思维拓展奥数 第二十七讲勾股定理与弦图（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学苏教版

null直角三角形 确认斜边与两条直角边 弦图拼接 用整体面积减三角形面积 勾股与弦图 平方关系 两直角边平方和等于斜边平 方 空间与应用 逐层寻找直角三角形 第27讲 勾股定理与弦图 解析 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 一根米长的绳子从竖直旗杆顶端拉到地面，固定点离旗杆底部米，地面水平，旗杆高多少米？ 解析：绳是斜边，高的平方，所以高米。 跟踪1 【模拟练习】 一根竖直杆高米，地面固定点离杆脚米。拉线从杆顶连到固定点，求拉线长度。 解析：拉线是直角三角形的斜边，长度的平方为，拉线长米。 例2 【模拟练习】 矩形周长厘米，对角线长厘米，求矩形面积。 解析：设长、宽为，，。，所以，面积平方厘米。 跟踪2 【模拟练习】 一个矩形面积为平方厘米，长与宽之和为厘米。求它的对角线长。 解析：设长、宽为。对角线的平方为，所以对角线长厘米。 例3 【模拟练习】 四个相同的直角三角形，直角边分别长和厘米，按弦图放到边长厘米的正方形四角。中间正方形面积是多少？ 解析：外侧面积，四个三角形面积和，中间面积平方厘米；这也等于每个三角形斜边的平方。 跟踪3 【模拟练习】 四个完全相同的直角三角形按弦图放在正方形内，外侧正方形面积为平方厘米，中间正方形面积为平方厘米。一个三角形面积是多少？ 解析：四个三角形总面积为平方厘米，一个三角形面积为平方厘米。 例4 【模拟练习】 矩形长厘米、宽厘米，为中点，求。 解析：厘米，在处是直角。，所以厘米。 跟踪4 【模拟练习】 矩形中厘米、厘米，是中点。求三角形的面积和斜边的长度。 解析：厘米，面积为平方厘米。，所以厘米。 例5 【模拟练习】 如图，一个长方体的长、宽、高分别为厘米。求连接相对两个顶点的空间对角线长度。 解析：先求底面对角线的平方：，底面对角线长厘米。再与高组成直角三角形，空间对角线的平方为，长度为厘米。 跟踪5 【模拟练习】 长方体的长、宽分别为厘米，空间对角线长厘米。求高。 解析：底面对角线的平方为。高的平方为，因此高为厘米。 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 直角三角形两条直角边为和厘米，斜边长多少？ 解析：，斜边厘米。 A2 【模拟练习】 三条边为的三角形是直角三角形吗？ 解析：，可以组成三角形；，所以是直角三角形。 B组 综合运用 B1 【模拟练习】 直角三角形斜边厘米、一条直角边厘米，求周长。 解析：另一条直角边平方，长。周长厘米。 B2 【模拟练习】 正方形对角线的平方是平方厘米，正方形面积多少？ 解析：对角线平方是两条相邻边平方之和，即边长平方的倍，面积平方厘米。 B3 【模拟练习】 矩形面积为平方厘米，两邻边长之和为厘米。它的对角线能是整数厘米吗？把长度夹在两个连续整数之间。 解析：对角线平方。因为，对角线在与厘米之间，不能是整数厘米。 B4 【模拟练习】 一块长方形操场长米、宽米。沿对角线从一角走到对角，比沿相邻两边走少多少米？ 解析：对角线长米，沿两边走米，少米。 B5 【模拟练习】 一个直角三角形两直角边为厘米和厘米。以斜边为底时，对应的高是多少厘米？ 解析：斜边为厘米。三角形面积为平方厘米，因此斜边上的高为厘米。 C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 四个完全相同的直角三角形围成弦图，外侧正方形面积，中间正方形面积。一个三角形面积多少？ 解析：四个三角形总面积，一个面积。 C2 【模拟练习】 一个直角三角形两条直角边之比为，周长为厘米。求三边长。 解析：把两直角边看成份和份，斜边平方对应，所以斜边为份。总共份，每份厘米，三边为厘米。 C3 【模拟练习】 一架米长的梯子靠在竖直墙上，地面水平。梯脚起初距墙米，后来沿地面移到距墙米处，梯顶仍靠墙。梯顶下降了多少米？ 解析：起初高度的平方为，高度米；后来高度的平方为，高度米。梯顶下降米。 真题拓展 真题1 【真题改编】 矩形中，是对角线，为中点，与交于，。矩形边长均为正整数，求较长的一边。 解析：，且。交叉两条线形成的三角形相似，所以，。设两邻边为正整数，则。依次检查较短边，只有符合，因此较长边为。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27讲 勾股定理与弦图 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 情境探路 操场上竖起一根旗杆，斜拉绳、旗杆和水平地面组成直角三角形。数学家还把四个相同的直角三角形排到正方形四角，利用中间空白的面积解释三边关系。长度题、面积题和拼图题，可以通过“平方”联系起来。 知识梳理 直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则。斜边是直角对着的最长边，使用公式前先找直角。 已知斜边与一条直角边，先用平方相减求另一条边的平方，再找正的边长；不能直接用边长相减。 四个相同直角三角形放到边长的正方形四角，中间四边长都是；相邻锐角之和为，所以中间也是正方形。面积满足，即。 矩形长、宽与对角线组成直角三角形；中点、垂线等条件可以找出隐藏的直角三角形。常见整数边长组合只用于核对，解题仍要写清平方关系。 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 一根米长的绳子从竖直旗杆顶端拉到地面，固定点离旗杆底部米，地面水平，旗杆高多少米？ 跟踪1 【模拟练习】 一根竖直杆高米，地面固定点离杆脚米。拉线从杆顶连到固定点，求拉线长度。 例2 【模拟练习】 矩形周长厘米，对角线长厘米，求矩形面积。 跟踪2 【模拟练习】 一个矩形面积为平方厘米，长与宽之和为厘米。求它的对角线长。 例3 【模拟练习】 四个相同的直角三角形，直角边分别长和厘米，按弦图放到边长厘米的正方形四角。中间正方形面积是多少？ 跟踪3 【模拟练习】 四个完全相同的直角三角形按弦图放在正方形内，外侧正方形面积为平方厘米，中间正方形面积为平方厘米。一个三角形面积是多少？ 例4 【模拟练习】 矩形长厘米、宽厘米，为中点，求。 跟踪4 【模拟练习】 矩形中厘米、厘米，是中点。求三角形的面积和斜边的长度。 例5 【模拟练习】 如图，一个长方体的长、宽、高分别为厘米。求连接相对两个顶点的空间对角线长度。 跟踪5 【模拟练习】 长方体的长、宽分别为厘米，空间对角线长厘米。求高。 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 直角三角形两条直角边为和厘米，斜边长多少？ A2 【模拟练习】 三条边为的三角形是直角三角形吗？ B组 综合运用 B1 【模拟练习】 直角三角形斜边厘米、一条直角边厘米，求周长。 B2 【模拟练习】 正方形对角线的平方是平方厘米，正方形面积多少？ B3 【模拟练习】 矩形面积为平方厘米，两邻边长之和为厘米。它的对角线能是整数厘米吗？把长度夹在两个连续整数之间。 B4 【模拟练习】 一块长方形操场长米、宽米。沿对角线从一角走到对角，比沿相邻两边走少多少米？ B5 【模拟练习】 一个直角三角形两直角边为厘米和厘米。以斜边为底时，对应的高是多少厘米？ C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 四个完全相同的直角三角形围成弦图，外侧正方形面积，中间正方形面积。一个三角形面积多少？ C2 【模拟练习】 一个直角三角形两条直角边之比为，周长为厘米。求三边长。 C3 【模拟练习】 一架米长的梯子靠在竖直墙上，地面水平。梯脚起初距墙米，后来沿地面移到距墙米处，梯顶仍靠墙。梯顶下降了多少米？ 真题拓展 真题1 【真题改编】 矩形中，是对角线，为中点，与交于，。矩形边长均为正整数，求较长的一边。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $