湖北潜江市文昌高级中学2026-2027学年高二上学期10月阶段性考试数学试题

高二数学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．已知事件，满足，，，则（   ） A．0.9 B．0.6 C．0.3 D．0.18 3．已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 4．某小组有两名男生和两名女生，从中任选两人参加演讲比赛，则下列事件中，与事件“恰有一名男生被选中”互斥但不对立的是（    ） A．恰有一名女生被选中 B．被选中的学生的性别相同 C．被选中的学生均是男生 D．至少有一名女生被选中 5．直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 6．某学校举办数学竞赛，共道不同的题目.甲、乙两位同学依次从中随机抽取一道题（抽后放回），则两人抽到不同题目的概率为（     ） A． B． C． D． 7．科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1，状态2，状态3，……，每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有的概率变为状态2，状态2的粒子有的概率变为状态3，以此类推.现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占（   ） A． B． C． D． 8．已知空间直角坐标系中，棱长为2的正方体的顶点在轴上运动，顶点在平面内运动，则顶点与坐标原点的最大距离为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分） 9．下列说法正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为 B．在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量 C．已知是空间的一组基底，则也是空间一组基底 D．以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形 10．随机事件，满足，则（    ） A． B．、不是互斥事件 C． D． 11．已知正方体的棱长为，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点到直线的距离是 B．点到直线的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点到平面的距离为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 13．在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192  907  966  925  271  932  812  458  569  683 257  393  127  556  488  730  113  537  989  431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为______. 14．如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学3名（记为，女同学2名（记为，现从中随机选出2名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序） (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)设事件A为“参赛的2名同学都是女同学”，求出事件A发生的概率； (3)求事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”发生的概率． 16．如图，在正四棱柱中，，,分别为，的中点. (1)证明：平面. (2)求与平面所成角的正弦值. 17． 、两队进行围棋比赛，队有甲、乙、丙三位棋手，队只有丁一位棋手．比赛规则如下：队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘（负一盘）或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得连胜，则两队打平．已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，且各盘比赛相互独立． (1)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求、两队打平的概率； (2)通过计算判断队怎样安排出场顺序对丁最有利． 18．如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面，且．点M在线段上，设（）． (1)证明：平面； (2)若平面与平面所成角为60°，求的值； (3)在（2）的条件下，求点C到平面的距离． 19．给定两组数据和，现定义为这组数据的“总体偏差”．现有数据，将中数据按任意顺序排列，得到数据，例如，当时，可以得到数据和，此时总体偏差的所有可能取值为和2． (1)当时，求的所有可能取值； (2)当时，求“”的概率； (3)记“”为事件，证明：事件为不可能事件． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A C B D C A ACD BC 题号 11 答案 ACD 7．C 【详解】设经过3秒处于状态1的概率为，粒子要始终停留在状态 1，需连续3秒都保持状态 1，根据独立事件概率公式：； 设经过3秒处于状态2的概率为， 情况一:第1秒从状态1变为状态2，第2秒和第3秒都保持状态2不变，概率为； 情况二:第1秒保持状态1不变，第2秒从状态1变为状态2，第3秒保持状态2不变，概率为； 情况三:第1秒和第2秒保持状态1不变，第3秒从状态1变为状态2，概率为； 将上述三种情况的概率相加，得到经过3秒后处于状态2的粒子的概率为， 则经过3秒后处于状态1和状态2的粒子数目占总粒子数的比例为将经过3秒后处于状态1和状态2的粒子的概率相加，可得. 8．A 【详解】由题意知为边长为的等边三角形，取E为的中点，则. 连接,由题意知，,则. ,当且仅当三点共线时取得最大值． 10．BC 【分析】利用反证法判断A；根据互斥事件的定义判断B，根据对立事件的定义判断CD. 【详解】若，则，与题干矛盾，故A错误； 因为，所以随机事件，可以同时发生，即、不是互斥事件，故B正确； 因为，所以，即，故C正确D错误； 11．ACD 【详解】 根据正方体可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. 则，.又，故. 对于A，，， 故点到直线的距离为，故A正确. 对于B，，， 故点到直线的距离为，故B错误. 对于C，，，故，而不共线，故， 因平面，平面，故平面， 同理平面，而平面，所以平面平面， 故平面与平面的距离即为到平面的距离. 又，，设平面的法向量为， 则即，取，则， 故到平面的距离为，故C正确. 对于D，，，设平面的法向量为， 则即，取，则，故到平面的距离为，故D正确. 12． 【详解】， ， ， P，A，B，C四点共面，则存在实数，使得 ， 所以， 即， 所以 ，解得. 13．0.75/ 14． 【分析】利用空间向量加法法则将表示为，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律求解. 【详解】因为，，所以，， 又因为二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 由向量加法法则可得，所以即. 15．【详解】（1） （2）样本空间中共有10个基本事件， 事件A为“参赛的2名同学都是女同学”，故，共1个基本事件，因此； （3）设事件为“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”， 则，共6个基本事件， 样本空间中共有10个基本事件，所以. 16．(1)在正四棱柱中，，，两两垂直，且， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，. 因为，分别为的中点，所以，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则有，，即， 因为，所以，又平面，所以平面； （2）由（1）可知，， ，所以与平面所成角的正弦值为. 17．【详解】（1）设、两队打平的概率为． 记事件第二盘为丁胜，第一、三盘分别为甲、丙胜． 记事件第二盘为乙胜，第一、三盘都是丁胜，则与为互斥事件， 则. (2)队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛时对丁最有利，理由：设丁获胜的概率为． 若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛， 则． 同理，若队按丙、乙、甲的出场顺序与队进行比赛，则． 若队按乙、甲、丙或丙、甲、乙的出场顺序与队进行比赛， 则． 若队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛， 则． 因为，所以队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛时对丁最有利． 18．(1)证明：由题意平面，平面，故； 又四边形为正方形，故,而平面，故平面； （2）因为四边形为正方形，所以． 因为平面，所以，，相互垂直． 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 设，因为，所以，即， 则，所以，则，， 设平面的法向量为， 则，即，可取． 设平面的法向量为，， 则，即，可取． 因为平面与平面所成角为60°， 所以，解得． （3）由（2）得平面的法向量为，结合， 所以点到平面的距离为． 19．【详解】（1）当时，则，，，，，， 可知0，2，2，4，4，4， 则的所有可能取值为0，2，4． （2）记“”为事件，样本空间为，则“”为事件， 当时，由列举可知，数据有个，样本空间有个样本点， ①若不调整数据，此时，事件有1个样本点； ②若只调整个数，其他不变，欲使，只能调整相邻的两个数据， 即将数据，，调整为，，， 此时，事件有3个样本点； ③若调整个数，由（1）可知，此时， 由以上可知，事件有个样本点， 则． (3)， ①若只调整个数，其他不变得到数据， 即将数据调整为，其余数据在原来位置不变， 此时， ②当时，若调整个数，其他不变得到数据， 即将数据调整为和，其余数据在原来位置不变， 此时， 或者， ③当时，若调整个数，其他不变得到数据，显然，综上所述，事件为不可能事件． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $