思维拓展奥数 第二十六讲沙漏模型与相似面积（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学苏教版

第26讲 沙漏模型与相似面积 解析 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 沙漏模型中，，，厘米。求。 解析：对应边比同为，厘米。 跟踪1 【模拟练习】 沙漏模型中，，，厘米，厘米。求与整条的长度。 解析：，所以厘米。厘米，厘米。 例2 【模拟练习】 沙漏上、下两三角形面积之比为，上三角形的高为厘米，下三角形的高多少？ 解析：对应高之比为，下高厘米。 跟踪2 【模拟练习】 沙漏模型上、下三角形面积比为。上三角形的高为厘米、面积为平方厘米。下三角形的高和面积各是多少？ 解析：对应长度比为，下高为厘米；按面积比，下块面积为平方厘米。 例3 【模拟练习】 沙漏上、下两三角形的高为、厘米，下底比上底长厘米。求两底。 解析：底比同高比，为。差份是厘米，两底分别为与厘米。 跟踪3 【模拟练习】 同一构图，上、下高为、厘米，两底之和为厘米，求两底。 解析：底比，总共份，每份厘米，两底和厘米。 例4 【模拟练习】 沙漏上、下底长为、厘米，两底之间的距离为厘米。求两个三角形的高及面积。 解析：高比，两高之和，所以高为和。面积分别、平方厘米。 跟踪4 【模拟练习】 沙漏模型中上、下底为厘米和厘米，两底间距为厘米。求梯形面积，以及除去上、下两个沙漏三角形后剩余的面积。 解析：两高比为，分别为厘米。上下三角形面积分别为和平方厘米。梯形面积为，剩余平方厘米。 例5 【模拟练习】 沙漏中上、下三角形的周长分别为厘米和厘米，两三角形面积之和为平方厘米。求两块面积。 解析：相似三角形周长比也是对应边长比，故长度比为，面积比为。共份，每份平方厘米，面积分别为和平方厘米。 跟踪5 【模拟练习】 两个沙漏三角形周长之比为，面积之和为平方厘米。求两个三角形面积。 解析：面积比为，共份，每份平方厘米，两面积为和平方厘米。 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 沙漏对应边长之比为，面积之比是多少？ 解析：。 A2 【模拟练习】 两个相似三角形面积之比为，对应边长之比是多少？ 解析：。 B组 综合运用 B1 【模拟练习】 沙漏中厘米、厘米、厘米，求整条长。 解析：，，所以厘米。 B2 【模拟练习】 沙漏上三角形面积，上、下高为、，下三角形面积多少？ 解析：高比，面积比。下块面积。 B3 【模拟练习】 沙漏上下底为、，整条，求与。 解析：，两段分别为与。 B4 【模拟练习】 两个沙漏三角形面积分别为和平方厘米，求上、下对应边长之比。 解析：面积比是，对应长度之比为。 B5 【模拟练习】 沙漏模型上、下三角形面积之比为，下三角形的高是厘米。求两条平行底边之间的距离。 解析：对应高之比为，上高为厘米。两底间距是两高之和，为厘米。 C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 两条线段交于内部点，只知道，没有给。能否断定？ 解析：不能。没有平行条件，两个三角形不一定是按同一倍数放大的相似图形，仅有一组分段比不足以确定两底比。 C2 【模拟练习】 线段与交于内部点，已知、。与可能平行吗？ 解析：如果，沙漏两三角形相似，必有。题中与不相等，所以与不可能平行。 C3 【模拟练习】 如图，，两线段交于。已知厘米、厘米、厘米、厘米，求与的长度。 解析：对应长度比。厘米，故厘米；厘米，故厘米。 真题拓展 真题1 【真题改编】 矩形中，在下方，在上方。点在上方，线段分别与交于。图中三块阴影为、、，面积依次为。求矩形面积。 解析：过作，交于。四边形是平行四边形，，所以。以矩形高为共同的高，面积等于两侧阴影面积之和，即。小三角形与都与大三角形相似；两者面积比，对应高之比为。这两段高相加正好是大三角形的高，因此大三角形面积为。矩形面积等于大三角形减去顶部的，再加两侧的，即。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $平行与交点 确认两条底边平行 面积比例 对应长度比的平方 沙漏与相似面积 对应长度 底边、斜边和高按相同比例 整体与分段 分清一段与整条线null 第26讲 沙漏模型与相似面积 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 情境探路 两条相交的直线被上下两条平行线截住，形成一上一下两个尖顶相对的三角形，像一只沙漏。上图如果按固定倍数放大，正好能得到下图，长度跟着放大，而面积要同时考虑底和高各放大了一次。 知识梳理 沙漏模型约定，线段与交于内部点。两个三角形的对应角相等，可以按同一倍数放大或缩小，称为相似。 对应边和对应高成同样的比：。必须先把对应的端点配准。 面积要把底与高的两个倍数相乘。如果对应长度之比为，对应面积之比就是。面积比对应长度比，不能直接当作的长度比。 线段被交点分成两段时，要辨清题目问“一段”还是“整条”。平行条件缺少时，不能仅凭两个尖顶相对的外形使用比例。 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 沙漏模型中，，，厘米。求。 跟踪1 【模拟练习】 沙漏模型中，，，厘米，厘米。求与整条的长度。 例2 【模拟练习】 沙漏上、下两三角形面积之比为，上三角形的高为厘米，下三角形的高多少？ 跟踪2 【模拟练习】 沙漏模型上、下三角形面积比为。上三角形的高为厘米、面积为平方厘米。下三角形的高和面积各是多少？ 例3 【模拟练习】 沙漏上、下两三角形的高为、厘米，下底比上底长厘米。求两底。 跟踪3 【模拟练习】 同一构图，上、下高为、厘米，两底之和为厘米，求两底。 例4 【模拟练习】 沙漏上、下底长为、厘米，两底之间的距离为厘米。求两个三角形的高及面积。 跟踪4 【模拟练习】 沙漏模型中上、下底为厘米和厘米，两底间距为厘米。求梯形面积，以及除去上、下两个沙漏三角形后剩余的面积。 例5 【模拟练习】 沙漏中上、下三角形的周长分别为厘米和厘米，两三角形面积之和为平方厘米。求两块面积。 跟踪5 【模拟练习】 两个沙漏三角形周长之比为，面积之和为平方厘米。求两个三角形面积。 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 沙漏对应边长之比为，面积之比是多少？ A2 【模拟练习】 两个相似三角形面积之比为，对应边长之比是多少？ B组 综合运用 B1 【模拟练习】 沙漏中厘米、厘米、厘米，求整条长。 B2 【模拟练习】 沙漏上三角形面积，上、下高为、，下三角形面积多少？ B3 【模拟练习】 沙漏上下底为、，整条，求与。 B4 【模拟练习】 两个沙漏三角形面积分别为和平方厘米，求上、下对应边长之比。 B5 【模拟练习】 沙漏模型上、下三角形面积之比为，下三角形的高是厘米。求两条平行底边之间的距离。 C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 两条线段交于内部点，只知道，没有给。能否断定？ C2 【模拟练习】 线段与交于内部点，已知、。与可能平行吗？ C3 【模拟练习】 如图，，两线段交于。已知厘米、厘米、厘米、厘米，求与的长度。 真题拓展 真题1 【真题改编】 矩形中，在下方，在上方。点在上方，线段分别与交于。图中三块阴影为、、，面积依次为。求矩形面积。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $