精品解析：河南焦作市沁阳市第一中学生2026-2027学年高二上学期第2次学情调研数学试题

28届学生第2次学情调研 数学 一．单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，若，则的取值是（ ） A. 或0 B. 或0 C. 0或2 D. 或2 2. 若、、，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知 ，则 的值是（ ）． A. B. C. D. 4. 已知点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5. 已知实数满足方程，求的最大值和最小值（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知双曲线的左、右两个焦点分别为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，直线与双曲线左支交于点，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题（每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，部分选对得部分分） 9. 已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数为纯虚数，则 D. 10. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期为4 C. D. 的图象关于点对称 11. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线和下部分曲线.）构成，曲线的一个焦点为是“心形”曲线上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 的最大值为 C. 若直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为-3 D. 曲线上的点到直线的距离的最小值是 三．填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知是直线上的两点，若，求__________. 13. 在如图所示的方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数中恰好有两个是偶数的概率为______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14. 在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是_________. 四．解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线方程； （2）求边上的高所在直线方程； （3）求边的垂直平分线方程． 16. 在中，角的对边分别是，若，且． （1）求角； （2）求边； （3）若点为中点，且，点在上，且为的平分线，求的长． 17. 已知圆（，）过原点，且与直线相切. （1）求圆的方程； （2）判断圆与圆是否相交，若相交，请求出公共弦的长. 18. 如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值； （3）已知点在以点为球心的同一球面上，求的长. 19. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交于A，B两点． （1）求的大小； （2）若为的上顶点，斜率为的直线与交于M，N两点（异于的上、下顶点），记直线DM，DN的斜率分别为． （i）若，求的方程； （ii）若，过作的垂线，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 28届学生第2次学情调研 数学 一．单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，若，则的取值是（ ） A. 或0 B. 或0 C. 0或2 D. 或2 【答案】C 【解析】 【详解】由，得或，解得或或， 当时，，，满足要求； 当时，，，满足要求； 当时，，与元素互异性矛盾，不满足要求； 综上，的取值为0或2. 2. 若、、，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出向量、，利用空间向量法求解即可. 【详解】由题意可得，， 所以点到直线的距离为. 3. 已知 ，则 的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据和差的正弦公式和余弦公式化简计算即可. 【详解】因为，， 所以， 所以．， 所以， 所以． 4. 已知点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可求出直线过定点，作出图象，求出和，数形结合可得或，即可求解. 【详解】由可得：， 由可得，所以直线：过定点， 作出图象如图所示： ，， 若直线与线段相交，则或， 所以实数的取值范围是或， 故选：B 5. 已知实数满足方程，求的最大值和最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，把转化为圆上一点与原点连线的斜率，设，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由方程，可化为， 表示以为圆心坐标､为半径的圆， 由的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设，即， 如图所示，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 此时，解得，所以的最大值为，最小值为. 6. 已知向量，满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义式和运算律化简已知式，结合向量夹角的范围即可. 【详解】已知，，设与的夹角为， 由， 解得，则与的夹角． 故选：C 7. 已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线定义可得，进而可解. 【详解】由抛物线的方程为，其焦点坐标为，准线为， 所以为抛物线的焦点， 因为在抛物线内部，作出示意图如下， 过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知，， 当且仅当三点共线时等号成立. 8. 已知双曲线的左、右两个焦点分别为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，直线与双曲线左支交于点，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线定义表示出，结合等腰三角形性质求出，然后利用圆的几何性质及余弦定理建立等式，又利用三点共线，建立等式，联立求解得出离心率. 【详解】由题意知，双曲线半焦距为，， 设， 则，所以， 又，所以， 所以， 因为，所以是等腰三角形， 过作于点， 所以， 在中，， 因为三点共线，所以即为， 即， 因为点在以为直径的圆上， 所以，即， 在中，， 在中，由余弦定理得， ， 所以， 化简整理得，①， 在中，由余弦定理得， ， 因为三点共线， 所以，即， 所以， 化简整理得，②， 联立①②得，， 因为，所以， 将代入①式得，， 所以双曲线离心率为. 二．多项选择题（每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，部分选对得部分分） 9. 已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数为纯虚数，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的运算可得A,C,D的正误，根据复数虚部的概念可知B的正误. 【详解】因为，A正确； 复数的虚部为，B不正确； 若，则，，C不正确； 设，所以， ，D正确. 故选：AD. 10. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期为4 C. D. 的图象关于点对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用抽象函数的对称性、周期性一一判定选项即可. 【详解】对于A项，因为为偶函数，即， 所以的图象关于直线对称，即A正确； 对于B项，易知， 所以，即， 所以的一个周期为4，即B正确； 对于C项，由条件及上述选项结论可知， 且， 所以，即C正确； 对于D项，若的图象关于点对称，则有， 而，显然矛盾，即D错误. 11. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线和下部分曲线.）构成，曲线的一个焦点为是“心形”曲线上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 的最大值为 C. 若直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为-3 D. 曲线上的点到直线的距离的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据题意可得，即可得方程；对于B：举反例说明即可；对于C：根据直线与圆、椭圆的位置关系分析临界条件，结合图形即可得结果；对于D：结合图形可知：曲线上的点到直线的距离的最小值即为直线与直线之间的距离，即可得结果. 【详解】由可变形为， 则上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆. 对于选项A：曲线的焦点为，解得，，， 则曲线的方程为，故A正确； 对于选项B：设椭圆的上焦点，则， 当点位于的下顶点时，即， 则，故B错误； 对于选项C：联立方程，消去可得， 令，解得或， 直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为-3，故C正确； 对于选项D：结合图形可知：曲线上的点到直线的距离的最小值即为直线与直线之间的距离， 且两平行线间距离为， 所以曲线上的点到直线的距离的最小值为，故D正确； 故选：ACD. 三．填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知是直线上的两点，若，求__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设条件先求出，再利用两点间的距离公式计算即得. 【详解】因为，在直线l上，所以，. 由已知，得， 由两点间的距离公式，得. 故答案为：. 13. 在如图所示的方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数中恰好有两个是偶数的概率为______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式和对立事件的概率计算公式，即可求解. 【详解】因为每行和每列均恰有1个方格被选中，用表示第一、二、三行里所选方格的数字， 则每种选法可标记为， 则每种选法可能的结果为，共有6种取法， 其中所选方格中的3个数均为奇数的情况有，有2种选法， 所以所选方格中的3个数均为奇数的概率为， 因为不存在3个数全为偶数的情况， 所以所选方格中的3个数中恰好有两个是偶数的概率为. 14. 在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是_________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用对称关系求出点的对称点为，则最小值为之间的距离. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 所以的最小值是4， 故答案为：4 四．解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线方程； （2）求边上的高所在直线方程； （3）求边的垂直平分线方程． 【答案】（1）． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）三角形中线：先求对边中点，再连接中点与对角顶点，用两点式求直线方程；（2）三角形边上的高：高线过对角顶点，斜率和该边斜率乘积为−1，利用点斜式写方程；（3）线段垂直平分线：经过线段中点，斜率与线段斜率互为负倒数，中点 + 斜率即可求出直线. 【小问1详解】 设的中点为，由中点坐标公式求出点坐标为，， 边上的中线所在直线的方程为． 【小问2详解】 设边上的高所在直线的方程为，， 过点，直线在轴上的截距为，直线的方程为． 【小问3详解】 设的中点为，由中点坐标公式求出点坐标为， 设边的垂直平分线的方程为，， 用点斜式求出直线的方程为，整理为一般式得． 16. 在中，角的对边分别是，若，且． （1）求角； （2）求边； （3）若点为中点，且，点在上，且为的平分线，求的长． 【答案】（1）； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由等式及三角函数值求得； （2）代入，由余弦定理整理等式，然后求得； （3）由余弦定理得关于的方程，然后由向量再得到关于的方程，联立方程组求得，由三角形面积的关系求得长. 【小问1详解】 因为，所以， 又，故，，则； 【小问2详解】 因为，， 由余弦定理及正弦定理得， 所以，解得； 【小问3详解】 由余弦定理得， 即有①；设为的中点，即，如图， 又因为，所以，即②， 由①，②得，， 所以，所以， 因为为的平分线，所以， 则，即. 17. 已知圆（，）过原点，且与直线相切. （1）求圆的方程； （2）判断圆与圆是否相交，若相交，请求出公共弦的长. 【答案】（1） （2）相交， 【解析】 【分析】（1）利用圆过原点，以及直线与圆相切，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出圆的方程； （2）利用圆与圆的位置关系可判断出圆与圆相交，将两圆方程作差，可得出相交弦方程，再利用勾股定理可求出相交弦所在直线截圆所得弦长即可. 【小问1详解】 圆过原点，，① 圆与直线相切，，② ①②联立，解得，，圆的方程为. 【小问2详解】 圆，圆心，半径. ， 圆与圆相交. 圆的方程与圆的方程相减，得公共弦所在直线方程为， 圆的圆心到公共弦所在直线的距离， 公共弦的长为. 18. 如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值； （3）已知点在以点为球心的同一球面上，求的长. 【答案】（1） 过作于， 因为，，， 所以，则，故，则. 因为平面平面，平面平面，， 所以平面，平面，则， 又，所以平面，平面， 所以平面平面； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）过作于，根据已知可得，由面面垂直的性质有，最后由线面、面面垂直的判定定理证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标，应用向量法求二面角的余弦值； （3）设，由及空间两点的距离公式列方程求得，即可求的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，平面，所以，， 如图建立空间直角坐标系，则，，，，． 所以，，设平面的法向量为， 则，即，令，则，于是， 因为平面的法向量为，所以， 由题知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为； 【小问3详解】 设，由题知， 所以 ， 整理得，解得，所以， 所以. 19. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交于A，B两点． （1）求的大小； （2）若为的上顶点，斜率为的直线与交于M，N两点（异于的上、下顶点），记直线DM，DN的斜率分别为． （i）若，求的方程； （ii）若，过作的垂线，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）（ii）存在点，使得为定值 【解析】 【分析】（1）根据离心率得出与的关系，利用直角三角形中正切值求出，再由椭圆对称性得解； （2）（i）联立直线与椭圆方程，分别求出的坐标，即可求出直线方程；（ii）设直线的方程为,联立直线与椭圆方程，根据韦达定理及斜率公式表示出，化简后根据求出，可知直线过定点，由题意确定点轨迹为以为直径的圆，据此可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以， 将代入方程，得， 所以，所以， 又，所以， 由椭圆的对称性知，. 【小问2详解】 因为为的上顶点，所以，即，所以， 所以，所以椭圆的方程为. （i）若，则直线DM，DN的方程分别为， 由，可得，解得，所以， 即，同理可求得， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （ii）设直线的方程为， 由，消去并整理可得， 则， 且. 由，可得 ，解得，满足， 所以直线的方程为，所以直线过定点. 由题意知点在以为直径的圆上， 所以当点为线段的中点时，，为圆的半径，即为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $