江苏省无锡市2026-2027学年苏科版九年级上册数学期中考试模拟试卷（第1-3章）

江苏省无锡市2026-2027学年苏科版 九年级上册数学期中考试模拟试卷（第1-3章） （考试时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（共30分） 1．《九章算术》“勾股”章有一道题，今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．大意：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，求门的高和宽．（1丈＝10尺，1尺＝10寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．根据下列表格的对应值，可判断方程必有一个根满足（    ） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.24 0.89 1.56 A． B． C． D． 3．某物理小组探究电热水壶的功率（单位：千瓦）与烧开一壶水所需的时间（单位：分钟）之间的关系，在电压恒定、水量相同的条件下，记录了个不同功率的电热水壶的实验数据如下： 功率/千瓦 时间/分钟 经分析，与之间满足某种函数关系，则与之间的函数关系式为（      ） A． B． C． D． 4．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．已知关于x的方程有两个相等的实数根，且，则k的值是（     ） A．24 B．6 C．18 D．12 6．如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（     ） A． B． C． D． 8．对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C． D． 9．如图，四边形内接于，且恰好是的直径，过点A作的切线交的延长线于点E，平分．若，，则的直径为（    ） A． B． C． D． 10．在中，，以为圆心为半径画，使与线段有且只有两个公共点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 11．某次乒乓球比赛采取单循环赛制（每两支球队之间都赛一场），共安排了28场比赛，求这次比赛共有______支球队参加． 12．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 13．若函数是反比例函数，则的值为______________． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则的外接圆圆心的坐标为______________． 15．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上．点的读数分别为，则的大小为___________． 16．如图，正六边形的外接圆的直径为，过圆心的直线与圆周交于，两点，则图中的阴影部分的面积和为___________． 17．若方程的两个实数根分别记作和，若满足则k的值为__________． 18．如图，的直角顶点在轴上，函数的图象经过边的中点，且交于点，连接，则______． 三、解答题（共66分） 19．解下列方程： (1)； (2)． 20．已知 (1)化简Q． (2)若点在反比例函数的图象上，求Q的值． 21．明达中学在校园里建了一个读书亭．它的地基是半径为4米的正六边形． (1)求地基的周长是多少？ (2)求地基的面积是多少？ 22．随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司在某地试点投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，该试点八月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，九、十月的全天包车数持续走高，十月份的全天包车数达到64次． (1)若从八月份到十月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率； (2)现该公司计划扩大市场，经调查发现，每辆车的全天包车租金每降价10元，则全天包车数增加8次，公司决定从11月1日起，降低租金，尽可能地让利顾客，计划11月在该试点获利7920元，应将每辆车的全天包车租金降价多少元？ 23．如图，一次函数的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与y轴交于点C，与x轴交于点． (1)求k与m的值． (2)为y轴上的一动点，当的面积为2时，求a的值． 24．已知锐角的外心为，重心为（三条中线的交点），垂心为（三条高线的交点），点为边的中点． (1)求的值； (2)求证：，，三点共线并求出的值． 25．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于、两点，与直线交于点E． (1)求的表达式； (2)点P在反比例函数图象上，且在直线下方，若求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，且点P在第一象限，如图2所示，将点P沿射线方向平移个单位得到点，点F在反比例函数图象上，且满足，请直接写出点F的坐标． 26．【温故知新】在学习扇形的面积公式时，已知扇形圆心角和所在圆的半径，可以推得扇形面积公式：扇形；并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方法扇形．有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式，扇形有人也叫它“曲边三角形”． 【问题再探】甲同学受“曲边三角形”面积公式的启发，猜测折扇扇面部分的面积应该类似梯形面积公式．如图1，已知弧和弧所在圆的圆心都是点，弧的长为，弧的长为，．他猜想折扇扇面部分的面积（如图1中的阴影部分），他的猜想正确吗？ 【解决问题】 (1)补全空白部分的公式． (2)如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由． (3)某纸杯的尺寸（单位：）如图2所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）．①纸杯的侧面积为． ②记表示两边长分别为、（，单位：）的矩形纸片的大小．图3是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与弧相切，点、在对边上，点、分别在另外两边上，求出、的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省无锡市2026-2027学年苏科版 九年级上册数学期中考试模拟试卷（第1-3章） （考试时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（共30分） 1．《九章算术》“勾股”章有一道题，今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．大意：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，求门的高和宽．（1丈＝10尺，1尺＝10寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】单位换算：6尺8寸尺，1丈尺．门高x尺，则宽为尺； 长方形对角线，使用勾股定理得：． 2．根据下列表格的对应值，可判断方程必有一个根满足（    ） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.24 0.89 1.56 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格中的取值正负变化，确定方程根的所在区间． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程必有一个根满足． 3．某物理小组探究电热水壶的功率（单位：千瓦）与烧开一壶水所需的时间（单位：分钟）之间的关系，在电压恒定、水量相同的条件下，记录了个不同功率的电热水壶的实验数据如下： 功率/千瓦 时间/分钟 经分析，与之间满足某种函数关系，则与之间的函数关系式为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算各组与的乘积，判断函数类型后推导函数关系式． 【详解】解：，，，， 各组数据均满足， 与的函数关系式为． 4．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由反比例函数的值确定图象所在象限及增减性，结合各点纵坐标的特征比较横坐标大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. ∵点的纵坐标， ∴点在第三象限，． ∵点、的纵坐标、均大于， ∴点、在第一象限， 又∵， ∴， 综上可得． 5．已知关于x的方程有两个相等的实数根，且，则k的值是（     ） A．24 B．6 C．18 D．12 【答案】D 【分析】由一元二次方程有两个相等实数根得判别式为0，建立关于的方程，结合的条件求解． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴． 6．如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用在同圆中等弧所对的圆心角相等，建立与的关系． 【详解】解：∵， ， ， ． 7．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径． 【详解】解：扇形的长为：， ∵扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长， 设围成圆锥的底面半径为， ∴ 解得：． 8．对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】结合反比例函数的图象与性质，分和两种情况讨论自变量的取值范围. 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小. 当时，对应第一象限的图象， 当时，， ∵随增大而减小， ∴. 当时，对应第三象限的图象， 当时，， ∵随增大而减小， ∴. ∴的取值范围是或. 9．如图，四边形内接于，且恰好是的直径，过点A作的切线交的延长线于点E，平分．若，，则的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的切线性质、角平分线定义、等腰三角形性质、平行线判定、矩形判定、垂径定理、勾股定理，解题的关键是严格证明，构造矩形与垂径分弦，结合勾股定理求解直径． 连接，作于；由切线性质得，由得，结合平分得，故，推出，进而得；证四边形为矩形，得；由垂径定理得，设半径为，在中用勾股定理列方程，解得，直径为． 【详解】解：连接，作于， ∵是的切线， ∴，即． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∴，即． ∵，，， ∴四边形是矩形． ∴, ∵， ∴（垂径定理）． 设半径为，则，． 在中，由勾股定理：，，解得． ∴直径． 10．在中，，以为圆心为半径画，使与线段有且只有两个公共点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理得，过点作于点，利用三角形的面积可得，再结合图形解答即可求解． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， 如图，过点作于点， ∵， ∴， 解得， 当时，与线段相切，只有一个交点，如图； 当时，与线段有两个交点； 当时，与线段只有一个交点； 当时，与线段没有交点； ∴当与线段有且只有两个公共点时，的取值范围是． 二、填空题（共24分） 11．某次乒乓球比赛采取单循环赛制（每两支球队之间都赛一场），共安排了28场比赛，求这次比赛共有______支球队参加． 【答案】8 【详解】解：设有x个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛， 则有， 解得或（舍去）． 故这次比赛共有8个球队参加． 12．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的定义进行求解． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 又∵， ∴， ∴． 13．若函数是反比例函数，则的值为______________． 【答案】2 【分析】根据反比例函数的定义，得到指数为且系数不为，列出方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，且， ∴且 ∴． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则的外接圆圆心的坐标为______________． 【答案】 【分析】的外接圆圆心是其三边的垂直平分线所在直线的交点，因此分别作线段的垂直平分线，二者的交点即为的外接圆圆心． 【详解】解：如图所示，分别作线段的垂直平分线，二者的交点即为的外接圆圆心， ∴的外接圆圆心的坐标为． 15．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上．点的读数分别为，则的大小为___________． 【答案】 【分析】利用量角器读数差求出圆心角度数，再根据圆周角定理计算圆周角度数． 【详解】解：设量角器的中心为，连接， ∵ 点、的读数分别为、 ∴ ∵是弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角 ∴． 16．如图，正六边形的外接圆的直径为，过圆心的直线与圆周交于，两点，则图中的阴影部分的面积和为___________． 【答案】 【分析】连接，，作于点，由中心对称图形的性质可知，阴影部分的面积等于弓形的面积，证明是等边三角形可得出，由勾股定理可得，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，连接，，作于点，则， 与正六边形都是中心对称图形， 阴影部分的面积和弓形的面积． ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 故阴影部分的面积和为． 17．若方程的两个实数根分别记作和，若满足则k的值为__________． 【答案】 【分析】将给定的根的关系式变形为两根和与两根积的等式，结合一元二次方程根与系数的关系建立关于的方程，再通过判别式验证解的合理性，舍去无实根的情况． 【详解】解：∵， ∴，移项整理得， 对于一元二次方程， 根据根与系数的关系，可得，， ∴， 移项化简得， 因式分解得， 解得或， ∵一元二次方程存在两个实根的前提是判别式， ∴ 解得， ∴的值为． 18．如图，的直角顶点在轴上，函数的图象经过边的中点，且交于点，连接，则______． 【答案】9 【分析】设，得到，求出，即，然后得到，求出，得到，进而求解即可． 【详解】解：∵函数的图象经过边的中点 ∴设 ∴ ∵的直角顶点在轴上 ∴轴 ∴点D的横坐标为 将代入 ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴． 三、解答题（共66分） 19．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用公式法，即可求解； （2）先把方程化为一般式，再利用因式分解法，即可求解． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 20．已知 (1)化简Q． (2)若点在反比例函数的图象上，求Q的值． 【答案】(1) (2)当时，，当时，． 【分析】（1）先计算括号内的分式的加法，再把除法化为乘法，再约分即可； （2）根据反比例函数的性质先求解a的值，再代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， 当时，原式， 当时，原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，反比例函数的性质，掌握分式的混合运算的运算顺序与反比例函数的性质是解本题的关键． 21．明达中学在校园里建了一个读书亭．它的地基是半径为4米的正六边形． (1)求地基的周长是多少？ (2)求地基的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，求出圆心角的度数，再由等边三角形的性质即可求出正六边形的周长； （2）过O作，利用等边三角形及特殊角的三角函数值可求出的长，利用三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接； ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的周长． （2）解：过O作于G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是正六边形及等边三角形的性质、特殊角的三角函数值，作出辅助线构造出等边三角形是解答此题的关键． 22．随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司在某地试点投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，该试点八月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，九、十月的全天包车数持续走高，十月份的全天包车数达到64次． (1)若从八月份到十月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率； (2)现该公司计划扩大市场，经调查发现，每辆车的全天包车租金每降价10元，则全天包车数增加8次，公司决定从11月1日起，降低租金，尽可能地让利顾客，计划11月在该试点获利7920元，应将每辆车的全天包车租金降价多少元？ 【答案】(1)全天包车数的月平均增长率为 (2)应将每辆车的全天包车租金降价元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，能够理解题意列出一元二次方程是解题关键． （1）先计算9月份的包车数，再计算出10月份的包车数，列方程即可求解． （2）本题降价和增加包车数是有一定比例关系，先换算成降1元能增加多少全天包车数，再算出总共包车数和每辆车利润，即可表示总获利金额，进而列方程求解． 【详解】（1）解：设全天包车数的月平均增长率为，    根据题意可得：，     解得：，（不合题意舍去），   答：全天包车数的月平均增长率为． （2）设租金降价元， 根据题意可得：，     化简得：， 解得：， ， 尽可能地让利顾客， ， 答：应将每辆车的全天包车租金降价元． 23．如图，一次函数的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与y轴交于点C，与x轴交于点． (1)求k与m的值． (2)为y轴上的一动点，当的面积为2时，求a的值． 【答案】(1)的值为，的值为 (2)或． 【分析】（1）把点的坐标代入一次函数的解析式求出，再求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论； （2）根据，构建方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ， ∴一次函数的解析式为． 把代入，得， ． 把代入，得， 的值为，的值为． （2）解：当时，， ． 为轴上的一动点， ， ， ． ， ． 或， 或． 24．已知锐角的外心为，重心为（三条中线的交点），垂心为（三条高线的交点），点为边的中点． (1)求的值； (2)求证：，，三点共线并求出的值． 【答案】(1)2 (2) 连接，并延长交外接圆于点M，连接，，，，，，设交于点，如图， ∵是直径， ∴，是直角， ∴，， 又∵点H是的垂心， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点D是的中点，点O是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点是的重心， ∴点G与点重合， ∴G，O，H三点共线； 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的外接圆，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握这些性质． （1）根据重心的性质进行求解即可． （2）连接，并延长交外接圆于点M，连接，，，，，，设交于点，，根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质可得点是的重心，可得点G与点重合，从而证明G，O，H三点共线；根据相似三角形的性质可得； 【详解】（1）解：∵点是的重心，是边的中点， ∴， （2） ∵， ∴， 则， ∴； 25．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于、两点，与直线交于点E． (1)求的表达式； (2)点P在反比例函数图象上，且在直线下方，若求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，且点P在第一象限，如图2所示，将点P沿射线方向平移个单位得到点，点F在反比例函数图象上，且满足，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作轴交于点Q，设，则，则，求解即可； （3）根据平移求出，当F点在第三象限时，过作轴交于G点，根据所给条件推导出，则直线与反比例函数图象的交点为F点；当F点在第一象限时，过作轴，且，过H点作，且，连接，可得，则直线与反比例函数图象的交点为F点． 【详解】（1）解：将代入中， ∴， ∴， 将代入， ∴， ∴， 将，代入中， ∴， 解得， ∴的表达式为； （2）解：过点P作轴交于点Q， 当时，解得， ∴， 设，则， ∴， 解得， 经检验，均为原分式方程的解， ∵ ∴或； （3）解：∵点P在第一象限， ∴， ∵点P沿射线方向平移个单位， ∴P点向左平移4个单位，向上平移4个单位， ∴， 当F点在第三象限时，过作轴交于G点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 将代入得，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，解得（舍）， 经检验，为原分式方程的解， ∴； 当F点在第一象限时，当时，， 即， 过作轴，且，过H点作，且，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在线段上， 设直线的解析式为， 将、代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，解得（舍）， 经检验，为原分式方程的解， ， ∴； 综上所述：F点坐标为或． 26．【温故知新】在学习扇形的面积公式时，已知扇形圆心角和所在圆的半径，可以推得扇形面积公式：扇形；并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方法扇形．有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式，扇形有人也叫它“曲边三角形”． 【问题再探】甲同学受“曲边三角形”面积公式的启发，猜测折扇扇面部分的面积应该类似梯形面积公式．如图1，已知弧和弧所在圆的圆心都是点，弧的长为，弧的长为，．他猜想折扇扇面部分的面积（如图1中的阴影部分），他的猜想正确吗？ 【解决问题】 (1)补全空白部分的公式． (2)如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由． (3)某纸杯的尺寸（单位：）如图2所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）．①纸杯的侧面积为． ②记表示两边长分别为、（，单位：）的矩形纸片的大小．图3是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与弧相切，点、在对边上，点、分别在另外两边上，求出、的值． 【答案】(1)①；②；③； (2)正确，推导如下： 设弧的半径为，弧的半径为，， ∵， ∴， 则折扇扇面部分的面积 ； (3) ①；②；． 【分析】（1）根据扇形面积公式和弧长公式填空即可； （2）设弧的半径为，弧的半径为，，则折扇扇面部分的面积，然后代入弧长公式进行计算即可推导出结论； （3）①根据（2）推导的公式求解即可； ②延长交于点，设矩形的边与相切于点，连接交于点，则，先利用弧长公式列出方程组，求得，，然后利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：； 弧长公式； ∴； （2）略 （3）解：①由图可知，，，， ∴纸杯的侧面积； ②如图，延长交于点，设矩形的边与相切于点，连接交于点，则， ∵四边形是矩形， ∴四边形为矩形， ∴，， 由图可知，，，， 设，，则， ∴， 解得， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴，，， ∴在和中，， ∴，， ∴， ． 学科网（北京）股份有限公司 $