精品解析：内蒙古包头市第九十五中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

包头市第九十五中学2026-2027学年度第一学期月考高一年级 数学试卷 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列集合中表示同一集合的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若：关于的二次方程的一个根大于零，另一个根小于零，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设全集,集合，（ ） A. B. C. D. 6. 满足，且是的真子集的集合的个数为（　　） A. B. C. D. 7. 若不等式对恒成立，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 已知正实数满足，则的最小值是（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 10. 设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为6 D. 的最大值为9 11. 已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为______． 13. 若，，则的最大值是______． 14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过x的最大整数，如，，[2]=2，则关于x的不等式的解集为__________. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16题、第17题15分，第18题、第19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）求，； （2）记全集，求. 16. 已知集合，{或}. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 17. 已知，命题：关于的方程有实数根；命题：，使得成立. （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若和恰有一个为真命题，求的取值范围. 18. （1）已知，，分别求，的取值范围. （2）已知，，求证：. （3）已知，证明：“”是“”的充要条件. 19. 已知二次函数. （1）当时， （i）若恒成立，求实数的取值范围； （ii）当时，函数y的最小值为，求实数a的值； （2）若对任意实数，当时，恒有函数y的最大值与最小值之差不小于m ，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包头市第九十五中学2026-2027学年度第一学期月考高一年级 数学试卷 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】集合，又，所以. 2. 命题“，”的否定是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，条件不变，结论否定，即将“”改为“”，条件不变，把“”改为“”． 【解答】命题“，”的否定是“，”． 3. 下列集合中表示同一集合的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】集合相等要求元素完全相同，注意点集与数集的区别，分别判断即可． 【解答】对于A，集合中元素相同，是同一集合； 对于B，集合中元素是有序数对，且与不同，故不是同一集合； 对于C，为点集，为数集，故不是同一集合； 对于D，为空集，含一个元素，故不是同一集合． 4. 若：关于的二次方程的一个根大于零，另一个根小于零，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先化简两个条件，根据推出关系进行判断即可. 【详解】由可得，； 由关于的二次方程的一个根大于零，另一个根小于零，可得，即； ，易知，且不成立，故是的充分不必要条件， 故选：A. 5. 设全集,集合，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集，，所以，． 故选：A． 6. 满足，且是的真子集的集合的个数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可取， 共有个. 7. 若不等式对恒成立，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分离参数，求在区间上的最小值，即可得到答案． 【详解】由不等式对恒成立，即对恒成立， 当时，，即的最小值为， 所以的取值范围是． 8. 已知正实数满足，则的最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】条件变形为，再换元. 【详解】由得， 令，， 则，， 当时取等号，所以的最小值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】利用反例可判断A，C；利用不等式性质可判断B；利用作差法判断D. 【解答】对于选项A，取， 左边，右边，不满足，故A错误； 对于选项B，由，，相加得，故B正确； 对于选项C，取，此时，故C错误； 对于选项D，，因为，所以， 所以，即，故D正确. 10. 设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为6 D. 的最大值为9 【答案】AC 【解析】 【分析】先消元限定定义域，然后利用二次函数性质、常数代换法、取特值求解即可. 【详解】由及正实数，得，且. 对选项A：，这是关于的二次函数，开口向下， 对称轴为，且，故的最大值为. 该项正确. 对选项B：，对称轴为， 代入得最小值为，不等于. 该项错误. 对选项C：， 当且仅当时等号成立，故最小值为. 该项正确. 对选项D：令，则，所以最大值不是9. 该项错误. 11. 已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先判断的符号，作出函数的图象，数形结合，可判断各选项的正确与否. 【详解】由题可知，设函数，作出函数图象，如下图： 因为，是方程的两根， ∴，故A对； 对于B，C，由图可知，，故B错C对； 对于D，，∵，，∴.故D对. 故选：ACD 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【详解】原不等式化为，即，也就是,等价于且， 解得，故原不等式的解集为. 13. 若，，则的最大值是______． 【答案】##5.5 【解析】 【详解】设，得出，进而利用不等式的性质求解最大值． 【解答】设， 所以， 所以，因为，， 所以，， 所以，即的最大值为． 14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过x的最大整数，如，，[2]=2，则关于x的不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次不等式，结合新定义即可得到结果. 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16题、第17题15分，第18题、第19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）求，； （2）记全集，求. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）先解不等式得集合，再由交集及并集的定义计算可得； （2）先求集合的补集，再由并集的定义计算可得. 【小问1详解】 解不等式，得，所以. 解不等式，得，所以， 又因为，所以，. 【小问2详解】 由（1）知，， 由补集的定义，或，或， 所以或. 16. 已知集合，{或}. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，{或}，， 所以，解得，即的取值范围为． 【小问2详解】 当时，满足，此时，解得． 当时，或， 解得或， 综上，或，即的取值范围为． 17. 已知，命题：关于的方程有实数根；命题：，使得成立. （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若和恰有一个为真命题，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）分与讨论，利用判别式法求解即可； （2）先求为真的范围，再按“恰有一个真”分类，即可求解. 【小问1详解】 当时，有实根，成立； 当时，为真命题，需满足判别式，得. 综上. 【小问2详解】 当时，，，， 为真等价于. 当真、假时：且，得； 当假、真时：且，得. 故或. 18. （1）已知，，分别求，的取值范围. （2）已知，，求证：. （3）已知，证明：“”是“”的充要条件. 【答案】（1），； （2）令，，则. 因为， 即，当且仅当即时等号成立，即. （3）充分性：由，可得， 则，故，充分性成立； 必要性： 因为，， 所以， 即得，必要性成立， 故“”是“”的充要条件. 【解析】 【详解】（1）由，得，所以. 又，所以，则. （2）略 （3）略 19. 已知二次函数. （1）当时， （i）若恒成立，求实数的取值范围； （ii）当时，函数y的最小值为，求实数a的值； （2）若对任意实数，当时，恒有函数y的最大值与最小值之差不小于m ，求实数m的取值范围. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）或 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）计算判别式即可求解；（ii）先求出对称轴，再分别讨论，和三种情况即可求解. （2）设函数在区间上的最大值与最小值之差为 ，的最小值在对称轴位于区间中心时取得，列出的表达式，得，即可求出实数m的取值范围. 【小问1详解】 解：（i）恒成立，故，所以. （ii）二次函数的对称轴为， ①当，即时，，故，所以； ②当，即时，，故，所以，舍去. ③当，即，，故，所以或（舍去）. 综上：或. 【小问2详解】 设函数在区间上的最大值与最小值之差为 ， 二次函数的图像是开口向上的抛物线，区间长度为定值4， 的最小值在对称轴位于区间中心时取得；此时，，； ， 在该情况下有 (即)，代入上式得： ， 因此，函数最大值与最小值之差的最小值为4； 根据题意，对任意 恒有，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $