精品解析：福建省泉州市晋江侨声中学、南安侨光中学2025-2026学年高一上学期两校12月联考二数学试题

晋江侨声中学、南安侨光中学2025秋季高一年两校联考二 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题人：李德福 蔡景郎 审核人： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，有”的否定是（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，且，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 0或1 7. 已知某校高一年级女生人数多于男生人数，在分科后选报物理方向的学生人数多于历史方向的学生人数，则（ ） A. 物理方向的男生多于物理方向的女生 B. 历史方向的女生多于历史方向的男生 C. 物理方向的女生多于历史方向的男生 D. 物理方向的男生多于历史方向的女生 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若终边上一点的坐标为，则 B. 若角为锐角，则为钝角 C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D. 若，且，则 10. 若，，且，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 11. 已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 B. 若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 C. 函数的零点个数为5个 D. 函数的零点个数为6个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数 （，且）的图象恒过定点，则_____. 13. 幂函数图像关于轴对称，且在上是减函数，则________． 14. 已知，函数，满足，则______，若存在，使得，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 化简求值： （1）； （2）. 16. 已知集合， （1）求集合； （2）当时，求； （3）若集合，求实数的取值范围. 17. 已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为. （1）求函数解析式，并求出关于的不等式的解集； （2）求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值. 18. 设函数是定义在区间上的函数，若对区间中的任意两个实数，都有，则称为区间上的下凸函数（即凹函数）. （1）已知为下凸函数，若，求最大值. （2）求证：函数在是下凸函数（即凹函数）． （3）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，请试着用凹函数的这种性质证明下面的不等式：． 19. 已知函数在某个区间上的单调性遵循“同增异减”的规律，具体如下： 内层函数 递增 递增 递减 递减 外层函数 递增 递减 递增 递减 复合函数 递增 递减 递减 递增 设函数（，且）． （1）若，求的值； （2）若对于任意实数x，恒成立，求实数m的取值范围； （3）证明：． 若函数满足，，函数一定是偶函数吗？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 晋江侨声中学、南安侨光中学2025秋季高一年两校联考二 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题人：李德福 蔡景郎 审核人： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，有”的否定是（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断. 【详解】由题意可得：命题“，有”的否定是“，有”. 故选：C. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数有意义、根式有意义列不等式求解即可． 【详解】因为函数， 所以，解之可得， 函数的定义域为． 故选：C． 3. 一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出方程有一个正实根和一个负实根的充要条件，结合选项，判断哪一个是该条件的真子集，即可得答案. 【详解】由题意知一元二次方程的两根为， 要使得方程有一个正实根和一个负实根，需， 结合选项知，只有， 即一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是， 故选：C 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用“齐次式”，即可求解. 【详解】因为，则， 故选：D. 5. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 6. 已知函数，且，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 0或1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数解析式求出的值，再代入计算可得. 【详解】因为且， 所以或， 解得或， 当时，； 当时，； 综上可得的值为. 故选：B 7. 已知某校高一年级女生人数多于男生人数，在分科后选报物理方向的学生人数多于历史方向的学生人数，则（ ） A. 物理方向的男生多于物理方向的女生 B. 历史方向的女生多于历史方向的男生 C. 物理方向的女生多于历史方向的男生 D. 物理方向的男生多于历史方向的女生 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为，男生数为，选报历史方向的女生数为，男生数为，根据题意可得，计算可得结论. 【详解】根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为，男生数为，选报历史方向的女生数为，男生数为， 根据题意可得，所以， 即，故物理方向的女生多于历史方向的男生. 故选：C. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的单调性结合，去求解即可. 【详解】，定义域为R， 令，则， 则， 即关于中心对称， 当时，由解析式可知单调递增， 对称性得：当时，单调递增， 所以在上是增函数， 又在上是增函数， 所以在上是增函数， ， 所以 则， 即， 由单调性可得：， 解得：， 所以不等式的解集为， 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若终边上一点的坐标为，则 B. 若角为锐角，则为钝角 C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D. 若，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由终边上的点坐标及余弦函数的定义判断A；特殊角判断B；应用扇形的弧长、面积公式判断C；利用同角三角函数关系求已知角的正余弦值，进而求正切值判断D. 【详解】A，由终边上的点，知，对； B，由锐角，则也是锐角，错； C，设扇形半径为，根据弧长公式有弧长，则， 所以扇形面积为，对； D，由题设，则， 又，则，结合，可得， 所以，对. 故选：ACD 10. 若，，且，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式求最值，逐项判断即可. 【详解】对A：因为，即（当且仅当即时取“”），故A项正确； 对B：因为（当且仅当即时取“”），故B项错误； 对C：因为， 所以（当且仅当即时取“”），故C项正确； 对D：由， 所以，由B知：成立，故D项正确. 故选：ACD 11. 已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 B. 若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 C. 函数的零点个数为5个 D. 函数的零点个数为6个 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意得到函数对称轴，作出函数大致图象.结合函数图象和对数的运算知函数的零点与的关系，且得到的取值范围，即可判断A选项；由与的关系化简，利用的范围及函数的单调性求得取值范围，判断B选项；由函数的零点，得到时的值，然后分别由函数图像知道对应零点个数，即可判断C选项；令，求得的值，分别求解方程，即可求得函数的零点个数，判断D选项. 【详解】∵函数为偶函数，即 则函数关于对称， 当时，，， ∴函数的大致图像如下图， 令，则，，，为方程的解,所以 ∴，即，∴，∴， 由图可知，，∴，A选项错误； ∵，∴，且∴， 令，由双勾函数的性质可知，函数在上单调递减，∴，B选项正确； ∵有两个零点或，∴时，或， 当时，由函数图象可知，函数有3个零点， 当时，由函数图象可知，函数有2个零点， ∴函数存在5个零点，C选项正确； 令，即，则或或 ，即；，即；，无解； ，即；，无解；，即； 故函数有4个零点，D选项错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数 （，且）的图象恒过定点，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由条件，结合对数函数性质列方程求，由此可得. 【详解】因为函数的图象恒过定点， 所以，， 所以，， 所以. 故答案为：. 13. 幂函数图像关于轴对称，且在上是减函数，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据幂函数的定义与性质，得出，且为偶数，再根据取值范围，求出和的值，再求和． 【详解】解：∵幂函数）的图像关于轴对称，且在上是严格减函数， ∴，且为偶数，，且． 解得，，且， 只有时满足为偶数， ∴．故， 故答案为：3． 14. 已知，函数，满足，则______，若存在，使得，则的取值范围是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先根据分段函数求值，求，再分区间，和，代入分段函数，转化为求函数的值域问题. 【详解】，得， 所以， 若，，得， 此时， 若，，此时，不成立， 若，，得， 此时， 设，，在区间上单调递增，，所以的范围是 综上可知，的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 化简求值： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简求得正确答案. （2）根据对数运算求得正确答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知集合， （1）求集合； （2）当时，求； （3）若集合，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）通过确定函数的值域求出集合； （2）分别求出集合，进而求出即可 （3）先将转化为，再求出实数的取值范围即可. 【小问1详解】 因为，所以，即， 故； 【小问2详解】 当时，， 故； 【小问3详解】 因为，所以， 又因为，故， 所以， 综上，实数的取值范围是. 17. 已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为. （1）求函数解析式，并求出关于的不等式的解集； （2）求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值. 【答案】（1），或； （2），取最小值时，取最大值时. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出，再利用单调性解不等式. （2）由（1）的结论求出并换元，转化为二次函数求解. 【小问1详解】 函数定义域为，且在上单调， 由函数在区间上的最大值与最小值之和为， 得，即，解得， 于是； ， 解，得或； 解，即，得或， 因此或， 所以不等式的解集或. 【小问2详解】 由（1）知，， 令，由，得，， 当时，，此时；当时，，此时， 所以函数的值域为，取最小值时，取最大值时. 18. 设函数是定义在区间上的函数，若对区间中的任意两个实数，都有，则称为区间上的下凸函数（即凹函数）. （1）已知为下凸函数，若，求最大值. （2）求证：函数在是下凸函数（即凹函数）． （3）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，请试着用凹函数的这种性质证明下面的不等式：． 【答案】（1） 4 （2） ， ， ， ，， ， 是上的凹函数. （3） 因为幂函数在内是凹函数． 所以，即，当且仅当时，等号成立． 又因为幂函数在内是增函数， 所以．当且仅当时，等号成立． 同理可证：，当且仅当时，等号成立． ，当且仅当时，等号成立． 三式相加得：， 又， 所以当且仅当时，等号成立． 不等式得证． 【解析】 【分析】（1）由凹函数的定义结合指数的运算求解即可； （2）由凹函数的定义证明即可； （3）由凹函数的定义结合基本不等式证明即可. 【小问1详解】 由为下凸函数，得， 因此，当且仅当时等号成立，则， 即，所以的最大值是4． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知函数在某个区间上的单调性遵循“同增异减”的规律，具体如下： 内层函数 递增 递增 递减 递减 外层函数 递增 递减 递增 递减 复合函数 递增 递减 递减 递增 设函数（，且）． （1）若，求的值； （2）若对于任意实数x，恒成立，求实数m的取值范围； （3）证明：． 若函数满足，，函数一定是偶函数吗？请说明理由． 【答案】（1）47 （2） （3） 证明：∵， ， ∴． 令，则，∴或． 当时，令，则，即， 此时函数是偶函数． 当时，令，则，即， 此时函数既是奇函数又是偶函数． 综上，函数一定是偶函数． 【解析】 【分析】（1）根据指数的运算法则及完全平方公式计算即可； （2）先根据偶函数定义得是定义在R上的偶函数，然后结合对勾函数和指数函数的单调性，利用复合函数单调性法则得在上单调递增，从而将恒成立转化为恒成立，利用判别式法求解即可； （3）利用指数运算法则证明即可，令得或．然后按照和分类讨论，根据奇偶函数的定义判断即可． 【小问1详解】 ，∴，即． 两边平方得，． 【小问2详解】 ∵且定义域为R， ∴是定义在R上的偶函数， ∴由，得． 设，，则． 当时，在上单调递增，∴． 又在上单调递增，∴在上单调递增． 当时，在上单调递减，． 又在上单调递减，∴在上单调递增． 综上，在上单调递增，∴对恒成立， 即不等式恒成立， 整理得对恒成立， ∴结合一元二次方程根的判别式，得且， 解得，即m的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $