精品解析：宁夏回族自治区银川市兴庆区银川景博学校2026-2027学年第一学期九年级数学阶段性诊断测试卷

银川景博学校2026-2027学年第一学期九年级阶段性诊断测试卷 数学 一、单选题（8×3分=24分） 1. 下列方程一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、在中，当时，二次项系数为0，不是一元二次方程，故不符合题意； B、符合一元二次方程的定义，故符合题意； C、变形得，，是一元一次方程，故不符合题意； D、的分母含未知数，不是一元二次方程，故不符合题意． 2. 根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A. 方程有一根为1 B. 方程有一根的取值范围是 C. 方程有一根为 D. 方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 3. 如图，在中，点，分别是，上的点，且，若，，，则的值是（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵，， ． ∵， ，， ， ． ， ， ． 4. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式建立关于的不等式，求解后验证选项即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴选项：，满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意． 5. 如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件可推导出，即两个三角形有一组对应角相等，再结合相似三角形的判定定理（两角分别相等或两边成比例且夹角相等）逐项判断即可． 【详解】解：∵  ∴  ∴  对于A，若，结合，根据两边成比例且夹角相等可判定； 对于B，若，结合，根据两角分别相等可判定； 对于C，若，此时对应边的比例关系中，已知相等的角与不是这两组对应边的夹角，无法判定； 对于D，若，结合，根据两角分别相等可判定． 6. 对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴设，（）， A选项：，，，错误； B选项：，不一定为1，错误； C选项：，错误； D选项：，正确，符合题意． 7. 宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ① B. ①③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【详解】解：设的长度是， 矩形是黄金矩形，是， ，即，故①正确； ，即，故④正确； 四边形是正方形， ， ， 矩形是黄金矩形， ，即，故②正确； ， ，故③正确； 故选：D． 8. 如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由折叠的性质得，由勾股定理求得，再证明，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：由折叠知， 在矩形，， ， ． ∵， ，， ． 又， ， ∴， ． 二、填空题（8×3分=24分） 9. 已知，，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据比例关系设参数表示各字母，代入已知等式求解，再计算的值． 【详解】解：设 ，，则，，， ， ，解得， ． 10. 如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例得到，得到，结合即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11. 如图，平分，当的长为_______时，． 【答案】 【解析】 【分析】已知平分可得一组角相等；要使，利用两边对应成比例且夹角相等的相似判定定理列出比例式，把代入求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵要使得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值舍去） 12. 如果，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：是方程的实数根， ，整理得， ． ，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得：，， 将结果代入所求式子得：． 13. 虹虹在物理课上学习了小孔成像的相关知识，回家后做小孔成像的实验，如图，物距是50cm，像距是150cm，蜡烛火焰的高度为3cm，那么光屏上的像的高度为_______cm． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，解题的关键是利用物高与像高的比等于物距与像距的比来建立等式求解． 根据小孔成像原理，利用物高、像高、物距、像距之间的比例关系求解像高． 【详解】解：设光屏上像的高度为． 在小孔成像中，物高与像高的比等于物距与像距的比， 已知物距，像距，蜡烛火焰高度（物高）， 根据比例关系，即，解得：， 故答案为：9． 14. 某班一名化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这个实验．若设每人每次都能教会x名同学，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】表示出第一节课后会做的人数和第二节课新增的人数，然后根据全班共有49人列方程求解即可． 【详解】解：设每人每次都能教会x名同学， ∴第一节课后会做的人数为，第二节课新增人， 根据题意得，， 解得，（舍去）， ∴． 15. 如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由与等高，根据面积比得出底边与的比，进而得出与的比，利用证得，求出与的比，再证，利用相似三角形周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：，且与等高， ，  ，  ∵，  ，  ，  ∵， ，，  ，  ． 16. 如图，是的高，点P，Q在边上，点R在边上，点S在边上，，，四边形是由两个并排放置的正方形所组成的矩形，则矩形的面积为________． 【答案】1152 【解析】 【分析】设正方形边长为x，则，，证明，利用相似三角形的性质求出，得到，然后利用矩形面积公式求解． 【详解】解：设正方形边长为x，则，， ∵ ∴， ∴ ∴， 解得， ∴， ∴矩形面积． 三、解答题 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法解出即可． （2）利用配方法和直接开平方法解出即可． （3）利用公式法解出即可． （4）利用提公因式法解出即可． 【小问1详解】 解：， 移项得， 直接开平方得， 或， ，． 【小问2详解】 解： ， 方程两边同时加4得， 配方得， 开方得， 或， ，． 【小问3详解】 解：， 整理得， ， ， ， ． 【小问4详解】 解： 移项得， 提公因式得， 或， ，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点和原点都在单位长度为的正方形网格的格点上． （1）以点为位似中心，在网格纸中画出的位似图形，点、、的对应点分别是点、和，使它与的相似比为，且位于点的右侧； （2）的面积是________平方单位． 【答案】（1）解：如图所示， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据坐标系及网格得出，，，根据位似中心及相似比得出、和，顺次连接即可； （2）根据（1）中，用所在矩形面积减去三个小三角形的面积，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示，略 【小问2详解】 解：由（1）可知，、和， ∴． 19. 如图，在中，点D是上一点，且，，， （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）可证明，结合，即可证明； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴． 20. 如图1所示的是一张面积为的长方形薄纸板，纸板的四角上是边长相等的正方形．如果按图1中的实线剪开，虚线折叠，恰好将其折叠成一个长为、宽为的长方体文件盒，如图2所示，那么这个文件盒的厚度为多少厘米？ 【答案】 【解析】 【详解】解：设这个文件盒的厚度为，依题意，得 ， 整理，得， 解得， 不合题意，应舍去． 答：这个文件盒的厚度为． 21. 如图，线段，与交于点E． （1）求证：； （2）过点E作，交于点F，如果，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由可得、，易证，再根据相似三角形的性质即可证明结论； （2）先证明可得，进而得到，再证明可得，然后代入数据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 22. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，且． （1）求的值． （2）求的值． 【答案】（1） （2）13 【解析】 【分析】（1）根据根与系数的关系，用表示两根之和、两根之积，利用完全平方公式将转化成关于的方程，解出即可，易错点在于的值要代入方程看是否符合要求． （2）利用值先求出两根之积，结合，利用完全平方公式将对应的数值代入即可求出答案． 【小问1详解】 解：是关于x的一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ， ， 或． 当时，，则（舍去）， ． 【小问2详解】 解：由（1）可知，，，， ， ． 23. 如图，路灯（P点）距地面米，身高米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿所在直线行走14米到B点时． （1）求小明在A点处的影子的长度； （2）当小明从A点走到B点，影子是变长了还是缩短了？并求出变长或变短了多少米？ 【答案】（1）5米 （2）缩短了，缩短了米 【解析】 【分析】（1）先证明，即可列方程求解； （2）先求得米，再证明，即可列方程求解． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ， ， 解得（米）； 【小问2详解】 解：米，米， （米）， ，， ， ， ， ， ， 解得（米）， 所以当小明从A点走到B点，影子缩短了，缩短了（米）． 24. 因各大社交媒体的传播，银川已成为最著名的网红旅游城市之一，年“十一”黄金周期间，银川接待游客万人次；年“十一”黄金周期间，接待游客已达万人次．西北凤城银川美食无数，一家特色牛肉粉店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该牛肉粉的成本价为每碗元，借鉴以往经验：若每碗卖元，平均每天将销售碗，若价格每降低元，则平均每天多销售碗． （1）求出年至年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率； （2）店员小牛认为，按照薄利多销的原则，如果多降点价，那店里每天能赚元；你认为小牛的想法对吗？如果不对，那么店家每天最多能赚多少元． 【答案】（1） （2）小牛说得对，每天最多能赚元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程应用关于平均增长率的问题，以及求利润最大值的问题，掌握平均增长率的数量关系和二次函数求利润最大值的问题的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解设年平均增长率为， 则， ， ，（不合题意，舍去）． 因此，年至年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率为． 【小问2详解】 设每碗降价元， 利润 ， 当时，元>5800元， 故小牛说得对，每天最多赚5880元． 25. 如图，在矩形中，，，动点以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从点C出发．沿向点B移动，设P、Q两点移动t（s）后，的面积为． （1）求当运动时间为多少秒时，与相似？ （2）在P、Q两点运动过程中，四边形与的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）当运动时间为或时，与相似； （2） 解：不能，理由如下： 的面积为； 若四边形与面积相等，则； 在中，， 自点Q作于点H，则，即． ∴ ； 令，化简得，，； 计算判别式，方程无实数解， 故四边形与的面积不能相等． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角形面积的计算，解题的关键是用运动时间表示出CP、CQ等线段长度，结合相似三角形的对应边成比例关系和面积等量关系列方程，同时注意的取值范围。 （1）先由矩形性质和勾股定理得，表示出、；因是与的公共角，分两种情况讨论相似：①时，；②时，，分别列比例式求解 （2）先计算的面积为，若四边形与面积相等，则的面积为；利用的面积公式（）列方程，通过判别式判断方程是否有解，进而确定能否相等．解：在矩形ABCD中，，由勾股定理得；由题意得，，. 【小问1详解】 ∵在矩形中，，， ∴， ∵（公共角）， ∴分两种情况讨论： ①当时，， ∴，即， 交叉相乘得， 化简得，，解得； ②当时，， ∴，即， 交叉相乘得， 化简得，，解得； ∵，，均符合题意． ∴当运动时间为或时，与相似； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川景博学校2026-2027学年第一学期九年级阶段性诊断测试卷 数学 一、单选题（8×3分=24分） 1. 下列方程一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A. 方程有一根为1 B. 方程有一根的取值范围是 C. 方程有一根为 D. 方程有两个不相等的实数根 3. 如图，在中，点，分别是，上的点，且，若，，，则的值是（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 4. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ① B. ①③ C. ①②④ D. ①②③④ 8. 如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知，，则为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（8×3分=24分） 9. 已知，，则的值为______． 10. 如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若，则的长为________． 11. 如图，平分，当的长为_______时，． 12. 如果，是方程的两个实数根，则的值为________． 13. 虹虹在物理课上学习了小孔成像的相关知识，回家后做小孔成像的实验，如图，物距是50cm，像距是150cm，蜡烛火焰的高度为3cm，那么光屏上的像的高度为_______cm． 14. 某班一名化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这个实验．若设每人每次都能教会x名同学，则________． 15. 如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为______． 16. 如图，是的高，点P，Q在边上，点R在边上，点S在边上，，，四边形是由两个并排放置的正方形所组成的矩形，则矩形的面积为________． 三、解答题 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点和原点都在单位长度为的正方形网格的格点上． （1）以点为位似中心，在网格纸中画出的位似图形，点、、的对应点分别是点、和，使它与的相似比为，且位于点的右侧； （2）的面积是________平方单位． 19. 如图，在中，点D是上一点，且，，， （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 如图1所示的是一张面积为的长方形薄纸板，纸板的四角上是边长相等的正方形．如果按图1中的实线剪开，虚线折叠，恰好将其折叠成一个长为、宽为的长方体文件盒，如图2所示，那么这个文件盒的厚度为多少厘米？ 21. 如图，线段，与交于点E． （1）求证：； （2）过点E作，交于点F，如果，，求的长． 22. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，且． （1）求的值． （2）求的值． 23. 如图，路灯（P点）距地面米，身高米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿所在直线行走14米到B点时． （1）求小明在A点处的影子的长度； （2）当小明从A点走到B点，影子是变长了还是缩短了？并求出变长或变短了多少米？ 24. 因各大社交媒体的传播，银川已成为最著名的网红旅游城市之一，年“十一”黄金周期间，银川接待游客万人次；年“十一”黄金周期间，接待游客已达万人次．西北凤城银川美食无数，一家特色牛肉粉店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该牛肉粉的成本价为每碗元，借鉴以往经验：若每碗卖元，平均每天将销售碗，若价格每降低元，则平均每天多销售碗． （1）求出年至年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率； （2）店员小牛认为，按照薄利多销的原则，如果多降点价，那店里每天能赚元；你认为小牛的想法对吗？如果不对，那么店家每天最多能赚多少元． 25. 如图，在矩形中，，，动点以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从点C出发．沿向点B移动，设P、Q两点移动t（s）后，的面积为． （1）求当运动时间为多少秒时，与相似？ （2）在P、Q两点运动过程中，四边形与的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $