精品解析：福建泉州市石狮市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次素养检测数学试题

石狮一中2026-2027学年上学期高二年段素养检测 高二年级数学科，考试时间120分钟，满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若（是虚数单位），则的共轭复数为 A. B. C. D. 3. 已知，，，若、、三个向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为（ ）. A. B. C. D. 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 设点，，直线过且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 以上都不对 8. 在棱长为2的正四面体中，点满足，点满足，当､最短时，（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知事件，且，，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若与相互独立，则 D. 若与相互独立，则 10. 已知点，，下列结论正确的是（ ） A. 若直线的方向向量为，则 B. 若直线的斜率为，则 C. 若，则为直角三角形 D. 若，则边上的中线方程为 11. 棱长为1的正方体中，，，分别为棱，，的中点（如图1），则下列结论正确的是（ ） A. 直线与底面所成角的正切值为 B. 异面直线与的距离为 C. 若点为平面上的动点，且直线与所成角为，则动点的轨迹长度为 D. 若，交于点，正方形的四个顶点在其所在平面内绕着点逆时针旋转，得到一个十面体（如图2），则该十面体的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______. 13. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则________ 14. 三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，，点Q为平面ABC内的动点，且满足，记直线PQ与直线AB的所成角为，则的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 一个盒子中装有4个编号依次为1､2､3､4的球，这4个球除号码外完全相同，采用放回方式取球，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为. （1）写出试验的样本空间； （2）设事件A=“两次取出球的编号之和小于4”，事件B=“编号”，分别求事件A，B，AB发生的概率. 16. 如图，在平行六面体中，，是棱的中点，记，，. （1）用、、表示向量； （2）若，，点满足，且，求. 17. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 18. 如图，在四棱锥中，平面 ，，，，M为棱的中点. （1）证明：平面. （2）已知. （i）求平面与平面夹角的余弦值. （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2． （1）当为何值时，平面平面? （2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石狮一中2026-2027学年上学期高二年段素养检测 高二年级数学科，考试时间120分钟，满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解确定，再由交集运算即可求解； 【详解】， 所以， 故选：C 2. 若（是虚数单位），则的共轭复数为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数除法法则计算出，再由共轭复数概念写出共轭复数． 【详解】，∴． 故选：C． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题． 3. 已知，，，若、、三个向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】、、三个向量不能构成空间的一个基底， 、、三个向量共面，即存在实数，使得. ，，， ，即，解得. 实数. 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理将用，和表示出来，对照各项系数计算即得. 【详解】∵，∴， ∴ ， 则，，，故． 故选：A. 5. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解. 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 6. 在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 7. 设点，，直线过且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】画出图形，由题意得所求直线的斜率满足或，用直线的斜率公式求出和的值，即可求解. 【详解】如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或， 而，， 所以或. 故选：A. 8. 在棱长为2的正四面体中，点满足，点满足，当､最短时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到平面，直线，从而求得最短时，得到为的中心，为的中点，求得的长，结合向量的运算公式，即可求得的值. 【详解】如图所示，因为，， 可得平面，直线， 当最短时，，且， 所以为的中心，为的中点，如图所示， 又由正四面体的棱长为2，所以， 因为平面，所以， 则 . 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知事件，且，，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若与相互独立，则 D. 若与相互独立，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式直接求解. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对B，若与互斥，则，故B正确； 对于C，若与相互独立，则与相互独立， 所以，故C正确； 对于D，若与相互独立， 则，故D错误. 故选：BC. 10. 已知点，，下列结论正确的是（ ） A. 若直线的方向向量为，则 B. 若直线的斜率为，则 C. 若，则为直角三角形 D. 若，则边上的中线方程为 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，由，，直线的方向向量为，得，解得，故A错误； 对于B，由，，得； 直线的斜率为，得，得，故B正确； 对于C，由，，，得，， ，则，即为直角三角形，故C正确； 对于D，由，，，得中点，， 直线的方程为，但边上的中线为线段， 则边上的中线方程为，故D错误. 11. 棱长为1的正方体中，，，分别为棱，，的中点（如图1），则下列结论正确的是（ ） A. 直线与底面所成角的正切值为 B. 异面直线与的距离为 C. 若点为平面上的动点，且直线与所成角为，则动点的轨迹长度为 D. 若，交于点，正方形的四个顶点在其所在平面内绕着点逆时针旋转，得到一个十面体（如图2），则该十面体的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A建立空间直角坐标系计算线面角正弦，再应用同角三角函数关系即可求解判断；B应用空间向量计算异面直线间距离即可；C求证平面，即可确定轨迹为圆；D将图形分割为三棱锥进行求解. 【详解】对于A，如图建立空间直角坐标系. 则， ， 又平面的一个法向量显然为， 设与平面夹角为，则， 所以，故A正确； B选项，因为，， 设异面直线公垂向量，又因为， 所以，令，则， 设异面直线与的距离为，B选项错误； C选项，因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以，同理可得，， 因为平面，所以平面， 设平面，因为平面，所以， 因为直线与所成角为，所以， 则动点Q的轨迹是半径为的圆，故其长度为，故C正确； D选项，连接， 因为平面，所以三棱锥的高为， 则，同理可得，， 因为，且，所以， 所以， ， 因为，所以， 所以， 因为， 所以十面体的体积为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由列方程，化简求得的值. 【详解】∵，，， ∴， 又∵A，C，D三点共线，∴， ∵，不共线，∴， ∴，∴. 故答案为： 13. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可. 【详解】因为， 因为互斥， 所以 ， 解得，所以 故答案为：. 14. 三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，，点Q为平面ABC内的动点，且满足，记直线PQ与直线AB的所成角为，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件先确定出在平面内的轨迹，然后通过建立空间直角坐标系，根据两直线方向向量夹角的余弦值结合三角函数值的范围，计算出两直线所成角的正弦值的取值范围. 【详解】因为两两垂直，且，所以由全等三角形可知， 所以三棱锥为正三棱锥，记在底面内的投影为， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以的轨迹是以为圆心半径为的圆， 取中点，连接，可知经过点，建立如下图所示的空间直角坐标系： 设，， 所以， 所以， 所以， 所以，且， 所以，所以， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：异面直线所成角的余弦值的向量求法： （1）先分别求解出两条异面直线的一个方向向量； （2）计算出两个方向向量夹角的余弦值； （3）根据方向向量夹角的余弦值的绝对值等于异面直线所成角的余弦值求解出结果. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 一个盒子中装有4个编号依次为1､2､3､4的球，这4个球除号码外完全相同，采用放回方式取球，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为. （1）写出试验的样本空间； （2）设事件A=“两次取出球的编号之和小于4”，事件B=“编号”，分别求事件A，B，AB发生的概率. 【答案】（1） {，}； （2），，. 【解析】 【分析】（1）用列举法写出样本空间计算即可； （2）根据事件的运算及古典概型计算即可. 【小问1详解】 由题意可知所有可能的结果共有16种，样本空间为{， }； 【小问2详解】 由题意可知事件A=，共三个结果，故， 事件B=，共六个结果，故， 事件包含的结果有一个，故. 16. 如图，在平行六面体中，，是棱的中点，记，，. （1）用、、表示向量； （2）若，，点满足，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的基本定理可将用向量、、表示； （2）由题意得出结合空间向量数量积的运算性质得出关于的值，再利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【小问1详解】 由题意可得 . 【小问2详解】 ， 因为，所以，解得， 所以， 故. 17. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解； （2）先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【小问1详解】 设“甲答对3道题目”, “甲答对2道题目” “乙答对3道题目”， “乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得， ， ， ， ， 设为 “甲、乙两人共答对5道题目”， 则，因为与互斥，与，与分别相互独立，， 所以甲、乙两人共答对5道题目的概率． 【小问2详解】 C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立， ， E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥， 与，与分别相互独立， 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 18. 如图，在四棱锥中，平面 ，，，，M为棱的中点. （1）证明：平面. （2）已知. （i）求平面与平面夹角的余弦值. （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：取的中点 ，连接， ，如图所示， 为棱的中点，，， ，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面. （2）（i）；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）作的中点 ，连接， ，可证四边形是平行四边形，可得，可证得结论. （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（ii）利用点到面距离得向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面 ，， ，， 两两垂直， 以 为坐标原点，，， 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 为棱的中点，， （i），， 设平面的法向量为，则， 令，则，，， 取 的中点 ，连接 ，易知平面， 即是平面的一个法向量，， 设平面与平面夹角为， ， 平面与平面夹角的余弦值为； （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设，，则，， 由（i）知平面的一个法向量为，， 点Q到平面的距离是， ，，所以存在点Q满足题意，此时. 19. 如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2． （1）当为何值时，平面平面? （2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）先探索面面垂直的必要条件，再证明充分性即可. （2）由（1）得面面垂直、线面垂直关系，建立空间直角坐标系，用向量方法表示线面角的正弦值，建立关于的方程求解即可 （3）借助体积公式可得当平面时，三棱锥的体积最大，借助等体积法计算可得内切球半径. 【小问1详解】 连接，由题意得，， 则为等边三角形，， 在中，， 由余弦定理得， 所以，由， 则，故. 若平面平面， 由平面平面，平面，， 则平面，平面，则， 所以. 下面证明当时，平面平面. 证明：由，则， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 故当时，平面平面； 【小问2详解】 由（1）知，，则平面平面. 在平面内过作， 由平面平面，平面， 则平面，平面，则. 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 由， ， 因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 化简得，解得或（舍去）， 故当时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 设点到平面的距离为， 由，其中为定值， 则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大， 取中点，连接，则， 当平面时，点到平面的距离最大， 此时，由平面，则平面平面， 由（1）知，，为直角三角形， . 则， ， ， 在中，，取中点， 则，且， 所以， 设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知， 其中，， 故， 故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为. 【点睛】方法点睛：空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出或找到截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径；三是建立空间直角坐标系，设出球心坐标，利用有关半径等的等量关系解方程组可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $