精品解析：福建省晋江市养正中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

养正中学2026—2027年高一上数学学科素养检测（一） 数学试卷 一、单选题 1. 如图，全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】图中阴影部分表示，再根据交集和补集的定义计算即可得出答案. 【详解】根据已知条件有：图中阴影部分表示， ，所以， 所以图中阴影部分所表示的集合为：. 故选：B 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】特称命题的否定规则为：将存在量词改为全称量词， 保持量词对应的取值范围不变，同时否定原命题的结论， 原命题为“”的否定是“”， 则选项D正确. 3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同一函数的定义，结合定义域与对应法则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数； 对于B中，函数的定义域为， 函数的定义域为或， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数； 对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数； 对于D中，函数的定义域为， 函数的定义域为，定义域和对应关系都相同， 以两个函数是同一函数. 故选：D. 4. 已知集合，则的真子集的个数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，共3个元素， 所以集合的真子集个数为. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出和的解，结合充分必要条件的定义，即可得出结论. 【详解】由，解得， 由，解得或， “”成立，则“或”成立， 而“或”成立，“不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，属于基础题. 6. 已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三个二次的关系，数形结合列出不等式，求解即得. 【详解】设,依题意，该函数有2个零点（也可能有1个零点），且都大于1， 则有，解得. 7. 已知命题：，，则的一个必要不充分条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求成立时的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断选项. 【详解】由题意可得：，因为， 所以两边同时除以得：， 令，，由均值不等式可得： ，当时取最小值， 故成立时，， 在A选项中,与命题中的取值范围相同，是充要条件， 在B选项中，， 所以是命题的一个必要不充分条件， 在C选项中，与没有包含关系， 所以不是必要不充分条件， 在选项D中，与没有包含关系， 所以，不是必要不充分条件. 8. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当时，可得，符合题意； 当时，二次函数的对称轴为. 若，则抛物线开口向上，则，解得； 若，抛物线开口向下，则，解得； 综上所述：的取值范围是. 二、多选题 9. 下列命题中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A，若，当时，不满足，故A错误， 对于B，当，，，时， 满足若，，不满足，故B错误， 对于C，由题意得，故C正确， 对于D，因为，所以， 而，则由不等式性质得，故D正确. 10. 已知，为正实数，，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为16 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A选项，因为为正实数，，则， 当且仅当时取等号，故A选项正确； 对于B选项，， 当且仅当时取等号，所以的最大值为，故B选项错误； 对于C选项，因为，则， 故， 当且仅当时取等号，故C选项正确； 对于D选项，因为 ， 因为，所以，所以的最小值为16，故D选项正确. 11. 已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.下列说法正确的是（ ） A. 不是“可分集合” B. 是“可分集合” C. 四个元素的集合可能是“可分集合” D. 五个元素的集合不可能是“可分集合” 【答案】ABD 【解析】 【分析】去掉3，由“可分集合”的定义判断即可判断A,逐一去掉一个元素，列举即可可判断BD；不妨设，讨论当在集合，，，，中去掉元素、后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可判断D； 【详解】对于A，去掉3后，,2,不满足定义，,2,3,不是“可分集合”， A正确； 对于B，集合所有元素之和为49， 当去掉元素1时，剩下的元素之和为48，集合,5,7,与,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素3时，剩下的元素之和为46，集合,9,与,7,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素5时，剩下的元素之和为44，集合,3,7,与,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素7时，剩下的元素之和为42，集合,9,与,5,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素9时，剩下的元素之和为40，集合,3,5,与,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素11时，剩下的元素之和为38，集合,7,与,5,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素13时，剩下的元素之和为36，集合,3,5,与,的元素和相等，符合题意； 因此集合是“可分集合”， B正确； 对于C，不妨设，去掉，则，去掉，则， 于是，与矛盾， 因此,,,一定不是“可分集合”， C错误； 对于D，不妨设， 若去掉元素，将集合,,,分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有，或者②， 若去掉元素，将集合,,,分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③或②④得，矛盾； 由①④或②③得，矛盾， 因此集合,,,,不是“可分集合”， D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 三、填空题 12. 已知，则函数的最大值为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得， 由二次根式性质得，故， 当且仅当时取等，此时解得，故最大值为. 13. 已知集合M={x|x2=1}，N={x|ax=1}，若N⊆M，则实数a的取值集合为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】求出集合中的元素，然后分类讨论确定值． 【详解】由已知，又中至多一个元素， 若，则， 若，则，若，则， 故答案为：． 14. 已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】考虑，和三种情况，得到前两种不合要求，分析出为方程的正实根，故，求出. 【详解】①，要想，即， 故，解得，不满足，舍去； ②，，，要想， 需满足在恒成立， 但的图象为抛物线，它的开口向上，故矛盾，舍去； ③，当时，，； 当时，，， 考虑的解，因为，故此方程必有两个不同的解，， 而，故此方程有且仅有一个正实根， 故为方程的正实根，故，故， 故答案为：． 四、解答题 15. 已知函数的定义域为集合，集合. （1）求集合； （2）设全集，求，. 【答案】（1），； （2），. 【解析】 【分析】（1）由根式、分母有意义求解； （2）先求补集再运算. 【小问1详解】 要使得有意义，则且， 得，所以； 由得，解得或，故. 【小问2详解】 由（1）知，. 则，所以； ，所以. 16. 已知集合或，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）并集为全集等价于填补的补区间，根据区间端点列不等式组，取交集得到参数范围； （2）交集条件等价于是补集的子集，分空集、非空两类讨论，分别列不等式后取并集得参数范围. 【小问1详解】 集合或，， 若，则，解得，取交集得， 故实数的取值范围是； 【小问2详解】 由已知，等价于， 分两种情况讨论： ①当∅时，满足子集关系，此时，解得； ②当∅时，有，解得， 综上，， 故实数的取值范围是. 17. 北京冬奥会举世瞩目，树立了中国形象，同时也带动了中国冰雪运动器械的蓬勃发展，张家口某冰上运动器械生产企业生产某种产品的年固定成本为100万元，每生产千件，需另投入成本万元.当年产量低于30千件时，；当年产量不低于30千件时，.每千件产品的售价为30万元，且生产的产品能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式. （2）当年产量为多少千件时，该企业所获年利润最大?最大年利润是多少? 【答案】（1） （2）当年产量为30千件时，该企业所获年利润最大为300万元 【解析】 【分析】（1）根据利润与成本之间的关系，分类计论进行求解即可； （2）根据基本不等式，结合二次函数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 当时，； 当时，. 所以 【小问2详解】 当时，函数的对称轴为，所以此时该函数是单调递增函数，因此有 ， 当时，， 当且仅当时，等号成立. 因为，所以当年产量为30千件时，该企业所获年利润最大为300万元. 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式的解集； （3）若，对，，若存在实数使得成立，求的最小值. 【答案】（1）； （2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意知，与是方程的两根，利用一元二次方程根与系数的关系可求出、的值； （2）由，将所求不等式变形为，然后对进行分类讨论，并比较与的大小关系，即可得出不等式的解集； （3）由一元二次不等式恒成立可得的范围，然后分离参数，把看成的函数，判断出最小值出现在取边界，转化为单变量函数取最值，即可得到结果. 【小问1详解】 由条件可得，且为的两根， 由根与系数关系得，解得. 【小问2详解】 当时，不等式即，即， ①时，不等式可化为，，解得或； ②时，不等式可化为，解得； ③时，原不等式可化为. 则当时，，解得； 当时，解得； 当时，，解得， 综上：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问3详解】 当时，由，得，不符合题意，则， 由恒成立，得，解得， 由，得， 由,得，当时，； 当时，，且对递增， 则当时，， 令，则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 19. 已知函数. （1）若，，函数的最小值为0，求a的值； （2）若，不等式有且仅有四个整数解，求实数的取值范围； （3）当时，对，，若存在实数m使得成立，求m的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入已知条件，分类讨论的取值情况，利用判别式法即可得解； （2）先分析得的两个实根满足，进而得到，从而利用二次函数的性质得到关于的不等式组，解之即可得解； （3）根据题意分析得，，进而得到，再多次利用换元法，结合基本不等式即可得解. 【小问1详解】 当，时，， 由题意得，函数的值域， （i）时，不符合题意； （ii）时，，即；此时满足题意， 综上，. 【小问2详解】 因为，不等式转化为， 因为有四个整数解， 则必有两个不相等实数根，记为，且， 又因为当时，， 当时，， 的图象开口向上，对称轴为，所以， 故不等式的解集中的四个整数解为，所以， 所以，故. 【小问3详解】 因为当时，对，， 由题设，有，则， 又，， 故存在使成立，则， 所以， 令，则，， 令，则，且， 故， 当且仅当，即，，时，等号成立， 所以，即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 养正中学2026—2027年高一上数学学科素养检测（一） 数学试卷 一、单选题 1. 如图，全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）． A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，则的真子集的个数是（　　） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 已知命题：，，则的一个必要不充分条件是（　　） A. B. C. D. 8. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列命题中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知，为正实数，，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为16 11. 已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.下列说法正确的是（ ） A. 不是“可分集合” B. 是“可分集合” C. 四个元素的集合可能是“可分集合” D. 五个元素的集合不可能是“可分集合” 三、填空题 12. 已知，则函数的最大值为______． 13. 已知集合M={x|x2=1}，N={x|ax=1}，若N⊆M，则实数a的取值集合为_____ ． 14. 已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值为______． 四、解答题 15. 已知函数的定义域为集合，集合. （1）求集合； （2）设全集，求，. 16. 已知集合或，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 17. 北京冬奥会举世瞩目，树立了中国形象，同时也带动了中国冰雪运动器械的蓬勃发展，张家口某冰上运动器械生产企业生产某种产品的年固定成本为100万元，每生产千件，需另投入成本万元.当年产量低于30千件时，；当年产量不低于30千件时，.每千件产品的售价为30万元，且生产的产品能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式. （2）当年产量为多少千件时，该企业所获年利润最大?最大年利润是多少? 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式的解集； （3）若，对，，若存在实数使得成立，求的最小值. 19. 已知函数. （1）若，，函数的最小值为0，求a的值； （2）若，不等式有且仅有四个整数解，求实数的取值范围； （3）当时，对，，若存在实数m使得成立，求m的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $