精品解析：福建省泉州市培元中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

2026年秋季泉州市培元中学高一上学期第一次月考数学科 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为， 因为全集，集合，所以， 又因为，所以. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，”的否定为，. 3. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法求解. 【详解】A选项，，其中，但可正可负，所以无法判断符号，所以A选项错误； B选项，，因为，，所以，所以B选项正确； C选项，，因为可正可负，，所以无法判断的符号，所以C选项错误； D选项，，当时，，所以D选项错误. 4. 下列四个方程中表示是的函数的是（ ） ①；②；③；④． A. ①② B. ①④ C. ③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】依据函数定义中“定义域内任意对应唯一确定的”的核心要求，逐一验证四个方程即可完成判断． 【详解】对方程，变形得，对任意，都有唯一确定的对应，故是的函数； 对方程，变形得，对任意，都有唯一确定的对应，故是的函数； 对方程，变形得，当时，一个对应和两个值，不满足唯一确定性，故不是的函数； 对方程，变形得，定义域为， 对任意在定义域内，都有唯一确定的对应，故是的函数； 综上，①②④符合函数定义． 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】解不等式 ，得或，记解集为， 解不等式 得，记解集为， 因为 ，所以“”是“”的必要不充分条件. 6. 不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分二次项系数为和不为两类讨论，系数为时直接验证，系数不为时结合二次函数开口方向与判别式求解后取并集. 【详解】当，即时，原不等式化为，对任意恒成立，符合题意； 当，即时，需满足，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 7. 下列式子中的最小值为的有（ ）个 ①； ②当时，； ③； ④当，且满足时，． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据基本不等式“一正二定三相等”的成立条件，逐一验证4个式子的最小值是否为4，统计符合要求的个数即可. 【详解】 ① 对于，当时，最小值不可能为4，不符合要求； ② 当时，，对变形得，由基本不等式得， 等号成立当且仅当即，满足，故最小值为4，符合要求； ③ 令，则，，由基本不等式得，等号成立当且仅当即，但，等号无法取到， 故最小值大于4，不符合要求； ④ 由（）两边同除以得，则， 等号成立当且仅当即，代入得，满足条件，故最小值为4，符合要求; 综上，符合要求的共2个. 8. 对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用“差集”， “对称差集”的定义和子集的定义，交集和并集的运算求解. 【详解】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，C正确； ， ，， ， 故，D正确. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合，条件：，下列是的充分不必要条件的有（ ） A. ： B. ： C. ： D. ： 【答案】AC 【解析】 【详解】由 得，等价于，解得， 若是的充分不必要条件，则对应的集合是的真子集， 选项A：是的真子集，满足要求，A正确； 选项B：中存在元素（如）不属于，不是的子集，不满足要求，B错误； 选项C：是的真子集，满足要求，C正确； 选项D：中除外其余元素均不属于，不是的子集，不满足要求，D错误. 10. 下列关于函数的说法中，正确的是（ ） A. 已知函数，则 B. 函数的图象是两个孤立的点 C. 函数与函数是同一个函数 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合函数定义域求法、同一函数判定、分段函数求值等知识点，逐一分析各选项即可． 【详解】选项A：因为，代入分段函数对应的解析式，得，故A正确； 选项B：要使函数有意义，需满足，解得，即，对应值均为0，因此函数图象是和两个孤立的点，故B正确； 选项C：的定义域为， 的定义域为，二者定义域不同，不是同一个函数，故C错误； 选项D：的定义域为， 则需满足， 解不等式得，即其定义域为，故D正确． 11. 正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.利用已知条件消元换元，将双变量乘积式转化为单变量二次函数，借助二次函数对称轴求最值并验证取值合法性；B.代入条件统一变量，化简多项式为单变量二次函数，根据二次函数最值性质求解最小值；C.换元统一变量，对根式和整体平方变形，得到是上确界，取不到；D.对复杂分式拆分变形，结合定值条件构造齐次式，利用基本不等式求最值并严格验证取等条件. 【详解】依题意，得，所以，，得， A 选项，，令， 则，开口向下的二次函数，对称轴， 当时，，此时，满足条件，故A 正确； B 选项，因为，所以， 令，，开口向上的二次函数，对称轴， 当时，，此时，故 B 正确； C 选项，由，得，则， 令， 平方得， 设，， 因为，所以，故， 故，所以是上确界，不是可取到的最大值，故C 错误； D 选项，， ， 所以， 因为，所以， 记，则， 则， 由基本不等式得，当且仅当 ， 即即时取等号， 此时，得，， 满足， 即的最小值为，故D 正确. 三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则的取值范围为_____． 【答案】. 【解析】 【分析】先分别计算和的取值范围，再根据不等式的性质求的取值范围. 【详解】因为，， 所以，， 由不等式运算的性质得：， 故答案为：. 【点睛】本题考查不等式的基本性质的应用，属于简单题. 13. 已知是二次函数，且，若，则的解析式为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，结合已知条件利用待定系数法即可求解. 【详解】由已知设， 因为，所以， 因为， ， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 14. 设函数，若，，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】或或 【解析】 【分析】由恒成立求出，只需成立，记，，看成关于的函数，最后转化为，得到关于的不等式组，解不等式组即可. 【详解】因为，所以，所以，当时，，所以， ，，不等式恒成立，等价于时，，对恒成立， 即在上恒成立， 记， 所以只需，即，解得或或． 四．解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，， （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可知，代入集合分类讨论的取值即可得； （2）根据并集结果可得，再对集合是否为空集进行分类讨论即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 由集合可得， 由可得， 故，解得或， 当时，，此时不满足题意，舍去， 当时，，满足题意， 故； 【小问2详解】 由得， 当时，即时，满足题意； 当时，即时，满足题意； 当时，即时，，解得， 综上可得，或； 即实数的取值范围为. 16. 已知关于x的不等式， （1）若的解集为，求实数a，b的值； （2）求关于x的不等式的解集． 【答案】（1）， （2）当时，不等式解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集可知是方程的一个根，从而可求出. （2）对分情况讨论，由方程根的分布情况即可求解集. 【小问1详解】 若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. 【小问2详解】 因为，即， ①当时，即，解得：，不等式的解集为：； ②当时，令，解得， 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时， 不等式解集为：； 综上所述：当时，不等式解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 17. 设全集，集合，集合 （1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围： （2）若命题“”是真命题，求实数的取值范围 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先化简集合，根据必要条件的逻辑关系得，分为空集、非空集两种情况列不等式求解； （2）命题为真等价于，先求的范围再取补集即可得. 【小问1详解】 解不等式，得，即，故. 因为“是的必要条件”等价于，分两种情况讨论： ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，要使，则，，解得. 综上所述，当时，或. 因此实数的取值范围为或. 【小问2详解】 命题“”为真命题等价于，先求的取值范围： ① 当时，由（1）知，满足； ② 当时，，若，则或， 即或，解得或. 或 综上，时，的取值范围是或， 取补集得时，的取值范围为. 因此实数的取值范围为. 18. 某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米． （1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 【答案】（1）当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元 （2）当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功 【解析】 【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解； （2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数可得对任意的恒成立，分类常数结合基本不等式求出的最小值，即可得解. 【小问1详解】 因为体育馆前墙长为米，地面面积为， 所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米， 设甲工程队报价为元， 所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元； 【小问2详解】 根据题意可知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 因为， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 19. 若实数满足，则称比接近， （1）请判断命题：“比接近”的真假，并说明理由； （2）若比接近，判断：“”是“”的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件），并加以证明. （3）已知，若，判断1与哪个数更接近，请说明理由； 【答案】（1）命题：“比接近”为真，理由如下； （2）充要条件； （3）1比更接近. 【解析】 【分析】（1）利用题干给出的新定义化简即可； （2）先对式子进行化简得到，进而分析即可； （3）对进行化简，再利用换元求出的范围即可求出. 【小问1详解】 ，，，故命题：“比接近”为真. 【小问2详解】 比接近，，即， 当时，则，当时，则， 故是的充要条件. 【小问3详解】 由题意得，， 设，则，当且仅当时取等， 原式， 设，则，令， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，当且仅当时取等号， 即，，1比更接近. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季泉州市培元中学高一上学期第一次月考数学科 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个方程中表示是的函数的是（ ） ①；②；③；④． A. ①② B. ①④ C. ③④ D. ①②④ 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 7. 下列式子中的最小值为的有（ ）个 ①； ②当时，； ③； ④当，且满足时，． A. B. C. D. 8. 对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合，条件：，下列是的充分不必要条件的有（ ） A. ： B. ： C. ： D. ： 10. 下列关于函数的说法中，正确的是（ ） A. 已知函数，则 B. 函数的图象是两个孤立的点 C. 函数与函数是同一个函数 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 11. 正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则的取值范围为_____． 13. 已知是二次函数，且，若，则的解析式为______. 14. 设函数，若，，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 四．解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，， （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知关于x的不等式， （1）若的解集为，求实数a，b的值； （2）求关于x的不等式的解集． 17. 设全集，集合，集合 （1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围： （2）若命题“”是真命题，求实数的取值范围 18. 某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米． （1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 19. 若实数满足，则称比接近， （1）请判断命题：“比接近”的真假，并说明理由； （2）若比接近，判断：“”是“”的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件），并加以证明. （3）已知，若，判断1与哪个数更接近，请说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $