精品解析：河南新乡市辉县市高级中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段性学情调研数学试题

高二第一次阶段性学情调研 数学 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. 14 B. 10 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共线的坐标运算公式可得，从而求得. 【详解】因为，所以，解得，所以. 2. 已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的方向向量求得直线斜率，即可求出直线倾斜角. 【详解】由直线的方向向量为可知直线斜率， 又因为倾斜角，且，所以. 故选：C 3. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（ ） A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴的对称点是 D. 点关于原点的对称点是 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称坐标变换规则，逐一验证各选项即可. 【详解】 选项A，任意点，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，A错误； 选项B，关于平面对称的点坐标为：因此关于平面的对称点为，B错误； 选项C，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，C正确； 选项D，关于原点对称的点坐标为：因此关于原点的对称点为，D错误. 4. 已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，代入相关值可求解出结果. 【详解】因为向量， 所以向量在向量上的投影向量， 故选：A. 5. 若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量线性运算和基本定理即可求解. 【详解】由题意， 令， 所以，解得， 所以在基底下的坐标为， 故选：A 6. 《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，，，，，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：可建立适当空间直角坐标系后表示出各点坐标，从而得到，再借助空间向量数量积公式计算即可得；法二：借助向量线性运算可用、、为基底表示，从而结合向量数量积公式计算即可得. 【详解】方法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，，， ， . 方法二：由题意得， ， ， 堑堵为直三棱柱，且， ． 故选：B. 7. 经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得PA、PB的斜率，设直线的斜率为，分析可得，根据倾斜角与斜率的关系，分析即可得答案. 【详解】由题意得， 与线段相交，由题意设直线的斜率为， ，， 或， 由于在及上均单调递增， ∴直线的倾斜角的范围为. 故选：D 8. 已知正方体的棱长为1，为平面内动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，求出点关于平面的对称点，再利用两点间线段最短求解. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，连接， 三棱锥是正四面体，令正的重心为，则， 因点即正的中心，则平面， 设，即点，则点与点关于平面对称， 由为平面内动点，得， 则， 当且仅当是线段与平面的交点时取等号， 所以的最小值为. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知空间中三点，则正确的有（ ） A. 与是共线向量 B. 的一个单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据共线向量的定义、单位向量的定义、向量夹角的定义以及法向量的定义直接计算即可判断选项. 【详解】由题意知，，因为，所以与不是共线向量，即A错误； 的单位向量为，所以的单位向量为或，即B正确； ，所以与夹角的余弦值为，即C正确； 设平面的一个法向量为，则即， 令，则，所以，即D错误, 故选：BC. 10. 已知正方体的棱长为2，若，的中点分别为、，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 平面 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】构建合适的空间直角坐标系，应用向量法判断异面直线是否垂直、求点面距离判断A、D，应用三棱锥的体积公式及等体积法判断B，由线面平行的性质及正方体的结构特征、已知判断C. 【详解】如图所示，以为坐标原点， 以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， A：，，则，即，正确； B：，正确； C：若平面，平面，平面平面，则，根据图形及已知显然不成立，错误； D：，，， 设平面的一个法向量为，则，取，， 则点到平面的距离为，正确. 故选：ABD 11. 如图，在正三棱柱中，，空间一点满足，，，则（ ） A. 若，则点在线段上 B. 若，则点在线段上 C. 若，则不存在点，使得 D. 若，则存在点，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，根据向量的线性运算即可判断；对于C，可确定点P所处的位置，找出特殊点，说明，即可判断，对于D，建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，利用向量的数量积的运算求出相应的参数值，即可判断. 【详解】对于A：由，得点在侧面内（含边界）， 若，则，故点在线段上，故A正确； 对于B：若，则，所以，即， 又，故点在线段上，故B正确； 对于选项：当时，取线段的中点分别为，连接， 因为，即，即，所以， 则点在线段上，当位于D处时，结合为正三角形，知， 即时，存在点，使得，C错误； 取的中点为，取的中点为M，连接， 在正中，易知，在正三棱柱中，易知平面， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 设，则，，， 则，，， 由，则，， 当时，即，则， 即，此时， 即时，存在点，使得，D正确. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则t=________. 【答案】1 【解析】 【详解】依题意，向量与向量垂直， 因此，所以. 13. 已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为为底面内一点，且， 所以，解得，则， 又， 可得 . 14. 已知、，点在线段上，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与倾斜角的关系，再结合数形结合可得. 【详解】由直线的斜率公式可得：；. 将看成线段上一点与定点连线的斜率， 结合图形，要使直线经过点，且与线段有交点， 的斜率需满足或. 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 如图，棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）证明：直线平面，并求直线到平面的距离． 【答案】（1） （2）证明：，又A，E，F，四点不共线，所以， 又平面，平面，所以平面， 可知直线到平面的距离等于到平面的距离， 因为， 设是平面的法向量，则， 所以，所以，取，则， 于是是平面的法向量． 又因为所以，点到平面的距离为， 即直线到平面的距离为． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系如下，使用空间中点到直线距离公式即可求得点到直线的距离； （2）由且A，E，F，四点不共线，所以，由线面平行的判定即可求证直线平面，再使用空间中点到平面距离公式即可求得到平面的距离. 【小问1详解】 以D为原点，DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为，，， 所以， 所以点到直线的距离为． 【小问2详解】 略 16. 已知坐标平面内直线经过、两点，直线经过、两点. （1）若直线，求实数的值； （2）若直线，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线平行的条件列出方程，求解即可； （2）分与两种情况，结合直线垂直的条件列出方程，求解即可. 【小问1详解】 ，， 因为，所以，解得或. 又因为，且与不能重合，所以，即， 故. 【小问2详解】 当时，，解得； 当时，直线斜率不存在，倾斜角为；而，倾斜角为， 满足，合题意，故或. 17. 如图，在直三棱柱中，，，. （1）用表示； （2）求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量基本定理得到； （2）两边平方，求出，得到，并求出，，利用异面直线向量夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 ， 故 ； 【小问2详解】 由（1）知，，两边平方得 因为三棱柱为直三棱柱，， 所以，故， ， 所以， 故. 因为，故， 设直线与直线所成角为， ， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，为中点. （1）证明：直线平面； （2）若直线平面，异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）如图所示，连接BD，交AC于O， 因为ABCD为平行四边形，所以O是BD的中点， 在中，E、O分别为PB、BD的中点，故， 又平面，平面，所以平面ACE. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证明线线平行，进而说明线面平行； （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，根据线线夹角求出几何体的高，进而求出直线的方向向量和平面的法向量，求出线面夹角的正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过做于，再以A为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 设， 由，可取，，，，，， 直线AE、PD的方向向量可分别取，， 由两直线所成角为45°，得， 平方整理得，所以，. 可知，， 设平面的法向量为， 可得，即， 令，解得，即平面的一个法向量为 设直线PD与平面PAC所成角为，则. 19. 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点. （1）求证：AC⊥SD； （2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小； （3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由. 【答案】（1）证明：连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC．在正方形ABCD中，AC⊥BD， 所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD ； （2）； （3）在棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC．理由如下： 由（2）可得，故可在SP上取一点N，使PN＝PD． 过N作PC的平行线与SC的交点即为E．连BN，在△BDN中知BN∥PO． 又由于NE∥PC，故平面BEN∥平面PAC，得BE∥平面PAC． 由于SN∶NP＝2∶1，故SE∶EC＝2∶1 【解析】 【分析】（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O-xyz，设底面边长为a，求出高SO，从而得到点S与点C和D的坐标，求出向量与，计算它们的数量积，从而证明出OC⊥SD，则AC⊥SD；（2）根据题意先求出平面PAC的一个法向量和平面DAC的一个法向量，设所求二面角为θ，则，从而求出二面角的大小；（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC，根据（2）知是平面PAC的一个法向量，设，求出，根据可求出t的值，从而即当SE：EC=2：1时，，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC 【详解】（1）略 （2）设正方形边长a，则． 又，所以∠SDO＝60°． 连OP，由（1）知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD．所以∠POD是二面角P－AC－D的平面角． 由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以∠POD＝30°， 即二面角P－AC－D的大小为30° （3）略 考点：1．直线与平面垂直的判定；2．二面角求解；3．线面平行的判定 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二第一次阶段性学情调研 数学 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. 14 B. 10 C. 8 D. 7 2. 已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（ ） A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴的对称点是 D. 点关于原点的对称点是 4. 已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ） A. B. C. D. 5. 若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，，，，，则（ ） A. B. 4 C. D. 7. 经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为1，为平面内动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知空间中三点，则正确的有（ ） A. 与是共线向量 B. 的一个单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 10. 已知正方体的棱长为2，若，的中点分别为、，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 平面 D. 点到平面的距离为 11. 如图，在正三棱柱中，，空间一点满足，，，则（ ） A. 若，则点在线段上 B. 若，则点在线段上 C. 若，则不存在点，使得 D. 若，则存在点，使得 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则t=________. 13. 已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 14. 已知、，点在线段上，则的取值范围为________. 四、解答题（共77分） 15. 如图，棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）证明：直线平面，并求直线到平面的距离． 16. 已知坐标平面内直线经过、两点，直线经过、两点. （1）若直线，求实数的值； （2）若直线，求实数的值. 17. 如图，在直三棱柱中，，，. （1）用表示； （2）求直线与直线所成角的余弦值. 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，为中点. （1）证明：直线平面； （2）若直线平面，异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点. （1）求证：AC⊥SD； （2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小； （3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $