精品解析：陕西省西安市高陵区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

绝密★启用前 2025—2026 学年度第一学期期中学业水平测试 九年级数学试题（卷）（北师大版） 老师真诚地提醒你： 1.本试卷共6页，满分120分； 2.答卷前请将密封线内的项目填写清楚； 3.书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例求值，由已知比例关系，设，，再代入所求分式计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 设，（）， 则 ． 故选：A． 2. 如图所示的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从左边看到的图形即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：几何体的左视图是， 故选：． 3. 在四边形中，，再添加下面一个条件，能使该四边形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，由可推知四边形为矩形，要使矩形成为正方形，需添加邻边相等或对角形互相垂直的条件，逐项判断，即可求解． 【详解】解：， ， ∴ 四边形是矩形． 当添加时，矩形中邻边相等， ∴ 四边形是正方形． 故选项C符合题意； 选项A：为矩形对边相等，总是成立，无法判断四边形是正方形； 选项B：为矩形对角线相等，总是成立，无法判断四边形是正方形； 选项D：已隐含，无法判断四边形是正方形； 故选：C． 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据有两个不相等的实数根的条件是判别式大于零得，即可求解． 【详解】解：方程 有两个不相等的实数根， ， 解得． 故选：D． 5. 在同一平面直角坐标系中，当时，一次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象综合判断，先根据一次函数中的，得一次函数交于轴的负半轴，再结合，则经过第一、三象限，即可作答． 【详解】解：∵一次函数中的， ∴一次函数交于轴的负半轴， 故B和D选项不符合题意； ∵， ∴经过第一、三、四象限，经过第一、三象限， 故选：A． 6. 如图，在中，点D，E分别在边上，若，且相似比是，，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，且相似比是， ∴， ∴， ∵， ∴， 则四边形的面积是， 故选：C． 7. 九（1）班为更好地了解 软件，计划举办手抄报展览，确定了“”、“豆包”“”三个主题，若小辰和小轩从中任意选择一个主题，则两人选择的主题不同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用列表或树状图求概率，画树状图法或列表法，根据题意利用概率计算公式，进行计算即可． 【详解】解：令：，：豆包，：， 列表如下： 共有种等可能结果，其中两人选择的主题不同有种， 两人选择不同主题的概率为， 故选：B． 8. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上的一点，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理、等边对等角等知识点，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 由菱形的性质可得、，可得，由等边对等角以及三角形内角和定理求得的度数，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴、， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 在一个不透明的盒子里装有个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中，不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黄色乒乓球的频率稳定在左右，则估计盒子中大约有______个白色乒乓球． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，掌握频率和概率的关系是解题的关键．设白色乒乓球有个，则总球数为个，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设白色乒乓球有个，则总球数为个， 由题意得， ， 解得， 经检验是原方程的解， ∴估计盒子中大约有个白色乒乓球， 故答案为：． 10. 如图，已知直线，若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由定理得，即可求解． 【详解】解：， ， ， 解得：， 故答案为：． 11. 如图，实验中学有一块长为，宽为的矩形“劳动实践基地”，为满足各班种植需求，学校铺设了7条宽度相等的石板小路（阴影部分），将这块基地分成了20个种植区域（空白部分），其中种植区域面积为．设石板小路的宽为，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，将种植区域看作边长是和的矩形，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 故答案为：． 12. 如图，已知一个反比例函数经过的斜边的中点D，且与相交于点C．若，则该反比例函数的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定及性质；过点作轴交于，相似三角形的判定及性质，由反比例函数比例系数的几何意义得，即可求解． 【详解】解：过点作轴交于点， 点是的中点， ， ， 轴， ， ， ， ， 设反比例函数的关系式为（）， ， ， ， 解得， 反比例函数的关系式为， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，，，点E是平面内一动点，且满足，连接，F为的中点，连接，在点E的运动过程中，线段长度的最大值是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，取的中点利用中位线定理及直角三角形的性质是解题的关键． 连接，取其中点M，连接，由中位线定理及直角三角形的性质可分别求得、的长，根据线段的性质得，当点M在线段上时，取得最大值，从而求得的最大值． 【详解】解：如图，连接，取中点，连接， ∵四边形是矩形， ∴； ∵，F为的中点，点为中点， ∴是的中位线 ∴； 在中，由勾股定理得：， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴当点在线段上时，取得最大值，且最大值为； ∴的最大值为． 故答案为：7． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 利用配方法解方程即可． 【详解】解：． 移项，得， 配方，得， 即． ． ． 15. 如图是一个几何体的示意图，请画出该几何体的主视图、左视图和俯视图． 【答案】 如图 【解析】 【分析】本题考查了画几何体的三视图，按“长对正、宽相等、高平齐”画出三视图，即可求解． 【详解】解：略． 16. 已知点，，均在反比例函数的图象上，比较，，的大小关系． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．由可得反比例函数的图象分布在二、四象限，当时，；当时，，且在每一象限内，的值随着的增大而增大，据此解答即可求解． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在二、四象限，当时，；当时，，且在每一象限内，的值随着的增大而增大， ∵，， ∴，， ∴． 17. 如图，点O在的平分线上，请用尺规作图法求作菱形，使是该菱形的一个内角，且点O为它的对称中心．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，菱形即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，尺规作图等知识点，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理． 过点作的垂线交射线于点，在延长线上截取，连接，则菱形即为所求． 【详解】解：由作图可得，， ∴， ∵点O在的平分线上， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形． 18. 如图，在中，延长至点E，使，连接．若，求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， 即， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合平行四边形的性质，以及，得，故四边形是平行四边形，再根据，，所以，四边形是矩形． 【详解】略． 19. 数学兴趣活动课上，小轩和小辉玩抽卡片游戏，如图，他们制作了5张卡片，除正面不同外，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同．小轩将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． （1）若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的是“高陵果子”的概率是______． （2）若规定：小轩从中随机抽取一张卡片（不放回），小辉再从中随机抽取一张卡片，若这两张卡片中没有水果，则小轩赢，否则小辉赢．请你用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平?（注：水果是卡片D，E） 【答案】（1） （2） 由题可得树状图如下： 小轩赢的情况为：“两张非水果”的概率为：， 小辉赢的情况为：“至少有一张水果” 的概率为：， ∵， ∴这个游戏不公平． 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率的简单计算是解题的关键， （1）利用概率的计算即可得到答案； （2）根据题意画出树状图，分别计算出小轩赢或小辉赢的概率，然后比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：由概率公式可得，抽到的是“高陵果子”的概率是：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：略． 20. 数学实践活动课上，小辰所在的小组利用所学的知识测量当地一座古塔的高度（）．测量方法如下：在古塔（）的前方点D处直立一根长的竹竿，然后测得在阳光照射下古塔在地面上的影长，竹竿在地面上的影长 ．已知图上所有点均在同一平面内，均垂直于地面．根据以上测量方法，求出该古塔的高度（．（保留整数） 【答案】该古塔的高度为 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，平行投影，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 证明即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 答：该古塔的高度为． 21. 已知关于x的方程． （1）试说明：不论m取何实数，该方程总有实数根； （2）若是该方程的一个实数根，请你求出m的值及另一个根． 【答案】（1） 解：由题意得 故不论m取何实数，该方程总有实数根； （2），另一个根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系；掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． （1）由根的判别式得，判断符号，即可求解； （2）将代入原方程求出，再由根与系数的关系，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是该方程的一个实数根， ， 解得， 设另一个根为， 解得， 故，另一个根为． 22. 某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度y与时间x成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系． 如图是李阿姨某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象解答下列问题： （1）当时，求机器温度y与时间x的函数关系式； （2）已知当时，机器温度y与时间x的函数关系式为，则三明治机工作温度持续在以上的时间是多少分钟? 【答案】（1） （2）分钟 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确读懂函数图象，求出函数解析式是解题的关键． （1）当时，设，再由待定系数法求解即可； （2）把时，依次代入及中，求出对应的时间，即可求出时间差． 【小问1详解】 解：当时，设， 将代入得： ∴机器温度y与时间x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时， 依次代入及中， 分别解得， 故持续时间长为： (分钟)； 答：三明治机工作温度在以上持续分钟． 23. 如图，在等边三角形中，点 D，E 分别在线段的延长线上．已知，，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵等边三角形 ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）先由等边三角形得到，则，再证明，即可证明相似； （2）根据等边三角形的性质以及三角形的外角性质可得，再由相似三角形得到，则，即可求解的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 李叔叔投资建设了西红柿采摘基地，据悉，年李叔叔的采摘基地经济收益从年的万元升至万元． （1）求该采摘基地年至年经济收入的年平均增长率； （2）年月份，西红柿成熟并开始采摘销售，若每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，若每千克涨价元，日销售量就减少千克．若要保证每天盈利元，同时又要使顾客得到实惠，每千克西红柿应涨价多少元? 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． （）设该采摘基地年至年经济收入的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解； （）设每千克西红柿应涨价元，根据题意列出方程即可求解； 【小问1详解】 解：设该采摘基地年至年经济收入的年平均增长率为， 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该采摘基地年至年经济收入的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每千克西红柿应涨价元， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每千克西红柿应涨价元． 25. 在菱形中，cm，其面积是，点E是边上的任意一点，且点E不与点B，C重合，连接， （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，在线段上取一点F，使，以为边向右作正方形，当点M落在边上时，求正方形的边长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、正方形的性质及解直角三角形，解题的关键是利用菱形的面积公式求出高，结合图形性质建立方程求解． （1）利用菱形面积公式求出边上的高，再结合菱形边长求出； （2）过作交于，利用正方形和菱形的性质建立方程，求解正方形边长． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， ， 已知菱形面积为，且，根据菱形面积公式， 可得， 在中， ． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图：过作交于， 由（1）知， ， 设正方形的边长为，又， ，， 在中， ，， 四边形是正方形， ，又， ， ， 四边形是菱形，， ， 解得： 正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2025—2026 学年度第一学期期中学业水平测试 九年级数学试题（卷）（北师大版） 老师真诚地提醒你： 1.本试卷共6页，满分120分； 2.答卷前请将密封线内的项目填写清楚； 3.书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在四边形中，，再添加下面一个条件，能使该四边形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在同一平面直角坐标系中，当时，一次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点D，E分别在边上，若，且相似比是，，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 九（1）班为更好地了解 软件，计划举办手抄报展览，确定了“”、“豆包”“”三个主题，若小辰和小轩从中任意选择一个主题，则两人选择的主题不同的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上的一点，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 在一个不透明的盒子里装有个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中，不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黄色乒乓球的频率稳定在左右，则估计盒子中大约有______个白色乒乓球． 10. 如图，已知直线，若，，，则的长为______． 11. 如图，实验中学有一块长为，宽为的矩形“劳动实践基地”，为满足各班种植需求，学校铺设了7条宽度相等的石板小路（阴影部分），将这块基地分成了20个种植区域（空白部分），其中种植区域面积为．设石板小路的宽为，则根据题意可列方程为______． 12. 如图，已知一个反比例函数经过的斜边的中点D，且与相交于点C．若，则该反比例函数的表达式为______． 13. 如图，在矩形中，，，点E是平面内一动点，且满足，连接，F为的中点，连接，在点E的运动过程中，线段长度的最大值是______ ． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 如图是一个几何体的示意图，请画出该几何体的主视图、左视图和俯视图． 16. 已知点，，均在反比例函数的图象上，比较，，的大小关系． 17. 如图，点O在的平分线上，请用尺规作图法求作菱形，使是该菱形的一个内角，且点O为它的对称中心．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在中，延长至点E，使，连接．若，求证：四边形是矩形． 19. 数学兴趣活动课上，小轩和小辉玩抽卡片游戏，如图，他们制作了5张卡片，除正面不同外，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同．小轩将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． （1）若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的是“高陵果子”的概率是______． （2）若规定：小轩从中随机抽取一张卡片（不放回），小辉再从中随机抽取一张卡片，若这两张卡片中没有水果，则小轩赢，否则小辉赢．请你用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平?（注：水果是卡片D，E） 20. 数学实践活动课上，小辰所在的小组利用所学的知识测量当地一座古塔的高度（）．测量方法如下：在古塔（）的前方点D处直立一根长的竹竿，然后测得在阳光照射下古塔在地面上的影长，竹竿在地面上的影长 ．已知图上所有点均在同一平面内，均垂直于地面．根据以上测量方法，求出该古塔的高度（．（保留整数） 21. 已知关于x的方程． （1）试说明：不论m取何实数，该方程总有实数根； （2）若是该方程的一个实数根，请你求出m的值及另一个根． 22. 某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度y与时间x成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系． 如图是李阿姨某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象解答下列问题： （1）当时，求机器温度y与时间x的函数关系式； （2）已知当时，机器温度y与时间x的函数关系式为，则三明治机工作温度持续在以上的时间是多少分钟? 23. 如图，在等边三角形中，点 D，E 分别在线段的延长线上．已知，，． （1）求证：； （2）求的度数． 24. 李叔叔投资建设了西红柿采摘基地，据悉，年李叔叔的采摘基地经济收益从年的万元升至万元． （1）求该采摘基地年至年经济收入的年平均增长率； （2）年月份，西红柿成熟并开始采摘销售，若每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，若每千克涨价元，日销售量就减少千克．若要保证每天盈利元，同时又要使顾客得到实惠，每千克西红柿应涨价多少元? 25. 在菱形中，cm，其面积是，点E是边上的任意一点，且点E不与点B，C重合，连接， （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，在线段上取一点F，使，以为边向右作正方形，当点M落在边上时，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $