精品解析：江苏苏州市相城区苏城外国语学校2026-2027学年九年级上学期10月质量调研数学试题

苏城外国语学校2026-2027学年第一学期 10月质量调研试卷初三数学 时间：120分钟 满分：130分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 反比例函数的图象在（ ）． A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 2. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若二次函数的图象经过原点，则的值是（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 0或2 4. 若点，，都在反比例函数的图象上，则、，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图：某广场有一喷水池，水从地面喷出，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（　　） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 6. 如图所示，在平面直角坐标系中放置一块含角的直角三角板，其中点的坐标为，点在函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 7. 函数的图象经过点．若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 8. 如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 如图，点P在反比例函数的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 10. 已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，y的值随x值的增大而减小．则k的取值范围是________． 11. 若抛物线与轴有交点，则的取值范围为______________． 12. 若点，在函数的图像上，则____（用“＜”、“”或者“”连接）． 13. 将二次函数的图象向左平移个单位后经过点，则m的值为________． 14. 如图①，某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边AB，AC，BD和抛物线的一段（点为抛物线的顶点）构成，以AB的中点为原点，分别以直线AB和抛物线的对称轴为轴和轴，建立如图②所示的平面直角坐标系．其中，米，米，米．为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米．若行车道的总宽度MN为8米，且为MN的中点，则通过隧道的车辆的限制高度为__________米．（车道分界线的宽度忽略不计） 15. 抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②；③；④方程有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为________个． 16. 如图，在正方形中，，点在上，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接、、，设，面积为，则与之间的关系式是________． 三、解答题（本大题共10小题，共82分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集． 19. 已知抛物线． （1）将配方成的形式； （2）写出该抛物线的开口方向和对称轴； （3）当时，求的取值范围． 20. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的几组对应值如表所示． 3 4 5 6 8 9 10 9 7.2 4.5 4 （1）写出电流关于电阻的函数关系式：___________（不写自变量的取值范围）； （2）将表格空格处的数值补充完整； （3）若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，求出该用电器的可变电阻应控制的范围． 21. 某商场销售一批衬衫，平均每天可以售出件，每件盈利元．为回馈顾客，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫降价元，商场平均每天可多售出件． （1）若每件衬衫降价元，商场可售出多少件？ （2）每件衬衫应降价多少元商场每天的盈利可达到最大值，最大值是多少？ 22. 在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动． （1）如果、同时出发，几秒钟后，可使的面积为8平方厘米？ （2）点、在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积最大？若存在，求出运动的时间和最大的面积．若不存在，说明理由． 23. 跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点.以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为． （1）求a、b的值； （2）如果小华站在之间，且离点的距离为米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，求小华的身高； （3）如果身高为米的小丽站在之间，且离点的距离为米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象直接写出的取值范围______． 24. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． （1）求A，B两点的坐标； （2）若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 25. 如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点． （1）求二次函数表达式； （2）将抛物线向左平移a个单位，然后向下平移个单位，恰好经过点，则a的值为________； （3）已知P为线段上一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当时，求点P的横坐标． 26. 定义：我们把函数与正比例函数的交点称为该函数的“不动点”例如，求一次函数的“不动点”，联立方程，解得，则该一次函数的“不动点”为． （1）判断函数的图象上是否存在“不动点”？如果存在，求出“不动点”的坐标；如果不存在，说明理由． （2）若二次函数的图像上存在两个“不动点”A，B，当时，求b的值； （3）已知二次函数，直线：，将该二次函数在直线下方的图象沿直线翻折到直线上方，其余部分图象不变，得到一个新的函数图象．若新的函数图象上恰有3个“不动点”，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏城外国语学校2026-2027学年第一学期 10月质量调研试卷初三数学 时间：120分钟 满分：130分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 反比例函数的图象在（ ）． A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】通过确定反比例函数中的符号，判断图象所在象限即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴图象位于第二、四象限． 2. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数顶点式的顶点坐标为这一性质来求解. 【详解】解：∵二次函数顶点式的顶点坐标为 又∵， ∴该二次函数的顶点坐标为 故选：B． 3. 若二次函数的图象经过原点，则的值是（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 0或2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式．二次函数图象上的点的坐标使二次函数的解析式成立，坐标使二次函数解析式成立的点在二次函数的图象上． 【详解】解：因为二次函数的图象经过原点，所以， 解得：或2， 因为二次函数中二次项系数不等于0， 所以，所以， 故选：C． 4. 若点，，都在反比例函数的图象上，则、，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断比例系数的符号，再根据各点横坐标的范围判断函数值的正负，结合反比例函数的增减性比较大小即可． 【详解】解：∵由题可知， ∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限，且每个象限内y随x的增大而减小， ∵ 点的横坐标， ∴ A在第三象限，可得， ∵，点B，C都在第一象限， ∴， 综上可得． 5. 如图：某广场有一喷水池，水从地面喷出，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（　　） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值，掌握相关知识是解决问题的关键．把解析式化为顶点式即可判断． 【详解】解：， ∵抛物线开口向下， ∴二次函数有最大值为4， ∴水喷出的最大高度是4米． 故选：A． 6. 如图所示，在平面直角坐标系中放置一块含角的直角三角板，其中点的坐标为，点在函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则，证明，可得，从而得到点的坐标为，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在函数的图象上， ∴． 7. 函数的图象经过点．若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键．先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性，则可求得的取值范围． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴图象的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵二次函数的图象经过点，且， ∴或， 故选：D． 8. 如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出反比例函数解析式，设出点C坐标，得到点B纵坐标，利用相似三角形性质，用表示求出OA，再利用平行四边形的面积是构造方程求即可． 【详解】解：如图，分别过点D、B作DE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F，延长BC交y轴于点H ∵四边形是平行四边形 ∴易得CH=AF ∵点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点 ∴ 即反比例函数解析式为 ∴设点C坐标为 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，点B坐标为 ∵平行四边形的面积是 ∴ 解得（舍去） ∴点B坐标为 故应选：B 【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合问题，涉及到相似三角形的性质、反比例函数的性质，解答关键是根据题意构造方程求解． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 如图，点P在反比例函数的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，可知的面积等于，结合图像所在象限确定的符号，即可求出函数表达式． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∵轴，垂足为， ∴，， 在中，， 解得， 由图像可知，反比例函数图像位于第一、三象限， ∴， ∴， 故这个反比例函数的表达式为． 10. 已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，y的值随x值的增大而减小．则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性判断出的符号，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解： 反比例函数的图象在所在象限内，的值随值的增大而减小，，解得． 11. 若抛物线与轴有交点，则的取值范围为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．将问题转化为关于的方程有实数根，再利用一元二次方程的根的判别式求解即可得． 【详解】解：∵抛物线与轴有交点， ∴关于的方程有实数根， ∴这个方程的根的判别式， 解得， 故答案为：． 12. 若点，在函数的图像上，则____（用“＜”、“”或者“”连接）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握抛物线上的点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 通过计算点A和点B的纵坐标表达式，并利用比较大小即可． 【详解】解：由函数， 将点代入，得 ； 将点代入，得 ． 因为， 所以， 故， 即． 故答案为：＜． 13. 将二次函数的图象向左平移个单位后经过点，则m的值为________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：二次函数的图象向左平移个单位后为， 代入，得， 解得， 又， ∴． 14. 如图①，某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边AB，AC，BD和抛物线的一段（点为抛物线的顶点）构成，以AB的中点为原点，分别以直线AB和抛物线的对称轴为轴和轴，建立如图②所示的平面直角坐标系．其中，米，米，米．为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米．若行车道的总宽度MN为8米，且为MN的中点，则通过隧道的车辆的限制高度为__________米．（车道分界线的宽度忽略不计） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，用待定系数法求出函数解析式；设车的高度为h，把代入解析式，求出h的值即可． 【详解】解：由题意可知，， ∵E为抛物线的顶点， ∴设抛物线解析式为， 把点D坐标代入解析式得：， 解得， ∴抛物线解析式为； 由题意知，， 设车的高度为h，则当时，， ∴， 解得：， ∴通过隧道的车辆的限制高度为米． 故答案为：． 15. 抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②；③；④方程有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为________个． 【答案】4 【解析】 【分析】由抛物线与轴有两个交点得到，可判断①的正误；由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性得抛物线与轴的另一个交点在点和之间，观察时，值的大小，进而可判断②的正误；将抛物线的顶点代入可得，由抛物线的对称轴为直线可得，可得的关系，进而可判断③的正误；一元二次方程的根，可以看作二次函数的图象与直线的交点的横坐标，进而可判断④的正误． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴相关的一元二次方程的根的判别式，故①正确； ∵顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴的一个交点A在点和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴当时，， ∴，故②正确； 将抛物线的顶点代入解析式得， ∵抛物线的对称轴为直线，即， ∴，即，故③正确； ∵与的交点的横坐标即为的根， ∴由图象知二次函数的图象与直线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根，故④正确． 故正确结论有①②③④，共4个． 16. 如图，在正方形中，，点在上，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接、、，设，面积为，则与之间的关系式是________． 【答案】（）． 【解析】 【分析】把绕点旋转后，，与互余，再由直角三角形两锐角互余得；过点作的垂线，用判定它与全等，把、的长转移到、上，最后用四边形的面积割补求出的面积． 【详解】解：过点作，交的延长线于点（如图）． 四边形是正方形， ，． ，点、、在同一条直线上， ． ， ． 在和中， ． ，． ， ． ，， ， 点到直线的距离等于． ， 点到直线的距离等于． ， ， ． 四边形由与拼成，也由与拼成， ． 点在上， ． （）． 三、解答题（本大题共10小题，共82分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用配方法或者公式法求解一元二次方程； （2）用因式分解法求解，计算更简便． 【小问1详解】 解： 移项，得 配方，得 ． 【小问2详解】 解： 或 解得：． 18. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集． 【答案】（1）反比例函数解析式为y=﹣，一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜2． 【解析】 【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算； （3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集． 【详解】（1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8， 所以反比例函数解析式为， 把B（n，﹣4）代入， 得﹣4n=﹣8 解得n=2， 把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得： ，解得：， 所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2； （2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2， 即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0）， ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6； （3）由图可得，不等式kx＋b−＞0的解集为：x＜−4或0＜x＜2． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式． 19. 已知抛物线． （1）将配方成的形式； （2）写出该抛物线的开口方向和对称轴； （3）当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）开口向上，对称轴为直线 （3）当时，的取值范围为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求最值，化为顶点式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）利用配方法即可化为顶点式； （2）根据顶点式即可写出对称轴，根据即可判断开口方向； （3）二次函数的图象与性质求解的取值范围． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：由，得， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 【小问3详解】 解：∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时，取最小值 将代入，得 将代入，得 ∵，且函数在时随着的增大而减小，在时随着的增大而增大 ∴的取值范围为． 20. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的几组对应值如表所示． 3 4 5 6 8 9 10 9 7.2 4.5 4 （1）写出电流关于电阻的函数关系式：___________（不写自变量的取值范围）； （2）将表格空格处的数值补充完整； （3）若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，求出该用电器的可变电阻应控制的范围． 【答案】（1） （2）12，6，3.6 （3）该用电器的可变电阻应控制的范围为大于等于． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． （1）设，根据表格中数据求出k即可； （2）根据（1）中I和R的关系式即可求解； （3）根据反比例函数的增减性即可求解． 【小问1详解】 解：设， 根据表格可知当时，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故表格中空格从左到右依次为：12，6，3.6； 【小问3详解】 解：由（1）得， 当时，，解得， ， ∴当时，随的增大而减小， ， 即该用电器的可变电阻应控制的范围为大于等于． 21. 某商场销售一批衬衫，平均每天可以售出件，每件盈利元．为回馈顾客，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫降价元，商场平均每天可多售出件． （1）若每件衬衫降价元，商场可售出多少件？ （2）每件衬衫应降价多少元商场每天的盈利可达到最大值，最大值是多少？ 【答案】（1）件． （2）每件降价元，最大日盈利元． 【解析】 【分析】（1）按“降价元多售件”算出降价元时多售出的件数，再加上原来的件； （2）设每件降价元，用“每件的盈利每天的销量”列出每天盈利关于的二次函数，再配方求最大值． 【小问1详解】 解：（件）， 每件衬衫降价元时，商场可售出件． 【小问2详解】 解：设每件衬衫降价元，商场每天的盈利为元． 每件的盈利为元，每天的销量为件， ． 每件衬衫的盈利为正， ，即． ， 当时，取得最大值． 每件衬衫应降价元，商场每天的盈利可达到最大值元． 22. 在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动． （1）如果、同时出发，几秒钟后，可使的面积为8平方厘米？ （2）点、在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积最大？若存在，求出运动的时间和最大的面积．若不存在，说明理由． 【答案】（1）2秒或4秒 （2）存在，运动3秒时面积最大，为9平方厘米 【解析】 【分析】（1）先设运动时间为x秒，结合、的移动速度表示出直角边、，再根据直角三角形面积公式列方程求解，最后结合运动的时间取值范围筛选出符合实际的解． （2）先根据直角三角形面积公式建立的面积关于运动时间的二次函数，再利用二次函数的性质，结合的实际取值范围，求出面积的最大值和对应的运动时间． 【小问1详解】 解：设x秒钟后，可使的面积为8平方厘米，由题意得： ， 或， 当2秒或4秒时，面积可为8平方厘米； 【小问2详解】 解：理由：设x秒时，的面积为，由题意得： 故存在，运动3秒时面积最大，为9平方厘米． 【点睛】本题是动点结合二次函数的几何应用问题，核心逻辑是用时间参数把动态线段长度转化为代数表达式，先利用直角三角形面积公式建立函数关系，再结合自变量的实际取值范围，通过解方程、分析二次函数最值完成求解． 23. 跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点.以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为． （1）求a、b的值； （2）如果小华站在之间，且离点的距离为米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，求小华的身高； （3）如果身高为米的小丽站在之间，且离点的距离为米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象直接写出的取值范围______． 【答案】（1）， （2）米 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，选的点，，利用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中解析式中求解y值即可； （3）求出时对应的x值，再结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，，，代入中，得 ，解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意，当时，， ∵绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶， ∴小华的身高为米； 【小问3详解】 解：当时，即,得或， ∵绳子甩到最高处时超过她的头顶， ∴， 结合函数图象得：． 24. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． （1）求A，B两点的坐标； （2）若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合性问题，等腰三角形的三线合一性质，一次函数和反比例函数图象上的坐标特征，利用等腰三角形的三线合一性质求反比例函数图象上点的坐标是解题的关键． （1）对于一次函数，分别令，和，即可求得答案； （2）过点C作，垂足为E，根据等腰三角形的三线合一性质，可得，于是可逐步求得点D和点C的坐标，再代入，即可求得答案． 【小问1详解】 解：令，则， 解得， 点A的坐标为， 令，则， 点B的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，过点C作，垂足为E， ，， ， 令，则， ， 点D的坐标为， 点C的坐标为， 点C在一次函数的图象上， ， 解得． 25. 如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点． （1）求二次函数表达式； （2）将抛物线向左平移a个单位，然后向下平移个单位，恰好经过点，则a的值为________； （3）已知P为线段上一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当时，求点P的横坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由一次函数与轴、轴交点得出点、的坐标，再将点、坐标代入二次函数表达式，解出、的值，即可得二次函数表达式； （2）将函数表达式进行平移变换，得到，将点代入求值即可； （3）由题意要求，得出点、的坐标，得出，利用函数对称性的性质，得出，由，列出方程，对的取值范围进行分类讨论，最终求出的值，得出点的横坐标． 【小问1详解】 解：∵经过，两点， ，两点分别为轴、轴交点， 当时，， 当时，. ∴点、点, 将点、点代入， 得， 解得， ∴二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：函数表达式为， 向左平移个单位，然后向下平移个单位后， 函数表达式变为， ∵点在函数上， 得， 化简得， ∴或（舍去）． 【小问3详解】 解：如下图：    ∵点在直线上， ∴点， ∵点为点作x轴的垂线与该二次函数的图象的交点， ∴点， ∴， ∵点为点作轴的垂线与该二次函数的图象的交点， ∴点与点关于对称轴直线对称， ∴， ∵， ∴， 当时，得， 解得或（舍去）； 当时，得， 解得（舍去）或； 综上所述，的值是或， 故的横坐标是或． 26. 定义：我们把函数与正比例函数的交点称为该函数的“不动点”例如，求一次函数的“不动点”，联立方程，解得，则该一次函数的“不动点”为． （1）判断函数的图象上是否存在“不动点”？如果存在，求出“不动点”的坐标；如果不存在，说明理由． （2）若二次函数的图像上存在两个“不动点”A，B，当时，求b的值； （3）已知二次函数，直线：，将该二次函数在直线下方的图象沿直线翻折到直线上方，其余部分图象不变，得到一个新的函数图象．若新的函数图象上恰有3个“不动点”，直接写出m的值． 【答案】（1）函数图象上的“不动点”坐标为和 （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）在中，令求解即可判断函数图象上的“不动点”坐标； （2）联立抛物线与直线解析式，根据根与系数的关系以及勾股定理建立方程，即可求解； （3）根据题意画出图形，分两种情况讨论：当直线过点A时，当二次函数在直线下方的图象沿直线翻折到直线上方的图象与正比例函数只有一个交点时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：在中，令得， 解得或， 函数图象上的“不动点”坐标为和； 【小问2详解】 解：联立和抛物线的表达式得：， ∴， 则，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：如图所示，当直线过点时，符合题意， 令， ∴， 则， 将点代入，得， 解得：或（舍去）， ∴； 当二次函数在直线下方的图象沿直线翻折到直线上方的图象与正比例函数只有一个交点时， ∵二次函数的顶点坐标为， ∴点关于直线：对称的点的坐标为， ∴翻折后的抛物线表达式为， ∴联立得，， 整理得，， ∴， 解得， 综上所述，或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程；熟练掌握函数的图象及性质，理解定义，数形结合，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $