的； （2）延长，交于，根据平角的定义得到，根据三角形的内角和定理得到，由知识窗求得，于是得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图②，延长，交于， ， ， ，， ， ， ， ， 由（1）知， 故，之间的距离为． 23. 如图，在中，于点，点E在上，，连结．M，N分别是的中点，连结． （1）求证：． （2）求证：是等腰直角三角形． （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； （2） 证明∵， ∴，， ∵M，N分别是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）利用证明即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质，和斜边上的中线，得到，即可得证； （3）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长，根据勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知：，是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，斜边上的中线，勾股定理．掌握相关性质是解题的关键． 24. 【问题初探】 如图，和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，即，，． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，连接、，则线段与的数量关系是　　，位置关系是　　； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 如图（3），在四边形中，，，，连接，，，点到直线的距离为7，请直接写出的面积． 【答案】（1），； （2），，理由如下： ， ， ，， ， ，， 延长与交于点，如图2， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的判断方法，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质判断出即可得出，，然后推导出，进而得出，即可得解； （2）先证明得到，，再延长与交于点，证明即可得到； （3）过作交延长线于，可证得，可得，，进而得到，再由求出和的长即可． 【详解】解：（1）；，证明如下， 延长交于点，如图1所示， 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板， ，，， ， ，， ， ． ． ， ， （2）略 （3）过作交延长线于，过作交于，如图3， ， ， ， ，，， ， ，， ， 到直线的距离为7， ， ， ， ， ，即， 解得，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $