精品解析：上海市奉贤中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

奉贤中学高一月考数学试卷 一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分） 1. 已知集合，，则_____． 2. 不等式的解集为________ 3. 不等式的解集为______； 4. 集合有且仅有一个元素，则实数________ 5. 若的解集为，比较大小：________（填写“”或“”） 6. 已知全集为，集合，，若，则________ 7. 设，则的最大值为____________. 8. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为________ 9. 不等式的解为________ 10. 已知集合，，，则实数的取值范围是________ 11. 有两个图形，图形表示一个长方形（有可能为正方形），图形表示一个正方形，这两个图形的周长相等，设图形的长方形相邻两边长分别为和（，），试用，建立一个不等式，该不等式用来表示图形的面积和图形的面积的大小关系，则不等式为________ 12. 对于集合，存在非零实数，使得，我们称集合具有性质．若集合具有性质，则实数的取值范围为________ 二．选择题（共4题，13—14题每题4分，15—16题每题5分，满分18分） 13. “四边形是正方形”是“四边形是矩形”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 15. 下列命题正确的是（ ） A. 存在三个不同的无理数，其中任意两个之和为有理数 B. 存在三个不同的无理数，其中任意两个之积为有理数 C. 对于任意三个不同的无理数，这三者的和必为无理数 D. 对于任意三个不同的无理数，这三者的积必为无理数 16. 对于实数，设集合，，，下列说法正确的是（） A. 存在使得不是的子集，对任意的有是的子集 B. 对任意有是的子集，存在使得是的子集 C. 对任意有是的子集，对任意的有不是的子集 D. 存在使得不是的子集，存在使得不是的子集 三．解答题本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分 17. 解不等式组： 18. 已知为实数，集合． （1）证明：； （2）若，且满足，求实数的值． 19. 已知集合． （1）若，求集合； （2）若，，求的取值范围． 20. 小明家距离学校公里．早上上学，如果小明骑共享单车，则速度恒为公里/分钟；如果由家长每天在某一固定时刻开车送，根据导航软件预测，早高峰时段，家长开车的平均速度（单位：公里/分钟）与行驶时间（单位：分钟）始终满足．（注：这里的表示前分钟这一整段行程的平均速度） （1）若家长全程开车送，则需要多少时间到达学校？ （2）若家长全程开车送，在某一时段内平均车速超过前10分钟的平均车速，求行驶时间的取值范围； （3）若家长开车送，为了赶时间，在中途某一时间点下车骑共享单车去学校，则小明最短需要多少分钟才能到达学校？ 21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，已知，记，称为，两点的—范数； （1）若，，求，两点的—范数； （2）若，，求，两点的—范数，并判断是否为有理数？证明你的结论； （3）已知，，，，，．且满足，证明：对任意正整数，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 奉贤中学高一月考数学试卷 一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分） 1. 已知集合，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的概念计算即可. 【详解】集合，，则. 故答案为： 2. 不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【详解】对原不等式移项变形，得， 因式分解可得， 解得， 即不等式的解集为：. 3. 不等式的解集为______； 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】解：将不等式变形为， 通分得：，即：，解得：或 故答案为： 【点睛】本题考查分式不等式的解法，是基础题. 4. 集合有且仅有一个元素，则实数________ 【答案】 或 【解析】 【分析】分二次项系数为0和不为0两种情况讨论，结合一次方程解的性质与二次方程判别式构造方程求解. 【详解】依题意，方程只有1个实根： 当时，方程只有1个实根为，，符合题意； 当时，由解得，此时符合题意. 故实数的取值为或. 5. 若的解集为，比较大小：________（填写“”或“”） 【答案】 【解析】 【详解】对于一元一次不等式，由其解集为，可得； 不等式两边同时除以负数，得不等式的解集为，故，即（）； 将代入得：，由，因此. 6. 已知全集为，集合，，若，则________ 【答案】0或3 【解析】 【详解】由集合运算性质可知，等价于，即集合的所有元素都属于集合. 根据集合元素的互异性，集合中. 由于，，因此，分两种情况讨论： 当时，，此时，，满足，且所有元素互异，符合要求； 当时，整理得，解得或; 若，则，，，满足，且所有元素互异，符合要求； 若，集合不满足元素互异性，舍去. 综上，的取值为0或3. 7. 设，则的最大值为____________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】将用x表示，代入原式后利用基本不等式求和一定时乘积的最大值即可. 【详解】因为，则，即， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 8. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分或两种情况，结合一元二次不等式相关知识可解． 【详解】关于的不等式的解集为，则 当时，不等式恒成立； 当时，则且，得． 综上，k的取值范围为． 9. 不等式的解为________ 【答案】 【解析】 【详解】对于不等式，显然， 当时，可得，解得或； 当时，可得，解得或（舍去）； 综上所述：不等式解集为. 10. 已知集合，，，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【详解】若集合，，， 则，且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围是. 11. 有两个图形，图形表示一个长方形（有可能为正方形），图形表示一个正方形，这两个图形的周长相等，设图形的长方形相邻两边长分别为和（，），试用，建立一个不等式，该不等式用来表示图形的面积和图形的面积的大小关系，则不等式为________ 【答案】 （或等价形式） 【解析】 【分析】先利用周长相等求出正方形的边长，再分别计算长方形和正方形的面积，通过作差法得到两者面积的大小关系. 【详解】依题意，图形的周长为，因图形为正方形，且与图形的周长相等，故其边长为， 则图形的面积为，图形的面积为， 由，当且仅当时等号成立. 故可得（或等价形式） 12. 对于集合，存在非零实数，使得，我们称集合具有性质．若集合具有性质，则实数的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】通过分类讨论，结合数轴标根法解不等式得到集合，判断集合是否具有性质即可. 【详解】方程有三个实数根， ①.时，即，则， 当时，，存在，此时，有， 当时，，此时，有， 所以当时，集合具有性质； ②.时，即，则， 有， 此时集合具有性质，需要，即， 当时，，存在，此时， 有，符合要求； ③. 时，即，则，不符合要求； ④. 时，则，存在，符合要求； ⑤. 时，即，则，不符合要求. 综上，实数的取值范围为. 二．选择题（共4题，13—14题每题4分，15—16题每题5分，满分18分） 13. “四边形是正方形”是“四边形是矩形”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】A 【解析】 【详解】若四边形是正方形，则该四边形必满足矩形的判定条件，充分性成立， 若四边形是矩形，当矩形邻边不相等时不是正方形，因此必要性不成立. “四边形是正方形”是“四边形是矩形”的充分非必要条件. 14. 已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质判断D；举例说明即可判断ABC. 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，但不成立，故B错误； C：当时，，故C错误； D：由，得，故D正确. 故选：D 15. 下列命题正确的是（ ） A. 存在三个不同的无理数，其中任意两个之和为有理数 B. 存在三个不同的无理数，其中任意两个之积为有理数 C. 对于任意三个不同的无理数，这三者的和必为无理数 D. 对于任意三个不同的无理数，这三者的积必为无理数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的运算性质，通过代数推导和举反例的方法逐一判断命题真假. 【详解】A选项：假设三个无理数为， 且， 三式相加得到， 解得是有理数， 因为，所以是有理数， 因为，所以是有理数， 因为，所以是有理数， 和是无理数矛盾，故选项A错误； B选项：举例子：， （有理数）， （有理数）， （有理数）， 三个数互不相同，都是无理数，两两乘积都是有理数，故选项B正确； C选项：反例：，三者都是不同无理数， （有理数），故选项C错误； D选项：反例：，（有理数），故选项D错误. 16. 对于实数，设集合，，，下列说法正确的是（） A. 存在使得不是的子集，对任意的有是的子集 B. 对任意有是的子集，存在使得是的子集 C. 对任意有是的子集，对任意的有不是的子集 D. 存在使得不是的子集，存在使得不是的子集 【答案】C 【解析】 【分析】先通过代数化简对比、的不等式条件，得出恒为的子集；再从函数平移的视角分析与的关系，结合单调性与零点分析，证明无论取何值，中总存在元素不在中，故恒不是的子集. 【详解】化简集合不等式， 集合：，通分得； 集合：，通分得； 集合：，令，通分得 （即是向左平移1个单位的集合）. 若，则, 对的不等式展开：, 因时，且，故，即, 因此对任意，; 是向左平移1个单位的集合（）. 若，则对任意，需（因）. 取任意, 当时，， ,中的元素但（因），故； 当时，，, 中的元素但（因），故； 对任意，总包含两个区间（如时； 时），必存在使得, 因此对任意，. 综上，对任意有是的子集，对任意的有不是的子集. 三．解答题本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次不等式与分式不等式的解法可得答案. 【详解】由， 得，即， 解得或； 由，得， 即，等价于， 解得或； 综上：. 18. 已知为实数，集合． （1）证明：； （2）若，且满足，求实数的值． 【答案】（1）证明：集合，假设， 则2是关于的方程的实根，即有实数解， 而与矛盾，因此假设是错的， 所以. （2）9 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用反证法推理得证. （2）利用韦达定理列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得是关于的方程的两个实根， 则，即，且， 由，得，则，解得， 所以实数的值为9. 19. 已知集合． （1）若，求集合； （2）若，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用元素和集合的关系求解； （2）利用子集的定义求解. 【小问1详解】 因为，所以代入不等式， 则， 即，即， 即，即， 因为，所以， 将代入不等式， 得到， 解得，即， 解得，即. 【小问2详解】 ， ，，， 集合， 记，开口向上， 有两种情况： ① （空集是任何集合的子集）， 此时判别式， ， ， ， 解得或， ② ， 因为，所以不等式的解集为或， 当不等式的解集为时， ，即， 解得或， 且， 解得或， 则这种情况； 当不等式的解集为时， ，即， 解得或， 且，此方程无解， 则这种情况无解； 综上可知，或， 则的取值范围为. 20. 小明家距离学校公里．早上上学，如果小明骑共享单车，则速度恒为公里/分钟；如果由家长每天在某一固定时刻开车送，根据导航软件预测，早高峰时段，家长开车的平均速度（单位：公里/分钟）与行驶时间（单位：分钟）始终满足．（注：这里的表示前分钟这一整段行程的平均速度） （1）若家长全程开车送，则需要多少时间到达学校？ （2）若家长全程开车送，在某一时段内平均车速超过前10分钟的平均车速，求行驶时间的取值范围； （3）若家长开车送，为了赶时间，在中途某一时间点下车骑共享单车去学校，则小明最短需要多少分钟才能到达学校？ 【答案】（1）40分钟 （2） （3）34分钟 【解析】 【分析】（1）利用路程、速度、时间的关系列出方程求解. （2）由给定条件列出不等式并求解. （3）列出小明到达学校用时的关系式，再利用基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由家长全程开车送，得，则，整理得， 而，解得，所以家长全程开车送，需要40分钟到达学校. 【小问2详解】 当时，，由平均车速超过前10分钟的平均车速，得， 而，整理得，解得， 所以行驶时间的取值范围是. 【小问3详解】 设小明坐车行驶分钟后下车骑共享单车，则小明坐车行驶里程， 小明骑共享单车行驶里程为，所用时间， 因此小明到达学校共用时为， 当且仅当，即时取等号， 所以小明最短需要34分钟才能到达学校. 21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，已知，记，称为，两点的—范数； （1）若，，求，两点的—范数； （2）若，，求，两点的—范数，并判断是否为有理数？证明你的结论； （3）已知，，，，，．且满足，证明：对任意正整数，都有． 【答案】（1）1 （2），显然为无理数，下面用反证法证明， 假设是有理数，令（为互质的正整数），则， 若为偶数，令，则，即，故为偶数，与互质矛盾； 若为奇数，则为奇数，而为偶数，则不成立. 综上可知假设不成立，故为无理数. （3），， 由，得，故，，且， ，， 故只需证对任意正整数，都有，即证， 由，，故，， 对于正整数，都有，故， 得证． 【解析】 【分析】（1）由—范数的定义，求，两点的—范数； （2）由—范数的定义，求，两点的—范数，反证法证明其为无理数； （3）由，得，结合—范数的定义，只需证对任意正整数都有即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $