思维拓展奥数 第三十讲容斥原理与补集计数（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学苏教版

第30讲 容斥原理与补集计数 解析 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 参加数学组人、阅读组人，两组都参加人，至少参加一组的有多少人？ 解析：人。 跟踪1 【模拟练习】 班级人，数学组人、阅读组人，两组都参加人，两组都没参加多少人？ 解析：至少一组人，都没参加人。 例2 【模拟练习】 从到中，能被、、至少一个数整除的整数有多少个？ 解析：分别有个。两两重叠分别是的倍数，有个；三重重叠是的倍数，有个。合计个。 跟踪2 【模拟练习】 从到中，既不是的倍数也不是的倍数的整数有多少个？ 解析：是或的倍数共有个，不属于这两类的有个。 例3 【模拟练习】 四位数字密码允许首位为，数字可以重复。至少有两位数字相同的密码有多少种？ 解析：全部有种，四位互不相同有种，故至少一次重复有种。 跟踪3 【模拟练习】 四位数字密码允许首位为。恰有一个数字出现两次、另外两个数字各出现一次，共有多少种密码？ 解析：选重复数字有种，选它占据的两个位置有种；其余两位置依次有、种，共种。 例4 【模拟练习】 一份统计写道：人中，三组人数为，三个两两交集人数之和为，且三项都没参加者有人。两两交集均包含三项都参加者。这份数据可能吗？ 解析：设三项都参加人。至少一项应为，至少人；但“没参加人”说明只参加了人，矛盾，所以不可能。 跟踪4 【模拟练习】 若把三个两两交集人数之和改为，其余条件相同，三项都参加者有多少人？ 解析：至少一项是，所以，得。其余分区可以非负分配，这个数值并无上述矛盾。例如三个两两交集分别为时，恰参加一组的分别有人，恰参加两组的分别有人，另有公共的人，合计人，可以实现。 例5 【模拟练习】 如图，某班人中参加甲、乙、丙三种社团的人数分别为；同时参加甲乙、甲丙、乙丙的分别为人，其中每个两项人数都包含三项都参加的人。至少参加一项与一项都没参加的各有多少人？ 解析：至少参加一项有人；都没参加有人。 跟踪5 【模拟练习】 根据例的数据，恰好参加一项的人有多少？ 解析：至少参加两项有人；恰好参加一项为人。 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 两组共有名不同成员，两组都参加人，把两组原人数相加得多少？ 解析：重复者多算一次，总和人。 A2 【模拟练习】 从到的整数中，不是偶数的有多少个？ 解析：偶数有个，其补集也为个。 B组 综合运用 B1 【模拟练习】 从到中，是或倍数的整数有多少个？ 解析：倍数个、倍数个，共同的倍数个，合计个。 B2 【模拟练习】 两类合并后有人，其中两类都属于人，第一类人，第二类多少人？ 解析：由，得人。 B3 【模拟练习】 用字母组成长为的字符串，可重复，且至少出现一次、至少一次，有多少个？ 解析：全部。缺有个，缺也有个，同时缺两者只有这个，故个。 B4 【模拟练习】 从到中，恰好是和中的一个数的倍数的整数有多少个？ 解析：的倍数有个，的倍数有个，公倍数即的倍数有个；应将公倍数两次都排除，共个。 B5 【模拟练习】 用至组成三位数，允许重复。至少出现一次数字的有多少个？ 解析：全部有个；不出现的有个，所求个。 C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 从到中，能被或整除、但不能同时被二者整除的有多少个？ 解析：两类人数相加，同时属于两类的个要全部排除，它们原先算了两次，故个。 C2 【模拟练习】 从到中，不是的倍数也不是的倍数的整数有多少个？ 解析：根据容斥，个。 C3 【模拟练习】 三个兴趣组人数分别为人，两两同时参加的人数分别为人；至少参加一组的有人。求三组都参加的人数和恰好参加两组的人数。两两人数包含三组都参加者。 解析：设三组都参加的人数为，则，得。恰参加两组有人。 真题拓展 真题1 【真题改编】 五件外观相同的瓷器中恰有两件赝品、三件真品。每次从未检验的瓷器中等可能取一件，检验准确。检查两件后还不能确定所有赝品，而恰好检查完第三件后能确定全部赝品，这种情况的可能性是多少百分比？ 解析：把真品记为、赝品记为。只有三种类型符合：，检完三真可确定余下二假；或，第三件找到了第二件赝品。不符合，因为检查两件时已经确定全部赝品。前三件按具体瓷器区分顺序，共种；有种，另两类各有种，共种，可能性。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $两类容斥 相加后减去重复部分 补集思路 从全部扣除不符合的情况 容斥与补集计数 三类容斥 减去两两重叠加回公共部分 恰好或至少 弄清交集的重复次数null 第30讲 容斥原理与补集计数 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 情境探路 一本书可能同时被列入科普和故事书目录，一个整数也可能同时是、和的倍数。直接把各类数量相加会重算；碰到“至少有一次”或“不相邻”，有时反面情况反而更容易数。判断统计表是否可能，也是数学推理的一部分。 知识梳理 两类合计：至少属于一类的数量等于两类数量之和减去两类都属于的数量。没有参加任何一类的人，用总人数减“至少一类”。 三类合计：先加三类总数，减三个两两交集，再加三类公共部分。这里两两交集必须包含三类都属于者；公共部分在前面加了次、又减了次，最后要加回次。 补集计数是“全部减去不符合条件的”。若不符合条件又分成两类，仍要防止它们之间的重叠。 遇到概率问题，先讲清每种结果是否等可能，再以符合条件的方法数除以全部方法数。“第三次才确定”包含时间先后限制，不能只数第三次之后的结果。 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 参加数学组人、阅读组人，两组都参加人，至少参加一组的有多少人？ 跟踪1 【模拟练习】 班级人，数学组人、阅读组人，两组都参加人，两组都没参加多少人？ 例2 【模拟练习】 从到中，能被、、至少一个数整除的整数有多少个？ 跟踪2 【模拟练习】 从到中，既不是的倍数也不是的倍数的整数有多少个？ 例3 【模拟练习】 四位数字密码允许首位为，数字可以重复。至少有两位数字相同的密码有多少种？ 跟踪3 【模拟练习】 四位数字密码允许首位为。恰有一个数字出现两次、另外两个数字各出现一次，共有多少种密码？ 例4 【模拟练习】 一份统计写道：人中，三组人数为，三个两两交集人数之和为，且三项都没参加者有人。两两交集均包含三项都参加者。这份数据可能吗？ 跟踪4 【模拟练习】 若把三个两两交集人数之和改为，其余条件相同，三项都参加者有多少人？ 例5 【模拟练习】 如图，某班人中参加甲、乙、丙三种社团的人数分别为；同时参加甲乙、甲丙、乙丙的分别为人，其中每个两项人数都包含三项都参加的人。至少参加一项与一项都没参加的各有多少人？ 跟踪5 【模拟练习】 根据例的数据，恰好参加一项的人有多少？ 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 两组共有名不同成员，两组都参加人，把两组原人数相加得多少？ A2 【模拟练习】 从到的整数中，不是偶数的有多少个？ B组 综合运用 B1 【模拟练习】 从到中，是或倍数的整数有多少个？ B2 【模拟练习】 两类合并后有人，其中两类都属于人，第一类人，第二类多少人？ B3 【模拟练习】 用字母组成长为的字符串，可重复，且至少出现一次、至少一次，有多少个？ B4 【模拟练习】 从到中，恰好是和中的一个数的倍数的整数有多少个？ B5 【模拟练习】 用至组成三位数，允许重复。至少出现一次数字的有多少个？ C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 从到中，能被或整除、但不能同时被二者整除的有多少个？ C2 【模拟练习】 从到中，不是的倍数也不是的倍数的整数有多少个？ C3 【模拟练习】 三个兴趣组人数分别为人，两两同时参加的人数分别为人；至少参加一组的有人。求三组都参加的人数和恰好参加两组的人数。两两人数包含三组都参加者。 真题拓展 真题1 【真题改编】 五件外观相同的瓷器中恰有两件赝品、三件真品。每次从未检验的瓷器中等可能取一件，检验准确。检查两件后还不能确定所有赝品，而恰好检查完第三件后能确定全部赝品，这种情况的可能性是多少百分比？ 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $