精品解析：湖南岳阳市弘毅新华中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

弘毅新华中学2026年秋季九年级上学期综合素养评价 数 学 时量：120分钟 分值：120分 一、单项选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据其定义“含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程”即可求解． 【详解】解：A、化简得，，不是一元二次方程，不符合题意； B、，当时，该方程不是一元二次方程，不符合题意； C、，含有一个未知数，未知数的最高次数是2次，是整式方程，故是一元二次方程，符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C ． 2. 如果都不为零，且，那么下列比例正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，熟练掌握比例的内项之积等于外项之积是解题的关键，将选项按比例性质转化为等积式，和已知条件对比即可得到正确结果. 【详解】解：都不为零，且已知. 根据比例的内项之积等于外项之积，对各选项变形： A选项变形得，不符合已知条件； B选项变形得，不符合已知条件； C选项变形得，符合已知条件； D选项变形得，不符合已知条件． 故选C． 3. 如图是“小孔成像”的示意图，燃烧的蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若的长是，则像的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示：、相交于点O， ∵是烛焰的高，是实像的高， ∴， ∴， ∵蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，， ∴， 解得． 故选：C． 4. 若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B'的度数为（ ） A. 30° B. 50° C. 40° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠B=40°，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵∠A=30°，∠C=110°， ∴∠B=40°， ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B′=∠B=40°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 5. 如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据证明三角形相似的方法逐一判断选项即可． 【详解】解：根据题意可知， 选项A，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项B，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项C，可转化成，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故不符合题意． 选项D，两边不成比例且夹角也不相等，不能判定三角形相似，故符合题意． 6. 某文具店七月份销售碳素笔100支，八、九两个月的销售量连续增长，九月份的销售量达到360支，设月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据月平均增长率，八月份销售量为，九月份销售量为，据此列方程． 【详解】解：月平均增长率为， 八月份销售量：， 九月份销售量：， 又九月份销售量为， ． 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的倍，得到．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用位似求坐标．根据以原点O为位似中心，将扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标应乘以，即可得出点的坐标． 【详解】解：根据以原点O为位似中心的图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以， ∵点B的坐标是， ∴点的坐标为或． 故选 8. 已知三角形两边长分别是和，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先求出一元二次方程的根，再结合第三边需满足三角形三边关系，对根进行筛选后计算周长即可． 【详解】解：， ， 则或， 解得，； 当第三边长为时，三边长为， 由，可知不符合构成三角形的三边关系， 不能构成三角形，即此种情况不存在； 当第三边长为时，三边长为，符合构成三角形的三边关系， 此时三角形周长为． 9. 小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1），其平面示意图（如图2）是由12个大小相同的小正方形组成的．若小正方形的边长为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可证是的中位线，进而利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴． ∵小正方形的边长为， ∴， ∴． 10. 如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发到点停止，动点从点出发到点停止，点运动的速度为，点运动的速度为．若两点同时出发，则经过（ ）后，以，，为顶点的三角形与相似． A. 2.5或4 B. 5 C. 2.5或5 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】设运动秒时，以，，为顶点的三角形与相似，则，，，再分两种情况，结合相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：设运动秒时，以，，为顶点的三角形与相似，则，， ∴， 当时，， ∴， 解得， 当时，， ∴， 解得， ∴经过2.5或后，以，，为顶点的三角形与相似． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知方程：的两根为、，则代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，直接求出两根之和与两根之积，代入目标代数式计算即可． 【详解】解：∵方程的两根为、， ∴根据根与系数的关系可得，， 将上述结果代入代数式，计算得． 12. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．点恰好是线段的黄金分割点（），即．若线段，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设线段的长为，用含的代数式表示出，代入已知等式建立关于的一元二次方程，解方程并根据线段长为正数取舍即可． 【详解】解：设， ∵，点在线段上，， ∵， ∴ ，整理得：， 解得：， ∵为线段长，， ∴， 即线段的长为． 13. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 【答案】 9 【解析】 【分析】根据位似图形的性质得到，由求出位似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解： ，  ， 与是以点为位似中心的位似图形，  ，， ∴， ∴，  ，   的面积是4，  ，  ． 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据根的判别式即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 且， ∴且． 故答案为：且 15. 如图，为锐角三角形，是边上的高，正方形的一边在上，顶点H，E分别在上．已知，，则这个正方形的边长是______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据得出，利用相似三角形的性质，列出方程即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设正方形的边长为x， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长为12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定等知识，解题的关键是利用相似三角形对应高的比等于相似比，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型． 16. 如图，在正方形中，是延长线上一点，连接，是边上一点，连接并延长交于点，且．若，则的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，先证明，得出，通过证明，得出与以及与的数量关系，设，，可表示出，，进而可表示出，，再证明，由，可得与的数量关系，即可得，最后证明，即可求解． 【详解】解：延长交的延长线于点，如图， 在正方形中，有，，， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，， 设，，则，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 整理：， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 三、解答题（8个小题，共72分） 17. 用适当的方法解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：开方得， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，． 18. （1）四条线段a，b，c，d成比例，其中，求线段a的长． （2）已知，且，求a的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据成比例线段的定义得到a：b=c：d，然后把代入进行计算即可； （2）设，则，代入，求出k的值，从而得出a的值． 【详解】解：（1）∵a，b，c，d是成比例线段 ∴， 即， ∴a=1cm； （2）设，则， ∵， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题考查了成比例线段，关键是理解成比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质． 19. 如图，直线，分别交直线于点，，，交直线于点，，． （1）若，，，求的长； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得到，然后代数求解； （2）由得到，然后结合得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ，即， ； 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， ， ． 20. 某服装店销售一款恤，每件进价40元，当售价为每件60元时，每天可卖出20件．市场调查反映：每件恤每降价1元，每天可多卖出2件． （1）设每件恤降价元，则每天的销售量为 件(请用含的代数式表示)； （2）在上述的条件下，如果店家想要每天获得利润448元，还想尽快减少库存，那么每件恤应降价多少元? 【答案】（1） （2）每件恤应降价6元 【解析】 【分析】（1）根据“每件恤每降价1元，每天可多卖出2件”计算即可； （2）利用每天销售该恤获得的利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽量减少库存，即可确定结论． 【小问1详解】 解：每天的销售量为件 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵要尽量减少库存， ∴． 答：每件恤应降价6元． 21. 如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ， ． 又， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）要证明乘积式，可以将其转化为比例式，通过证明完成推导； （2）将已知线段长度直接代入（1）中等积式即可求出线段的长度． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：， ． 由（1）可知， ， ． 22. 淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． （1）如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． （2）嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【答案】（1）旗杆的高度为 （2）旗杆的高度米 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【小问1详解】 解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； 【小问2详解】 解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 23. 按要求回答下列问题： 【尝试发现】 （1）如图1，，，当点，分别在边和上时，的值是__________ 【变式探究】 （2）如图2，将（1）中的绕点按逆时针方向旋转一定的角度，其它条件不变，连接，，与交于点，与的延长线交于点． ①求的值.②写出和的数量关系并证明． 【联系拓广】 （3）如图3，矩形中，，，点在边上且，连接．是直线上的动点，作，连接，．当点在线段的延长线上，且时，求的长. 【答案】（1） （2）① ②，证明如下： 如图2， 由①得：， ∴， ∵， ∴， ∴. （3）5 【解析】 【分析】（1）根据，结合相似三角形性质得，，进而得 ，，即可得，再根据，即可得的值． （2）①根据，得，，进一步得，，即可证明，根据相似三角形性质得，再根据已知条件，即可得的值． ②由①得，根据相似三角形性质得，再根据，结合三角形内角和定理即可得证明． （3）记与的交点为，根据矩形性质得，在中，根据勾股定理求出，再根据得，，，再根据对顶角相等得，即可证明，根据相似三角形性质得，进而得，再根据对顶角相等得，即可证明，根据相似三角形性质得，进而可得，即，再根据，结合勾股定理得，再根据得，即可求出，在中，根据勾股定理求出，再根据，即可求出的长． 【小问1详解】 解：如图1， ∵， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴的值是. 【小问2详解】 ①解：如图2， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴. ②略 【小问3详解】 解：如图3， 记与的交点为， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， 在中，，， ∴， ∴， ∴的长为5. 24. 阅读理解： 材料1：对于一个关于的二次三项式（），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令（），然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子： 例：求的取值范围； 解：令，，，，； 材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下： 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、（） 则关于的一元二次不等式的解集为：或 则关于的一元二次不等式的解集为：； 请根据上述材料，解答下列问题： （1）若关于的二次三项式为，则此代数式的最小值为__________． （2）若关于的二次三项式（为常数）的最小值为，求的值． （3）若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的、的值． 【答案】（1） （2）的值为或 （3）或 【解析】 【分析】（1）令，按照材料1的思路解答即可； （2）令，按照材料1的思路求出y的取值范围，二次三项式（为常数）的最小值为，列等式即可求出； （3）先确定代数式恒有意义，令，，根据代数值的取值范围，确定当时，x的值恒有意义，整理出关于x的一元二次方程，根据方程有实数根，利用方程的判别式得出关于y的一元二次不等式，结合材料2中的方法，即可求解． 【小问1详解】 解：令， ， ， ， 则此代数式的最小值为； 【小问2详解】 解：令， ， ， ， ∵关于的二次三项式（为常数）的最小值为， ∴， 解得：， 即的值为或； 【小问3详解】 解：∵， ∴恒有意义， 令，且， 当时，有：， ∵， ∴， ∴恒有意义， 整理得：， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 整理得：， ∵， ∴关于y的一元二次方程有两个根分别为和4， ∴根据根与系数的关系有：， 解得：，或者． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 弘毅新华中学2026年秋季九年级上学期综合素养评价 数 学 时量：120分钟 分值：120分 一、单项选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果都不为零，且，那么下列比例正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是“小孔成像”的示意图，燃烧的蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若的长是，则像的长是（ ） A. B. C. D. 4. 若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B'的度数为（ ） A. 30° B. 50° C. 40° D. 70° 5. 如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 6. 某文具店七月份销售碳素笔100支，八、九两个月的销售量连续增长，九月份的销售量达到360支，设月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的倍，得到．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知三角形两边长分别是和，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1），其平面示意图（如图2）是由12个大小相同的小正方形组成的．若小正方形的边长为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发到点停止，动点从点出发到点停止，点运动的速度为，点运动的速度为．若两点同时出发，则经过（ ）后，以，，为顶点的三角形与相似． A. 2.5或4 B. 5 C. 2.5或5 D. 2.5 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知方程：的两根为、，则代数式的值为__________． 12. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．点恰好是线段的黄金分割点（），即．若线段，则线段的长为________． 13. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 15. 如图，为锐角三角形，是边上的高，正方形的一边在上，顶点H，E分别在上．已知，，则这个正方形的边长是______． 16. 如图，在正方形中，是延长线上一点，连接，是边上一点，连接并延长交于点，且．若，则的值为__________． 三、解答题（8个小题，共72分） 17. 用适当的方法解方程． （1）； （2）． 18. （1）四条线段a，b，c，d成比例，其中，求线段a的长． （2）已知，且，求a的值． 19. 如图，直线，分别交直线于点，，，交直线于点，，． （1）若，，，求的长； （2）若，，求的长． 20. 某服装店销售一款恤，每件进价40元，当售价为每件60元时，每天可卖出20件．市场调查反映：每件恤每降价1元，每天可多卖出2件． （1）设每件恤降价元，则每天的销售量为 件(请用含的代数式表示)； （2）在上述的条件下，如果店家想要每天获得利润448元，还想尽快减少库存，那么每件恤应降价多少元? 21. 如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． （1）如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． （2）嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 23. 按要求回答下列问题： 【尝试发现】 （1）如图1，，，当点，分别在边和上时，的值是__________ 【变式探究】 （2）如图2，将（1）中的绕点按逆时针方向旋转一定的角度，其它条件不变，连接，，与交于点，与的延长线交于点． ①求的值.②写出和的数量关系并证明． 【联系拓广】 （3）如图3，矩形中，，，点在边上且，连接．是直线上的动点，作，连接，．当点在线段的延长线上，且时，求的长. 24. 阅读理解： 材料1：对于一个关于的二次三项式（），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令（），然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子： 例：求的取值范围； 解：令，，，，； 材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下： 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、（） 则关于的一元二次不等式的解集为：或 则关于的一元二次不等式的解集为：； 请根据上述材料，解答下列问题： （1）若关于的二次三项式为，则此代数式的最小值为__________． （2）若关于的二次三项式（为常数）的最小值为，求的值． （3）若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的、的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $