思维拓展奥数 第二十八讲立体图形综合（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学苏教版

体积与表面积 区分底面、侧面和单位 切割与拼接 找出新增或隐藏的面 立体图形综合 圆柱与圆锥 等底等高的体积关系 排水与变形 水的体积及物体体积不变 第28讲 立体图形综合 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 情境探路 同样的圆形底面，可以做成圆柱杯，也可以做成圆锥容器。把石块浸入水中，水面会上升；把实心物体切开，体积没有改变，但外露表面会增加。解答立体题，要先说清“内部占多大空间”与“外面要包多少材料”。本讲圆周率取。 知识梳理 长方体体积为，正方体体积为；圆柱体积为，圆锥体积为。圆柱与圆锥等底等高时，体积比为。 封闭圆柱的表面积是两底加侧面：。无盖容器只算实际存在的底面；计算容积要用内部尺寸。 没有材料损耗的切割不改变体积，每切开一刀会出现两个新面。拼接后，两个完全贴合的面都不再露在外面。 物体完全浸没且没有溢水时，水面升高部分的体积等于物体体积。若还没有浸没，不能把整个物体体积都用来计算排水量；中空孔的内壁也属于外露表面。 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 封闭圆柱半径厘米、高厘米，求体积和表面积。 跟踪1 【模拟练习】 制作一个无底无盖的圆柱形纸筒，底面直径厘米、高厘米。接缝忽略不计，需要多少平方厘米的纸？（圆周率取） 例2 【模拟练习】 圆锥底面半径厘米、高厘米，体积是多少？ 跟踪2 【模拟练习】 圆柱底面积平方厘米、高厘米。另一个圆锥与它等底、体积相等，圆锥高多少？ 例3 【模拟练习】 棱长厘米的正方体切成个相同的棱长厘米小正方体，表面积总和比原来增加多少？ 跟踪3 【模拟练习】 一个长方体长厘米、宽厘米、高厘米，沿垂直于长边的平面切成三段。表面积总和增加多少？ 例4 【模拟练习】 容器底面积平方厘米，水深厘米。把体积立方厘米的石块完全浸没，且水未溢出，水深变为多少？ 跟踪4 【模拟练习】 容器底面积平方厘米、高厘米，原水深厘米。放入半径厘米、高厘米的实心圆柱，使它直立在底部并完全浸没。水深多少？ 例5 【模拟练习】 如图，把一块长厘米、宽厘米、高厘米的长方体橡皮泥捏成底面积平方厘米的新长方体。捏制中体积不变，新长方体高多少？ 跟踪5 【模拟练习】 将立方厘米的水倒入底面长厘米、宽厘米的空长方体容器。水深多少厘米？ 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 长方体底面积平方厘米，高厘米，体积多少？ A2 【模拟练习】 圆柱体积立方厘米，与它等底等高的圆锥体积多少？ B组 综合运用 B1 【模拟练习】 无盖圆柱形笔筒，内部半径厘米、高厘米，忽略壁厚，做筒底和侧面需多少平方厘米材料？ B2 【模拟练习】 棱长厘米的正方体，沿平行于一个面的平面切一刀，表面积总和增加多少？ B3 【模拟练习】 一圆柱体积不变，底面半径变成原来的倍，高应变为原来的几分之几？ B4 【模拟练习】 一个无盖长方体盒子内部长厘米、宽厘米、高厘米。忽略材料厚度，做盒子至少需要多少平方厘米的材料？ B5 【模拟练习】 将一个正方体的六个面都涂色，再切成每条棱各分成段的相同小正方体。恰有两个面涂色的小正方体有多少个？ C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 圆柱容器足够高、不会溢水，底面积平方厘米，放入一个底面积平方厘米、高厘米的长方体铁块并直立。以恒定流量注水分钟，水面升至铁块顶端。再注水分钟，水面会比铁块顶端高多少？ C2 【模拟练习】 底面积平方厘米的直筒容器中水深厘米。放入一个底面积平方厘米、高厘米的长方体铁块，竖直放在容器底部，水不溢出。求水深。 C3 【模拟练习】 一个横截面处处相同的长方体木料被垂直于长度方向切成三段，三段的表面积总和比原来增加平方厘米。木料长厘米，求原体积。 真题拓展 真题1 【真题改编】 高厘米的长方体容器内有一个直立的长方体铁块，铁块高厘米、底面积平方厘米。开始时容器内没有水，以恒定流量注水，分钟水面恰到铁块顶端，再过分钟注满。求容器底面积。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 第28讲 立体图形综合 解析 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 封闭圆柱半径厘米、高厘米，求体积和表面积。 解析：体积立方厘米；表面积平方厘米。 跟踪1 【模拟练习】 制作一个无底无盖的圆柱形纸筒，底面直径厘米、高厘米。接缝忽略不计，需要多少平方厘米的纸？（圆周率取） 解析：纸筒只有侧面，侧面积为平方厘米。 例2 【模拟练习】 圆锥底面半径厘米、高厘米，体积是多少？ 解析：体积立方厘米。 跟踪2 【模拟练习】 圆柱底面积平方厘米、高厘米。另一个圆锥与它等底、体积相等，圆锥高多少？ 解析：圆柱体积。圆锥高厘米，是圆柱高的倍。 例3 【模拟练习】 棱长厘米的正方体切成个相同的棱长厘米小正方体，表面积总和比原来增加多少？ 解析：原表面积，小正方体表面积和，增加平方厘米。 跟踪3 【模拟练习】 一个长方体长厘米、宽厘米、高厘米，沿垂直于长边的平面切成三段。表面积总和增加多少？ 解析：切两刀产生四个新面，每个新面面积为平方厘米，共增加平方厘米。 例4 【模拟练习】 容器底面积平方厘米，水深厘米。把体积立方厘米的石块完全浸没，且水未溢出，水深变为多少？ 解析：水面上升厘米，水深变为厘米。 跟踪4 【模拟练习】 容器底面积平方厘米、高厘米，原水深厘米。放入半径厘米、高厘米的实心圆柱，使它直立在底部并完全浸没。水深多少？ 解析：物体体积，水升厘米，水深厘米，低于容器高且高于圆柱顶，符合不溢水与浸没条件。 例5 【模拟练习】 如图，把一块长厘米、宽厘米、高厘米的长方体橡皮泥捏成底面积平方厘米的新长方体。捏制中体积不变，新长方体高多少？ 解析：原体积为立方厘米，新高为厘米。 跟踪5 【模拟练习】 将立方厘米的水倒入底面长厘米、宽厘米的空长方体容器。水深多少厘米？ 解析：底面积为平方厘米，水深厘米。 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 长方体底面积平方厘米，高厘米，体积多少？ 解析：立方厘米。 A2 【模拟练习】 圆柱体积立方厘米，与它等底等高的圆锥体积多少？ 解析：立方厘米。 B组 综合运用 B1 【模拟练习】 无盖圆柱形笔筒，内部半径厘米、高厘米，忽略壁厚，做筒底和侧面需多少平方厘米材料？ 解析：只算一个底面和侧面，平方厘米。 B2 【模拟练习】 棱长厘米的正方体，沿平行于一个面的平面切一刀，表面积总和增加多少？ 解析：两个新面各为，共增加平方厘米。 B3 【模拟练习】 一圆柱体积不变，底面半径变成原来的倍，高应变为原来的几分之几？ 解析：底面积变成倍，高应缩为。 B4 【模拟练习】 一个无盖长方体盒子内部长厘米、宽厘米、高厘米。忽略材料厚度，做盒子至少需要多少平方厘米的材料？ 解析：材料面积等于一个底面加四个侧面：平方厘米。 B5 【模拟练习】 将一个正方体的六个面都涂色，再切成每条棱各分成段的相同小正方体。恰有两个面涂色的小正方体有多少个？ 解析：恰有两个面涂色的小正方体位于大正方体各棱上且不是顶点。每条棱有个，共个。 C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 圆柱容器足够高、不会溢水，底面积平方厘米，放入一个底面积平方厘米、高厘米的长方体铁块并直立。以恒定流量注水分钟，水面升至铁块顶端。再注水分钟，水面会比铁块顶端高多少？ 解析：前分钟注入立方厘米，流量每分钟。再分钟注水，此时整底面都能容水，高出厘米。 C2 【模拟练习】 底面积平方厘米的直筒容器中水深厘米。放入一个底面积平方厘米、高厘米的长方体铁块，竖直放在容器底部，水不溢出。求水深。 解析：若水面低于铁块顶部，容水的水平截面积为平方厘米。水体积为立方厘米，水深厘米，小于厘米，假设成立。 C3 【模拟练习】 一个横截面处处相同的长方体木料被垂直于长度方向切成三段，三段的表面积总和比原来增加平方厘米。木料长厘米，求原体积。 解析：两刀产生个相同的新面，每个截面积为平方厘米。原体积为立方厘米。 真题拓展 真题1 【真题改编】 高厘米的长方体容器内有一个直立的长方体铁块，铁块高厘米、底面积平方厘米。开始时容器内没有水，以恒定流量注水，分钟水面恰到铁块顶端，再过分钟注满。求容器底面积。 解析：铁块顶端以上，分钟水升厘米，同样水量每分钟相当于在整个容器底面上升厘米。最初分钟却在铁块旁的空隙内上升厘米，因此空隙底面积是整个底面的。铁块底面积占其余，所以容器底面积平方厘米。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $