思维拓展奥数 第二十九讲分类分步与有序无序计数（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学苏教版

第29讲 分类分步与有序无序计数 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 情境探路 选节目时只演一项，搭配服装时却要把上衣和裤子都选好。选两名代表不分先后，选队长与副队长则区分角色。题目里的“任选”“依次”“不能重复”“首位不能为零”，会直接改变计数方法。先把每种结果说清楚，再决定怎样计算。 知识梳理 分类完成一件事，每次只属于其中一类，各类方法数相加。分步完成一件事，各步都要做；若每一步选择数固定，方法数相乘。 不允许数字或人重复时，后一步的选项会减少。含数字的数位问题，还要单独检查首位不能为的限制。 有序与无序要分清：两名代表互换先后仍是同一组，而队长、副队长互换就不同。先按顺序选两人，再除以每组重复的次；选三人不分顺序，每组重复次。 方格路线可以把到某点的方法数写在该点，到达它的最后一步只能来自左边或下边。需要经过某点时，先到该点与从该点到终点两段相乘。 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 从甲到丙有条直达路，也可经乙转行；甲到乙条路，乙到丙条路。各条路不同，不走回头路，共有多少条路线？ 跟踪1 【模拟练习】 参加演出可以选件上衣中的一件与条裤子中的一条搭配，也可以直接选条连衣裙中的一条。共有多少种穿法？ 例2 【模拟练习】 用中互不相同的数字组成三位数，其中的倍数有多少个？ 跟踪2 【模拟练习】 用中的不同数字组成三位数，其中的倍数有多少个？ 例3 【模拟练习】 从人中选名代表，与选队长、副队长各人，分别有多少种？ 跟踪3 【模拟练习】 从名同学中选人做代表，其中甲、乙两人不能同时入选。共有多少种选法？ 例4 【模拟练习】 如左图，从左下角沿网格只向右或向上到，需向右格、向上格。若必须经过从向右格再向上格的点，有多少条路线？ 跟踪4 【模拟练习】 如右图，要向右格、向上格，必须经过从向右格再向上格的，有多少条？ 例5 【模拟练习】 如图，一个长方形被分成列、行小方格。沿格线能数出多少个不同的长方形？正方形也算长方形。 跟踪5 【模拟练习】 在例题的列、行方格中，沿格线共有多少个正方形？ 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 只参加一项活动，可选种独唱或种朗诵，共有多少种选择？ A2 【模拟练习】 四位数字密码允许重复，首位不能为，其余位置可为至，有多少种？ B组 综合运用 B1 【模拟练习】 名同学围圆桌坐，旋转后每人左右关系相同的算同一种，镜像算不同，共多少种坐法？ B2 【模拟练习】 从正方形的个顶点中任选个作三角形，有多少个不同三角形？ B3 【模拟练习】 从名男生和名女生中选男、女组成小组，女生不分先后，共多少种？ B4 【模拟练习】 用四个不同数字各一次组成四位偶数，共有多少个？ B5 【模拟练习】 从名同学中选人，甲、乙至少有一人入选。有多少种选法？ C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 用中的不同数字组成四位数，要求与不相邻，允许其中一个数字不出现，有多少个？ C2 【模拟练习】 人排成一行，甲、乙不能相邻。共有多少种排法？ C3 【模拟练习】 从方格图左下角到右上角，必须向右格、向上格，每步只能向右或向上。若不能经过从起点向右格再向上格的点，有多少条路线？ 真题拓展 真题1 【真题改编】 两条平行线上共有个不同的点，每条线上至少有一点。任取其中三点，能组成个不同三角形，求。 真题2 【真题改编】 独立投掷两枚均匀的六面骰子，每面依次标至。两个朝上点数都是质数的可能性是多少百分比？ 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $null分类与分步 分清互斥情况和连续步骤 数字与排列 注意零的位置和限制 分类与分步计数 顺序与选择 考虑是否重复计数 图形与路径 用选线或分段计算 第29讲 分类分步与有序无序计数 解析 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 从甲到丙有条直达路，也可经乙转行；甲到乙条路，乙到丙条路。各条路不同，不走回头路，共有多少条路线？ 解析：分直达与经乙两类，直达，经乙，合计条。 跟踪1 【模拟练习】 参加演出可以选件上衣中的一件与条裤子中的一条搭配，也可以直接选条连衣裙中的一条。共有多少种穿法？ 解析：上衣与裤子搭配有种，连衣裙有种，分两类共种。 例2 【模拟练习】 用中互不相同的数字组成三位数，其中的倍数有多少个？ 解析：末位为时，百位种、十位种，共；末位为时，百位不能为，有种，十位也有种，共。合计个。 跟踪2 【模拟练习】 用中的不同数字组成三位数，其中的倍数有多少个？ 解析：先找数字和是倍数的三数组：与各能组成个三位数；与各有个。共个。 例3 【模拟练习】 从人中选名代表，与选队长、副队长各人，分别有多少种？ 解析：区分角色有种；只选两代表时每组被重复次，有种。 跟踪3 【模拟练习】 从名同学中选人做代表，其中甲、乙两人不能同时入选。共有多少种选法？ 解析：不限制有种；甲乙同时入选时，第三人有种。符合条件的有种。 例4 【模拟练习】 如左图，从左下角沿网格只向右或向上到，需向右格、向上格。若必须经过从向右格再向上格的点，有多少条路线？ 解析：到有右上、上右两种；到要右行次、上行次，有种。两段相乘，共条。 跟踪4 【模拟练习】 如右图，要向右格、向上格，必须经过从向右格再向上格的，有多少条？ 解析：到的三步中选哪一步向右，有种；到的三步中选哪一步向上，也有种。共条。 例5 【模拟练习】 如图，一个长方形被分成列、行小方格。沿格线能数出多少个不同的长方形？正方形也算长方形。 解析：长方形由两条竖线和两条横线确定。条竖线选两条有种，条横线选两条有种，共个。 跟踪5 【模拟练习】 在例题的列、行方格中，沿格线共有多少个正方形？ 解析：边长为一格的有个；边长为两格的有个，共个。 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 只参加一项活动，可选种独唱或种朗诵，共有多少种选择？ 解析：种。 A2 【模拟练习】 四位数字密码允许重复，首位不能为，其余位置可为至，有多少种？ 解析：首位种，其余各种，共种。 B组 综合运用 B1 【模拟练习】 名同学围圆桌坐，旋转后每人左右关系相同的算同一种，镜像算不同，共多少种坐法？ 解析：固定其中一人以消去旋转重复，再排其他人，共种。 B2 【模拟练习】 从正方形的个顶点中任选个作三角形，有多少个不同三角形？ 解析：只需决定遗漏哪一个顶点，共种；任意三个顶点都不共线。 B3 【模拟练习】 从名男生和名女生中选男、女组成小组，女生不分先后，共多少种？ 解析：男生种，女生有种，共种。 B4 【模拟练习】 用四个不同数字各一次组成四位偶数，共有多少个？ 解析：末位是时有个；末位是时，首位可选或，中间两位有种，共个。合计个。 B5 【模拟练习】 从名同学中选人，甲、乙至少有一人入选。有多少种选法？ 解析：全部选法为种；甲、乙都不选有种，故有种。 C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 用中的不同数字组成四位数，要求与不相邻，允许其中一个数字不出现，有多少个？ 解析：全部四位数个。相邻的看成或一块，另取两个数字：取时有个；取或时，各有个，扣去以开头。相邻共个，不相邻个。 C2 【模拟练习】 人排成一行，甲、乙不能相邻。共有多少种排法？ 解析：全部有种；把甲乙捆成一组，相邻的有种，故不相邻有种。 C3 【模拟练习】 从方格图左下角到右上角，必须向右格、向上格，每步只能向右或向上。若不能经过从起点向右格再向上格的点，有多少条路线？ 解析：全部路线是在步中选步向右，共条。经过指定点的路线为条，故不经过的有条。 真题拓展 真题1 【真题改编】 两条平行线上共有个不同的点，每条线上至少有一点。任取其中三点，能组成个不同三角形，求。 解析：设两线上点数为且。若，至少各有点，三角形不少于，太多。只查：若，需，相邻乘积和之间没有解；若，三角形共，得；若，共，即，介于和之间，无解；若，共为偶数，不可能为。所以只有两线各点、点，。 真题2 【真题改编】 独立投掷两枚均匀的六面骰子，每面依次标至。两个朝上点数都是质数的可能性是多少百分比？ 解析：每枚骰子的质数面为，有种。按第一枚与第二枚区分顺序，总结果种，都为质数有种，可能性。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $