精品解析：河南信阳市平桥区2026-2027学年度上学期第一次质量调研九年级数学试卷

九年级数学第一次质量调研试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先排除非整式方程，再排除含多个未知数的方程，最后验证二次项系数是否非零． 【详解】解：A选项，是一元二次方程； B选项，等号右边不是整式，不符合； C选项，方程含两个未知数，不符合； D选项，未明确，不一定是二次方程，不符合． 2. 若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0的常数项为0，则m的值等于（ ）． A. -2 B. 2 C. -2或2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得m2﹣4=0，且m﹣2≠0，求解即可． 【详解】由题意得：m2﹣4=0，解得：m=±2． ∵m﹣2≠0，∴m≠2，∴m=﹣2． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 3. 若是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义，把代入方程，求出，进而即可求解． 【详解】解：把代入方程， 得， ， ． 4. 若正比例函数，随的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，随的增大而减小，推出，可知二次函数的图象的开口向下，与则交于负半轴上，由此即可判断． 【详解】解：，随的增大而减小， ， 二次函数的图象的开口向下，与则交于负半轴上， 故选：A． 【点睛】本题参考二次函数的性质、正比例函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正比例函数以及二次函数的性质，属于中考常考题型． 5. 用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程——配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤，并能灵活运用是解决此题的关键．将方程通过配方法转化为完全平方形式，需移项后加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：， 移项：将常数项移到方程右边，得到， 配方：方程两边加上一次项系数一半的平方，即加1：， 化简：左边写成完全平方形式，右边计算得：， 因此，配方后的方程为选项B． 故选：B． 6. 下列关于的方程必有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，通过计算每个方程的判别式，判断其是否恒非负，只有选项C的判别式恒大于零，因此必有实数根． 【详解】解：A、，∵，不恒成立； B、，∵，不恒成立； C、，∵，∴，恒成立； D、，∵，不恒成立． 故选：C． 7. 下列关于二次函数的说法正确的是（　　） A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 图象与x轴没有交点 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 图象的顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的基本性质，包括开口方向、顶点坐标、与轴交点及单调性，需熟练掌握顶点式的应用． 根据二次函数顶点式的性质，判断开口方向、顶点坐标、与轴交点及增减性． 【详解】∵二次函数中，， ∴图象开口向上，故A错误； ∵令，得，解得， ∴图象与轴有两个交点，故B错误； ∵对称轴为直线，且开口向上， ∴当时，随增大而减小，故C错误； ∵顶点式为，其中，， ∴顶点坐标为， 故选：D． 8. 将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（） A. 向上平移5个单位 B. 向下平移5个单位 C. 向左平移5个单位 D. 向右平移5个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象及性质．通过比较原抛物线的顶点坐标与平移后图象的顶点坐标，确定平移方向和距离． 【详解】解：∵原抛物线的顶点为，平移后图象的顶点为， ∴需向上平移个单位． 故选：A． 9. 如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（    ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ∴，，． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10. 已知二次函数（为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由给定范围内函数最小值大于顶点纵坐标，可知对称轴不在范围内，分两类求解． 【详解】解：该二次函数的顶点坐标为，最小值为4． ∵当时，的最小值为， ∴对称轴不在的范围内， 分两种情况讨论：当时， ∵，时随增大而增大， ∴时取最小值8， 代入得，整理得， 解得，（不符合，舍去）． 当时， ∵，时随增大而减小， ∴时取最小值8， 代入得，整理得， 解得，（不符合，舍去）． 综上，的值为或． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为轴：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，对称轴为轴，即b=0，写出满足条件的函数解析式即可. 【详解】解：设函数的表达式为y=ax2+bx+c， ∵图象的对称轴为y轴， ∴对称轴为x==0， ∴b=0， ∴满足条件的函数可以是：.（答案不唯一） 故答案是：y=x2（答案不唯一） 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 12. 在“弘扬科学家精神，共筑科技强国梦”为主题的物地学科节中，小洋同学设计制作了“火箭”升空实验装置，已知该“火箭”的升空高度（米）与飞行时间（秒）满足函数表达式．则“火箭”升空的最大高度为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数的最大值即可． 【详解】解：∵， ∵， ∴当时，有最大值，最大值， ∴火箭”升空的最大高度为米， 故答案为：． 13. 造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为，问彩色纸带的宽度多少米？若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，根据题意列方程为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】先数清楚横向、纵向彩带的条数，算出四块海报拼在一起形成的大矩形的长和宽，再利用“四块海报总面积大矩形面积”列出方程即可． 【详解】解：由题意得四幅海报的长为，宽为， 每幅海报面积均为， 根据题意可列方程为． 14. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，在平行四边形中，已知，，则对角线长的最大整数值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，平行四边形的性质以及三角形三边关系． 先根据根与系数的关系求出方程的两根之和与两根之积，得到，，，再根据平行四边形的性质，以及三角形三边关系解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，， ∴，， ∴，， 在平行四边形 中，对角线的长度满足，即 ． ∴长的最大整数值为10． 故答案为：10． 15. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P是抛物线的对称轴上一动点，连接，，则当的值最小时，点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，得出，点A，P，C三点共线时，取得最小值，最小值为，令和分别求得的坐标，求出直线的解析式，进而可求出点P的坐标． 【详解】解：如图所示，连接， ∵抛物线与轴交于，两点， ∴点A和点B关于对称轴直线对称， ∴， ∴， ∴点A，P，C三点共线时，取得最小值，最小值为， ∵当时，，则 当时，， 解得：， ∴， 设的解析式为：， 则， 解得： 则的解析式为：， 令，则， 则， 故答案为： 三、解答题（共8大题，共75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）用十字相乘法因式分解解一元二次方程； （2）先移项，利用平方差公式因式分解，再提取公因式，用因式分解法求解，不能直接两边同时除以避免丢根． 【小问1详解】 解：， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ，． 17. 已知抛物线． （1）请将化成的形式． （2）补全下方的表格，并在方格中画出抛物线： 抛物线 顶点坐标 与轴交点坐标 与轴交点坐标 【答案】（1） （2） 抛物线 顶点坐标 与轴交点坐标 与轴交点坐标 ， 画图如下： 【解析】 【分析】（1）把二次函数化成顶点式，即可； （2）根据二次函数的性质，求出顶点坐标，与坐标轴的交点，画出抛物线，即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为：， ∴顶点坐标为； 当时，， 解得：， ∴与轴交点坐标为； 当时， 解得：，， ∴与轴交点坐标为，， 依次连接，，；，，画出抛物线的函数图象． 18. 已知关于的方程． （1）当为何值时，方程没有实数根？ （2）当方程有两个不相等的实数根，时，是否存在实数，使得代数式的值为？ 【答案】（1）． （2）不存在实数，使得代数式的值为． 【解析】 【分析】（1）根据方程无实数根，由可算出答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，．代入，可得到关于字母的一元二次方程，计算，若，则存在实数，若，则不存在实数． 【小问1详解】 解：因为关于的方程为， 所以． 因为该方程没有实数根， 所以， 解得， 所以当时，方程没有实数根； 【小问2详解】 解：因为方程有两个不相等的实数根， 所以，， 且，即，解得． 因为， 则， 所以， 整理得，， 因为， 所以该方程没有实数根， 所以不存在实数，使得代数式的值为． 19. 如图，二次函数的图象与轴交于点，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图像经过该二次函数图象上的点及点． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围． 【答案】（1）二次函数解析式为：；一次函数解析式为： （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式； （1）将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，再根据二次函数解析式求出点的坐标，然后求出点的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式求解即可； （2）根据函数图象点以及点右边的部分，点以及点左边的部分的自变量的取值范围即为不等式的解集． 【小问1详解】 解：抛物线经过点， ， ， 抛物线解析式为， 点坐标， 对称轴，、关于对称轴对称， 点坐标， 经过点、， ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 由图象可知，满足的的取值范围为或． 20. 如果关于的一元二次方程（） 有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” （1）通过计算，判断是否是“倍根方程”． （2）已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． 【答案】（1）是“倍根方程” （2）0或3 【解析】 【分析】（1）求出一元二次方程的解，根据“倍根方程”的定义，进行解答，即可； （2）设关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，根据根与系数的关系，可得，则①；②；解出，即可． 【小问1详解】 解：解方程得：，， ∴， ∴是“倍根方程”． 【小问2详解】 解：设关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且， 根据题意得： ，则①； ②； 由①②得：， 整理得：， 解得： ，， 经检验，和均满足，符合题意． 21. 年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． （1）求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． （2）从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 【答案】（1） （2）当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元 【解析】 【分析】（1）增长率模型：初始量最终量； （2）根据“单件利润销售量总利润”，表示出降价后每件的利润与当月销量，列出一元二次方程，求出符合实际意义的售价． 【详解】（1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 22. 综合与实践 问题背景： 节假日期间，旅游景区开园检票时游客排队是常见的现象．某校数学兴趣小组对某景区每天开园60分钟内“排队检票人数与开园时间、开放检票窗口之间的关系”开展了综合与实践活动． 调研数据： 信息1：景区开园时，检票窗口同时开始检票．已知每个检票窗口每分钟可检票14人． 信息2：景区开园后，到达景区的总人数y（单位：人）与开园时间x（单位：）满足二次函数． 信息3：开园后不断有新的游客到达检票窗口，任意时刻满足：排队检票人数（单位：人）到达景区的总人数已检票人数． 建立模型： 开园时景区同时开放6个检票窗口（该景区共有10个检票窗口）． （1）①开园，6个检票窗口已检票的人数为_______（用含x的代数式表示）． ②排队检票人数与开园时间x之间的函数关系式为_______． （2）求开园多少分钟不再有游客排队检票． （3）问题解决：为了让游客尽快完成检票，开园时同时开放n个检票窗口，可以使得排队检票人数最晚在15分钟达到最大值．求n的最小值． 【答案】（1）①；② （2） （3）7 【解析】 【分析】（1）①根据每个检票窗口每分钟可检票14人，列出代数式即可； ②根据排队检票人数（单位：人）到达景区的总人数已检票人数，列出函数关系式即可； （2）令，进行求解即可； （3）求出新的函数解析式，根据二次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意，开园，6个检票窗口已检票的人数为； ②由题意，； 【小问2详解】 解：根据题意，不再有游客排队检票时，． 将代入，得． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：开园不再有游客排队检票． 【小问3详解】 解：根据题意，开放n个检票窗口时，排队检票人数与开园时间x之间的函数关系式为， 整理得． ∴该二次函数的对称轴为直线． ∵排队检票人数最晚在15分钟达到最大值， ． 解得． ∵n为正整数， ∴n的最小值为7． 23. 定义：若点，在同一抛物线上，且点的横坐标比点的横坐标大3，则称点是点的“黄金搭档点”．例如，抛物线上，点是点的“黄金搭档点”． （1）点和点在抛物线上，点是点的“黄金搭档点”，且点的纵坐标为12．求，的值． （2）点，在（1）中的抛物线上，且点是点的“黄金搭档点”． ①若点，的纵坐标相等，求点，的横坐标． ②抛物线上，两点之间的部分（含，两点）记为图象，设点的横坐标为，当时，若图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2）①点的横坐标为，点的横坐标为；②或 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，然后利用待定系数法求解即可； （2）①设点M的横坐标为t，则点N的横坐标为，根据题意建立方程求解即可； ②根据题意得出对称轴为：，顶点坐标为，抛物线与x轴的交点为，点的横坐标为：，，然后分情况分析：当，时，当，时，当时，，结合图象建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点是点的“黄金搭档点”， ，点的纵坐标为12， ∴， ∵点和点在抛物线上， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：①设点M的横坐标为t，则点N的横坐标为， 由（1）得， ∵点，的纵坐标相等， ∴， 解得：， ∴， ∴点的横坐标为，点的横坐标为； ②由（1）得， 对称轴为：， 当时，， ∴顶点坐标为， 当时，， ∴ 解得：， ∴抛物线与x轴的交点为， ∵点是点的“黄金搭档点”，点的横坐标为，当时， ∴点的横坐标为：，， 当时，， ∵抛物线与x轴的一个交点为， ∴当，时，如图所示： 点M、N均在x轴下方，最低点为抛物线的顶点， ∵即， 即， ∴此时点N离对称轴较远，最高点为点N， ∵图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5， ∴点N到轴的距离为， 此时点N的纵坐标为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当，时，如图所示： 点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为抛物线的顶点， ∴此时点N离对称轴较远，最高点为点N， ∵图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5， ∴点N到轴的距离为， 此时点N的纵坐标为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， 点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为点M，最高点为点N， ∴， ∴即， ∴， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上可得：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第一次质量调研试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0的常数项为0，则m的值等于（ ）． A. -2 B. 2 C. -2或2 D. 0 3. 若是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 若正比例函数，随的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于的方程必有实数根的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列关于二次函数的说法正确的是（　　） A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 图象与x轴没有交点 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 图象的顶点坐标是 8. 将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（） A. 向上平移5个单位 B. 向下平移5个单位 C. 向左平移5个单位 D. 向右平移5个单位 9. 如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（    ） A. B. C. D. 1 10. 已知二次函数（为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为轴：__________． 12. 在“弘扬科学家精神，共筑科技强国梦”为主题的物地学科节中，小洋同学设计制作了“火箭”升空实验装置，已知该“火箭”的升空高度（米）与飞行时间（秒）满足函数表达式．则“火箭”升空的最大高度为______米． 13. 造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为，问彩色纸带的宽度多少米？若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，根据题意列方程为________________________． 14. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，在平行四边形中，已知，，则对角线长的最大整数值为______． 15. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P是抛物线的对称轴上一动点，连接，，则当的值最小时，点P的坐标为______． 三、解答题（共8大题，共75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知抛物线． （1）请将化成的形式． （2）补全下方的表格，并在方格中画出抛物线： 抛物线 顶点坐标 与轴交点坐标 与轴交点坐标 18. 已知关于的方程． （1）当为何值时，方程没有实数根？ （2）当方程有两个不相等的实数根，时，是否存在实数，使得代数式的值为？ 19. 如图，二次函数的图象与轴交于点，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图像经过该二次函数图象上的点及点． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围． 20. 如果关于的一元二次方程（） 有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” （1）通过计算，判断是否是“倍根方程”． （2）已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． 21. 年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． （1）求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． （2）从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 22. 综合与实践 问题背景： 节假日期间，旅游景区开园检票时游客排队是常见的现象．某校数学兴趣小组对某景区每天开园60分钟内“排队检票人数与开园时间、开放检票窗口之间的关系”开展了综合与实践活动． 调研数据： 信息1：景区开园时，检票窗口同时开始检票．已知每个检票窗口每分钟可检票14人． 信息2：景区开园后，到达景区的总人数y（单位：人）与开园时间x（单位：）满足二次函数． 信息3：开园后不断有新的游客到达检票窗口，任意时刻满足：排队检票人数（单位：人）到达景区的总人数已检票人数． 建立模型： 开园时景区同时开放6个检票窗口（该景区共有10个检票窗口）． （1）①开园，6个检票窗口已检票的人数为_______（用含x的代数式表示）． ②排队检票人数与开园时间x之间的函数关系式为_______． （2）求开园多少分钟不再有游客排队检票． （3）问题解决：为了让游客尽快完成检票，开园时同时开放n个检票窗口，可以使得排队检票人数最晚在15分钟达到最大值．求n的最小值． 23. 定义：若点，在同一抛物线上，且点的横坐标比点的横坐标大3，则称点是点的“黄金搭档点”．例如，抛物线上，点是点的“黄金搭档点”． （1）点和点在抛物线上，点是点的“黄金搭档点”，且点的纵坐标为12．求，的值． （2）点，在（1）中的抛物线上，且点是点的“黄金搭档点”． ①若点，的纵坐标相等，求点，的横坐标． ②抛物线上，两点之间的部分（含，两点）记为图象，设点的横坐标为，当时，若图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $