精品解析：河南省信阳市平桥区2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学质量调研试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 概率很小的事件是不可能事件 B. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 C. 某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 D. 只要试验的次数足够多，频率就等于概率 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，概率的意义，用频率估计概率等知识点，熟练掌握相关概念是解题的关键． 根据随机事件的定义、必然事件的定义、概率的意义及用频率估计概率逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 概率很小的事件也可能发生，是随机事件，不是不可能事件，该说法错误，故选项不符合题意； B. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，该说法正确，故选项符合题意； C. 中奖概率只是一种可能性，并不一定中奖，该说法错误，故选项不符合题意； D. 试验的次数足够多时，频率只是稳定在概率附近，频率不一定等于概率，该说法错误，故选项不符合题意； 故选：． 2. 对于抛物线，下列判断不正确的是（ ） A. 抛物线的顶点坐标为 B. 把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线 C. 若点，在抛物上，则 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的性质以及平移的规律判断即可．本题考查二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握平移的规律． 【详解】解：∵， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 故A选项是正确的； 时，随的增大而减小， 则当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而增大， 故D选项是正确的； 由平移规律可知，将抛物线右平移1个单位，再向上平移2个单位， 则得到的抛物线解析式为， 即． 故B选项是正确的； ∵点，在抛物上，且， ∴比靠近对称轴， ∵抛物线开口向上， ∴， 故C选项是错误的； 故选：C． 3. 如图，在中，是的中点， 点是上一点．若，则的度数为（ ） A. B. 30° C. 60° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧（或等弧）所对的圆心角相等和同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．连接，由是的中点可得，，由圆周角定理可得，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， 是的中点， ， ，  ， ， ， 故选：C． 4. 已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点在（ ） A. 的外部 B. 的内部 C. 上 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解一元二次方程，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此解方程求出即可得到答案． 【详解】解：解方程得， ∴， ∴点在的内部， 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，若抛物线的顶点在坐标轴上，则m的值为（ ） A. B. 4 C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴只有一个顶点可知，，据此可以求得m的值． 【详解】由题意，抛物线与x轴只有一个公共点， ∴， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．此题也可以根据抛物线顶点坐标公式来求m的值． 6. 已知点在反比例函数的图象上，则点关于原点对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把代入，求出，进而即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴点关于原点对称的点的坐标是， 故选A． 【点睛】本题主要考查反比例函数图形和性质以及点的坐标，掌握反比例函数图像上点的坐标特征是解题的关键． 7. 如图，在中，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使旋转角，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 由旋转的性质可得，，，利用等腰三角形的性质可以求出． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：D． 8. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：选项A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意； 选项D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意， 故选：C． 9. 如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是，则四边形的面积为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的面积比值关系是解题的关键． 证出，利用相似比求出面积，得到面积，证出，再利用相似比求出面积即可求解． 【详解】解：由题意可得：， ∴，， ∵三角形被矩形所截， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 10. 如图，、、分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面结论中正确的是（ ） ①该圆的半径为；②平分；③的长为；④连接，，则与的面积比为． A. ②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆的性质，角平分线的判定及性质，弧长公式，熟练掌握正多边形与圆的性质是解题的关键． 设圆的圆心是，连接，，，，作交的延长线于，于，证出为等边三角形，即可判断①；利用圆内接正多边形的性质证出即可判断②；利用弧长公式即可判断③；利用面积公式列式运算即可判断④． 【详解】解：设圆的圆心是，连接，，，，作交的延长线于，于，如图所示： ∵是圆内接正六边形的边长， ∴， ∴为等边三角形， ∴，故①正确； ∵是圆内接正方形的边长，是圆内接等边三角形的边长， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即平分；故②正确； ∵的长，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，且，， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的为①②④． 故选：B． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 等边三角形的中心角等于______度． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法． 根据正多边形中心角公式是即可解题． 【详解】解：等边形的中心角等于； 故答案为：120． 12. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程有实数根，得出，解不等式即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 13. 数学实验课上，小明同学用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用．由题意可得，设，把，代入解析式，求得h关于的函数解析式；把代入（1）中的解析式，求解即可． 【详解】解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． 把代入，得． 解得：． 答：该液体的密度为． 故答案为：． 14. 长尾夹是我们日常学习、办公经常用到的一种文具．某品牌的长尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，经测量知，，，则在图2闭合状态下点之间的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可得，且，则有，则有，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴，， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，为半圆的直径，，半圆绕的中点顺时针旋转，直径与交于点，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接和，根据圆的性质和中点的性质确定，，根据垂直平分线的性质和圆的性质确定是等边三角形，进而求出的度数，根据勾股定理求出的长度，应用三角形面积公式即可求出的面积；根据的度数可以求出的度数，再根据扇形面积公式求出扇形的面积，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如下图所示，连接和， 为半圆的直径，， ， 半圆绕点C顺时针旋转， ， ， 点C是的中点， ，， 和都是半圆的半径， ， ， 是等边三角形，， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定定理和性质，勾股定理，三角形和扇形的面积公式，综合应用这些知识点是解题关键． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可得解； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴或 ∴，． 17. 在“重走建军路，致敬新四军”红色研学活动中，学校建议同学们利用周末时间自主到以下三个基地开展研学活动． A．新四军纪念馆（主馆区）； B．新四军重建军部旧址（泰山庙）； C．新四军重建军部纪念塔（大铜马）． （1） “某同学随机选择一个基地开展研学活动，基地A恰好被选中”是________事件； A．不可能 　　　B．必然 　　　C．随机 （2）小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站． ①小明选择基地B的概率为________； ②用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率． 【答案】（1）C （2）①；② 【解析】 【分析】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为∶概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据不可能事件、必然事件、随机事件的定义判断即可； （2）①利用概率公式可得出答案； ②列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小丽选择相同基地的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：“某同学随机选择一个基地开展研学活动，基地A恰好被选中”是随机事件，故答案为：C； 【小问2详解】 解：①共有三个基地开展研学活动， 小明选择基地A的概率为， 故答案为：； ②画树状图如下： 由图可得，一共有9种等可能的结果，其中小明和小丽选择相同基地的可能性有3种， 小明和小丽选择相同基地的概率为． 18. 如图，已知经过A，C，D三点，点D在边上，，． （1）求作；（请保留尺规作图痕迹，不写作法） （2）求证：是的切线． 【答案】（1） 即为所求． （2） 证明：连接， ， ， ， ， ． ， ， 即． 为的半径， 是的切线． 【解析】 【分析】（1）结合圆周角定理可知，为的直径．作线段的垂直平分线，交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆即可． （2）连接，由题意可得，进而可得．结合切线的判定可知，是的切线． 【小问1详解】 解：经过，，三点，， 为的直径． 如图，作线段的垂直平分线，交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆， 由作图可知：点O为的中点， ∵ ∴ ∴ ∴经过A，C，D三点． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查尺规作图：作线段 垂直平分线，作圆，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，切线的判定，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 19. 如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： （1）与关于坐标原点O成中心对称，请画出并求出的坐标为 ． （2）的面积为 ． （3）将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为 ． 【答案】（1）解：如图，即为所作，， （2）2.5 （3） 【解析】 【分析】本题考查旋转，中心对称以及三角形的面积： （1）根据原点对称的两点的横纵坐标互为相反数，据此解答； （2）运用分割法即可解答； （3）画出，连接，分别作垂直平分线交于，即可解答．． 【小问1详解】 根据图得，点， ∵与关于坐标原点O成中心对称， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：的面积， 故答案为：2.5； 【小问3详解】 解：如图所示，连接，分别作垂直平分线交于， 即旋转中心的坐标为， 故答案为：． 20. 某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干长出的小分支数目与主干长出的支干数目相同，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了个支干．请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空用含的代数式表示： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是________； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为________； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为________； （2）请继续完成本题的解答． 【答案】（1）①；②；③ （2）每个支干长出个小分支 【解析】 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程解应用题，读懂题意，准确表示相关量的代数式，并由等量关系建立方程求解是解决问题的关键． （1）设主干长出了个支干，根据题意，即可得到主干和支干的总数；小分支的个数；主干、支干和小分支的总数；直接列代数式即可得到答案； （2）由（1）中所得代数式，由题中主干、支干和小分支的总数是111，由等量关系建立方程，由因式分解法解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：①设主干长出了个支干， 在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是， 故答案为：； ②设主干长出了个支干， 当每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为， 故答案为：； ③由①②可知，在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设主干长出了个支干， 由（1）可得， 即， ， 解得或（负值，舍去）， 答：每个支干长出个小分支． 21. 如图，直线与双曲线交于点，． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象，请直接写出不等式的解集； （3）点是坐标平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为___________． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，熟悉反比例函数性质是解题的关键． （1）将点，代入直线中得，再点代入反比例函数中得到； （2）找到函数图像中直线在双曲线下方的图像对应的横坐标范围即可； （3）先求出，，，设点，再分三种情况，结合菱形的性质解决问题． 【小问1详解】 解：将点代入直线中得：， ∴， 将点代入直线中得：， ∴， 将点代入反比例函数中得： ∴． 【小问2详解】 解：由（1）知，， 由图象可知，不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：，，， 设点， 当是对角线时，是邻边，应该相等，故不符合题意； 当是对角线时，是邻边，应该相等，故不符合题意； 当是对角线时，是邻边，， 且，解得：， 故． 综上，若以、、、为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为． 故答案为：． 22. 【何题背景】水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂，图（1）是某学校兴趣小组在科技节制作的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的性能，兴趣小组收集了其飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的对应数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 10 飞行高度y/m 0 10 16 18 16 10 （1）【建立模型】求y关于t的函数表达式． （2）【深化研究】若水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间，满足关系，求水火箭从地面发出到落地时飞行的水平距离． （3）【反思优化】如图（2），兴趣小组在操场上设置一个高度可以变化的发射平台，当发射高度变化时，水火箭飞行的轨迹形状不变．可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，P、A、B在同一直线上，已知，，在（2）的条件下，要使水火箭能落到线段上（含端点），请通过计算，直接写出发射平台的高度的取值范围． 【答案】（1）； （2）水火箭从地面发出到落地时飞行的水平距离为； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求解析式、二次函数图象和性质、能够从实际问题中抽象出数学模型是解题的关键． （1）设y关于t的函数表达式，将点代入解析式，求解即可； （2）由，即，将代入，得，当时，火箭落地，即，解方程即可； （3）设发射平台的高度为，则抛物线向上平移后的解析式为：，当火箭落在端点和时，即点和在抛物线图象上，求出对应的，即是发射平台的高度的取值范围． 【小问1详解】 解：由于飞行高度y与飞行时间t的对应数据近似满足二次函数关系，设y关于t的函数表达式， 将点代入解析式得， ， 解得， y关于t的函数表达式为：． 【小问2详解】 解： ，即， 将代入，得， 当时，火箭落地，即， 解得，（舍去）， 水火箭从地面发出到落地时飞行的水平距离为． 【小问3详解】 解：设发射平台的高度为，则抛物线向上平移后的解析式为：， 当火箭落在端点时，即点在抛物线图象上，将代入，即， 解得， 当火箭落在端点时，点在抛物线图象上，将代入，即， 解得， 故发射平台的高度的取值范围为． 23. 课本中有一个例题：木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径，如图（1），用角尺的较短边紧靠于点，并使较长边与相切于点．记角尺的直角顶点为，量得，，求的半径． 课本中给出的解答是：如图，连接，，作，垂足为，设圆的半径为， 与相切于点，， ，，四边形为矩形， ，，， 在中，，即， 解得：，即该圆的半径为． （1）课堂上，小敏同学说：“这个题目还可以用构造相似三角形的方法来求解！”请你根据小敏同学提到的方法解答这个问题； （2）老师提出：若将角尺的两边抽象成两条互相垂直的射线．如图（2），，与、分别交于点、与点、，若，，．求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，的延长线交于点，连接，，由勾股定理可得 ，由切线的性质定理可得，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由直径所对的圆周角是直角可得，进而可得，于是可证得，则，即，由此即可求出的长，进而可得的半径； （2）连接，由圆内接四边形的性质可得，由题意得，于是可证得，则，由，，可得，，进而可得，由此即可求出的长． 【小问1详解】 解：如图，连接，的延长线交于点，连接，， ，，， ， 是的切线， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ，即， ， 的半径为； 【小问2详解】 解：如图，连接， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， 又， ， ， ，，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，切线的性质定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余等知识点，添加适当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学质量调研试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 概率很小的事件是不可能事件 B. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 C. 某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 D. 只要试验的次数足够多，频率就等于概率 2. 对于抛物线，下列判断不正确的是（ ） A. 抛物线的顶点坐标为 B. 把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线 C. 若点，在抛物上，则 D. 当时，y随x的增大而增大 3. 如图，在中，是的中点， 点是上一点．若，则的度数为（ ） A. B. 30° C. 60° D. 90° 4. 已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点在（ ） A. 的外部 B. 的内部 C. 上 D. 无法判断 5. 在平面直角坐标系中，若抛物线的顶点在坐标轴上，则m的值为（ ） A. B. 4 C. 8 D. 6. 已知点在反比例函数的图象上，则点关于原点对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使旋转角，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A. B. C. D. 9. 如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是，则四边形的面积为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 10. 如图，、、分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面结论中正确的是（ ） ①该圆的半径为；②平分；③的长为；④连接，，则与的面积比为． A. ②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 等边三角形的中心角等于______度． 12. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_______． 13. 数学实验课上，小明同学用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度________． 14. 长尾夹是我们日常学习、办公经常用到的一种文具．某品牌的长尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，经测量知，，，则在图2闭合状态下点之间的距离是______． 15. 如图，为半圆的直径，，半圆绕的中点顺时针旋转，直径与交于点，则图中阴影部分的面积为______． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 在“重走建军路，致敬新四军”红色研学活动中，学校建议同学们利用周末时间自主到以下三个基地开展研学活动． A．新四军纪念馆（主馆区）； B．新四军重建军部旧址（泰山庙）； C．新四军重建军部纪念塔（大铜马）． （1） “某同学随机选择一个基地开展研学活动，基地A恰好被选中”是________事件； A．不可能 　　　B．必然 　　　C．随机 （2）小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站． ①小明选择基地B的概率为________； ②用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率． 18. 如图，已知经过A，C，D三点，点D在边上，，． （1）求作；（请保留尺规作图痕迹，不写作法） （2）求证：是的切线． 19. 如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： （1）与关于坐标原点O成中心对称，请画出并求出的坐标为 ． （2）的面积为 ． （3）将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为 ． 20. 某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干长出的小分支数目与主干长出的支干数目相同，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了个支干．请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空用含的代数式表示： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是________； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为________； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为________； （2）请继续完成本题的解答． 21. 如图，直线与双曲线交于点，． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象，请直接写出不等式的解集； （3）点是坐标平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为___________． 22. 【何题背景】水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂，图（1）是某学校兴趣小组在科技节制作的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的性能，兴趣小组收集了其飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的对应数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 10 飞行高度y/m 0 10 16 18 16 10 （1）【建立模型】求y关于t的函数表达式． （2）【深化研究】若水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间，满足关系，求水火箭从地面发出到落地时飞行的水平距离． （3）【反思优化】如图（2），兴趣小组在操场上设置一个高度可以变化的发射平台，当发射高度变化时，水火箭飞行的轨迹形状不变．可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，P、A、B在同一直线上，已知，，在（2）的条件下，要使水火箭能落到线段上（含端点），请通过计算，直接写出发射平台的高度的取值范围． 23. 课本中有一个例题：木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径，如图（1），用角尺的较短边紧靠于点，并使较长边与相切于点．记角尺的直角顶点为，量得，，求的半径． 课本中给出的解答是：如图，连接，，作，垂足为，设圆的半径为， 与相切于点，， ，，四边形为矩形， ，，， 在中，，即， 解得：，即该圆的半径为． （1）课堂上，小敏同学说：“这个题目还可以用构造相似三角形的方法来求解！”请你根据小敏同学提到的方法解答这个问题； （2）老师提出：若将角尺的两边抽象成两条互相垂直的射线．如图（2），，与、分别交于点、与点、，若，，．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $