第五单元 圆-思维拓展（导图知识卡片+知识梳理+16个考点讲练+12个奥数拓展+真题难度分层演练 共76题）2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图系统构建“圆”单元知识体系，知识梳理部分以框架图呈现圆的认识、周长、面积及扇形四大知识点，明确圆心、半径等概念及公式推导过程，突出方中圆、圆中方等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，16个高频考点讲练涵盖画圆、组合图形周长面积等基础题型，12个奥数拓展如“转化法求阴影面积”培养推理能力与几何直观，真题演练分基础通关和能力提升，助力不同学生发展，为教师精准教学提供系统支持。

2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 第五单元 圆『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+16个考点讲练+12个奥数拓展+真题难度分层演练 共76题） 同学你好，该份讲义用于苏教版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏教版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 知识点一 圆的认识 3 知识点二 圆的周长 4 知识点三 圆的面积 4 知识点四 扇形 5 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 圆的概念及特点 5 高频考点二 画圆 6 高频考点三 与圆相关的轴对称图形 8 高频考点四 弧、圆心角、扇形的认识 10 高频考点五 圆的周长 12 高频考点六 半圆的周长 13 高频考点七 圆的周长的应用 14 高频考点八 圆的面积 15 高频考点九 圆的面积的应用 16 高频考点十 圆环的面积 18 高频考点十一 求最大面积 19 高频考点十二 含圆的组合图形的周长 20 高频考点十三 含圆的组合图形的面积 22 高频考点十四 方中圆和圆中方的面积问题 23 高频考点十五 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 24 高频考点十六 扇形的周长和面积 26 难点突破 奥数拓展 27 奥数拓展一 画圆 27 奥数拓展二 弧、圆心角、扇形的认识 30 奥数拓展三 圆的周长 32 奥数拓展四 圆的周长的应用 34 奥数拓展五 圆的面积 35 奥数拓展六 圆的面积的应用 37 奥数拓展七 圆环的面积 39 奥数拓展八 含圆的组合图形的周长 41 奥数拓展九 含圆的组合图形的面积 43 奥数拓展十 方中圆和圆中方的面积问题 44 奥数拓展十一 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 46 奥数拓展十二 扇形的周长和面积 49 优选真题 实战演练 50 【基础通关】 50 【能力提升】 56 知识点一 圆的认识 1． 圆的定义:一条线段绕一个端点旋转360度，另一个端点形成的图形叫圆。 2．圆心 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3．半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 半径一般用字母r表示，如图中的线段OA。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。如图中的线段BC。 6.轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 7.圆的对称轴:直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 知识点二 圆的周长 1．圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2．圆周率:圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数，我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示，圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，π一般取3.14，世界上第一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数学家祖冲之。 3．圆的周长公式。 或 圆周长=π×直径，圆周长=π×半径×2 知识点三 圆的面积 1. 圆的面积:圆所占面积的大小叫圆的面积。 2．圆的面积公式:或者或者 3.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 4.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 5.一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是 或。（其中R＝r＋环的宽度） 6．半圆周长＝圆的周长的一半＋半径×2 公式为： 半圆面积＝圆的面积÷2 公式为： 7．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。 8．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 9．当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 知识点四 扇形 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。 高频考点一 圆的概念及特点 【典例精讲】（2026·辽宁沈阳·小升初真题）一个圆的直径是6cm，以该圆的直径为三角形的底，三角形的顶点在圆周上运动，这个三角形的面积最大是（    ）cm2。 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【思路引导】已知三角形的底是圆的直径，长度固定。根据三角形面积公式，要使面积最大，高必须最大。当三角形的顶点在圆周上运动时，顶点到底边（直径）的最大距离等于圆的半径。据此求出最大高，再计算面积即可。 【规范解答】三角形的底等于圆的直径，即底为。 要使三角形面积最大，高应最大。 当顶点位于垂直于直径的半径端点时，高最大，最大高等于圆的半径。 圆的半径： 三角形最大面积： 【变式训练】（25-26六年级下·山西吕梁·期末）在一张长30厘米、宽14厘米的长方形纸上，若剪下一个最大的正方形，则这个正方形边长是( )厘米；若剪下一个最大的圆，则这个圆的半径是( )厘米，最多可以剪下( )个这样的圆。 【答案】 14 7 2 【思路引导】在长方形中剪下一个最大的正方形，最大正方形的边长等于长方形的宽； 在长方形中剪下一个最大的圆，最大圆的直径等于长方形的宽，再除以2即为最大圆的半径； 分别用长方形纸的长和宽除以直径求出长方向和宽方向可以剪下的圆的个数，将整数结果相乘即可得到最多剪下的圆的个数。 【规范解答】长方形纸宽14厘米，所以剪下的最大正方形边长是14厘米； 14÷2＝7（厘米），最大圆的半径是7厘米； 30÷14＝2（个）……2（厘米） 14÷14＝1（个） 2×1＝2（个），最多可以剪下2个这样的圆。 高频考点二 画圆 【典例精讲】（25-26六年级上·内蒙古兴安·期末）请你利用圆规、直尺、铅笔等工具，完成以下任务并回答问题。 (1)画一个半径为2厘米的圆，并用字母标出圆心（O）、一条半径（r）和一条直径（d）。以这个圆的圆心为中心点，再画一个直径为2厘米的同心圆。 (2)观察你画出的两个圆，计算出两个圆之间的环形的面积。 (3)请你说一说，在画圆的过程中，如何保证画出来的圆是标准的？ 【答案】(1) (2)9.42平方厘米 (3)画圆时，先确定圆心的位置，再确定半径的长短，保证圆心的位置和半径的长短不变，这样才能画出标准的圆。（答案不唯一） 【思路引导】（1）圆规两脚之间的距离就是圆的半径，以点O为圆心，圆规两脚之间的距离为2厘米画圆；连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径，用字母r表示；2×2＝4（厘米），通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径，用字母d表示；最后以点O为圆心，半径为2÷2＝1厘米画出同心圆； （2）先求出小圆的半径，再根据“”求出环形的面积； （3）画圆时，圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小，画圆的过程中不能移动圆心的位置，并且保持圆规两脚之间的距离不变。 【规范解答】（1）作图略。 （2）2÷2＝1（厘米） 3.14×（22－12） ＝3.14×（4－1） ＝3.14×3 ＝9.42（平方厘米） 环形的面积是9.42平方厘米。 【变式训练】（25-26六年级上·河南安阳·期末）按要求在下边方格纸上画图，其中每个小方格的边长为1cm。 (1)画一个长和宽的和是15cm，且长和宽的比是3∶2的长方形。 (2)在你画的长方形中画一个最大的圆，再在圆中画一个圆心角是120°的扇形。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路引导】（1）将长看作3份，宽看作2份，相加求出总份数；每一份的长度＝长和宽的总长÷总份数；长＝每一份的长度×长的份数，宽＝每一份的长度×宽的份数；据此在方格纸上画出符合要求的长方形。 （2）长方形中最大的圆的直径与长方形的宽相等，圆的半径＝宽÷2。画圆：将圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；将有针尖的一端固定在一点（即圆心）；再将装有铅笔尖的一只脚旋转一周，即可画出所需要的圆。选取所画圆中的任意一条半径作为圆心角的一条边，以圆心为角的顶点，用量角器画出120°的角，角的另一条边为圆的另一条半径，最后标出圆心角。 【规范解答】（1）15÷（3＋2） ＝15÷5 ＝3（cm） 3×3＝9（cm） 3×2＝6（cm） 所以所画长方形的长为9cm、宽为6cm，如下图所示； （2）在长方形内画最大的圆，并在圆中画一个圆心角是120°的扇形，如下图所示（画图不唯一）： 高频考点三 与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】（24-25六年级上·安徽亳州·期末）图形的世界丰富多彩，充满着奇妙与趣味。如下图，它有( )条对称轴；大圆的半径是( )厘米，大圆的周长是( )厘米，小圆的面积是( )平方厘米。 【答案】 1 2 12.56 3.14 【思路引导】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴；根据题图可知，大圆的直径为长方形的宽，即大圆的直径为4厘米，则半径为厘米，根据圆的周长公式：求出大圆的周长；小圆的直径等于长方形的长减去长方形的宽，则直径是厘米，半径是厘米；根据圆的面积公式：算出小圆的面积即可。 【规范解答】 它有1条对称轴； 大圆的半径：（厘米） 大圆的周长：（厘米） 小圆的半径： （厘米） 小圆的面积：（平方厘米） 所以它有1条对称轴；大圆的半径是2厘米，大圆的周长是12.56厘米，小圆的面积是3.14平方厘米。 【变式训练】（2025六年级下·辽宁·专题练习）下列说法中，正确的有（    ）。 ①圆内最长的线段是直径。②水结成冰时，冰的体积比水的体积增加，冰化成水时，冰的体积减少。③大小不同的圆，大圆的圆周率大，小圆的圆周率小。④大小不等的两个圆组成的图形最多有2条对称轴。⑤如果、都不为0，如果，那么。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。所有两端都在圆上的线段中，直径最长； 水结成冰，是以水的体积为单位“1”，体积增加，水的体积是11份，那么冰的体积是11＋1＝12份，冰化成水，是以冰为单位“1”，用减少的份数除以总份数即可； 任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数， 我们把它叫做圆周率，用字母π表示，是一个无限不循环小数； 在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴； 根据“积一定，一个因数越小另一个因数就越大”解答；据此分别判断各个说法即可。 【规范解答】①圆内最长的线段是直径。说法正确； ②11＋1＝12 （12－11）÷12 ＝1÷12 ＝ 水结成冰时，冰的体积比水的体积增加，冰化成水时，冰的体积减少。原说法错误； ③大小不同的圆，圆周率都一样。原说法错误； ④如图所示： 无数条对称轴，2条对称轴，1条对称轴，则大小不等的两个圆组成的图形最多有无数条对称轴。原说法错误； ⑤a×＝b× ，则，即a＜b。原说法正确； 说法正确的有①、⑤共2个。 故答案为：B 高频考点四 弧、圆心角、扇形的认识 【典例精讲】（25-26六年级上·山西忻州·期末）下图中，每个方格的边长表示1厘米。 (1)以点（4，8）为圆心画一个直径4厘米的圆。 (2)在这个圆中画一个圆心角为90度的扇形，并用阴影表示出这个扇形。 (3)这个扇形的面积是( )平方厘米。 (4)以点（11，3）为圆心，画一个半径为3厘米的半圆，并画出它的对称轴。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)3.14 (4)见详解 【思路引导】（1）点（4，8）在第4列第8行，4厘米是4个方格的边长，直径是4厘米，以这个点为圆心，2厘米为半径画圆； （2）圆内互相垂直的直径把圆分成4个圆心角为90度的扇形，所以圆心就是圆心角顶点，顶点处方格的两条边成90度，就是圆心角的大小，据此用阴影表示出扇形（答案不唯一）； （3）扇形面积是圆的面积的，半径是2厘米，S＝πr2，据此计算； （4）点（11，3）在第11列第3行，半径是3个方格的边长，据此画出半圆，与半圆的直径垂直的半径所在的直线是它的对称轴，对称轴有且只有1条，据此画图（答案不唯一）。 【规范解答】（1） （2） （3）3.14×（4÷2）2× ＝3.14×22× ＝3.14×4× ＝3.14（平方厘米） （4） 【变式训练】（25-26六年级上·山东菏泽·期末）下面说法中正确的有（    ）个。 ①以圆为弧的扇形对应的圆心角是90°。 ②一个比的前项乘3，后项除以，这个比的比值不变。 ③学生参加课外活动的出勤率和产品销售的增长率都可以大于100%。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路引导】①整个圆的圆心角是360°，求圆为弧的扇形对应的圆心角，就是求360°的是多少，用乘法计算。 ②比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。一个数除以一个分数等于乘这个分数的倒数。 ③出勤率是指出勤人数占总人数的百分比；增长率是指增长的部分占原来的百分比。 据此分析每个选项是否正确。 【规范解答】①360°×＝90°，因此以圆为弧的扇形对应的圆心角是90°，说法正确。 ②比的前项乘3，后项除以，相当于后项乘3，比的前项和后项同时乘3，比值不变，说法正确。 ③出勤人数最多等于总人数，所以出勤率最大是100%，不能大于100%；而增长的部分超过原来的数量，增长率就会大于100%，说法错误。 因此，正确的是①②，有2个。 高频考点五 圆的周长 【典例精讲】（25-26六年级下·辽宁营口·期末）求图中阴影部分的周长和面积。（单位：cm） 【答案】周长是75.36cm；面积是226.08 【思路引导】圆的周长，阴影部分的周长等于直径为12cm的圆的周长加上半径为12cm的圆周长的一半，即相当于半径为12cm的圆的周长。 圆的面积，把右边突出的半圆填补到左边的空缺处，阴影部分的面积等于半径为12cm的圆面积的一半。 【规范解答】2×3.14×12＝75.36（cm） 所以阴影部分的周长是75.36cm。 （） 所以阴影部分的面积是226.08。 【变式训练】．（25-26六年级下·江苏南通·期末）把一个半径2厘米的圆平均分成若干份，剪拼成一个近似的长方形，周长比原来多了( )厘米，这个近似长方形的面积是( )平方厘米。 【答案】 4 12.56 【思路引导】把圆剪拼成近似的长方形，周长多了2条半径，长方形的面积＝圆的面积，圆的面积＝圆周率×半径的平方。 【规范解答】2×2＝4（厘米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 高频考点六 半圆的周长 【典例精讲】（24-25六年级下·江西吉安·期末）一个半圆形纸片的周长是10.28分米，它的面积是_________平方分米。 【答案】6.28 【思路引导】半圆的周长包含圆周长的一半和一条直径的长度，C＝πr＋2r＝（π＋2）r，用半圆的周长除以（π＋2），求出这个半圆的半径，再根据圆的面积公式计算即可。 【规范解答】圆的半径： 10.28÷（3.14＋2） ＝10.28÷5.14 ＝2（分米） 圆的面积： 3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（平方分米） 【变式训练】（25-26六年级下·甘肃平凉·期末）动物园要修一个半圆形的孔雀活动区（不靠墙），活动区半径为8米，在活动区外侧安装一圈防护栏。防护栏的长度是多少米？ 【答案】41.12米 【思路引导】防护栏长度是半圆形活动区的周长，包含半圆弧长度和一条直径，先利用圆周长公式C＝2πr，π取3.14，求出圆的周长，再除以2求出半圆弧长，再加上直径长度求出总长度。 【规范解答】半圆弧长：2×3.14×8÷2 ＝6.28×8÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（米） 直径：8×2＝16（米） 总长：25.12＋16＝41.12（米） 答：防护栏长度是41.12米。 高频考点七 圆的周长的应用 【典例精讲】（25-26六年级下·山东济宁·期末）把一个圆沿它的半径平均分成若干份后，拼成了一个近似的长方形，长方形周长比圆的周长增加10cm，这个圆的面积是( )。 【答案】78.5 【思路引导】把一个圆拼成一个近似的长方形后，周长增加了两条半径的长度，则用即可求出这个圆的半径，再根据，求出面积即可。 【规范解答】 所以把一个圆沿它的半径平均分成若干份后，拼成了一个近似的长方形，长方形周长比圆的周长增加10cm，这个圆的面积是。 【变式训练】（25-26六年级下·广东佛山·期末）江海区郊外修建半径为125m圆形生态防护林带，圆形防护林带的总长是( )米，沿边缘每隔5米栽一棵松树，一共能栽( )棵。（π取3.14） 【答案】 785 157 【思路引导】已知圆的半径，根据公式C＝2πr可求出周长（即防护林带总长）。在封闭路线上植树，棵数等于间隔数，用总长除以间隔长度即可求出棵数。 【规范解答】防护林带的总长： 2×3.14×125 ＝6.28×125 ＝785（米） 一共能栽松树的棵数： 785÷5＝157（棵） 高频考点八 圆的面积 【典例精讲】（25-26六年级下·内蒙古乌兰察布·期末）求下面涂色部分的面积。 【答案】45.87平方厘米 【思路引导】图形构成：整体是直角梯形，空白部分为直径6厘米的半圆，涂色面积＝梯形面积−半圆面积。 半圆的面积：（为半径） 【规范解答】 （平方厘米） 【变式训练】（24-25六年级下·福建龙岩·期末）如图所示，平行四边形ABCD的面积是100平方厘米。阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】14.25 【思路引导】根据图可知，平行四边形的底等于圆的直径，高等于圆的半径；根据平行四边形的面积＝底×高，即直径×半径＝2×半径2，进而求出半径2；根据圆的面积＝πr2，据此求出圆的面积；三角形AOB的面积＝半径×半径÷2，据此求出三角形AOB的面积；阴影部分面积＝圆的面积的－三角形AOB的面积。 【规范解答】半径×半径＝100÷2＝50（平方厘米） 三角形面积；50÷2＝25（平方厘米） 3.14×50×－25 ＝157×－25 ＝39.25－25 ＝14.25（平方厘米） 高频考点九 圆的面积的应用 【典例精讲】（25-26六年级下·山东枣庄·期末）下面甲、乙两图中的两个圆的直径都是10cm，两图中涂色部分的面积相比，( )图的面积较大，大( )cm2。（π取3.14） 【答案】 乙 7 【思路引导】由图可知，甲图的涂色面积＝正方形面积－圆的面积，乙图的涂色面积＝圆的面积－正方形的面积；甲图是外方内圆，圆的直径等于正方形边长；乙图是外圆内方，圆的直径等于正方形对角线，乙图中正方形的面积可以看成两个底为10cm，高为（10÷2）cm的三角形面积之和。根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2，三角形面积＝底×高÷2，据此分别计算甲乙的涂色部分面积，再比较大小解答。 【规范解答】甲图涂色部分的面积是：102－3.14×（10÷2）2 ＝100－3.14×52 ＝100－3.14×25 ＝100－78.5 ＝21.5（cm2） 乙图涂色部分的面积是：3.14×（10÷2）2－10×（10÷2）÷2×2 ＝3.14×52－10×5÷2×2 ＝3.14×25－50÷2×2 ＝78.5－25×2 ＝78.5－50 ＝28.5（cm2） 21.5＜28.5 28.5－21.5＝7（cm2） 所以乙图的面积较大，大7cm2。 【变式训练】（2025·湖南长沙·小升初真题）一个羊圈依墙而建，成半圆形，半径是5米。 (1)修这个羊圈需要多长的栅栏？ (2)如果要扩建这个羊圈。把它的半径增加1米。羊圈的面积增加了多少？ 【答案】(1)15.7米 (2)17.27平方米 【思路引导】（1）栅栏的长度等于圆周长的一半；根据圆的周长C＝2πr算出圆的周长，再除以2即可。 （2）扩建后羊圈的半径是6米，根据圆的面积S＝πr2，算出扩建后羊圈面积的一半与原来羊圈面积的一半，求出它们的差即可。 【规范解答】（1）2×3.14×5÷2＝15.7（米） 答：修这个羊圈需要15.7米的栅栏。 （2）5＋1＝6（米） 3.14×62÷2－3.14×52÷2 ＝3.14×36÷2－3.14×25÷2 ＝56.52－39.25 ＝17.27（平方米） 答：羊圈的面积增加了17.27平方米。 高频考点十 圆环的面积 【典例精讲】（25-26六年级下·河南安阳·期末）美术社团制作的毕业手抄报中画了一个圆环图案（如图）：大圆直径是小圆直径的2倍，其中涂色部分的面积是16。这个圆环的面积是（    ）。 A．64π B．48π C．32π D．16π 【答案】D 【思路引导】涂色部分是由大正方形面积减去小正方形面积得到的。大正方形的边长等于大圆的半径，小正方形的边长等于小圆的半径。已知大圆直径是小圆直径的2倍，那么大圆半径＝小圆半径的2倍。大正方形的面积就是大圆半径×大圆半径＝大圆半径2，小正方形的面积就是小圆半径×小圆半径＝小圆半径2。因为涂色部分的面积是16cm2，也就是大正方形面积减去小正方形面积等于16，即大圆半径2－小圆半径2＝16cm2，根据圆环的面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2）解答。 【规范解答】π×16＝16π（cm2） 这个圆环的面积是16πcm2。 【变式训练】（24-25六年级下·四川德阳·期末）雒雒住的小区环境优美，绿树成荫。小区中央有一个直径10米的圆形花坛，沿着花坛一周修了一条宽1米的石子小路。 (1)石子小路的面积是多少？ (2)花坛里面按照2∶3∶5的比例分别种了月季花、天竺葵、绣球花，天竺葵的种植面积是多少？ 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【思路引导】（1）石子小路是圆环，圆环面积＝外圆面积－内圆花坛面积；先算花坛半径，小路宽1米，外圆半径＝花坛半径＋1，再套圆面积公式计算； （2）先算出花坛总面积，按2∶3∶5分配，先求总份数，天竺葵占3份，用花坛面积乘对应分率得到种植面积。 【规范解答】（1）花坛半径：10÷2＝5（米） 外圆半径：5＋1＝6（米） 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方米） 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方米） 113.04－78.5＝34.54（平方米） 答：石子小路的面积是34.54平方米。 （2）总份数：2＋3＋5＝10 （平方米） 答：天竺葵的种植面积是23.55平方米。 高频考点十一 求最大面积 【典例精讲】（25-26六年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在下面这张长方形纸上画一个最大的圆，再计算如果把这个圆剪下来，剩余纸的面积是多少平方厘米？ 【答案】20.375平方厘米 【思路引导】从长方形中剪最大的圆，圆的直径就是长方形的宽。同一圆内，直径是半径的2倍，据此算出半径。剩余部分的面积＝长方形面积－圆的面积，长方形面积＝长×宽，圆的面积S＝πr2，据此列式解答。 【规范解答】5÷2＝2.5（厘米） 8×5－3.14×2.52 ＝40－3.14×6.25 ＝40－19.625 ＝20.375（平方厘米） 答：剩余纸的面积是20.375平方厘米。 【变式训练】在下面的长方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是( )cm2。 【答案】78.5 【思路引导】根据题意，在长方形纸上剪下一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽；根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据，即可解答。 【规范解答】3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（cm2） 【考点剖析】本题考查圆的面积公式的应用，关键是明确在长方形纸上剪下一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 高频考点十二 含圆的组合图形的周长 【典例精讲】（25-26六年级下·河北唐山·期末）同学们和体育老师筹备运动会。下图是一圈400米的标准跑道，数据如图所示，为保证第2道同学和第1道的同学跑的路程同样长，第2道同学的起跑线应该往前移多少米？ 【答案】9.42米 【思路引导】观察图片可知：跑道左右两边的半圆合起来是一个整圆，第一跑道的长度包括半径为36.3米的圆的周长和2条长度为85.96米的直跑道，第二跑道的长度包括半径为（36.3＋1.5）米的圆的周长和2条长度为85.96米的直跑道，那么第2道同学和第1道的同学跑的路程之差就是两个圆的周长之差，根据圆的周长＝2πr，分别代入数据求出两个圆的周长，再把它们相减，即可求出第2道同学的起跑线应该往前移多少米。 【规范解答】2×3.14×（36.3＋1.5）－2×3.14×36.3 ＝2×3.14×（36.3＋1.5－36.3） ＝2×3.14×1.5 ＝9.42（米） 答：第2道同学的起跑线应该往前移9.42米。 【变式训练】（25-26六年级上·全国·单元测试）求阴影部分的周长。     【答案】3.14×（3＋3）＝18.84（cm） 【思路引导】由图可知，阴影部分的周长等于小圆的周长加大圆周长的一半，根据圆的周长公式，即，分别求出小圆的周长和大圆周长的一半，再相加即可。 【规范解答】3.14×3＋3.14×3 ＝3.14×（3＋3） ＝3.14×6 ＝18.84（cm） 阴影部分的周长是18.84cm。 高频考点十三 含圆的组合图形的面积 【典例精讲】（25-26六年级下·湖北孝感·学业考试真题）求阴影部分的面积。 【答案】 【思路引导】根据图形可知，阴影部分的面积＝一个圆的面积的＋一个直角三角形的面积。根据圆的面积＝和直角三角形的面积＝两个直角边相乘除以2。 【规范解答】 则阴影部分的面积是 【变式训练】（24-25六年级下·重庆万州·期末）求阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】32.5 【思路引导】 如图，将右侧弓形阴影割下，平移补到左侧半圆空白弓形处，此时阴影部分组成一个上底为5cm，下底为8cm，高为5cm的梯形，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据即可求解。 【规范解答】（5＋8）×5÷2 ＝13×5÷2 ＝65÷2 ＝32.5（） 高频考点十四 方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（25-26六年级上·河北邢台·期末）2026年马年春节是2月17日，小薇和同学们准备剪窗花。小薇先用边长是28厘米的正方形纸张裁剪出一个最大的圆形纸片（如图所示），剪出圆形纸片后，正方形纸剩余部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】168.56平方厘米 【思路引导】解答这道题需明确：正方形的面积＝边长×边长；圆的面积。在正方形里面画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。题目中已知小薇先用边长是28厘米的正方形纸张裁剪出一个最大的圆形纸片，则圆的直径为28厘米，利用求出圆的半径后求出圆的面积。求出正方形面积后，用正方形面积减去圆的面积即可。 【规范解答】求圆的面积： （厘米） （平方厘米） 求正方形面积： （平方厘米） 求剩余部分面积： （平方厘米） 答：正方形纸剩余部分的面积是168.56平方厘米。 【变式训练】（24-25六年级上·福建泉州·期末）《周髀算经》是中国古老的数学著作之一，其中有一条最基本而重要的准则——规矩方圆之道。“圆方图”是外圆内方，“方圆图”是外方内圆。下图中，两个圆周长都是31.4cm，则①号图中正方形面积是( )cm2；②号图中正方形面积是( )cm2。 【答案】 50 100 【思路引导】根据圆的周长，所以圆的直径（取3.14），据此可算出两圆的直径等于31.4÷3.14＝10（cm）。 ①号图中正方形的对角线长度就等于圆的直径是10cm，如图所示将正方形平均分成两份，可拼成一个大的等腰直角三角形，如图大三角形直角边的长度就等于正方形的对角线长度，根据三角形的面积＝底×高÷2，所以正方形的面积也可用“对角线×对角线÷2”来计算，代入数据计算即可解答； ②号图中正方形的边长就等于圆的直径是10cm，根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算，即可解答。 【规范解答】两圆的直径：31.4÷3.14＝10（cm）。 ①号图中正方形面积：10×10÷2 ＝100÷2 ＝50（cm2） ②号图中正方形面积：10×10＝100（cm2） 所以①号图中正方形面积是50cm2；②号图中正方形面积是100cm2。 【考点剖析】本道题主要考查方中圆和圆中方的面积计算。解题关键在于先根据圆的周长求出直径，再结合图形特点计算正方形面积。 高频考点十五 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】（25-26六年级下·全国·小升初复习）如图，图A与图B相比，图A的面积（    ）图B的面积，图A的周长（    ）图B的周长。正确的选项是（    ）。 A．等于；小于 B．大于；小于 C．小于；大于 【答案】A 【思路引导】图A为半圆，其直径是4厘米。图B为不规则图形，大半圆的直径是厘米，小半圆的直径是2厘米，将该图B右边多出的半圆形通过旋转平移至左侧，填补空缺后与上面的部分组成了一个半圆，由于图A和B都是半圆，并且直径都相等，故它们的面积是相等的；图A的周长＝半圆弧长＋直径，图B的周长＝一个大半圆弧长＋两个小半圆弧长，两个小半圆弧可以看作一个小的整圆周长，根据圆的周长公式解答。 【规范解答】图B经过平移旋转填补后，转化为一个半圆形，图A和图B都是半圆形，直径相等，所以它们面积也相等。 图A的周长： （厘米） 图B的周长： （厘米） 因为，所以图A的周长＜图B的周长。 【变式训练】（25-26六年级下·福建厦门·期中）如图用了转化思想的有（    ）。 A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【思路引导】转化思想是核心的数学思想方法之一：将待解决的陌生、复杂、未知的问题，通过适当的变换、处理，归结为熟悉、简单、已经解决/容易解决的问题，从而使原问题得到解决的思想方法，据此分析各个选项即可。 【规范解答】①探究多边形的内角和，从多边形的一个顶点出发，向和它不相邻的顶点连线，把这个多边形变成若干个三角形，也就是把多边形的内角和转化成若干个三角形的内角和，这是运用了“转化”的思想； ②小数乘法的计算时，先不看小数点，按照整数乘法的计算方法求出结果，再根据小数的位数点上小数点，这是把小数乘法转化成了整数乘法，是运用了“转化”的思想； ③探究平行四边形的面积公式时，先把平行四边形沿着高剪开，然后拼成一个长方形，拼成的长方形与平行四边形面积不变，而且长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，根据长方形的面积＝长×宽，得出平行四边形的面积＝底×高；是运用了“转化”的思想； ④圆柱体积的推导过程：把圆柱底面分成若干份相等的扇形（如分成16等份），沿着圆柱底面的扇形和圆柱的高把圆柱切开，可以得到大小相等的16块，把16块圆柱的底面拼成一个近似长方形，则圆柱体就接近长方体，长方体的底面积就是圆柱的底面积，长方体的高是圆柱的高，长方体的体积＝底面积×高，那么圆柱的体积＝底面积×高，是运用了“转化”的思想。 用了转化思想的有①②③④。 高频考点十六 扇形的周长和面积 【典例精讲】（25-26六年级下·甘肃兰州·期末）下面三幅图中，所有圆的半径都相等，圆心分别是平行四边形、梯形和三角形的顶点。 比较三幅图中阴影部分的面积之和，描述正确的是（    ）。 A．图①中阴影部分的面积之和最大 B．图②中阴影部分的面积之和最大 C．图③中阴影部分的面积之和最大 D．三幅图中阴影部分的面积之和一样大 【答案】A 【思路引导】阴影部分都是扇形，所有圆半径相等，扇形面积大小只和圆心角的总度数有关；根据平行四边形、梯形、三角形的概念分析阴影部分的圆心角，然后选择正确答案即可。 【规范解答】①观察图形可知，阴影部分的两个圆心角都是钝角，所以总度数是大于180°。 ②阴影部分中有1个圆心角是直角（90°），有一个圆心角是锐角（小于90°），所以总度数小于180°。 ③观察可知，三个阴影部分的总度数是三角形的内角和，三角形的内角和是180°。 阴影部分总度数越大，则面积越大，所以①＞③＞②。 图①中阴影部分的面积之和最大。 【变式训练】（25-26六年级上·河南安阳·期末）求出下图中涂色部分的面积。（值取3.14） 【答案】50.24cm2 【思路引导】将右下角的涂色三角形补到正方形的右上角可以拼成完整的的圆形，半径＝正方形边长，据此计算的圆形面积即可。 【规范解答】涂色部分面积＝πr2 ＝×3.14×82 ＝0.785×64 ＝50.24（cm2） 涂色部分的面积为50.24cm2。 奥数拓展一 画圆 【典例精讲】（25-26六年级上·山东德州·期末）按要求画图（图中每个小格的边长代表1厘米）。 （1）画一个周长为24厘米的长方形，宽是长的。 （2）在长方形中画一个最大的半圆，标注圆心、半径。 （3）请将剩余部分涂上阴影，它的面积是（    ）平方厘米 【答案】（1） （2） （3）；12.87 【思路引导】（1）把长方形的长看作“1”，宽是长的，根据，则长＋宽的和是长的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，算出长方形的长，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出宽，再进行画图； （2）最大的半圆半径长等于长方形的宽，即r＝3厘米。画图方法：在长方形的长上确定一点作为半圆的圆心，再以长方形的宽为半径作半圆； （3）用长方形面积减去半圆面积即可。 【规范解答】（1） 所以长方形的长为9厘米，宽为3厘米。 图略。 （2）圆心为O点，半径为r。图略。 （3） 所以它的面积是12.87平方厘米。 图略。 【考点剖析】本题主要考查求单位“1”的分数应用题、长方形周长及面积、画半圆以及半圆面积的计算。 【变式训练】（21-22六年级上·江西赣州·期末）请在下面方框内画一个半径是2厘米的半圆，并用字母标出圆心、半径。再求出这个图形的周长和面积。 【答案】见详解；周长10.28厘米；面积6.28平方厘米 【思路引导】根据圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；以点O为圆心，以2厘米为半径，即可画出这个圆； 观察图形可知，半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，即πr＋2r；半圆的面积＝圆的面积÷2，即πr2÷2，代入数据计算即可。 【规范解答】如图： （以实际测量为准） 半圆的周长： 3.14×2＋2×2 ＝6.28＋4 ＝10.28（厘米） 半圆的面积： 3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（平方厘米） 这个图形的周长是10.28厘米，面积是6.28平方厘米。 【考点剖析】本题考查半圆的画法以及半圆的周长与面积的计算方法。 奥数拓展二 弧、圆心角、扇形的认识 【典例精讲】将一个边长为3厘米的等边三角形沿水平线滚动，B点从位置①到位置③所经过的路线总长度是多少厘米？ 【答案】12.56厘米 【思路引导】 等边三角形的三个内角都是60°，由图可知，等边三角形从位置①到位置②B点经过的路线长度是半径为3厘米，圆心角为120°扇形的弧长，从位置②到位置③B点经过的路线长度等于从位置①到位置②B点经过的路线长度，圆心角为120°扇形的弧长等于整个圆周长的，利用“”求出B点经过的路线总长度，据此解答。 【规范解答】60°×2＝120° 120°÷360°＝ 2×3.14×3××2 ＝3.14×2×2×3× ＝3.14×（2×2）×（3×） ＝3.14×4×1 ＝12.56（厘米） 答：B点从位置①到位置③所经过的路线总长度是12.56厘米。 【考点剖析】本题主要考查圆的周长公式的应用，理解B点经过的路线长度的一半是整个圆周长的是解答题目的关键。 【变式训练】如图，图中是3个半径2厘米的圆，圆心在三角形的3个顶点处，阴影部分的面积和是多少平方厘米？ 【答案】6.28平方厘米 【思路引导】因为三角形的内角和是180°，所以三个扇形的圆心角的度数和是180°。又因为三个圆的半径相等，所以三个扇形可以拼成一个半圆。先根据圆的面积求出半径是2厘米的圆的面积；再用圆的面积÷2求出半圆的面积，即阴影部分的面积和。 【规范解答】 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（平方厘米） 答：阴影部分的面积和是6.28平方厘米。 【考点剖析】明确此题中的三个扇形可以拼成一个半圆是解决此题的关键。 奥数拓展三 圆的周长 【典例精讲】（2024六年级·广东深圳·竞赛）如图是圆形轨道，A和B两个小机器人，自甲处同时出发，以相同的速度绕圆周反向运动，15分钟内相遇7次，如果A的速度每分钟增加6米，则A和B在15分钟内相遇9次，圆形轨道直径最多是（    ）米。（取π＝3.14，精确至0.01米） A．28.65 B．28.66 C．26.26 D．24.3 E．25.21 【答案】B 【思路引导】先假设圆的直径为d，A和B的速度和是每分钟v米，根据15分钟内相遇7次，接近相遇8次；再根据如果A的速度每分钟增加6米，15分钟内相遇9次，接近相遇10次；建立等量关系式，然后进一步确定直径的取值范围解答即可。 【规范解答】解：设圆的直径为d，A和B的速度和是每分钟v米，则： 7πd≤15v＜8πd……① 9πd≤15（v＋6）＜10πd……② ②﹣①得：πd＜15×6＜3πd 即πd＜90＜3πd 则 9.55414＜d＜28.6624 d精确至0.01米，所以9.55＜d＜28.66 即圆形轨道直径最多是28.66米。 故答案选：B 【变式训练】（23-24六年级上·湖南株洲·期末）甲、乙两人绕着一个圆形花坛散步，甲走一圈需要2分钟，乙走一圈需要3分钟。 （1）如果甲、乙同时从O点出发，相背而行，几分钟后两人相遇？ （2）如果甲每分钟走62.8米，那么这个圆形花坛的周长是多少米？ （3）如果在这个圆形花坛里面种鲜花，可以种多少平方米的鲜花？ 【答案】（1）分钟 （2）125.6米 （3）1256平方米 【思路引导】（1）把圆形花坛的周长看作单位“1”，根据速度＝路程÷时间，用1÷2，求出甲的速度；用1÷3，求出乙速度；再根据时间＝路程÷速度，用圆形花坛的周长÷甲与乙速度和，即可求出几分钟后两人相遇； （2）根据路程＝速度×时间，用甲每分钟走的速度×走一周需要的时间，即可求出圆形花坛的周长； （3）根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷2÷π，代入数据，求出这个圆形花坛的半径；求花坛种花面积，就是求这个花坛的面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【规范解答】（1）1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（分钟） 答：分钟后两人相遇。 （2）62.8×2＝125.6（米） 答：这个圆形花坛的周长是125.6米。 （3）125.6÷2÷3.14 ＝62.8÷3.14 ＝20（米） 3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（平方米） 答：可以种1256平方米的鲜花。 奥数拓展四 圆的周长的应用 【典例精讲】（25-26六年级上·浙江金华·期末）如下图，有一种酒瓶的直径是5cm，大小相同的酒瓶捆扎在一起（接头处不计），第n组至少需要( )cm长的绳子。（结果保留） 【答案】（5π＋20n）/（20n＋5π） 【思路引导】第①组需要的绳子长度＝1个圆的周长＋1个圆的直径×（1×4）；第②组需要的绳子长度＝1个圆的周长＋1个圆的直径×（2×4）；第③组需要的绳子长度＝1个圆的周长＋1个圆的直径×（3×4）……由此可知，绳子长度＝1个圆的周长＋1个圆的直径×（第几组就用几×4）。圆的周长＝圆周率×直径。 【规范解答】π×5＋5×（n×4）＝（5π＋20n）cm 【变式训练】（23-24六年级下·河南信阳·期中）（如下图）A、B是圆直径的两端点，甲从A点、乙从B点同时出发，沿圆周相向而行，两人在C点相遇，已知A、C两点在圆周上的长度为31.4米，甲的速度是乙的，则圆的直径是多少米？ 【答案】70米 【思路引导】因为甲、乙用了相同的时间，甲的速度是乙的，所以甲走的路程是乙的，甲走了31.4米，用31.4除以可求出乙走的路程，甲、乙走的路程和等于圆周长的一半，再乘2就是圆的周长，根据圆的周长公式C＝πd可得：d＝C÷π，代入数据即可求出圆的直径是多少。 【规范解答】31.4÷＋31.4 ＝31.4×＋31.4 ＝78.5＋31.4 ＝109.9（米） 109.9×2÷3.14 ＝219.8÷3.14 ＝70（米） 答：圆的直径是70米。 【考点剖析】本题主要考查相遇问题，解答本题的关键是求出甲、乙两人在相遇时走过的路程和。 奥数拓展五 圆的面积 【典例精讲】（25-26六年级上·四川达州·期末）为实现废旧物资的充分利用，王师傅需要从一个长方体铁皮箱中得到一块最大的圆形铁皮。他将一个长4dm、宽4dm、高20dm的长方体铁皮箱沿棱切开并展开为一块平面铁皮（铁皮厚度及衔接处忽略不计），然后从中裁出一块最大的圆形铁皮。王师傅裁下的这个圆形铁皮的面积是( )，剩余铁皮的面积是( )。 【答案】 200.96 151.04 【思路引导】 读题可知，这个长方体的上下两个面是正方形，展开后如图，裁出的最大圆形铁皮直径是（4×4）dm，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，计算出裁下的这个圆形铁皮的面积；剩余铁皮的面积＝长方体表面积－圆形铁皮的面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此列式计算。 【规范解答】4×4＝16（dm） 16÷2＝8（dm） 3.14× ＝3.14×64 ＝200.96（） （4×4＋4×20＋4×20）×2－200.96 ＝（16＋80＋80）×2－200.96 ＝176×2－200.96 ＝352－200.96 ＝151.04（） 王师傅裁下的这个圆形铁皮的面积是200.96，剩余铁皮的面积是151.04。 【考点剖析】关键是具有一定的空间想象能力，掌握并灵活运用圆和长方形的面积公式。 【变式训练】（24-25六年级上·重庆云阳·期末）下面各图中，阴影部分面积相等的是（    ）。 A．只有①和②阴影部分面积相等 B．只有②和③阴影部分面积相等 C．①、②和③阴影部分面积都相等 D．都不相等 【答案】C 【思路引导】①正方形内部有一个与正方形四边相切的完整圆，圆的直径等于正方形的边长，阴影部分是正方形减去这个圆的区域。 ②正方形内部有两个以正方形左右边为直径的半圆，两个半圆在正方形中间形成重叠的弧形区域，两个半圆可以割补拼接成一个完整的圆（直径等于正方形边长），因此阴影面积是正方形面积减去这个拼接后的圆的面积。 ③正方形内部有四个以正方形顶点为圆心、以正方形边长的一半为半径的扇形，四个扇形在正方形中心形成交叉的弧形区域，四个扇形的圆心角均为90°，合起来是360°，可以割补拼接成一个完整的圆（半径为r），因此阴影面积是正方形面积减去这个拼接后的圆的面积。 【规范解答】设正方形边长为2r。 ①正方形面积：（2r）2＝4r2 圆的面积：πr2 阴影部分面积：4r2－πr2 ②正方形面积：（2r）2＝4r2 拼接后圆的面积：πr2 阴影部分面积：4r2－πr2 ③正方形面积：（2r）2＝4r2 拼接后圆的面积：πr2 阴影部分面积：4r2－πr2 所以三个图形的阴影面积都相等。 故答案为：C 【考点剖析】本题的关键在于：三个图形的阴影面积均可通过割补法转化为“正方形面积减去一个与正方形边长等直径的圆的面积”，因此面积相等。 奥数拓展六 圆的面积的应用 【典例精讲】（2025·四川绵阳·小升初真题）求阴影部分的面积是多少平方分米？ 【答案】25.12平方分米 【思路引导】通过观察图形可知，阴影部分的面积可用四分之一圆与空白的半圆的面积差来求。正方形的边长是8分米，则四分之一圆的半径为8分米，空白的半圆的直径为8分米，半径为（8÷2）分米；再根据圆的面积S＝πr2，分别计算四分之一圆的面积和空白的半圆的面积，最后相减得到阴影部分的面积。 【规范解答】3.14×82× ＝3.14×64× ＝200.96× ＝50.24（平方分米） 3.14×（8÷2）2× ＝3.14×42× ＝3.14×16× ＝50.24× ＝25.12（平方分米） 50.24－25.12＝25.12（平方分米） 所以，阴影部分的面积是25.12平方分米。 【考点剖析】通过将不规则的阴影部分转化为熟悉的规则图形的面积差是解答本题的关键。 【变式训练】（24-25六年级上·广东佛山·期中）农场有一块靠墙长12米，宽8米的长方形空地。张叔叔想在这块空地靠墙处设计出一个最大的半圆形空地改造成玉米地，剩下的空地改造成白菜地。 （1）玉米地的半径是（    ）。 （2）白菜地的面积是多少平方米？ （3）现在张叔叔想扩建这块地，其中宽不变，长比原来增加。此时正好可以沿着玉米地外沿修一条宽1米的小路（靠墙处不修），扩建后剩下的空地种白菜，求扩建后的白菜地面积是原来的百分之几？（百分号前保留一位小数） 【答案】（1）6米；（2）39.48平方米；（3）88.8%。 【思路引导】（1）在这块空地靠墙处设计出一个最大的半圆形空地改造成玉米地，则以墙长为直径，因为墙长12m，所以半径是6米，6米＜8米，合理； （2）因为白菜地面积是空地面积－玉米地面积，即长方形面积－半圆面积即可求解； （3）长比原来增加，即现在的长为12×（1＋）＝14（米），沿着玉米地外沿修一条宽1米的小路（靠墙处不修），即现在玉米地的半径比原来的半径多1米，求出扩建后的长方形面积与半圆面积再相减，然后求出的扩建后的白菜地面积÷原来白菜地面积，再把结果算到至少第四位小数，保留三位小数并转化成百分数即可求解。 【规范解答】（1）12÷2＝6（米） 6米＜8米，合理， 所以玉米地的半径为6米。 （2）12×8＝96（平方米） 3.14×6×6× ＝3.14×36× ＝3.14×18 ＝56.52（平方米） 96－56.52＝39.48（平方米） 答：白菜地的面积是39.48平方米。 （3）12×（1＋）＝14（米） 14×8＝112（平方米） 6＋1＝7（米） 3.14×7×7× ＝153.86× ＝76.93（平方米） 112－76.93＝35.07（平方米） 35.07÷39.48≈0.888＝88.8% 答：扩建后的白菜地面积是原来的88.8%。 【考点剖析】半圆面积是圆的面积一半，记得×；重点理解题目中的条件“沿着玉米地外沿修一条宽1米的小路（靠墙处不修）”意思是原来半圆的半径增加1米。 奥数拓展七 圆环的面积 【典例精讲】（25-26六年级上·天津南开·期末）下图中阴影部分的面积是，圆环的面积是( )。 【答案】15.7 【思路引导】阴影部分的面积是两个正方形面积之差，如图也就是大圆半径²－小圆半径²＝5cm²。 圆面积＝πr²。 圆环面积＝大圆面积－小圆面积 ＝π大圆半径²－π小圆半径² 根据乘法分配律可将算式变成π×（大圆半径²－小圆半径²），代入大圆半径²－小圆半径²之差即可算出圆环面积。 【规范解答】大圆半径²－小圆半径²＝5cm² 圆环面积＝π大圆半径²－π小圆半径² ＝π×（大圆半径²－小圆半径²） ＝π×5 ＝3.14×5 ＝15.7（cm²） 所以圆环的面积是15.7 cm²。 【考点剖析】本题考查了圆环面积以及正方形面积的灵活运用，不直接计算出大圆和小圆的半径，而是通过把阴影部分的面积看成两个半径的平方差，从而算出圆环面积。 【变式训练】聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律： （1）请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。 （__________＋__________）×（___________－_________） （2）求下图中阴影部分的面积。聪聪说可以用“a2－b2”来计算，明明说也可以用“（a＋b）×（a－b）”来计算。你知道明明是怎么想的吗？ （3）运用上面发现的规律计算下图中扇环的面积。（单位：厘米） 【答案】（1）15；5；15；5 （2）见详解 （3）141.3平方厘米 【思路引导】（1）根据给出的两个平方数的差的算式，发现规律：两个数的平方差，等于这两个数的和乘这两个数的差。据此解答。 （2）因为正方形的面积＝边长×边长，两个正方形的边长分别为a、b，阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积，所以聪聪得出用“a2－b2”来计算；而明明把阴影部分的图形进行了剪拼，重新组合成一个长为（a＋b）、宽为（a－b）的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，所以明明得出阴影面积也可以用“（a＋b）×（a－b）”来计算。 （3）从图中可以看出，扇环的面积＝大扇形的面积－小扇形的面积，扇形是的圆，扇形的面积＝πr2，再结合第（1）题的规律，求出扇环的面积。 【规范解答】（1） （2）明明把左图沿虚线剪开，把剪掉的小长方形拼到剩下的大长方形的右侧，如右图；这样阴影部分转化成一个长为（a＋b）、宽为（a－b）的长方形，根据长方形的面积公式，所以阴影部分的面积为：（a＋b）×（a－b）。 （3）×3.14×14.52－×3.14×5.52 ＝×3.14×（14.52－5.52） ＝×3.14×（14.5＋5.5）×（14.5－5.5） ＝×3.14×20×9 ＝3.14×45 ＝141.3（平方厘米） 【考点剖析】找出算式的规律、数与形的规律以及运用规律解决实际问题是解题的关键。 奥数拓展八 含圆的组合图形的周长 【典例精讲】（24-25六年级上·浙江温州·期末）一只狗被栓在一间小房子的墙角上（如图），这间小房子的底面是一个边长为5米的正方形，栓小狗的绳长16米。小狗从点A出发，将绳子拉紧顺时针跑，最多可跑多少米？ 画一画：画出小狗的运动轨迹。 算一算： 【答案】；53.38米 【思路引导】 如图，小狗可跑的距离＝半径16米的圆的周长＋半径（16－5）米的圆的周长＋半径（16－5－5）米的圆的周长＋半径（16－5－5－5）米的圆的周长，圆的周长＝2×圆周率×半径，据此列式解答。 【规范解答】图略。 2×3.14×16×＋2×3.14×（16－5）×＋2×3.14×（16－5－5）×＋2×3.14×（16－5－5－5）× ＝2×3.14×16×＋2×3.14×11×＋2×3.14×6×＋2×3.14×1× ＝3.14×（2×16×）＋3.14×（2×11×）＋3.14×（2×6×）＋3.14×（2×1×） ＝3.14×（32×）＋3.14×（22×）＋3.14×（12×）＋3.14×（2×） ＝3.14×8＋3.14×5.5＋3.14×3＋3.14×0.5 ＝3.14×（8＋5.5＋3＋0.5） ＝3.14×17 ＝53.38（米） 答：最多可跑53.38米。 【考点剖析】关键是具有一定的空间想象能力，准确画出小狗跑的路线。 【变式训练】求下列图形中阴影部分的周长。（单位：厘米） 【答案】35.12厘米 【思路引导】观察图形发现，阴影部分的周长等于半径是3厘米的圆周长的一半＋半径是5厘米的圆周长的一半＋一条直径（5×2）厘米。 【规范解答】3.14×3×2÷2＋3.14×5×2÷2＋5×2 ＝9.42＋15.7＋10 ＝35.12（厘米） 奥数拓展九 含圆的组合图形的面积 【典例精讲】如图：（1）是一个直径是12厘米的半圆，AB是直径。如图（2）所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B点移动到C点。请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】75.36平方厘米 【思路引导】阴影部分的面积等于整个图形的面积减去半圆的面积，整个图形的面积等于一个半圆的面积加上一个圆心角为60°的扇形的面积，所以阴影部分的面积等于圆心角为60°的扇形的面积，这个扇形的半径等于半圆的直径，即。12厘米 【规范解答】 ＝ ＝75.36（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积是75.36平方厘米。 【考点剖析】本题考查了不规则图形的面积的计算方法，把不规则图形转化为规则图形来计算是常用的方法。 【变式训练】（24-25六年级下·海南海口·期末）如图，正方形边长2厘米，两阴影部分面积相差多少？ 【答案】2.28平方厘米 【思路引导】观察可知，如下图用半径为2厘米的圆的面积减空白1，就是阴影2，再减去阴影1即可得解。根据减法的运算性质，一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和，而空白1与阴影1的和等于正方形面积与圆的面积的差，所以两阴影部分面积的差等于半径为2厘米的圆的面积减正方形面积与圆的面积之差，根据、圆的面积公式，代入数据计算即可。 【规范解答】 （平方厘米） （平方厘米） 答：两阴影部分面积相差2.28平方厘米。 奥数拓展十 方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（24-25六年级上·河南南阳·期末）过春节贴年画是我国的传统习俗。如图，这幅“福”字年画中，圆的直径是20cm，“福”字所在的正方形与圆之间部分的面积是( )cm2；如果在一张正方形纸中剪这样的年画，正方形纸的面积至少是( )cm2。 【答案】 114 400 【思路引导】 “福”字所在的正方形与圆之间部分的面积＝圆的面积－正方形面积，圆的面积＝圆周率×半径的平方，如图，将正方形分成两个完全一样的等腰直角三角形，三角形的底＝圆的直径，三角形的高＝圆的半径，三角形面积＝底×高÷2，三角形面积×2＝正方形面积； 如果在一张正方形纸中剪这样的年画，正方形的边长至少等于圆的直径，根据正方形面积＝边长×边长，列式计算。 【规范解答】3.14×（20÷2）2－20×（20÷2）÷2×2 ＝3.14×102－20×10÷2×2 ＝3.14×100－200 ＝314－200 ＝114（cm2） 20×20＝400（cm2） “福”字所在的正方形与圆之间部分的面积是114cm2；如果在一张正方形纸中剪这样的年画，正方形纸的面积至少是400cm2。 【考点剖析】关键是掌握并灵活运用圆的面积公式，理解正方形和圆之间的关系。 【变式训练】（24-25六年级上·广西南宁·期末）在学校的科技小制作活动中，有两个机器人在进行移动操作。一个机器人的形状是直径为10厘米的圆形，另一个是边长为10厘米的正方形。它们在一条长轨道上，初始时两者相距28厘米。正方形机器人每秒移动4厘米，圆形机器人比正方形机器人快40%。 （1）当圆形机器人和正方形机器人刚好完全接触（重叠面积最大时），没有重合部分的面积是多少？ （2）正方形和圆形同时开始运动，经过多少秒后恰好完全分开？ 【答案】（1）21.5平方厘米 （2）5秒 【思路引导】（1）重叠时，圆在正方形内，相当于正方形内画一个最大的圆，求没有重合部分的面积，就是用正方形面积－圆的面积；根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 （2）把正方形机器人的速度看作单位“1”，圆形机器人的速度是正方形机器人速度的（1＋40%），用正方形机器人的速度×（1＋40%），求出圆形机器人的速度。求经过多少秒后恰好完全分开，先求出正方形机器人走过的路程与圆形机器人走过的路程和，正方形机器人与圆形机器人相距的距离＋正方形机器人的边长的长度＋圆形机器人的直径的长度，就是两个机器人完全分开后的路程，再根据时间＝路程÷速度，用正方形机器人走过的路程与圆形机器人走过的路程和÷正方形机器人的速度与圆形机器人的速度和，即可解答。 【规范解答】（1）10×10－3.14×（10÷2）2 ＝10×10－3.14×52 ＝100－3.14×25 ＝100－78.5 ＝21.5（平方厘米） 答：没有重合部分的面积是21.5平方厘米。 （2）4×（1＋40%） ＝4×140% ＝5.6（厘米） （28＋10＋10）÷（4＋5.6） ＝（38＋10）÷9.6 ＝48÷9.6 ＝5（秒） 答：经过5秒后恰好完全分开。 【考点剖析】解答本题的关键是求出正方形机器人与圆形机器人走过的路程。 奥数拓展十一 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】按要求完成。 （1）在如图的正方形中画一个周长是的圆。 （2）如果所画的圆可以在正方形内任意移动，那么这个圆不能接触到的面积有多大？ 【答案】（1）见详解； （2）3.44cm2 【思路引导】（1）由圆的周长公式可知，半径＝圆的周长÷圆周率÷2，求出所画圆的半径，在正方形内确定圆心，根据半径画圆，最后标出圆心和半径； （2）这个圆不能接触到的面积刚好是正方形4个角的面积，如图所示阴影部分的面积＝小正方形的面积－圆的面积；据此解答。 【规范解答】（1）半径： ＝ ＝2（cm） （2） （2×2）2－3.14×22 ＝16－3.14×22 ＝16－12.56 ＝3.44（cm2） 答：这个圆不能接触到的面积有3.44cm2。 【考点剖析】掌握圆的画法并把所求部分的面积转化为小正方形和圆的面积之差是解答题目的关键。 【变式训练】下图中正方形部分是一个水池，其余部分是草坪。已知正方形的面积是225m2，草坪的面积是多少平方米？ 【答案】529.875平方米 【思路引导】求与圆有关的面积，关键是知道半径的长度；依据题意，正方形的面积是225平方米，结合图示可知正方形的边长相当于圆的半径，也就是说半径的平方是225；这样圆的面积可求，草坪部分占圆面积的，再将圆的面积乘，就是草坪的面积。 【规范解答】 （m2） 答：草坪的面积是529.875平方米。 【考点剖析】本题解答思路十分巧妙，将正方形的面积转化为半径的平方，从而具备了计算圆面积的条件。 奥数拓展十二 扇形的周长和面积 【典例精讲】一只挂钟的时针长1dm，从上午9时到下午3时，时针尖端所走的路程是（    ）dm。 A．1.57 B．3.14 C．6.28 D．5.14 【答案】B 【思路引导】下午3时转换成24小时计时法是3＋12＝15时，从9时到15时经过了15－9＝6小时，时针每小时走一个格子是30°，6小时走过6×30＝180°，时针走过的路程就是一个半径为1dm，圆心角为180°的圆弧的长度，也是圆的周长的一半。 【规范解答】3.14×2×1× ＝6.28× ＝3.14（分米） 时针尖端所走的路程是3.14分米。 故答案为：B 【考点剖析】此题主要考查弧长的求法，掌握24小时计时法与普通计时法的互化也是解题的关键。 【变式训练】如图，桌面上平放着一个边长为2分米的等边三角形ABC（图①）。现将这个三角形按图所示方向紧贴着桌面进行滚动。在整个滚动过程中，顶点( )经过的路线轨迹最短，是( )分米。 【答案】 C 【思路引导】滚动过程中，顶点A、B、C经过的路线轨迹都是一个半径是2分米，圆心角是120°的扇形的圆弧，顶点A与顶点B的经过路线轨迹都是3个圆弧，顶点C经过的路线轨迹是2个圆弧，所以顶点C经过的路线轨迹最短。根据圆弧长度的计算方法，计算即可。 【规范解答】2×2×π××2 ＝8π× ＝（分米） 【考点剖析】找出每个顶点的运动轨迹以及圆弧长度的计算方法是解题的关键。 【基础通关】 1．（25-26六年级下·安徽芜湖·期末）“转化”是一种非常重要的数学思想。在推导圆的面积公式时，我们将圆平均分成若干等份，拼成一个近似的长方形。在这个转化过程中（    ）。 A．面积不变，周长不变 B．面积不变，周长增加 C．面积增加，周长不变 D．面积增加，周长增加 【答案】B 【思路引导】将圆剪拼成近似长方形时，仅形状发生改变，所占平面的大小不变，周长比原来圆的周长多了2条半径的长度。 【规范解答】面积判断： 近似长方形由圆拆分后拼接得到，没有新增或减少部分，因此面积和原圆面积相等，面积不变。 周长判断： 设圆的半径为，则圆的周长为。拼成的近似长方形的长等于圆周长的一半，即，宽等于圆的半径。长方形周长：。对比可得，长方形周长比原圆周长多，因此周长增加。 2．（25-26六年级下·河南驻马店·期末）小学六年我们积累了许多“图形”的知识，下面说法正确的有（    ）句。 ①过直线外一点只能画一条已知直线的平行线。 ②在一个三角形中，最多有2个锐角。 ③半径为2cm的圆，周长和面积相等。 ④等底等高的两个三角形一定可以拼成一个平行四边形。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，据此判断。②三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，据此判断。③半径为2cm的圆，周长和面积计算出的数值相同，但是周长和面积是两种不同量，不能直接比较大小，据此判断。④两个完全相同的三角形一定可以拼成一个平行四边形，据此判断。 【规范解答】①过直线外一点画已知直线的平行线，只能画1条，该说法正确。②锐角三角形有3个锐角，因此三角形最多可以有3个锐角，该说法错误。③周长的单位是长度单位，面积的单位是面积单位，二者是不同类的量，无法比较大小，该说法错误。④只有两个完全相同的三角形才可以拼成平行四边形，等底等高的三角形形状不一定相同，该说法错误。综上，正确的说法只有1句。 3．（25-26六年级下·广东东莞·期末）小美有一枚直径是1厘米的游戏币，游戏币的其中一面的面积是( )平方厘米。如果把这枚游戏币沿着长是4厘米、宽是2厘米的长方形绕一圈，它走过的周长是( )厘米。 【答案】 0.785 15.14 【思路引导】游戏币是圆形，直径1厘米，半径＝直径÷2。圆面积＝π×半径×半径。可直接计算 游戏币沿着长方形外围滚动一圈，游戏币中心走过的轨迹是一个更大的长方形，四个角是圆弧，合起来是一个完整的圆。这个轨迹的长度等于原长方形周长加一个以游戏币半径为半径的圆的周长。先算原长方形周长，再算圆的周长，最后相加。 【规范解答】半径：1÷2＝0.5（厘米） 面积：3.14×0.5×0.5 ＝3.14×0.25 ＝0.785（平方厘米） 原长方形周长：（4＋2）×2 ＝6×2 ＝12（厘米） 圆的周长：3.14×1＝3.14（厘米） 即游戏币走过的周长：12＋3.14＝15.14（厘米） 4．（24-25六年级下·安徽滁州·期末）如图，当钟面上时针从“2”走到“5”，分针一共旋转了( )°；如果时针的长度为4cm，这段时间时针扫过的面积是( )。 【答案】 1080 12.56 【思路引导】（1）因为钟面一圈被平均分成12个大格，一圈是360°，时针从“2”走到“5”，经过了5－2＝3个大格，即3个小时，分针每小时转1圈，3小时转动3圈，用圈数乘一圈的度数，求出分针一共旋转的角度； （2）时针从“2”走到“5”，经过了3个大格，先用一圈的度数除以12大格，求出每个大格的度数；时针扫过的图形为半径4cm的扇形，先用每大格的度数乘3，求出时针3小时转动的度数，再根据圆的面积公式S＝πr2，先算出整个圆的面积，再根据转动的角度占360°的分率，算出时针扫过的面积。 【规范解答】（1）5－2＝3（时） 3×360°＝1080° （2）360°÷12＝30° 3×30°＝90° 3.14×42× ＝3.14×16× ＝3.14×（16×） ＝3.14×4 ＝12.56（） 5．（25-26六年级下·湖南常德·期末）钟表的分针长10厘米，时针长8厘米，从2时走到3时，分针尖端走过的周长是( )厘米；从3时到6时，时针扫过的面积是( )平方厘米。（取3.14） 【答案】 62.8 50.24 【思路引导】从2时到3时，分针转动了1圈，求分针尖端走过的周长，就是以分针的长度为半径的圆的周长，利用圆的周长公式C＝2πr计算； 钟面被分成12个大格，每个大格是360°÷12＝30°，从3时到6时就是3小时，时针扫过的面积是以时针的长度为半径，圆心角为30°×3＝90°的扇形的面积，即个圆的面积，据此解答即可。 【规范解答】①2×3.14×10 ＝6.28×10 ＝62.8（厘米） 从2时走到3时，分针尖端走过的周长是62.8厘米 ②6－3＝3（时） 30×3＝90° 90°÷360°＝ 8×8×3.14× ＝64×3.14× ＝200.96× ＝50.24（平方厘米） 从3时到6时，时针扫过的面积是50.24平方厘米。 6．（24-25六年级下·安徽六安·期末）计算下面各图形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】6.28平方厘米；12.5平方厘米 【思路引导】图1：阴影部分的面积＝半径为4厘米的90°扇形面积－直径为4厘米的半圆面积； 图2：通过移补发现阴影部分面积为正方形面积的一半。 【规范解答】（1）90°扇形面积：（平方厘米） 半圆面积： （平方厘米） 阴影部分面积：（平方厘米） （2） （平方厘米） 7．（26-27六年级上·全国·课后作业）在一个长6米、宽4米的长方形花圃里修建一个最大的圆形水池。水池的占地面积是多少平方米？剩下的花圃的面积是多少平方米？ 【答案】12.56平方米 11.44平方米 【思路引导】长方形内最大的圆的直径等于长方形的宽，先据此求出圆的半径，再计算圆的面积，最后用长方形面积减去圆的面积得到剩余花圃面积。 【规范解答】圆形水池的半径：（米） 水池的占地面积： （平方米） 长方形花圃的面积：（平方米） 剩下的花圃面积：（平方米） 答：水池的占地面积是12.56平方米，剩下的花圃的面积是11.44平方米。 8．（25-26六年级下·湖北恩施·期末）施施同学参加本次数理思维运动会数学手抄报竞赛，她在手抄报的标题旁设计了一个花瓣状装饰图。该图以边长为2厘米的正方形的4条边为直径，分别向正方形外侧作4个半圆，围成封闭的四叶花瓣状图形（如下图）。这个装饰图的面积是多少平方厘米？ 【答案】10.28平方厘米 【思路引导】这个四叶花瓣状装饰图由4个以正方形边长为直径的半圆和中间的正方形组成，先用正方形的边长除以2求出半圆的半径，再把4个半圆转化为2个完整的圆，根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，求出它们的面积，再根据正方形面积＝边长×边长，求出中间正方形的面积，最后将2个圆的面积与正方形的面积相加，即可求出这个装饰图的总面积。 【规范解答】3.14×（2÷2）2×2＋2×2 ＝3.14×12×2＋2×2 ＝3.14×1×2＋2×2 ＝6.28＋4 ＝10.28（平方厘米） 答：这个装饰图的面积是10.28平方厘米。 9．（25-26六年级下·河北邯郸·期末）一个运动场如图，两头是半圆形，中间是长方形，这个运动场的面积是多少平方米？ 【答案】8212.5平方米 【思路引导】由图可知：这个运动场的面积可以看成是长方形面积加上两个半圆形拼成的整圆面积。长方形面积＝长×宽，圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，代入数值即可解答。 【规范解答】125×50＋3.14×（50÷2）2 ＝6250＋3.14×252 ＝6250＋3.14×625 ＝6250＋1962.5 ＝8212.5（平方米） 答：这个运动场的面积是8212.5平方米。 10．（25-26六年级上·吉林长春·期末）如图，在长是12厘米、宽是8厘米的长方形方框中，用一个半径为1厘米的圆形纸片无滑动地沿着方框按A—B—C—D—A的方向滚动。纸片贴着方框内部滚动一周回到出发位置，圆形纸片没有滚到的部分的面积是多少平方厘米？（本题中π的值取3） 【答案】33平方厘米 【思路引导】 如图： 根据图可知，一共有4个角没有滚到，还有一个长是（12－1×4）厘米，宽是（8－1×4）厘米的长方形面积；角没有滚到的面积＝边长是1厘米的正方形面积－半径是1厘米的圆的面积的； 根据正方形面积＝边长×边长，圆的面积＝×半径的平方，代入数据，求出一个角没有滚到的面积，再乘4，再加上长是（12－1×4）厘米，宽是（8－1×4）厘米长方形面积；即可解答。 【规范解答】（1×1－3×12×）×4 ＝（1－3×1×）×4 ＝（1－3×）×4 ＝（1－）×4 ＝×4 ＝1（平方厘米） （12－1×4）×（8－1×4）＋1 ＝（12－4）×（8－4）＋1 ＝8×4＋1 ＝32＋1 ＝33（平方厘米） 答：圆形纸片没有滚到的部分的面积是33平方厘米。 【考点剖析】找出圆形纸片滚动的轨迹，找出没有滚动的面积，是解答本题的关键。 【能力提升】 1．（25-26六年级上·河南周口·期末）一张长20厘米，宽12厘米的长方形纸最多可以剪下（    ）个半径为2厘米的圆。 A．16 B．15 C．19 【答案】B 【思路引导】圆的半径为2厘米，则直径为4厘米，长方形最多能剪下几个圆，看长方形的长和宽分别对应几个圆的直径，有余数的把余数舍去，再把对应个数相乘即可求解。 【规范解答】2×2＝4（厘米） （20÷4）×（12÷4） ＝5×3 ＝15（个） 最多可以剪下15个半径为2厘米的圆。 故答案为：B 【考点剖析】本题重点考查学生对圆的认识及应用，长方形中剪出圆的个数看边长与直径的关系，宽边直径的个数表示圆有几排，长边直径的个数表示一排几个圆，相乘即为圆总个数。 2．（25-26六年级上·四川眉山·期末）兰兰和欣欣在玩“猫捉老鼠”的游戏（如图）。兰兰从圆心点O向点A方向跑，欣欣同时从点B沿弧线也向点A方向跑。欣欣的速度至少是兰兰的（    ）倍，才能在点A处捉到兰兰。 A．π B．3 C．2π 【答案】A 【思路引导】根据圆的周长公式C＝2πr可得半圆弧的长度为2πr÷2＝πr，欣欣从点B沿弧线跑向点A，路程为πr；兰兰从圆心点O跑向点A，路程为半圆的半径，即r；因为两人同时出发且要同时到达，所用时间相同，根据“速度＝路程÷时间”可知，速度的倍数就是路程的倍数，即πr÷r＝π。 【规范解答】2πr÷2＝πr πr÷r＝π 所以欣欣的速度至少是兰兰的π倍，才能在点A处捉到兰兰。 故答案为：A 【考点剖析】兰兰跑的是圆的半径，欣欣跑的是半圆弧长，根据“速度＝路程÷时间”可知，时间相同时，速度的倍数就是路程的倍数。 3．（25-26六年级上·河北邯郸·期末）在一张长20厘米，宽12厘米的长方形纸上剪直径为4厘米的圆形纸片，最多能剪( )个。 【答案】15 【思路引导】要解决在长方形纸上剪圆形纸片的问题，要把圆看作边长等于其直径的正方形来计算摆放数量，不能直接用长方形面积除以圆的面积。已知圆的直径是4厘米，长方形纸长20厘米、宽12厘米。分别计算长方形的长和宽各能容纳多少个圆的直径，最后，将长边和宽边能放的数量相乘，得到最多能剪的圆形纸片总数。 【规范解答】20÷4＝5（个） 12÷4＝3（个） 5×3＝15（个） 所以，最多能剪15个。 4．（25-26六年级上·江苏苏州·期中）如图，这个组合图形面积是60平方厘米，长方形的面积与圆的面积比是8∶5，阴影部分与圆的面积比是1∶5，长方形的面积是( )平方厘米。 【答案】40 【思路引导】根据题意，根据阴影部分与圆的面积比是1∶5，可以把阴影部分面积看作1份，那么圆的面积就是这样的5份。又因为长方形的面积与圆的面积比是8∶5，所以长方形的面积就是这样的8份。长方形的面积加上圆的面积减去阴影部分的面积就是组合图形的面积。那么组合图形的面积是（8＋5－1）份。用组合图形的面积除以组合图形的份数，就是1份是多少平方厘米。也是阴影部分的面积。再乘8就是长方形的面积。 【规范解答】阴影部分面积看作1份，那么圆的面积就是这样的5份，长方形的面积就是这样的8份。 60÷（8＋5－1） ＝60÷12 ＝5（平方厘米） 5×8＝40（平方厘米） 所以，长方形的面积是40平方厘米。 【考点剖析】熟练运用比的知识点是解答本题的关键。 5．（25-26六年级上·江西吉安·期末）在一张长8cm、宽6cm的长方形纸上剪下一个最大的半圆，剩余部分的面积是( )cm2。 【答案】22.88 【思路引导】在长8cm、宽6cm的长方形中剪最大半圆，有两种剪法可选。第一种以长方形的长8cm为半圆直径，此时半径为4cm，因4cm小于长方形的宽6cm，半圆的弧形部分能完全落在长方形内，该剪法可行；第二种以长方形的宽6cm为半圆直径，此时半径为3cm，虽也能剪出，但半圆面积明显更小，因此确定以8cm为直径、4cm为半径是能剪出的最大半圆。先根据长方形面积公式“长×宽”，求出长方形的总面积；再根据半圆面积公式：S＝πr2（π取3.14），代入半径4cm，求出最大半圆的面积。用长方形的总面积减去剪出的最大半圆的面积，求出剩余面积。 【规范解答】长方形面积：8×6＝48（cm2） 最大半圆面积：×3.14×（8÷2）2 ＝×3.14×42 ＝×3.14×16 ＝1.57×16 ＝25.12（cm2） 剩余面积：48－25.12＝22.88（cm2） 所以剩余部分的面积是22.88cm2。 【考点剖析】本题的关键在于准确判断长方形内可剪出的最大半圆，需结合长和宽确定合理直径，优先以长边为直径并验证半径是否小于短边，再通过面积相减的思路求解剩余面积，核心是把握“最大半圆的尺寸受长方形边长限制”这一关键。 6．求阴影部分的面积。（单位：分米） 【答案】88.32平方分米；19.44平方分米 【思路引导】如图：    第一题观察图可知，由于②是等腰三角形，一个底角是30°，由此即可求出圆心角；①＋②的面积相当于一个圆心角为120°，直径是24分米的扇形面积，②的面积相当于底是（24÷2）分米、高是10.4分米的三角形面积，根据三角形的面积公式，用（24÷2）×10.4÷2即可求出②的面积，根据扇形的面积公式，用3.14×（24÷2）2×即可求出扇形的面积，最后用扇形的面积减去②的面积，即可求出阴影部分的面积。 第二题阴影部分的面积＝一个上底为4分米、下底为12分米、高为4分米的梯形面积－一个半径是4分米的圆面积的，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，用（4＋12）×4÷2即可求出梯形的面积，用3.14×42×即可求出圆面积的是多少，最后将两部分相减，即可求出阴影部分的面积。 【规范解答】（24÷2）×10.4÷2 ＝12×10.4÷2 ＝62.4（平方分米） 3.14×（24÷2）2× ＝3.14×122× ＝3.14×144× ＝150.72（平方分米） 150.72－62.4＝88.32（平方分米） 第一题阴影部分的面积是88.32平方分米。 （4＋12）×4÷2 ＝16×4÷2 ＝32（平方分米） 3.14×42× ＝3.14×16× ＝12.56（平方分米） 32－12.56＝19.44（平方分米） 第二题阴影部分的面积是19.44平方分米。 7．（24-25六年级上·湖北武汉·期末）如图，正方形的面积是50平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】28.5平方厘米 【思路引导】如图，将正方形分成两个完全一样的等腰直角三角形，三角形的底＝正方形对角线，三角形的高＝正方形对角线÷2，根据三角形面积＝底×高÷2＝正方形对角线×（正方形对角线÷2）÷2＝正方形对角线×正方形对角线÷4，所以由三角形面积×4＝正方形对角线×正方形对角线，实际就是正方形面积×2＝正方形对角线×正方形对角线，看图可知，正方形的对角线＝圆的半径，根据上边的结论，正方形面积＝半径的平方÷2，即正方形面积×2＝半径的平方，阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积＝×圆周率×半径的平方－正方形的面积，将半径的平方代入，计算即可。 【规范解答】 ×3.14×（50×2）－50 ＝×3.14×100－50 ＝×100×3.14－50 ＝25×3.14－50 ＝78.5－50 ＝28.5（平方厘米） 答：阴影部分的面积是28.5平方厘米。 【考点剖析】此题考查对正方形面积、三角形面积和圆形面积的灵活运用，通过观察把正方形的面积平均分成两个直角三角形，通过转换，不直接求出圆的半径，而是通过正方形和圆形的联系间接求出半径的平方，从而算出阴影部分面积。 8．（25-26六年级·全国·随堂练习）天然气是一种清洁环保的优质能源，可以改善环境质量。下图为工人师傅制作的一个棱长为5dm、圆孔的直径为2dm的正方体天然气管道，现要给管道的表面涂一层防锈漆，需要涂漆的面积是多少平方分米？（接口处忽略不计） 【答案】平方分米 【思路引导】给管道的表面涂一层防锈漆，也就是正方体的表面积减去圆柱的两个底面积加上圆柱的侧面积，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，圆柱的侧面积＝圆柱的底面周长×高，圆柱的底面积，由此解答即可。 【规范解答】 （平方分米） 答：需要涂漆的面积是175.12平方分米。 【考点剖析】本题考查了正方体表面积公式和圆柱侧面积公式的综合应用，本题的难点是理解挖掉一个圆柱形洞，增加了圆柱的侧面积，减少了圆柱的两个底面的面积。 9．（24-25六年级下·安徽亳州·期末）下图中每个小正方形的边长都代表1cm，请根据要求画图。 ()以直线a为对称轴，画出图①的轴对称图形，标上“②”。 ()画出图形①绕点A逆时针旋转90°后的图形，标上“③”。 ()画出图形①先向右平移6格，再向上平移5格后的图形，并标上“④”。 ()以点O为圆心，画半径为3cm的圆，并标上“⑤”。 【答案】() () () () 【思路引导】（）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。 （）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。 （）作平移后的图形步骤找出构成图形的关键点；确定平移方向和平移距离；过关键点沿平移方向画出平行线;由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置,连接对应点。 （）标出离O点cm处的所有的点就是画一个半径cm的圆。画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 【规范解答】（）（）（）（）画图略； 10．（25-26六年级上·山东青岛·期末）按要求完成下列各题。 （图中1小格的边长代表1厘米） (1)画一个周长是18厘米的长方形，长和宽的比是5∶4。 (2)在长方形内画一个面积最大的圆。 (3)在圆内画两条互相垂直的直径，依次连接这两条直径的4个端点，画出一个正方形。 (4)求出（3）中所画正方形的面积。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)8平方厘米 【思路引导】（1）根据按比分配，用周长除以2，求出长与宽的和，再除以长和宽占的份数和，求出一份长，然后分别乘长与宽占的份数，求出长与宽，再画图即可； （2）在长方形内画一个面积最大的圆，以长方形的宽为圆的直径，即是最大的圆，再画圆即可； （3）可过圆心画一条水平的直径和一条竖直的直径，即为两条互相垂直的直径，依次连接4个端点，形成正方形； （4）正方形可以看作4个底和高都是2厘米的直角三角形，求出一个直角三角形的面积，再乘4即可求出正方形的面积。 【规范解答】（1）18÷2＝9（厘米） 9÷（5＋4） ＝9÷9 ＝1（厘米） 长：5×1＝5（厘米） 宽：4×1＝4（厘米） 画图如下： （2）根据分析可知，圆的半径为：4÷2＝2（厘米），以长方形中心为圆心，半径2厘米画圆，画图如下： （3）画图如下： （4）直角边等于圆的半径，即2厘米， 2×2÷2×4 ＝4÷2×4 ＝2×4 ＝8（平方厘米） 答：正方形的面积是8平方厘米。 【考点剖析】此题考查画圆形、正方形及其面积的计算。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 第五单元圆『举一反三知识讲练』 (思维拓展版) 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+16个考点讲练+12个奥数拓展+真题难度分层演练共76题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于苏教版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套 内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难，点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏 教版六上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 昌目录指引内容知晓 知识梳理温故知新..· …3 知识点一圆的认识 3 知识点二圆的周长..... 知识点三圆的面积………… 知识点四扇形.……… ....5 考点讲练真题汇总..... ….5 高频考点一圆的概念及特点…… 高频考点二画圆………… ..5 高频考点三与圆相关的轴对称图形..... 高频考点四孤、圆心角、扇形的认识… 第1页共26页 2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点五圆的周长 高频考点六半圆的周长.. 高频考点七圆的周长的应用… 高频考点八圆的面积… ……8 高频考点九圆的面积的应用...... 高频考点十圆环的面积……… …………9 高频考点十一求最大面积…… 10 高频考点十二含圆的组合图形的周长.... 10 高频考点十三含圆的组合图形的面积.· 高频考点十四方中圆和圆中方的面积问题 11 高频考点十五用转化法求圆的组合图形的周长与面积.. 12 高频考点十六扇形的周长和面积....··… 12 难点突破奥数拓展…… .13 奥数拓展一画圆.... 13 奥数拓展二孤、圆心角、扇形的认识..... 14 奥数拓展三圆的周长… 14 奥数拓展四圆的周长的应用... 15 奥数拓展五圆的面积… 16 奥数拓展六圆的面积的应用…。 16 奥数拓展七圆环的面积...... 17 奥数拓展八含圆的组合图形的周长.… 18 奥数拓展九含圆的组合图形的面积 19 奥数拓展十方中圆和圆中方的面积问题.··.… 19 奥数拓展十一用转化法求圆的组合图形的周长与面积… 20 奥数拓展十二扇形的周长和面积…… 21 优选真题实战演练. ,21 【基础通关】 21 【能力提升】 ..24 第2页共26页 2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 导图指引梳理脉络 1.认识圆 1.对称性 长 种曲线形，是轴对称图形 一、圆的认识 圆的特征与性质 ⊕ ⊕ 来 2.圆的要素 心：的中心点，用字母0表示 半径：连接圆心和圆上任意一点的钱段 2.圆中延、启形的精征 用字母r表示。 ：國上任意两点同的曲线部分 鑫径：通过圆心并且两端都在围上的线段 扇形：由两条半径和它门所对的强国成的图形。 用字母d表示。 关系：d=2,r=号 3.圆心角与形的关系 3图的结征 在一个圆中，所有半径相等 所有直径相等。 4启形与圆的￥系 4.用圆规画圆 图堤两脚间的距离就是圈的半径。 画暖步骤：定点（针尖定圈心）一→定长（两等定半径）→旋转一周： 1,计算问题：利用周长、面职公式解决实际同思，如花坛、哦裹、并道等， 2组合图形：复杂图形可分解为、半圆、扇形等基本图形， 1.圆的周长 圆的周长与直径的比值是一个围定的致，我们把它叫作圆周率， 苏教版新教材 圆的应用 分计算后再求和 用字母π表示，r3.1415926(取近似值3.14) 圆的周长和面积 六年级数学上册 3.估算与近似：在实际测量中，结合圆周率的近似值，合理取值， 得到近似结果。 关系：C=πd■2πr 第五单元 4.生活应用：设计图案、制作模型、测量物体等，体会数学的价值。 2.四的面积 3实际应用 解决问题策略 求周长与而现时。先找准已知量，浸活运用 C=πd或2mr 项目 公式 说明 s=7 ★观与操作：动手一面、折一折、量一量， 直径与半径的关系 d=2r,r=4 d表示直径，r表示半径 探素圆的特征与性质 4生活中的题 ★转化思想：把圆的品分转化为已学的图形 要的周长 开=3,14 简化问题，便于计算。 重要公式汇总 圆的面积 S=开 r表示半径 ★归纳总结：从特殊到一般，发现规律， 扇形弧长 n为圈心角度数 建立公式，灵活应用。 10x2 品形面积 n为圆心角度数 知识梳理 温故知新 知识点一圆的认识 1.圆的定义：一条线段绕一个端点旋转360度，另一个端点形成的图形叫圆。 2.圆心 d 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母0表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3.半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 第3页共26页 2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 半径一般用字母r表示，如图中的线段OA。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。如图中的线段BC。 6.轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的 这条直线叫做对称轴。 7.圆的对称轴：直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 知识点二圆的周长 1.圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2.圆周率：圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数，我们把圆的周长和直径的比 值叫做圆周率，用字母π表示，圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，几一般取3.14，世界上第 一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数学家祖冲之。 3.圆的周长公式 C=πd或C=2r 圆周长=n×直径，圆周长=π×半径×2 知识点三圆的面积 1.圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。 2.圆的面积公式：S=πr2或者S=π(d÷2)2或者S=π(C÷π÷2)2 3.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 4.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 5.一个环形，外圆的半径是R,内圆的半径是r,它的面积是S=πR-r2 或S=π(R-r)。(其中R=r十环的宽度) 6.半圆周长=圆的周长的一半+半径×2 公式为：C=r+2r 半圆面积=圆的面积÷2 公式为：S=r2÷2 7.在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小 第4页共26页 2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 以上倍数的平方倍。 8.当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 9.当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 知识点四扇形 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆 周长的几分之几。 考点讲练真题汇总 高频考点一圆的概念及特点 【典例精讲】(2026·辽宁沈阳·小升初真题)一个圆的直径是6cm,以该圆的直径为三角形的底，三角 形的项点在圆周上运动，这个三角形的面积最大是( ）cm。 A.3 B.6 C.9 D.12 【变式训练】(25-26六年级下·山西吕梁·期末)在一张长30厘米、宽14厘米的长方形纸上，若剪下 一个最大的正方形，则这个正方形边长是( )厘米；若剪下一个最大的圆，则这个圆的半径是() 厘米，最多可以剪下( )个这样的圆。 高频考点二画圆 【典例精讲】(25-26六年级上·内蒙古兴安·期末)请你利用圆规、直尺、铅笔等工具，完成以下任务 并回答问题。 (1)画一个半径为2厘米的圆，并用字母标出圆心(0)、一条半径(r)和一条直径(d)。以这个圆的圆 心为中心点，再画一个直径为2厘米的同心圆。 (2)观察你画出的两个圆，计算出两个圆之间的环形的面积。 (3)请你说一说，在画圆的过程中，如何保证画出来的圆是标准的？ 【变式训练】(25-26六年级上·河南安阳·期末)按要求在下边方格纸上画图，其中每个小方格的边长 为1cm。 第5页共26页 2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 (1)画一个长和宽的和是15cm,且长和宽的比是3：2的长方形。 (2)在你画的长方形中画一个最大的圆，再在圆中画一个圆心角是120°的扇形。 高频考点三与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】(24-25六年级上·安徽毫州·期末)图形的世界丰富多彩，充满着奇妙与趣味。如下图， 它有( )条对称轴；大圆的半径是( )厘米，大圆的周长是( )厘米，小圆的面积是 ( )平方厘米。 4cm 6cm 【变式训练】(2025六年级下·辽宁·专题练习)下列说法中，正确的有( ）。 ①圆内最长的线段是直径。②水结成冰时，冰的体积比水的体积增加品，冰化成水时，冰的体积减少。® 大小不同的圆，大圆的圆周率大，小圆的圆周率小。④大小不等的两个圆组成的图形最多有2条对称轴。 ⑤如果a、b都不为0，如果a×号=b×行那么a<b。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 高频考点四弧、圆心角、扇形的认识 【典例精讲】(25-26六年级上·山西忻州·期末)下图中，每个方格的边长表示1厘米。 第6页共26页 2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 12 11 10 9 8 1 6 J 4 1 0 1234567891011121314 (1)以点(4,8)为圆心画一个直径4厘米的圆。 (2》在这个圆中画一个圆心角为90度的扇形，并用阴影表示出这个扇形。 (3)这个扇形的面积是( )平方厘米。 (4)以点(11,3)为圆心，画一个半径为3厘米的半圆，并画出它的对称轴。 【变式训练】(25-26六年级上·山东菏泽·期末)下面说法中正确的有( )个。 ①以圆为弧的扇形对应的圆心角是90°。 ②一个比的前项乘3，后项除以，这个比的比值不变。 ③学生参加课外活动的出勤率和产品销售的增长率都可以大于100%。 A.0 B.1 C.2 D.3 高频考点五圆的周长 【典例精讲】(25-26六年级下·辽宁营口·期末)求图中阴影部分的周长和面积。（单位：cm) 2m 【变式训练】.(25-26六年级下·江苏南通·期末)把一个半径2厘米的圆平均分成若干份，剪拼成一 个近似的长方形，周长比原来多了( )厘米，这个近似长方形的面积是( )平方厘米。 第7页共26页 2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点六半圆的周长 【典例精讲(24-25六年级下江西吉安期末)一个半圆形纸片的周长是10.28分米，它的面积是」 平方分米。 【变式训练】(25-26六年级下·甘肃平凉·期末)动物园要修一个半圆形的孔雀活动区（不靠墙），活 动区半径为8米，在活动区外侧安装一圈防护栏。防护栏的长度是多少米？ 高频考点七圆的周长的应用 【典例精讲】(25-26六年级下·山东济宁·期末)把一个圆沿它的半径平均分成若干份后，拼成了一个 近似的长方形，长方形周长比圆的周长增加10cm,这个圆的面积是( )cm2。 【变式训练】(25-26六年级下·广东佛山·期末)江海区郊外修建半径为125m圆形生态防护林带，圆形 防护林带的总长是( )米，沿边缘每隔5米栽一棵松树，一共能栽( )棵。（π取3.14） 高频考点八圆的面积 【典例精讲】(25-26六年级下·内蒙古乌兰察布·期末)求下面涂色部分的面积。 6cm 6cm 14cm 【变式训练】(24-25六年级下·福建龙岩·期末)如图所示，平行四边形ABCD的面积是100平方厘米。 阴影部分的面积是( )平方厘米。 A D 第8页共26页 2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点九圆的面积的应用 【典例精讲】(25-26六年级下·山东枣庄·期末)下面甲、乙两图中的两个圆的直径都是10cm,两图中 涂色部分的面积相比，（ )图的面积较大，大( )cm。(π取3.14) 【变式训练】(2025·湖南长沙·小升初真题)一个羊圈依墙而建，成半圆形，半径是5米。 5m (1)修这个羊圈需要多长的栅栏？ (2)如果要扩建这个羊圈。把它的半径增加1米。羊圈的面积增加了多少？ 高频考点十圆环的面积 【典例精讲】(25-26六年级下·河南安阳·期末)美术社团制作的毕业手抄报中画了一个圆环图案（如 图)：大圆直径是小圆直径的2倍，其中涂色部分的面积是16c2。这个圆环的面积是( )cm2。 A.64π B.48π C.32π D.16π 【变式训练】(24-25六年级下·四川德阳·期末)雒雒住的小区环境优美，绿树成荫。小区中央有一个 直径10米的圆形花坛，沿着花坛一周修了一条宽1米的石子小路。 (1)石子小路的面积是多少？ (2)花坛里面按照2：3：5的比例分别种了月季花、天竺葵、绣球花，天竺葵的种植面积是多少？ 第9页共26页 2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点十一求最大面积 【典例精讲】(25-26六年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末)在下面这张长方形纸上画一个最大的圆，再计 算如果把这个圆剪下来，剩余纸的面积是多少平方厘米？ 5cm 8cm 【变式训练】在下面的长方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是( )cm2。 10cm 12cm 高频考点十二含圆的组合图形的周长 【典例精讲】(25-26六年级下·河北唐山·期末)同学们和体育老师筹备运动会。下图是一圈400米的 标准跑道，数据如图所示，为保证第2道同学和第1道的同学跑的路程同样长，第2道同学的起跑线应该 往前移多少米？ 跑道宽1.5m 3s3 85.96m 第10页共26页 2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(25-26六年级上·全国·单元测试)求阴影部分的周长。 3 cm 3 cm 高频考点十三含圆的组合图形的面积 【典例精讲】(25-26六年级下·湖北孝感·学业考试真题)求阴影部分的面积。 不 8cm 【变式训练】(24-25六年级下·重庆万州·期末)求阴影部分的面积。（单位：cm) 8 0 高频考点十四方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】(25-26六年级上·河北邢台·期末)2026年马年春节是2月17日，小薇和同学们准备剪窗 花。小薇先用边长是28厘米的正方形纸张裁剪出一个最大的圆形纸片（如图所示），剪出圆形纸片后，正 方形纸剩余部分的面积是多少平方厘米？ 第11页共26页 2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(24-25六年级上·福建泉州·期末)《周髀算经》是中国古老的数学著作之一，其中有一 条最基本而重要的准则一一规矩方圆之道。“圆方图”是外圆内方，“方圆图”是外方内圆。下图中，两 个圆周长都是31.4cm,则①号图中正方形面积是( )cm:②号图中正方形面积是( )cm。 ① ② 高频考点十五用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】(25-26六年级下·全国·小升初复习)如图，图A与图B相比，图A的面积( 图B的面积，图A的周长( )图B的周长。正确的选项是( ）。 2cm 4 cm- 2cm A B A.等于；小于 B.大于；小于 C.小于：大于 【变式训练】(25-26六年级下·福建厦门·期中)如图用了转化思想的有( )。 ②)10001 ×() ① 求内角和 小数乘法 :高 求面积 求体积 A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②③④ 高频考点十六扇形的周长和面积 【典例精讲】(25-26六年级下·甘肃兰州·期末)下面三幅图中，所有圆的半径都相等，圆心分别是平 行四边形、梯形和三角形的顶点。 ① 比较三幅图中阴影部分的面积之和，描述正确的是( )。 A.图①中阴影部分的面积之和最大B.图②中阴影部分的面积之和最大 C.图③中阴影部分的面积之和最大 D.三幅图中阴影部分的面积之和一样大 第12页共26页 2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(25-26六年级上·河南安阳·期末)求出下图中涂色部分的面积。（π值取3.14） 8cm -8cm*-8cm→ 难点突破奥数拓展 奥数拓展一画圆 【典例精讲】(25-26六年级上·山东德州·期末)按要求画图（图中每个小格的边长代表1厘米）。 (1)画一个周长为24厘米的长方形，宽是长的好。 (2)在长方形中画一个最大的半圆，标注圆心、半径。 (3)请将剩余部分涂上阴影，它的面积是( )平方厘米 【变式训练】请在下面方框内画一个半径是2厘米的半圆，并用字母标出圆心、半径。再求出这个图形的 周长和面积。 第13页共26页 2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展二弧、圆心角、扇形的认识 【典例精讲】将一个边长为3厘米的等边三角形沿水平线滚动，B点从位置①到位置③所经过的路线总长 度是多少厘米？ B ① ② ③ 【变式训川练】如图，图中是3个半径2厘米的圆，圆心在三角形的3个项点处，阴影部分的面积和是多少 平方厘米？ 奥数拓展三圆的周长 【典例精讲】(2024六年级·广东深圳·竞赛)如图是圆形轨道，A和B两个小机器人，自甲处同时出发， 以相同的速度绕圆周反向运动，15分钟内相遇7次，如果A的速度每分钟增加6米，则A和B在15分钟内 相遇9次，圆形轨道直径最多是( )米。（取π=3.14，精确至0.01米） 甲 A B A.28.65B.28.66 C.26.26 D.24.3 E.25.21 第14页共26页 2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(23-24六年级上·湖南株洲·期末)甲、乙两人绕着一个圆形花坛散步，甲走一圈需要2 分钟，乙走一圈需要3分钟。 (1)如果甲、乙同时从0点出发，相背而行，几分钟后两人相遇？ (2)如果甲每分钟走62.8米，那么这个圆形花坛的周长是多少米？ (3)如果在这个圆形花坛里面种鲜花，可以种多少平方米的鲜花？ 奥数拓展四圆的周长的应用 【典例精讲】(25-26六年级上·浙江金华·期末)如下图，有一种酒瓶的直径是5cm,大小相同的酒瓶捆 扎在一起（接头处不计），第n组至少需要( )cm长的绳子。（结果保留π） 第①组 第②组 第③组 【变式训练】(23-24六年级下·河南信阳·期中)（如下图）A、B是圆直径的两端点，甲从A点、乙从 B点同时出发，沿圆周相向而行，两人在C点相遇，己知A、C两点在圆周上的长度为31.4米，甲的速度是 乙的则圆的直径是多少米？ 甲A B C 第15页共26页 2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展五圆的面积 【典例精讲】(25-26六年级上·四川达州·期末)为实现废旧物资的充分利用，王师傅需要从一个长方 体铁皮箱中得到一块最大的圆形铁皮。他将一个长4dm、宽4dm、高20dm的长方体铁皮箱沿棱切开并展开 为一块平面铁皮（铁皮厚度及衔接处忽略不计），然后从中裁出一块最大的圆形铁皮。王师傅裁下的这个 圆形铁皮的面积是( )dm2,剩余铁皮的面积是( )dm2。 【变式训川练】(24-25六年级上·重庆云阳·期末)下面各图中，阴影部分面积相等的是( )。 ①D ② ③ A.只有①和②阴影部分面积相等 B.只有②和③阴影部分面积相等 C.①、②和③阴影部分面积都相等 D.都不相等 奥数拓展六圆的面积的应用 【典例精讲】(2025·四川绵阳·小升初真题)求阴影部分的面积是多少平方分米？ 8分米 【变式训练】(24-25六年级上·广东佛山·期中)农场有一块靠墙长12米，宽8米的长方形空地。张叔 叔想在这块空地靠墙处设计出一个最大的半圆形空地改造成玉米地，剩下的空地改造成白菜地。 8米 12米 (1)玉米地的半径是( ）。 (2)白菜地的面积是多少平方米？ 第16页共26页 2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 (3)现在张叔叔想扩建这块地，其中宽不变，长比原来增加三。此时正好可以沿着玉米地外沿修一条宽1 米的小路（靠墙处不修），扩建后剩下的空地种白菜，求扩建后的白菜地面积是原来的百分之几？（百分 号前保留一位小数) 奥数拓展七圆环的面积 【典例精讲】(25-26六年级上·天津南开·期末)下图中阴影部分的面积是5cm2,圆环的面积是 )cm2。 【变式训练】聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律： 42-22=(4+2)×(4-2)=12 72-32=(7+3)×(7-3)=40 92-42=(9+4)×(9-4)=65 (1)请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。 152-52=( )X( (2)求下图中阴影部分的面积。聪聪说可以用“a一b”来计算，明明说也可以用“(a十b)×(a一b)” 来计算。你知道明明是怎么想的吗？ (3)运用上面发现的规律计算下图中扇环的面积。（单位：厘米） 第17页共26页 2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 14.5 奥数拓展八含圆的组合图形的周长 【典例精讲】(24-25六年级上·浙江温州·期末)一只狗被栓在一间小房子的墙角上（如图），这间小 房子的底面是一个边长为5米的正方形，栓小狗的绳长16米。小狗从点A出发，将绳子拉紧顺时针跑，最 多可跑多少米？ 5米 狗 16米 A 画一画：画出小狗的运动轨迹。 算一算： 【变式训练】求下列图形中阴影部分的周长。（单位：厘米） 3 第18页共26页 2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展九含圆的组合图形的面积 【典例精讲】如图：(1)是一个直径是12厘米的半圆，AB是直径。如图(2)所示，让A点不动，把整 个半圆逆时针转60°，此时B点移动到C点。请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14） C 60 (1) (2) 【变式训练】(24-25六年级下·海南海口·期末)如图，正方形边长2厘米，两阴影部分面积相差多少？ 奥数拓展十方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】(24-25六年级上·河南南阳·期末)过春节贴年画是我国的传统习俗。如图，这幅“福” 字年画中，圆的直径是20cm,“福”字所在的正方形与圆之间部分的面积是( )cm;如果在一张正 方形纸中剪这样的年画，正方形纸的面积至少是( )cm。 第19页共26页 2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(24-25六年级上·广西南宁·期末)在学校的科技小制作活动中，有两个机器人在进行移 动操作。一个机器人的形状是直径为10厘米的圆形，另一个是边长为10厘米的正方形。它们在一条长轨 道上，初始时两者相距28厘米。正方形机器人每秒移动4厘米，圆形机器人比正方形机器人快40%。 0. 28cm (1)当圆形机器人和正方形机器人刚好完全接触（重叠面积最大时），没有重合部分的面积是多少？ (2)正方形和圆形同时开始运动，经过多少秒后恰好完全分开？ 奥数拓展十一用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】按要求完成。 (1)在如图的正方形中画一个周长是4rcm的圆。 (2)如果所画的圆可以在正方形内任意移动，那么这个圆不能接触到的面积有多大？ 6cm 6cm 第20页共26页 2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】下图中正方形部分是一个水池，其余部分是草坪。已知正方形的面积是225m,草坪的面积是 多少平方米？ 奥数拓展十二扇形的周长和面积 【典例精讲】一只挂钟的时针长1dm,从上午9时到下午3时，时针尖端所走的路程是( ）dm。 A.1.57 B.3.14 C.6.28 D.5.14 【变式训练】如图，桌面上平放着一个边长为2分米的等边三角形ABC(图①)。现将这个三角形按图所 示方向紧贴着桌面进行滚动。在整个滚动过程中，顶点( )经过的路线轨迹最短，是( )分 米。 ① ② B B C A 优选真题实战演练 【基础通关】 1.(25-26六年级下·安徽芜湖·期末)“转化”是一种非常重要的数学思想。在推导圆的面积公式时， 我们将圆平均分成若干等份，拼成一个近似的长方形。在这个转化过程中( ）。 A.面积不变，周长不变 B.面积不变，周长增加 C.面积增加，周长不变 D.面积增加，周长增加 2.(25-26六年级下·河南驻马店·期末)小学六年我们积累了许多“图形”的知识，下面说法正确的有 ( )句。 ①过直线外一点只能画一条已知直线的平行线。 ②在一个三角形中，最多有2个锐角。 第21页共26页 2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 ③半径为2cm的圆，周长和面积相等。 ④等底等高的两个三角形一定可以拼成一个平行四边形。 A.1 B.2 C.3 D.4 3.(25-26六年级下·广东东莞·期末)小美有一枚直径是1厘米的游戏币，游戏币的其中一面的面积是 ( )平方厘米。如果把这枚游戏币沿着长是4厘米、宽是2厘米的长方形绕一圈，它走过的周长是 ( )厘米。 4.（24-25六年级下·安徽滁州·期末)如图，当钟面上时针从“2”走到“5”，分针一共旋转了( )° 如果时针的长度为4cm,这段时间时针扫过的面积是( ）cm2。 11 121 1121 10 10 23 33 33 4 8 ,765 765 4 5.(25-26六年级下·湖南常德·期末)钟表的分针长10厘米，时针长8厘米，从2时走到3时，分针尖 端走过的周长是( )厘米；从3时到6时，时针扫过的面积是( )平方厘米。（π取3.14） 6.(24-25六年级下·安徽六安·期末)计算下面各图形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 7.(26-27六年级上·全国·课后作业)在一个长6米、宽4米的长方形花圃里修建一个最大的圆形水池。 水池的占地面积是多少平方米？剩下的花圃的面积是多少平方米？ 第22页共26页 2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 8.(25-26六年级下·湖北恩施·期末)施施同学参加本次数理思维运动会数学手抄报竞赛，她在手抄报 的标题旁设计了一个花瓣状装饰图。该图以边长为2厘米的正方形的4条边为直径，分别向正方形外侧作4 个半圆，围成封闭的四叶花瓣状图形（如下图）。这个装饰图的面积是多少平方厘米？ 2cm 9.(25-26六年级下·河北邯郸·期末)一个运动场如图，两头是半圆形，中间是长方形，这个运动场的 面积是多少平方米？ 日O9 125m 10.(25-26六年级上·吉林长春·期末)如图，在长是12厘米、宽是8厘米的长方形方框中，用一个半 径为1厘米的圆形纸片无滑动地沿着方框按A一B一C一D一A的方向滚动。纸片贴着方框内部滚动一周回到 出发位置，圆形纸片没有滚到的部分的面积是多少平方厘米？（本题中π的值取3） 第23页共26页 2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 【能力提升】 1.(25-26六年级上·河南周口·期末)一张长20厘米，宽12厘米的长方形纸最多可以剪下( 个半径为2厘米的圆。 A.16 B.15 C.19 2.(25-26六年级上·四川眉山·期末)兰兰和欣欣在玩“猫捉老鼠”的游戏（如图）。兰兰从圆心点0 向点A方向跑，欣欣同时从点B沿弧线也向点A方向跑。欣欣的速度至少是兰兰的( )倍，才能 在点A处捉到兰兰。 兰兰 B 0 欣欣 A.π B.3 C.2π 3.(25-26六年级上·河北邯郸·期末)在一张长20厘米，宽12厘米的长方形纸上剪直径为4厘米的圆 形纸片，最多能剪( )个。 4.(（25-26六年级上·江苏苏州·期中)如图，这个组合图形面积是60平方厘米，长方形的面积与圆的面 积比是8：5，阴影部分与圆的面积比是1：5，长方形的面积是( )平方厘米。 5.(25-26六年级上·江西吉安·期末)在一张长8Cm、宽6cm的长方形纸上剪下一个最大的半圆，剩余 部分的面积是( )cm。 6.求阴影部分的面积。（单位：分米） O 10.4 30 d=24 12 第24页共26页 2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 7.(24-25六年级上·湖北武汉·期末)如图，正方形的面积是50平方厘米，阴影部分的面积是多少平方 厘米？ 8.(25-26六年级·全国·随堂练习)天然气是一种清洁环保的优质能源，可以改善环境质量。下图为工 人师傅制作的一个棱长为5d血m、圆孔的直径为2dm的正方体天然气管道，现要给管道的表面涂一层防锈漆， 需要涂漆的面积是多少平方分米？（接口处忽略不计) 2 dm wp dm 5 dm 9.(24-25六年级下·安徽毫州·期末)下图中每个小正方形的边长都代表1cm,请根据要求画图。 a C (1)以直线a为对称轴，画出图①的轴对称图形，标上“②”。 (2)画出图形①绕点A逆时针旋转90°后的图形，标上“③”。 第25页共26页 2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 (3)画出图形①先向右平移6格，再向上平移5格后的图形，并标上“④”。 (4)以点0为圆心，画半径为3cm的圆，并标上“⑤”。 10.(25-26六年级上·山东青岛·期末)按要求完成下列各题。 1cm (图中1小格的边长代表1厘米) (1)画一个周长是18厘米的长方形，长和宽的比是5：4。 (2)在长方形内画一个面积最大的圆。 (3)在圆内画两条互相垂直的直径，依次连接这两条直径的4个端点，画出一个正方形。 (4)求出(3)中所画正方形的面积。 第26页共26页2026-2027学年苏教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 第五单元 圆『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+16个考点讲练+12个奥数拓展+真题难度分层演练 共76题） 同学你好，该份讲义用于苏教版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏教版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 知识点一 圆的认识 3 知识点二 圆的周长 4 知识点三 圆的面积 4 知识点四 扇形 5 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 圆的概念及特点 5 高频考点二 画圆 5 高频考点三 与圆相关的轴对称图形 6 高频考点四 弧、圆心角、扇形的认识 6 高频考点五 圆的周长 7 高频考点六 半圆的周长 8 高频考点七 圆的周长的应用 8 高频考点八 圆的面积 8 高频考点九 圆的面积的应用 9 高频考点十 圆环的面积 9 高频考点十一 求最大面积 10 高频考点十二 含圆的组合图形的周长 10 高频考点十三 含圆的组合图形的面积 11 高频考点十四 方中圆和圆中方的面积问题 11 高频考点十五 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 12 高频考点十六 扇形的周长和面积 12 难点突破 奥数拓展 13 奥数拓展一 画圆 13 奥数拓展二 弧、圆心角、扇形的认识 14 奥数拓展三 圆的周长 14 奥数拓展四 圆的周长的应用 15 奥数拓展五 圆的面积 16 奥数拓展六 圆的面积的应用 16 奥数拓展七 圆环的面积 17 奥数拓展八 含圆的组合图形的周长 18 奥数拓展九 含圆的组合图形的面积 19 奥数拓展十 方中圆和圆中方的面积问题 19 奥数拓展十一 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 20 奥数拓展十二 扇形的周长和面积 21 优选真题 实战演练 21 【基础通关】 21 【能力提升】 24 知识点一 圆的认识 1． 圆的定义:一条线段绕一个端点旋转360度，另一个端点形成的图形叫圆。 2．圆心 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3．半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 半径一般用字母r表示，如图中的线段OA。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。如图中的线段BC。 6.轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 7.圆的对称轴:直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 知识点二 圆的周长 1．圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2．圆周率:圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数，我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示，圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，π一般取3.14，世界上第一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数学家祖冲之。 3．圆的周长公式。 或 圆周长=π×直径，圆周长=π×半径×2 知识点三 圆的面积 1. 圆的面积:圆所占面积的大小叫圆的面积。 2．圆的面积公式:或者或者 3.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 4.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 5.一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是 或。（其中R＝r＋环的宽度） 6．半圆周长＝圆的周长的一半＋半径×2 公式为： 半圆面积＝圆的面积÷2 公式为： 7．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。 8．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 9．当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 知识点四 扇形 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。 高频考点一 圆的概念及特点 【典例精讲】（2026·辽宁沈阳·小升初真题）一个圆的直径是6cm，以该圆的直径为三角形的底，三角形的顶点在圆周上运动，这个三角形的面积最大是（    ）cm2。 A．3 B．6 C．9 D．12 【变式训练】（25-26六年级下·山西吕梁·期末）在一张长30厘米、宽14厘米的长方形纸上，若剪下一个最大的正方形，则这个正方形边长是( )厘米；若剪下一个最大的圆，则这个圆的半径是( )厘米，最多可以剪下( )个这样的圆。 高频考点二 画圆 【典例精讲】（25-26六年级上·内蒙古兴安·期末）请你利用圆规、直尺、铅笔等工具，完成以下任务并回答问题。 (1)画一个半径为2厘米的圆，并用字母标出圆心（O）、一条半径（r）和一条直径（d）。以这个圆的圆心为中心点，再画一个直径为2厘米的同心圆。 (2)观察你画出的两个圆，计算出两个圆之间的环形的面积。 (3)请你说一说，在画圆的过程中，如何保证画出来的圆是标准的？ 【变式训练】（25-26六年级上·河南安阳·期末）按要求在下边方格纸上画图，其中每个小方格的边长为1cm。 (1)画一个长和宽的和是15cm，且长和宽的比是3∶2的长方形。 (2)在你画的长方形中画一个最大的圆，再在圆中画一个圆心角是120°的扇形。 高频考点三 与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】（24-25六年级上·安徽亳州·期末）图形的世界丰富多彩，充满着奇妙与趣味。如下图，它有( )条对称轴；大圆的半径是( )厘米，大圆的周长是( )厘米，小圆的面积是( )平方厘米。 【变式训练】（2025六年级下·辽宁·专题练习）下列说法中，正确的有（    ）。 ①圆内最长的线段是直径。②水结成冰时，冰的体积比水的体积增加，冰化成水时，冰的体积减少。③大小不同的圆，大圆的圆周率大，小圆的圆周率小。④大小不等的两个圆组成的图形最多有2条对称轴。⑤如果、都不为0，如果，那么。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 高频考点四 弧、圆心角、扇形的认识 【典例精讲】（25-26六年级上·山西忻州·期末）下图中，每个方格的边长表示1厘米。 (1)以点（4，8）为圆心画一个直径4厘米的圆。 (2)在这个圆中画一个圆心角为90度的扇形，并用阴影表示出这个扇形。 (3)这个扇形的面积是( )平方厘米。 (4)以点（11，3）为圆心，画一个半径为3厘米的半圆，并画出它的对称轴。 【变式训练】（25-26六年级上·山东菏泽·期末）下面说法中正确的有（    ）个。 ①以圆为弧的扇形对应的圆心角是90°。 ②一个比的前项乘3，后项除以，这个比的比值不变。 ③学生参加课外活动的出勤率和产品销售的增长率都可以大于100%。 A．0 B．1 C．2 D．3 高频考点五 圆的周长 【典例精讲】（25-26六年级下·辽宁营口·期末）求图中阴影部分的周长和面积。（单位：cm） 【变式训练】．（25-26六年级下·江苏南通·期末）把一个半径2厘米的圆平均分成若干份，剪拼成一个近似的长方形，周长比原来多了( )厘米，这个近似长方形的面积是( )平方厘米。 高频考点六 半圆的周长 【典例精讲】（24-25六年级下·江西吉安·期末）一个半圆形纸片的周长是10.28分米，它的面积是_________平方分米。 【变式训练】（25-26六年级下·甘肃平凉·期末）动物园要修一个半圆形的孔雀活动区（不靠墙），活动区半径为8米，在活动区外侧安装一圈防护栏。防护栏的长度是多少米？ 高频考点七 圆的周长的应用 【典例精讲】（25-26六年级下·山东济宁·期末）把一个圆沿它的半径平均分成若干份后，拼成了一个近似的长方形，长方形周长比圆的周长增加10cm，这个圆的面积是( )。 【变式训练】（25-26六年级下·广东佛山·期末）江海区郊外修建半径为125m圆形生态防护林带，圆形防护林带的总长是( )米，沿边缘每隔5米栽一棵松树，一共能栽( )棵。（π取3.14） 高频考点八 圆的面积 【典例精讲】（25-26六年级下·内蒙古乌兰察布·期末）求下面涂色部分的面积。 【变式训练】（24-25六年级下·福建龙岩·期末）如图所示，平行四边形ABCD的面积是100平方厘米。阴影部分的面积是( )平方厘米。 高频考点九 圆的面积的应用 【典例精讲】（25-26六年级下·山东枣庄·期末）下面甲、乙两图中的两个圆的直径都是10cm，两图中涂色部分的面积相比，( )图的面积较大，大( )cm2。（π取3.14） 【变式训练】（2025·湖南长沙·小升初真题）一个羊圈依墙而建，成半圆形，半径是5米。 (1)修这个羊圈需要多长的栅栏？ (2)如果要扩建这个羊圈。把它的半径增加1米。羊圈的面积增加了多少？ 高频考点十 圆环的面积 【典例精讲】（25-26六年级下·河南安阳·期末）美术社团制作的毕业手抄报中画了一个圆环图案（如图）：大圆直径是小圆直径的2倍，其中涂色部分的面积是16。这个圆环的面积是（    ）。 A．64π B．48π C．32π D．16π 【变式训练】（24-25六年级下·四川德阳·期末）雒雒住的小区环境优美，绿树成荫。小区中央有一个直径10米的圆形花坛，沿着花坛一周修了一条宽1米的石子小路。 (1)石子小路的面积是多少？ (2)花坛里面按照2∶3∶5的比例分别种了月季花、天竺葵、绣球花，天竺葵的种植面积是多少？ 高频考点十一 求最大面积 【典例精讲】（25-26六年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在下面这张长方形纸上画一个最大的圆，再计算如果把这个圆剪下来，剩余纸的面积是多少平方厘米？ 【变式训练】在下面的长方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是( )cm2。 高频考点十二 含圆的组合图形的周长 【典例精讲】（25-26六年级下·河北唐山·期末）同学们和体育老师筹备运动会。下图是一圈400米的标准跑道，数据如图所示，为保证第2道同学和第1道的同学跑的路程同样长，第2道同学的起跑线应该往前移多少米？ 【变式训练】（25-26六年级上·全国·单元测试）求阴影部分的周长。     高频考点十三 含圆的组合图形的面积 【典例精讲】（25-26六年级下·湖北孝感·学业考试真题）求阴影部分的面积。 【变式训练】（24-25六年级下·重庆万州·期末）求阴影部分的面积。（单位：cm） 高频考点十四 方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（25-26六年级上·河北邢台·期末）2026年马年春节是2月17日，小薇和同学们准备剪窗花。小薇先用边长是28厘米的正方形纸张裁剪出一个最大的圆形纸片（如图所示），剪出圆形纸片后，正方形纸剩余部分的面积是多少平方厘米？ 【变式训练】（24-25六年级上·福建泉州·期末）《周髀算经》是中国古老的数学著作之一，其中有一条最基本而重要的准则——规矩方圆之道。“圆方图”是外圆内方，“方圆图”是外方内圆。下图中，两个圆周长都是31.4cm，则①号图中正方形面积是( )cm2；②号图中正方形面积是( )cm2。 高频考点十五 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】（25-26六年级下·全国·小升初复习）如图，图A与图B相比，图A的面积（    ）图B的面积，图A的周长（    ）图B的周长。正确的选项是（    ）。 A．等于；小于 B．大于；小于 C．小于；大于 【变式训练】（25-26六年级下·福建厦门·期中）如图用了转化思想的有（    ）。 A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 高频考点十六 扇形的周长和面积 【典例精讲】（25-26六年级下·甘肃兰州·期末）下面三幅图中，所有圆的半径都相等，圆心分别是平行四边形、梯形和三角形的顶点。 比较三幅图中阴影部分的面积之和，描述正确的是（    ）。 A．图①中阴影部分的面积之和最大 B．图②中阴影部分的面积之和最大 C．图③中阴影部分的面积之和最大 D．三幅图中阴影部分的面积之和一样大 【变式训练】（25-26六年级上·河南安阳·期末）求出下图中涂色部分的面积。（值取3.14） 奥数拓展一 画圆 【典例精讲】（25-26六年级上·山东德州·期末）按要求画图（图中每个小格的边长代表1厘米）。 （1）画一个周长为24厘米的长方形，宽是长的。 （2）在长方形中画一个最大的半圆，标注圆心、半径。 （3）请将剩余部分涂上阴影，它的面积是（    ）平方厘米 【变式训练】请在下面方框内画一个半径是2厘米的半圆，并用字母标出圆心、半径。再求出这个图形的周长和面积。 奥数拓展二 弧、圆心角、扇形的认识 【典例精讲】将一个边长为3厘米的等边三角形沿水平线滚动，B点从位置①到位置③所经过的路线总长度是多少厘米？ 【变式训练】如图，图中是3个半径2厘米的圆，圆心在三角形的3个顶点处，阴影部分的面积和是多少平方厘米？ 奥数拓展三 圆的周长 【典例精讲】（2024六年级·广东深圳·竞赛）如图是圆形轨道，A和B两个小机器人，自甲处同时出发，以相同的速度绕圆周反向运动，15分钟内相遇7次，如果A的速度每分钟增加6米，则A和B在15分钟内相遇9次，圆形轨道直径最多是（    ）米。（取π＝3.14，精确至0.01米） A．28.65 B．28.66 C．26.26 D．24.3 E．25.21 【变式训练】（23-24六年级上·湖南株洲·期末）甲、乙两人绕着一个圆形花坛散步，甲走一圈需要2分钟，乙走一圈需要3分钟。 （1）如果甲、乙同时从O点出发，相背而行，几分钟后两人相遇？ （2）如果甲每分钟走62.8米，那么这个圆形花坛的周长是多少米？ （3）如果在这个圆形花坛里面种鲜花，可以种多少平方米的鲜花？ 奥数拓展四 圆的周长的应用 【典例精讲】（25-26六年级上·浙江金华·期末）如下图，有一种酒瓶的直径是5cm，大小相同的酒瓶捆扎在一起（接头处不计），第n组至少需要( )cm长的绳子。（结果保留） 【变式训练】（23-24六年级下·河南信阳·期中）（如下图）A、B是圆直径的两端点，甲从A点、乙从B点同时出发，沿圆周相向而行，两人在C点相遇，已知A、C两点在圆周上的长度为31.4米，甲的速度是乙的，则圆的直径是多少米？ 奥数拓展五 圆的面积 【典例精讲】（25-26六年级上·四川达州·期末）为实现废旧物资的充分利用，王师傅需要从一个长方体铁皮箱中得到一块最大的圆形铁皮。他将一个长4dm、宽4dm、高20dm的长方体铁皮箱沿棱切开并展开为一块平面铁皮（铁皮厚度及衔接处忽略不计），然后从中裁出一块最大的圆形铁皮。王师傅裁下的这个圆形铁皮的面积是( )，剩余铁皮的面积是( )。 【变式训练】（24-25六年级上·重庆云阳·期末）下面各图中，阴影部分面积相等的是（    ）。 A．只有①和②阴影部分面积相等 B．只有②和③阴影部分面积相等 C．①、②和③阴影部分面积都相等 D．都不相等 奥数拓展六 圆的面积的应用 【典例精讲】（2025·四川绵阳·小升初真题）求阴影部分的面积是多少平方分米？ 【变式训练】（24-25六年级上·广东佛山·期中）农场有一块靠墙长12米，宽8米的长方形空地。张叔叔想在这块空地靠墙处设计出一个最大的半圆形空地改造成玉米地，剩下的空地改造成白菜地。 （1）玉米地的半径是（    ）。 （2）白菜地的面积是多少平方米？ （3）现在张叔叔想扩建这块地，其中宽不变，长比原来增加。此时正好可以沿着玉米地外沿修一条宽1米的小路（靠墙处不修），扩建后剩下的空地种白菜，求扩建后的白菜地面积是原来的百分之几？（百分号前保留一位小数） 奥数拓展七 圆环的面积 【典例精讲】（25-26六年级上·天津南开·期末）下图中阴影部分的面积是，圆环的面积是( )。 【变式训练】聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律： （1）请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。 （__________＋__________）×（___________－_________） （2）求下图中阴影部分的面积。聪聪说可以用“a2－b2”来计算，明明说也可以用“（a＋b）×（a－b）”来计算。你知道明明是怎么想的吗？ （3）运用上面发现的规律计算下图中扇环的面积。（单位：厘米） 奥数拓展八 含圆的组合图形的周长 【典例精讲】（24-25六年级上·浙江温州·期末）一只狗被栓在一间小房子的墙角上（如图），这间小房子的底面是一个边长为5米的正方形，栓小狗的绳长16米。小狗从点A出发，将绳子拉紧顺时针跑，最多可跑多少米？ 画一画：画出小狗的运动轨迹。 算一算： 【变式训练】求下列图形中阴影部分的周长。（单位：厘米） 奥数拓展九 含圆的组合图形的面积 【典例精讲】如图：（1）是一个直径是12厘米的半圆，AB是直径。如图（2）所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B点移动到C点。请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【变式训练】（24-25六年级下·海南海口·期末）如图，正方形边长2厘米，两阴影部分面积相差多少？ 奥数拓展十 方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（24-25六年级上·河南南阳·期末）过春节贴年画是我国的传统习俗。如图，这幅“福”字年画中，圆的直径是20cm，“福”字所在的正方形与圆之间部分的面积是( )cm2；如果在一张正方形纸中剪这样的年画，正方形纸的面积至少是( )cm2。 【变式训练】（24-25六年级上·广西南宁·期末）在学校的科技小制作活动中，有两个机器人在进行移动操作。一个机器人的形状是直径为10厘米的圆形，另一个是边长为10厘米的正方形。它们在一条长轨道上，初始时两者相距28厘米。正方形机器人每秒移动4厘米，圆形机器人比正方形机器人快40%。 （1）当圆形机器人和正方形机器人刚好完全接触（重叠面积最大时），没有重合部分的面积是多少？ （2）正方形和圆形同时开始运动，经过多少秒后恰好完全分开？ 奥数拓展十一 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】按要求完成。 （1）在如图的正方形中画一个周长是的圆。 （2）如果所画的圆可以在正方形内任意移动，那么这个圆不能接触到的面积有多大？ 【变式训练】下图中正方形部分是一个水池，其余部分是草坪。已知正方形的面积是225m2，草坪的面积是多少平方米？ 奥数拓展十二 扇形的周长和面积 【典例精讲】一只挂钟的时针长1dm，从上午9时到下午3时，时针尖端所走的路程是（    ）dm。 A．1.57 B．3.14 C．6.28 D．5.14 【变式训练】如图，桌面上平放着一个边长为2分米的等边三角形ABC（图①）。现将这个三角形按图所示方向紧贴着桌面进行滚动。在整个滚动过程中，顶点( )经过的路线轨迹最短，是( )分米。 【基础通关】 1．（25-26六年级下·安徽芜湖·期末）“转化”是一种非常重要的数学思想。在推导圆的面积公式时，我们将圆平均分成若干等份，拼成一个近似的长方形。在这个转化过程中（    ）。 A．面积不变，周长不变 B．面积不变，周长增加 C．面积增加，周长不变 D．面积增加，周长增加 2．（25-26六年级下·河南驻马店·期末）小学六年我们积累了许多“图形”的知识，下面说法正确的有（    ）句。 ①过直线外一点只能画一条已知直线的平行线。 ②在一个三角形中，最多有2个锐角。 ③半径为2cm的圆，周长和面积相等。 ④等底等高的两个三角形一定可以拼成一个平行四边形。 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26六年级下·广东东莞·期末）小美有一枚直径是1厘米的游戏币，游戏币的其中一面的面积是( )平方厘米。如果把这枚游戏币沿着长是4厘米、宽是2厘米的长方形绕一圈，它走过的周长是( )厘米。 4．（24-25六年级下·安徽滁州·期末）如图，当钟面上时针从“2”走到“5”，分针一共旋转了( )°；如果时针的长度为4cm，这段时间时针扫过的面积是( )。 5．（25-26六年级下·湖南常德·期末）钟表的分针长10厘米，时针长8厘米，从2时走到3时，分针尖端走过的周长是( )厘米；从3时到6时，时针扫过的面积是( )平方厘米。（取3.14） 6．（24-25六年级下·安徽六安·期末）计算下面各图形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 7．（26-27六年级上·全国·课后作业）在一个长6米、宽4米的长方形花圃里修建一个最大的圆形水池。水池的占地面积是多少平方米？剩下的花圃的面积是多少平方米？ 8．（25-26六年级下·湖北恩施·期末）施施同学参加本次数理思维运动会数学手抄报竞赛，她在手抄报的标题旁设计了一个花瓣状装饰图。该图以边长为2厘米的正方形的4条边为直径，分别向正方形外侧作4个半圆，围成封闭的四叶花瓣状图形（如下图）。这个装饰图的面积是多少平方厘米？ 9．（25-26六年级下·河北邯郸·期末）一个运动场如图，两头是半圆形，中间是长方形，这个运动场的面积是多少平方米？ 10．（25-26六年级上·吉林长春·期末）如图，在长是12厘米、宽是8厘米的长方形方框中，用一个半径为1厘米的圆形纸片无滑动地沿着方框按A—B—C—D—A的方向滚动。纸片贴着方框内部滚动一周回到出发位置，圆形纸片没有滚到的部分的面积是多少平方厘米？（本题中π的值取3） 【能力提升】 1．（25-26六年级上·河南周口·期末）一张长20厘米，宽12厘米的长方形纸最多可以剪下（    ）个半径为2厘米的圆。 A．16 B．15 C．19 2．（25-26六年级上·四川眉山·期末）兰兰和欣欣在玩“猫捉老鼠”的游戏（如图）。兰兰从圆心点O向点A方向跑，欣欣同时从点B沿弧线也向点A方向跑。欣欣的速度至少是兰兰的（    ）倍，才能在点A处捉到兰兰。 A．π B．3 C．2π 3．（25-26六年级上·河北邯郸·期末）在一张长20厘米，宽12厘米的长方形纸上剪直径为4厘米的圆形纸片，最多能剪( )个。 4．（25-26六年级上·江苏苏州·期中）如图，这个组合图形面积是60平方厘米，长方形的面积与圆的面积比是8∶5，阴影部分与圆的面积比是1∶5，长方形的面积是( )平方厘米。 5．（25-26六年级上·江西吉安·期末）在一张长8cm、宽6cm的长方形纸上剪下一个最大的半圆，剩余部分的面积是( )cm2。 6．求阴影部分的面积。（单位：分米） 7．（24-25六年级上·湖北武汉·期末）如图，正方形的面积是50平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 8．（25-26六年级·全国·随堂练习）天然气是一种清洁环保的优质能源，可以改善环境质量。下图为工人师傅制作的一个棱长为5dm、圆孔的直径为2dm的正方体天然气管道，现要给管道的表面涂一层防锈漆，需要涂漆的面积是多少平方分米？（接口处忽略不计） 9．（24-25六年级下·安徽亳州·期末）下图中每个小正方形的边长都代表1cm，请根据要求画图。 ()以直线a为对称轴，画出图①的轴对称图形，标上“②”。 ()画出图形①绕点A逆时针旋转90°后的图形，标上“③”。 ()画出图形①先向右平移6格，再向上平移5格后的图形，并标上“④”。 ()以点O为圆心，画半径为3cm的圆，并标上“⑤”。 10．（25-26六年级上·山东青岛·期末）按要求完成下列各题。 （图中1小格的边长代表1厘米） (1)画一个周长是18厘米的长方形，长和宽的比是5∶4。 (2)在长方形内画一个面积最大的圆。 (3)在圆内画两条互相垂直的直径，依次连接这两条直径的4个端点，画出一个正方形。 (4)求出（3）中所画正方形的面积。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null