精品解析：内蒙古自治区包头市第九中学外国语学校2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

包九中外国语学校高一年级数学学科 （2026年10月） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的不等式的解集为，求关于x的不等式的解集（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. 25 C. 5 D. 1 7. 设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. ，，，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共小3题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选的得0分. 9. 已知，集合，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 不存在实数，使得 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. “，”是“”成立的充分不必要条件 C. “”是“”的必要条件 D. 若，，则 11. 已知，，关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 13. 已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 14. 若正实数满足.则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或涼算步骤. 15. （1）当时，求函数的最小值： （2）已知正数，满足． （ⅰ）求的最大值： （ⅱ）求的最小值． 16. 已知集合，集合或 （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 18. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 19. 问题：已知、、均为正实数，且，求证：. 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知、、均为正实数，且，求的最小值； （2）已知、、、均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包九中外国语学校高一年级数学学科 （2026年10月） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由已知得，所以. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】命题“，”的否定是：，． 3. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 4. 已知关于x的不等式的解集为，求关于x的不等式的解集（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知一元二次不等式解集可得，代入目标不等式求解集即可. 【详解】由题设，则， 所以，即， 所以，解集为. 故选：C 5. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方法一：利用待定系数法，结合不等式的基本性质可求得的取值范围. 方法二：利用双换元法，结合不等式的性质求得正确答案. 【详解】方法一：设，则， 所以解得即， 因为则 因此． 方法二：设，则， 所以， 又因为，所以， 因此． 故选：D 6. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. 25 C. 5 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据利用基本不等式结合一元二次不等式运算求解. 【详解】因为，，且， 即， 且，当且仅当时等号成立， 可得，解得或（舍去）， 所以，当且仅当，时等号成立，所以的最小值为. 故选：B 7. 设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分不必要条件的性质将问题转化为恒成立问题，再结合分离参数法求解参数即可. 【详解】因为是的充分不必要条件， 所以对于，恒成立， 化简可得恒成立，令， 则即可，令， 由二次函数性质得对称轴为，而，，， 则，即，可得，故C正确. 8. ，，，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简，利用基本不等式可得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】 ， 当且仅当，即，所以，时等号成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：. 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等. 二、选择题：本大题共小3题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选的得0分. 9. 已知，集合，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 不存在实数，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据集合的交并运算、集合包含关系，结合开区间的长度和范围即可求解. 【详解】对于A：当时，，则，故A正确； 对于B：若，则或，即或，所以当时，可以推出，故B正确； 对于C：若，则，得，故C错误； 对于D：若，则，即，故不存在实数，使得，故D正确. 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. “，”是“”成立的充分不必要条件 C. “”是“”的必要条件 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】逐一分析每个选项，利用不等式性质、充分必要条件定义及反例法判断正误. 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，由，时一定有，充分性成立，由，如，，推不出，，必要性不成立， 因此“，”是“”成立的充分不必要条件，所以B正确； 对于C，“”，如，，推不出“”，所以C错误； 对于D，由，得，又，所以，即，故D正确. 故选：BD 11. 已知，，关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，的解集为，利用根与系数的关系，通过计算得到；选项B，由利用基本不等式得到；选项C，由解得，代入，整理后利用1的妙用求解；选项D，将，变形为，利用1的妙用求解即可. 【详解】选项A，的解集为， ，，， 故选项A正确； 选项B，，，当且仅当，即时取等号， ，故选项B 错误； 选项C，，， ，当且仅当，即时，取等号， 的最小值为4，故选项C正确； 选项D，，， ， 当且仅当，即当时取等号， 解方程组，解得， 的最小值为，故选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，且， 若命题p：是真命题，则，即. 命题q：为假命题， 则，即， 综合可得，所以实数a的取值范围是. 13. 已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】解分式不等式，再结合充分不必要条件建立关于的不等式求解即可. 【详解】由，可得且. 因为，所以，故不等式的解集为. 由是不等式成立的充分不必要条件，可得是的真子集， 故，解得， 所以的取值范围是. 14. 若正实数满足.则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】将化为，然后利用带入可化为，最后妙用“1”可得. 【详解】已知且，整理得...① 而.将①式代入得. 又， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或涼算步骤. 15. （1）当时，求函数的最小值： （2）已知正数，满足． （ⅰ）求的最大值： （ⅱ）求的最小值． 【答案】（1）14（2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）变形得，利用基本不等式求解即可； （2）（i）直接利用基本不等式求解即可； （ii）变形得，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由，所以， 所以， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以函数的最小值为． （2）（ⅰ）因为，，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值为； （ⅱ） 当且仅当且，即，时等号成立． 所以的最小值为． 16. 已知集合，集合或 （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）求出时集合，再根据补集与并集的定义求解即可； （2）根据得到集合A与集合B没有公共元素，分类讨论求出的范围． 【小问1详解】 时，集合或， 所以， 因为集合， 所以； 【小问2详解】 ，或，，两个集合均为非空数集， 因为，所以与没有公共元素. 当，即时，，此时，不合题意； 当，即时，，解得； 综上，实数的取值范围是 17. 设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【小问1详解】 若为真命题，则对恒成立， 又， 故当时，， ，即． 【小问2详解】 若为假命题，由（1）知， 若为假命题，则，为真命题， 即对恒成立， ，都为假命题时，． 至少有一个是真命题时，或． 18. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为（万元） 【解析】 【分析】（1）直接根据题中所给的利润关系及相应成本可得函数解析式； （2）根据分段函数的性质，分别求出函数在两段上的最大值，再比较可得最大利润. 【小问1详解】 因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. 【小问2详解】 分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 19. 问题：已知、、均为正实数，且，求证：. 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知、、均为正实数，且，求的最小值； （2）已知、、、均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 【答案】（1） （2）证明:因为、、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故. （3）当时，取最小值 【解析】 【分析】（1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可证得所证不等式成立； （3）分析可得，利用（2）中的结论可得出，可求得的最小值，结合（2）中的结论可求得对应的的值. 【小问1详解】 因为、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 对于代数式，有，可得， 此时，，则， 所以，， 由（2）中的结论可得，可得， 当且仅当时，即当时，取最小值. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $