精品解析：江苏苏州市星洋学校2026-2027学年第一学期10月学情自测九年级数学试卷

2026-2027学年星洋第一学期10月限时作业初三年级数学学科 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若反比例函数的图象经过点（3，-5），则该反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先把点代入函数解析式，求出k值，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵的图象过点（3，-5）， ∴把（3，-5）代入得： k=xy=3×（-5）=-15＜0， ∴函数的图象应在第二，四象限． 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数（k≠0）的性质：（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在二、四象限． 2. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【详解】解：A、，开口向下，原说法错误； B、对称轴是直线，原说法错误； C、顶点坐标为，说法正确； D、当时，y随x的增大而减大，原说法错误； 故选：C． 3. 某校有35名同学参加眉山市的三苏文化知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决赛. 其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的（    ）. A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【详解】分析：由于比赛取前18名参加决赛，共有35名选手参加，根据中位数的意义分析即可． 详解：35个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有18个数， 故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了． 故选B． 点睛：本题考查了统计量的选择，以及中位数意义，解题的关键是正确的求出这组数据的中位数 4. 已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（ ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A. 1.12 B. 1.26 C. 1.38 D. 1.45 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，；时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点， ∴方程有一个根约为． 故选：C． 5. 在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，，．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（ ） 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 A. 和{ B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】先比较组内离差平方和，再分组即可． 【详解】解：将名同学的引体向上个数从小到大排列为. 比较组内离差平方和：， 最小值对应第一组个、第二组个的分法， 要使组内个数相差较小，需将连续的数分为一组，即分组为和． 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下；据此即可求解； 【详解】解：若，则一次函数经过一、三、四象限；二次函数的开口向上； 若，则一次函数经过二、三、四象限；二次函数的开口向下； 故D符合题意； 故选：D 7. 某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的与的数据如表： 时间分钟 含药量毫克 则下列图象中，能表示与的函数关系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用表格中数据分别得出函数解析式，进而得出答案． 【详解】解：由表格中数据可得：，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：， 则将 代入得：， 解得：， 故函数解析式为：， 由表格中数据可得：，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：， 则将代入得：， 故函数解析式为：． 故函数图象D正确． 故选：． 【点睛】此题主要考查了正比例函数与反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 8. 如图，一段抛物线，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；……如此进行下去，若是其中某段抛物线上一点，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过前几段抛物线归纳出第段的解析式规律，再用整数除法确定点所在的段数，最后代入对应解析式求出的值． 【详解】解：已知， 则的坐标为， 将绕点旋转得，交轴于点， 则的坐标为， 可得， 将绕点旋转得，交轴于点， 则的坐标为， 可得， 故， ， 位于抛物线， ， 令，，即． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 如果反比例函数的图象位于第一、三象限，那么的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， 该函数的比例系数满足， 解得． 10. 将抛物线向下平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律． 根据二次函数图象的平移规律“上加下减”作答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，得． 故答案为：． 11. 若关于x的一元二次方程的一个实数根为2，则m的值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，解题的关键是根据根的定义代入求值． 将根代入方程即可求解． 【详解】解：将代入方程，得， 解得． 故答案为：6． 12. 若二次函数的图象过三点，则的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称性；确定抛物线的对称轴，利用对称性把点C变为关于对称轴对称的另一点，利用函数的增减性即可求解． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线， 而点C关于对称轴对称的另一点， ∵二次项系数为负，抛物线开口向下， ∴当时，函数值随自变量的增大而增大， ∵， ∴； 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数和的图象上，点C是y轴上的一个动点，连接．若轴，且的面积为2.5，则m的值为_____． 【答案】 2 【解析】 【分析】根据 轴可知 两点横坐标相同，设横坐标为 ，利用反比例函数解析式表示出 的纵坐标，进而表示出 的长，结合三角形面积公式列出关于 的方程求解即可． 【详解】解： ∵轴 ， ∴设两点的横坐标为 ， ∵点在上，点在上 ， ∴， ∴ ， ∵的面积为，且边上的高为点到轴的距离 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴或 ， 解得或 ， 由图象可知点在第一象限，则 ， ∴． 14. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：40． 15. 如图，已知矩形的一边落在轴的正半轴，它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，则矩形的面积为____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、反比例函数的性质，设，，则，结合反比例函数的性质求出，即可得出，从而可得，，即可得解． 【详解】解：设， ∵它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴矩形的面积为， 故答案为：． 16. 若抛物线的顶点在x轴上，且不等式的解集为，则m的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式以及二次函数与一元二次方程的关系．根据抛物线的顶点在轴上得出，再根据不等式的解集为可以得出或是关于的方程的解，然后解方程组即可求出的值． 【详解】解：抛物线的顶点在轴上， ， ， 不等式的解集为， 或是关于的方程的解， ， 解得， 的值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 18. 已知与成反比例，且当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与成反比例，设，再代入，进行计算，即可作答； （2）由（1）得，再代入，整理得，最后代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：与成反比例， 设， 当时，， ， 解得， ； 【小问2详解】 由（1）得， 当时，， ， ， ． 19. 已知二次函数的图象上部分点的坐标满足表格： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1）； （2）函数的顶点坐标是，对称轴是． 【解析】 【分析】（1）在表格中选取任意三组值，利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）配方法得到二次函数的顶点式解析式，写出顶点坐标和对称轴即可． 【小问1详解】 解：将代入函数解析式得， 解这个方程组，得， 所以，这个二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴函数的顶点坐标是，对称轴是直线． 20. 如图，二次函数的图像过，且顶点为，解答完成下列问题： （1）当时，y随x增大而________（填“增大”或“减小”）； （2）当时，y的取值范围是________； （3）方程的两个根是________． 【答案】（1）减小 （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程等知识，熟悉二次函数的图象与性质是关键． （1）由顶点坐标设二次函数解析式为顶点式，再把点坐标代入即可求出函数解析式；由顶点坐标及函数增减性质即可完成； （2）由抛物线对称性可求得抛物线与x轴的另一个交点坐标，结合二次函数的图象与性质即可求解； （3）考虑二次函数与直线的交点横坐标，即可求得方程的解． 【小问1详解】 解：∵二次函数顶点为， ∴设， ∵图像过， ∴， 即， ∴，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小； 故答案为：减小； 【小问2详解】 解：∵抛物线对称轴为直线，与x轴一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线开口向上，函数取得最小值， ∴当时，y的取值范围是； 故答案为：； 【小问3详解】 解：对于，当时，， 即抛物线与y轴的交点坐标为； 由抛物线对称性知，关于对称轴的对称点坐标为； 对于方程的解，就是二次函数与直线的交点横坐标， 而二次函数与直线的交点为与， ∴方程的解为，； 故答案为：，． 21. 某校八年级甲、乙两班各有50人．为了了解这两个班学生的身体素质情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整． 从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩（单位：分）如下： 甲班：65，75，75，80，60，50，75，90，85，65． 乙班：90，55，80，70，56，70，95，80，65，70． （1）整理、描述数据：按如下分数段整理、描述这两组样本数据： 成绩x/分 甲班 1 3 3 2 1 乙班 2 1 2 则______，_______． （2）分析数据： ①两组样本数据的平均数、中位数、众数如表： 班级 平均数 中位数 众数 甲班 72 75 乙班 70 则_______，_______． ②乙班这组数据的四分位数_______，_______． ③若规定80分以上的学生的身体素质为优秀，请估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生人数． 【答案】（1）， （2）①；；②，；③估计乙班名学生中身体素质为优秀的学生人数为名． 【解析】 【分析】（1）根据所给数据即可得到答案； （2）①根据中位数和众数的定义求解即可；②根据四分位数的定义求解即可；③用乘以样本中乙班学生中身体素质为优秀的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，，； 【小问2详解】 解：①把甲班的成绩按照从低到高的顺序排列为：50，60，65，65，75，75，75，80，85，90，共10个数据， ∴甲班的成绩的中位数为第5个和第6个数据的平均数，即分， ∴； ∵乙班的成绩中，得分为分的人数最多， ∴乙班的成绩的众数为分，即； ②解法一：把乙班的成绩按照从低到高的顺序排列为：55，56，65，70，70，70，80，80，90，95， 取排序后的前个数，55，56，65，70，70，这个数的中位数为，则， 取排序后的后个数，70，80，80，90，95，这个数的中位数为，则； 解法二：把乙班的成绩按照从低到高的顺序排列为：55，56，65，70，70，70，80，80，90，95， ，， ∴第一四分位数为第个数，即， 第三四分位数为第个数，即； ③（名）， 答：估计乙班名学生中身体素质为优秀的学生人数为名． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，当时，x的取值范围是______； （3）点P在x轴上，且满足的面积等于12，请求出点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据图象，找到一次函数图象位于反比例函数图象下方部分的自变量的取值范围即可求解； （3）设点P的坐标为，先求出直线与x轴的交点坐标，再根据坐标与图形和三角形的面积公式列方程求出a的值，进一步可求得点P的坐标 ． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得，则， 将，代入中，得， 解得：， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由图可得：当或时，，即； 【小问3详解】 解：∵点P在x轴上， ∴设点P的坐标为， 由一次函数解析式，令，则， 解得 ∴直线与x轴交于点， 由的面积等于12，可得， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 23. 已知二次函数， ． （1）求证：该二次函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若，且两交点间的距离为2，求m的值． 【答案】（1） 证明：由可得一元二次方程， ∴该二次方程的 ∵ ∴ ∴方程总有两个不相等的实数根，二次函数图象与x轴总有两个公共点； （2）的值为1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数与不等式的解集，一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． （1）由题意得一元二次方程，判断判根公式与0的大小即可； （2）由题意知，解得符合要求的的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意知， ∴， 解得或（舍去） ∴的值为1． 24. 定义：若直线（是常数）经过抛物线的顶点，则称直线是该抛物线的“最美直线”． （1）若直线是抛物线的“最美直线”，求的值； （2）平移抛物线得到抛物线，若直线是抛物线的“最美直线”，直线与轴的交点为，抛物线与轴的交点为，点与点关于原点对称，求抛物线对应的函数表达式． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（）求出抛物线的顶点坐标，再代入一次函数解析式解答即可求解； （）求出点坐标，设抛物线的顶点坐标为， 则抛物线的解析式为，可得，，进而得到，求出的值即可求解； 本题考查了求一次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用，理解新定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵直线是抛物线的“最美直线”， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：把代入直线，得， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， 设抛物线的顶点坐标为， 则抛物线的解析式为， ∵直线是抛物线的“最美直线”， ∴直线经过点， ∴， ∵抛物线与轴的交点为， ∴， ∴， 将代入，得， 即， 解得或， 当时，； 当时，； ∴抛物线的函数表达式为或，即或． 25. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，当销售价定为多少元时，获利最大？ 【答案】（1） （2）每个售价为60元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，根据题意得到各数量间的关系是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，利润W元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 设该品牌头盔每个售价为元，利润W元，依题意，得 ， ，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，W取得最大值，最大值为． 答：当销售价定为60元时，获利最大． 26. 综合与实践 问题情境：如图，这是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究． 数据说明：下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以水池面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路线都近似地看作是抛物线的一部分，点B与水池面的距离为2米，水滑道最低点C与水池面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米.根据测量得到的数据和调查得到的信息解决下列问题 （1）求水滑道所在抛物线的解析式不用写出x的取值范围 （2）腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米.若某人腾空后的路线形成的抛物线恰好与抛物线的某一段关于点B成中心对称． ①求此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由水面与地面之间的高度差忽略不计 【答案】（1）； （2）①米；； ②落点D在安全范围内．  理由：由①得， 令， 或舍去 米． 又米， 落点D在安全范围内． 【解析】 【分析】（1）依据题意，水滑道所在抛物线的顶点，从而可设抛物线为，又，故，可得，进而可以判断得解； （2）①依据题意，由抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，故抛物线的顶点与抛物线的顶点C关于点B成中心对称，则B是它们的中点，又，，从而抛物线的顶点为，可得此人腾空后的最大高度；进而可设抛物线为，再将代入得，计算可得抛物线的解析式； ②依据题意，由①得，可令，求出x可得的长，从而求出即可判断得解． 本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【小问1详解】 解：由题意，水滑道所在抛物线的顶点， 可设抛物线为 又， 抛物线为； 【小问2详解】 ①由题意， 抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称， 抛物线的顶点与抛物线的顶点C关于点B成中心对称． 是它们的中点．  又，， 抛物线的顶点为 此人腾空后的最大高度为米． 又此时可设抛物线为， 将代入得， ； 抛物线的解析式 ②略 27. 【学习研究】定义：若变量、满足（是正整数常数），则称是的“方函数”．此时若变量满足（是整数常数），则称是的“倍方函数”．例如：的“1方函数”为的“2倍1方函数”为． 【初步思考】 （1）写出自变量的“2倍2方函数”是_____． 【尝试应用】 （2）已知函数是的“2倍2方函数”、“倍1方函数”与“”的和，该函数与轴交于点，与坐标系横轴右侧交点为，垂直于坐标系纵轴的直线与函数的图象交于两点，与直线交于点． ①请写出的表达式： ②若，请结合函数的图象，求的取值范围． 【拓展提高】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，函数是的“倍2方函数”、“倍1方函数”与“（是常数）”的和．且其顶点在第一象限角平分线上，函数与四边形的图形有4个交点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）①；②；（3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，矩形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题目定义直接写出解析式； （2）①根据题目定义写出解析式②由垂直于坐标系纵轴的直线与函数的图象交于两点，可知关于抛物线对称轴对称，则，由知直线在P点下方且在抛物线顶点上方，据此可求出取值范围，则题目所求可得； （3）因为抛物线顶点在第一象限角平分线上，故抛物线解析式也可设为，即顶点坐标，讨论a取不同值时抛物线与四边形的图形的交点个数，从而确定满足题意的a 的取值范围，则b的取值范围可求． 【详解】解：（1）根据定义：“倍方函数”为． 代入，，得： ． 故答案为：； （2）①∵函数是的“2倍2方函数”、“倍1方函数”与“”的和， ∴； ②令，得， ∴， 令，得， 解得， ∵与坐标系横轴右侧交点为， ∴， 设解析式为，代入，， ， 解得， ∴解析式为， ∵垂直于坐标系纵轴的直线与函数的图象交于两点， ∴直线在抛物线顶点上方， ∵顶点坐标为， 当，时代入， ， 此时 ∵与直线交于点，且， ∴直线在P点下方， 当时，代入，得， ∴此时， ∴， ∵垂直于坐标系纵轴的直线与函数的图象交于两点， ∴关于抛物线对称轴对称， ∴， ， ∴， ∴； （3）由题意，函数解析式为， 且其顶点在第一象限角平分线上， 故抛物线解析式也可设为，即顶点坐标， ∵直线与线段交点为， 故当时，如图，抛物线与四边形的图形有3个交点， 当时，如图，不满足抛物线与四边形的图形有4个交点， 当时，如图满足抛物线与四边形的图形有4个交点， 当抛物线过时，抛物线与四边形的图形又只有3个交点， 将代入，得， 解得（舍） 故当时，抛物线与四边形的图形又只有3个交点， 当时，如图，不满足抛物线与四边形的图形有4个交点， 综上所述，当时，如图满足抛物线与四边形的图形有4个交点， 即， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年星洋第一学期10月限时作业初三年级数学学科 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若反比例函数的图象经过点（3，-5），则该反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 2. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 3. 某校有35名同学参加眉山市的三苏文化知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决赛. 其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的（    ）. A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 4. 已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（ ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A. 1.12 B. 1.26 C. 1.38 D. 1.45 5. 在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，，．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（ ） 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 A. 和{ B. 和 C. 和 D. 和 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的与的数据如表： 时间分钟 含药量毫克 则下列图象中，能表示与的函数关系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一段抛物线，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；……如此进行下去，若是其中某段抛物线上一点，则为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 如果反比例函数的图象位于第一、三象限，那么的取值范围是_______． 10. 将抛物线向下平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为____________． 11. 若关于x的一元二次方程的一个实数根为2，则m的值为___________． 12. 若二次函数的图象过三点，则的大小关系是________．（用“”连接） 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数和的图象上，点C是y轴上的一个动点，连接．若轴，且的面积为2.5，则m的值为_____． 14. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 15. 如图，已知矩形的一边落在轴的正半轴，它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，则矩形的面积为____． 16. 若抛物线的顶点在x轴上，且不等式的解集为，则m的值为 _______． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知与成反比例，且当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，，求代数式的值． 19. 已知二次函数的图象上部分点的坐标满足表格： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 20. 如图，二次函数的图像过，且顶点为，解答完成下列问题： （1）当时，y随x增大而________（填“增大”或“减小”）； （2）当时，y的取值范围是________； （3）方程的两个根是________． 21. 某校八年级甲、乙两班各有50人．为了了解这两个班学生的身体素质情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整． 从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩（单位：分）如下： 甲班：65，75，75，80，60，50，75，90，85，65． 乙班：90，55，80，70，56，70，95，80，65，70． （1）整理、描述数据：按如下分数段整理、描述这两组样本数据： 成绩x/分 甲班 1 3 3 2 1 乙班 2 1 2 则______，_______． （2）分析数据： ①两组样本数据的平均数、中位数、众数如表： 班级 平均数 中位数 众数 甲班 72 75 乙班 70 则_______，_______． ②乙班这组数据的四分位数_______，_______． ③若规定80分以上的学生的身体素质为优秀，请估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生人数． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，当时，x的取值范围是______； （3）点P在x轴上，且满足的面积等于12，请求出点P的坐标． 23. 已知二次函数， ． （1）求证：该二次函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若，且两交点间的距离为2，求m的值． 24. 定义：若直线（是常数）经过抛物线的顶点，则称直线是该抛物线的“最美直线”． （1）若直线是抛物线的“最美直线”，求的值； （2）平移抛物线得到抛物线，若直线是抛物线的“最美直线”，直线与轴的交点为，抛物线与轴的交点为，点与点关于原点对称，求抛物线对应的函数表达式． 25. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，当销售价定为多少元时，获利最大？ 26. 综合与实践 问题情境：如图，这是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究． 数据说明：下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以水池面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路线都近似地看作是抛物线的一部分，点B与水池面的距离为2米，水滑道最低点C与水池面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米.根据测量得到的数据和调查得到的信息解决下列问题 （1）求水滑道所在抛物线的解析式不用写出x的取值范围 （2）腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米.若某人腾空后的路线形成的抛物线恰好与抛物线的某一段关于点B成中心对称． ①求此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由水面与地面之间的高度差忽略不计 27. 【学习研究】定义：若变量、满足（是正整数常数），则称是的“方函数”．此时若变量满足（是整数常数），则称是的“倍方函数”．例如：的“1方函数”为的“2倍1方函数”为． 【初步思考】 （1）写出自变量的“2倍2方函数”是_____． 【尝试应用】 （2）已知函数是的“2倍2方函数”、“倍1方函数”与“”的和，该函数与轴交于点，与坐标系横轴右侧交点为，垂直于坐标系纵轴的直线与函数的图象交于两点，与直线交于点． ①请写出的表达式： ②若，请结合函数的图象，求的取值范围． 【拓展提高】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，函数是的“倍2方函数”、“倍1方函数”与“（是常数）”的和．且其顶点在第一象限角平分线上，函数与四边形的图形有4个交点时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $