精品解析：宁夏回族自治区银川市英才学校2026-2027学年第一学期第一次学情自测九年级数学试题

2026－2027学年第一学期第一次月考 九年级数学试卷 （满分120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共8道小题，每题3分，共24分） 1. 如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，老北京人都叫它“驴皮影”．据史书记载，皮影戏始于西汉，兴于唐朝，盛于清代，元代时期传至西亚和欧洲，可谓历史悠久，源远流长．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（ ） A. 平行投影 B. 中心投影 C. 既是平行投影又是中心投影 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的知识，根据由太阳光形成的投影是平行投影、由灯光形成的投影是中心投影判断即可． 【详解】解：∵皮影戏的光源通常是一盏煤油灯， ∴它的投影属于中心投影． 故选B． 2. 如图所示的零件的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左视图是从物体的左面看到的视图，即可求解． 【详解】解：零件的左视图是一个矩形．中间有一条横着的实线． 故选：A． 3. 如图，平行四边形中，点是边的中点，交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用平行四边形的性质求解，相似三角形的判定与性质综合，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用平行四边形的性质证明，再列出比例式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ， 又点是边的中点， ， ， 故选：B． 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选：B． 5. 数学课上，老师在投影屏上出示下面的抢答题，需要同学们回答横线上符号可以代表的内容． 如图，四边形是平行四边形， ①当※时，平行四边形是矩形． ②当时，平行四边形是矩形． ③当▲时，平行四边形是菱形． ④当时，平行四边形是正方形． 则回答不正确的是（ ） A. ※可以代表 B. ◎可以代表 C. ▲可以代表 D. 可以代表 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形，菱形，正方形的判定定理，熟知矩形，菱形，正方形的判定定理是解题的关键. 【详解】解：①∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，故①回答正确，不符合题意； ②∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，故②回答正确，不符合题意； ③∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，故③回答正确，不符合题意； ④∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，不一定是正方形，故④回答错误，符合题意； 故选：D。 6. 我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出和的度数，结合角平分线定义求出的度数，进而证得是顶角为的等腰三角形，利用题目给出的“黄金三角形”底与腰的比值关系即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， 是顶角为的等腰三角形，即“黄金三角形”， ， ， ． 7. 扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得. 【详解】设花带的宽度为，则可列方程为， 故选D． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系. 8. 在平面直角坐标系中，已知点，．若与关于点O位似，且，则点的坐标为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似变换得到是解题的关键． 根据与关于点位似，得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出相似比，根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：与关于点位似， ， ， 与的相似比为， 点的坐标为， 点的坐标为或，，即或， 故选：D． 二、填空题（本题共8道小题，每题3分，共24分） 9. 已知，那么_________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 将代入得：． 10. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 11. 某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度与从轮子底部到拉杆顶部的高度之比是黄金比（约等于0.618）．已知，则约是________（结果保留整数）． 【答案】49 【解析】 【分析】根据题意列出比例式即可解答． 【详解】解：由题意可得， ， 解得， 故答案为：49． 【点睛】本题考查了黄金分割问题，解题关键是根据题意正确列出比例式． 12. 如图，将两块直角三角板与按如图方式放置，，，，两条斜边相交于点O，则与的周长比为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，从而证得，将周长比转化为对应边与的比，利用含的直角三角形的性质和勾股定理分别表示出和即可求解． 【详解】解：设， ，， 为等腰直角三角形， ． ，， ，， ， ，， ． ， ． 13. 已知关于的方程．若原方程有两个互为相反数的实数根，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】原方程有两个实数根，故为一元二次方程，二次项系数不为，由两根互为相反数得两根之和为，利用根与系数的关系求出，再验证判别式大于，即可得到的值． 【详解】解：原方程有两个互为相反数的实数根， 原方程为一元二次方程，即； 设方程的两根为，由两根互为相反数得， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系得 ， ． ， ，解得 由， 将代入得，满足方程有两个实数根的条件，符合题意． 14. 如图，，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是_____． 【答案】##25平方厘米 【解析】 【分析】本题考查平行投影，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ， ， 与的位似比为， ， ， 故答案为：． 15. 如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求该几何体的侧面积为_______． 【答案】540 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，由几何体的三视图可得出原几何体为三棱柱是解题的关键．由几何体的三视图可得出原几何体为三棱柱，然后根据侧面积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可知，原几何体为三棱柱， ∴该几何体的侧面积为． 故答案为：540． 16. 如图，在矩形纸片中， ， ， 点在上， 将沿折叠， 点恰落在边上的点处， 点在上， 将沿折叠， 点恰落在线段上的点处． 下列结论： ①；②；③；④．正确的是______________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由矩形的性质得，由折叠得，则，可判断①正确；由，得，则，可判断②正确；因为，所以，则，由，求得，则，由，求得，则，所以，可判断③错误；因为，所以，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ，， ∴由折叠得， ，故①正确； ∵，点在上，点在上， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， 解得， ， ， 故③错误； ， ， 故④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定、三角形的面积公式等知识，求得及是解题的关键． 三、解答题（共72分） 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； 【小问1详解】 解：， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ，； 18. 画出左边物体的三种视图 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，画出三视图即可． 【详解】解：如图所示： 【点睛】本题考查三视图的画法；用到的知识点为：三视图分别是从物体正面，左面，上面看得到的平面图形；注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； （2）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似，使它与的位似比为； （3）判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点． 【答案】（1） 解：如图为所求： （2） 解：如图为所求： （3） 解：和是位似图形，点M为所求位似中心，如图点M即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-位似变换，平移变换． （1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （3）连接，，，发现三条直线交于同一点，再根据位似图形的定义判断可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，某数学兴趣小组利用树影测量树高．已测出树的影长为，并测出此时太阳光线与地面成角（计算结果精确到，参考数据：）． （1）求树的高度． （2）因水土流失，此时树沿太阳光线方向倾倒．在倾倒过程中，树影长度发生了变化．假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，已知，根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可设，，通过勾股定理得到关于的方程，进行求解即可； （2）过点A作太阳光线于点D，根据树与光线垂直时，树影最长即可求解． 【详解】解：（1）在中，． 设，则． 由勾股定理，得， 即， 解得（负值已舍去）． 故树的高度约为． （2）当树与光线垂直时，树影最长， 过点A作太阳光线于点D，且， 如图．在中，． 故树影的最大长度为． 【点睛】此题考查了平行投影；通过作高线转化为直角三角形的问题，当树与光线垂直时，树影最长，是解题的关键． 21. 如图，在中，，是中线，E是的中点，过点A作交的延长线于F，连接． （1）求证：； （2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． （3）已知与交于点O，则与的面积比是多少？ 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，，是中线， ∴， ∴； （2）解：四边形是正方形，理由如下： 当时，四边形是正方形． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是中线， ∴， ∵， ∴四边形是正方形． （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，即可得，又由在中，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得，即可解答； （2）当时，四边形是正方形．由，可证得：四边形是平行四边形，又由，根据三线合一的性质，可得，，继而可得四边形是正方形． （3）先推导出，再根据，得到，则可求出，继而推导出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图 ∵，， ，即， ， ， ， 与以为顶点，底边在同一条直线上，两个三角形同高， ． 答：与的面积比是． 22. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年11月份的销售量为256件，若2024年12月份和2025年1月份每月的销售量以相同的增长率增长，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题： （1）降价x元后的月销售量为 _________件；(用含x的式子表示) （2）试求2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率． （3）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1）； （2）2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为； （3）当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）该款吉祥物每降价元，月销售量就会增加件，设降价降了x元，则降价x元后的月销售量为件； （2）设每月销售量的增长率为m，根据“11月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件”列方程解答即可； （3）设降价降了x元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为元列方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：降价x元后的月销售量为件． 故答案为：； 【小问2详解】 解：设2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为m，根据题意，得 ， 解之，得，（不合题意，舍去） 答：2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为． 【小问3详解】 解：根据题意得：， 解得：，． 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 23. 【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式 _________；__________ _________；的最大值为4． 【问题解决】 （1）请补全素材2中的解题过程； （2）如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 【答案】（1）0，0，4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方的非负性与不等式的性质进行求解即可； （2）根据直角三角形的面积，求出，再根据勾股定理求出，进而结合等积变换求出，根据矩形性质得，，，即可得，，再根据，即可证明，，根据相似性质得，，设，则，进而得，，即可求出，设矩形的面积为，再根据矩形面积公式即可得，配方后根据偶次方的非负性即可得矩形台面面积的最大值． 【小问1详解】 解：原式． ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为4． 【小问2详解】 解：如图， ∵直角三角形木板的面积为，一条直角边长为， ∴，即：，解得：， ∴， ∵， ∴，即：，解得：， 在矩形中有：，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∴，， ∴， 设矩形的面积为，则： ， ∵， ∴， ∴当时，， ∴矩形台面面积的最大值为． 24. 如图，在中，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是．过点D作于点F，连接． （1）求证：； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由； （3）当t为何值时，与相似？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）t为或4时，△AED和△ABC相似． 【解析】 【分析】（1）由运动知，AE=t，CD=2t，再用含30度角的直角三角形的性质得出DF=CD=t，即可得出结论； （2）先根据勾股定理求出AC，判断出AE∥DF，再判断出AE=AD，进而建立方程t=10-2t，求解，即可得出答案； （3）先求出AB=AC=5，再由△AED和△ABC相似，得出或，进而建立方程求解，即可得出答案． 【详解】解：（1）证明：由运动知，AE=t，CD=2t， ∵DF⊥BC， ∴∠DFC=90°， 在Rt△DFC中，∠C=30°， ∴DF=CD=t， ∴AE=DF； （2）由（1）知，AE=DF，∠DFC=90°， ∵∠B=90°， ∴AE∥DF， ∴四边形AEFD是平行四边形， 在中， 设AB=x，则AC=2x ∵ ∴ 解得， ∴AB=5，AC=10 ∵四边形AEFD是菱形， ∴AE=AD， ∵AD=AC-CD=10-2t，AE=t， ∴t=10-2t， ∴t=， 故答案为； （3）t为或4时，△AED和△ABC相似；理由： ∵△AED和△ABC相似， ∴或， ∴或， ∴t=或t=4． ∵点D，E分别在AC，AB边上， ∴0＜t＜5， 即t为或4时，△AED和△ABC相似． 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 25. 如图，正方形，边长为，点是射线上一点，，且交正方形外角的平分线于点． （1）问题1：如图1，当点在边上时，猜想与的数量关系并证明； 问题2：如图2，若点在的延长线上，问题1中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． （2）如图3，连接、，点在运动过程中，求周长的最小值． 【答案】（1）问题1：， 证明：如图1，在上取点，使得，连接， 正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 是正方形外角的平分线， ， ， 在和中， ， ， ； 问题2：成立， 证明：如图2，在延长线上取点，使得，连接， 正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 是正方形外角的平分线， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）问题1：在上取点，使得，连接，利用正方形和等腰三角形的性质，证明，即可得出结论；问题2：在延长线上取点，使得，连接，同理可证，即可得到结论； （2）在的延长线上取点，使得，连接、，证明，得到，当、、三点共线时，有最小值为的长，利用勾股定理求出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，在的延长线上取点，使得，连接、， 正方形，边长为， ，， 是正方形外角的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值为的长， 在中，，， ，即的最小值为 周长， 周长的最小值为． 26. 综合与实践——视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同． 素材2 为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长． （1）探究图中与之间的关系，请说明理由； （2）若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． （3）美美的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【答案】（1）解：，理由如下： ， ， ，即； （2） （3）镜长至少为 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例解答； （2）根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可； （3）延长至，使，延长至，使，连接，作于F，交于E，先证明，再根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，且，，， ， ， ②号“E”的测量距离为； 【小问3详解】 解：如图，延长至，使，延长至，使，连接，作于F，交于E， 则，， ，， ， 由题意得：，， ， ， ， 镜长至少为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年第一学期第一次月考 九年级数学试卷 （满分120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共8道小题，每题3分，共24分） 1. 如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，老北京人都叫它“驴皮影”．据史书记载，皮影戏始于西汉，兴于唐朝，盛于清代，元代时期传至西亚和欧洲，可谓历史悠久，源远流长．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（ ） A. 平行投影 B. 中心投影 C. 既是平行投影又是中心投影 D. 无法确定 2. 如图所示的零件的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，平行四边形中，点是边的中点，交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A. B. 且 C. 且 D. 且 5. 数学课上，老师在投影屏上出示下面的抢答题，需要同学们回答横线上符号可以代表的内容． 如图，四边形是平行四边形， ①当※时，平行四边形是矩形． ②当时，平行四边形是矩形． ③当▲时，平行四边形是菱形． ④当时，平行四边形是正方形． 则回答不正确的是（ ） A. ※可以代表 B. ◎可以代表 C. ▲可以代表 D. 可以代表 6. 我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知点，．若与关于点O位似，且，则点的坐标为（　　） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（本题共8道小题，每题3分，共24分） 9. 已知，那么_________． 10. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 11. 某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度与从轮子底部到拉杆顶部的高度之比是黄金比（约等于0.618）．已知，则约是________（结果保留整数）． 12. 如图，将两块直角三角板与按如图方式放置，，，，两条斜边相交于点O，则与的周长比为_________． 13. 已知关于的方程．若原方程有两个互为相反数的实数根，则的值是___________． 14. 如图，，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是_____． 15. 如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求该几何体的侧面积为_______． 16. 如图，在矩形纸片中， ， ， 点在上， 将沿折叠， 点恰落在边上的点处， 点在上， 将沿折叠， 点恰落在线段上的点处． 下列结论： ①；②；③；④．正确的是______________． 三、解答题（共72分） 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 18. 画出左边物体的三种视图 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； （2）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似，使它与的位似比为； （3）判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点． 20. 如图，某数学兴趣小组利用树影测量树高．已测出树的影长为，并测出此时太阳光线与地面成角（计算结果精确到，参考数据：）． （1）求树的高度． （2）因水土流失，此时树沿太阳光线方向倾倒．在倾倒过程中，树影长度发生了变化．假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度． 21. 如图，在中，，是中线，E是的中点，过点A作交的延长线于F，连接． （1）求证：； （2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． （3）已知与交于点O，则与的面积比是多少？ 22. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年11月份的销售量为256件，若2024年12月份和2025年1月份每月的销售量以相同的增长率增长，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题： （1）降价x元后的月销售量为 _________件；(用含x的式子表示) （2）试求2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率． （3）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 23. 【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式 _________；__________ _________；的最大值为4． 【问题解决】 （1）请补全素材2中的解题过程； （2）如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 24. 如图，在中，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是．过点D作于点F，连接． （1）求证：； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由； （3）当t为何值时，与相似？请说明理由． 25. 如图，正方形，边长为，点是射线上一点，，且交正方形外角的平分线于点． （1）问题1：如图1，当点在边上时，猜想与的数量关系并证明； 问题2：如图2，若点在的延长线上，问题1中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． （2）如图3，连接、，点在运动过程中，求周长的最小值． 26. 综合与实践——视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同． 素材2 为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长． （1）探究图中与之间的关系，请说明理由； （2）若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． （3）美美的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $