精品解析：福建省泉州实验中学2026-2027学年高二上学期10月适应性练习数学试卷

泉州实验中学2026—2027学年高二年10月适应性练习 考试时间：120分钟 一．单选题（8*5＝40分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由关于平面对称的点的坐标的特点可得结果. 【详解】点关于平面对称的点的坐标为. 2. 若为复数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，即， 所以，即， 所以， 所以． 3. 一组数据按从小到大的顺序排列为3，5，6，m，10，12.若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第60百分位数是（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 9.5 【答案】C 【解析】 【详解】这组数据一共6个数，中位数是，极差为， 所以=，解得. 又因为，所以该组数据的第60百分位数是第4项. 4. 用这三个数字组成无重复数字的三位数，记事件“能被整除”，事件“为奇数”，则事件与事件至少有一个发生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知，用这三个数字组成无重复数字的三位数， 则样本空间，共有个样本点， 则，所以， 则． 5. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 所以， 则向量在向量上的投影向量为· 6. 如图1，在中，，，是线段的中点.将沿CD所在直线翻折，得到如图2所示的三棱锥.若，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理得到平面，则三棱锥外接球的球心在垂直于且过中垂线的平面上；根据正余弦定理求出的外接圆半径，结合勾股定理求出外接球半径，代入表面积公式求解即可. 【详解】在中，. 因为是线段的中点，所以，且，. 翻折后，，，，且，. 由平面，，所以平面. 在中，由余弦定理得， 所以. 设的外接圆半径为，由正弦定理得，所以. 设三棱锥外接球的半径为，则球心到平面的距离为. 所以. 故三棱锥外接球的面积为. 7. 甲、乙两名同学做同一道数学题（甲乙做对与否互不影响），甲做对的概率为0.7，乙做对的概率为0.8，下列说法错误的是（ ） A. 两人都做对的概率是0.56 B. 恰好有一人做对的概率是0.38 C. 两人都做错的概率是0.16 D. 至少有一人做对的概率是0.94 【答案】C 【解析】 【分析】利用独立事件概率公式和对立事件的概率公式，根据选项事件分别求其概率逐一判断即可. 【详解】已知甲乙做对与否相互独立，记甲做对为事件，则， ； 乙做对为事件，则， ， 依题意，事件相互独立，则. 对于A：两人都做对的概率，故A正确； 对于B：恰好一人做对的概率为 ，故B正确； 对于C：两人都做错的概率为 ，故C错误； 对于D：至少一人做对的概率为 ，故D正确. 8. 对于二元一次方程组，其系数，的值分别由掷一颗均匀骰子和一枚均匀硬币决定．令的值为骰子出现的点数；若硬币出现正面时的值为1，若硬币出现反面时的值为2．对于以下两个命题判断正确的是（ ）． ①此方程无解或有无穷多解的概率为； ②在硬币出现反面且此方程有解的条件下，的值为正的概率为． A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，从而可得原方程组共有12种情况，求出方程无解或有无穷多解的概率，判断①；求出硬币出现反面且此方程有解的条件下，的值为正的概率，判断②，即可得答案. 【详解】解：由题意可得， 所以方程组一共有种情况； 当此方程组无解时，则有， 此时只能是，，共1种情况， 所以方程组无解的概率； 当此方程组有无数组解时，则有， 此时只有这一种情况， 所以方程组有无数组解的概率； 所以方程无解或有无穷多解的概率为，故①正确； 当硬币出现反面时，， 此时方程组为，要使方程组有解， 则必有，即， 所以 消去，得， 要使的值为正，则， 所以此时的值为正的概率为，故②错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断出二元一次方程组无解、有无数组解及有正数解时，系数满足的关系. 二．多选题（3*6＝18分） 9. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设2名全是男生，2名全是女生，恰有一名男生，至少有一名男生，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，故，，故A，C正确； 事件B与D是互斥事件，故，故B正确； 表示的是2名全是男生或2名全是女生， 表示2名全是女生或至少有一名男生，故，D错误. 10. 如图，在四棱柱中，底面是正方形，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 直线与平面所成的角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由向量的加减法运算即可判断；对于B，，代入条件即可；对于C，将分解为，求模长即可；对于D，直线与平面所成的角即，余弦定理即可求解. 【详解】由题可知，A正确； ，B错误； 因为底面是正方形，所以，同B可得. 所以 ，所以，即，C正确； 如图，连接，因为 ，且，所以  在底面 上的射影 落在 的平分线  上，  则即为直线与平面所成的角. 所以，所以，D正确. 11. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立，已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，且.记该棋手连胜两盘的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛，最小 C. 该棋手在第二盘与乙比赛，最小 D. 该棋手在第二盘与丙比赛，最大 【答案】BD 【解析】 【分析】根据独立事件求，，，利用作差法比较大小，进而分析判断即可. 【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则此时连胜两盘的概率为， 则 ； 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为， 则； 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为， 则； 则， ， 可得， 则该棋手在第二盘与丙比赛，最大，选项BD判断正确；选项C判断错误； 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关，选项A判断错误. 三．填空题（3*5＝15分） 12. 若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 【答案】 【解析】 【分析】根据与的夹角为钝角，首先满足，解出的取值范围，排除共线的情况. 【详解】根据题意与的夹角为钝角， 则，解得； 若两向量方向相反，则存在，使得， 即，解得， 故有且， 所以实数的取值范围为. 13. 已知正方体的棱长为，点满足，且，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件得，结合向量线性表达式可判断点在平面上，因此的最小值就是点到平面的垂线段长度. 【详解】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 正方体棱长为2，各点坐标为：，，，， 由得， 由，得， ， 即，说明点在平面内， 因此的最小值，就是点到平面的距离， ，， 设平面的法向量为，则 得，令，则，得法向量， ，则点到平面的距离为， 故的最小值为. 14. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量法计算直线与平面所成角的正弦值； 【详解】设直线的方向向量为， 由材料可知平面的一个法向量， 平面的一个法向量， 平面的一个法向量， 因为直线是两平面与的交线，则有， 即且，不妨取 所以，. 则直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 四．解答题（13＋15＋15＋17＋17＝77分） 15. 如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. （1）若，求的值. （2）若，且，，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量基本定理即可求解； （2）利用空间向量基本定理结合向量的数量积即可求解. 【小问1详解】 因为 ，又， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为， ， 所以，. 16. 国务院2026年印发的《关于推进服务业扩能提质的意见》，将物业服务纳入社区服务的重点提升领域．某社区为提升物业服务质量，随机选取了100名业主就小区物业服务情况进行问卷调查，并将业主的满意度评分值（百分制）按照，，，…，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这组数据的众数与平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）； （3）已知这100名业主中满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为．若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率． 【答案】（1） （2）众数为 ，平均数为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求的值. （2）利用频率分布表估计众数和平均数. （3）先确定满意度评分值在内男性与女性的人数，再结合古典概型求概率. 【小问1详解】 由. 【小问2详解】 估计众数为， 估计平均数为：. 【小问3详解】 由题意，满意度评分值为的人有人， 其中男性人，记为，，； 女性有人，记为，. 从这5人中随机抽取2人进行座谈，所有的样本点有：，，，， ，，，，，，共10个. 记“恰有1名女性”为事件，则事件包含：，，，，，6个样本点. 所以. 17. 人工智能大模型在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景．某公司为了提高人工智能应用能力，拟组织、两部门的员工参加培训． （1）已知该公司、两部门分别有3名领导，此次培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，试写出其样本空间，并求出事件“选取的2人全部来自部门领导”的概率； （2）此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用组合计数问题求出基本事件数，再利用古典概率列式求解； （2）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），由此可得关系，结合概率公式即可求解. 【小问1详解】 记部门的3名领导为，部门的3名领导为， 从6名部门领导中随机选取2人负责，样本空间为： ，共15种， 选取2人全部来自部门领导的事件，不同结果有：，共3种， 所以全部来自A部门领导的概率为. 【小问2详解】 记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， 则，， 依题意， ， 所以每位员工经过培训合格的概率为. 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，. 令，. ，. 设平面的法向量为， 则， 取，得. 平面的法向量为. 于是. 化简得，又，解得，即. 所以线段上存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系利用坐标法求直线与平面所成角的正弦值； （2）设，利用坐标法结合两平面夹角余弦值列方程，解得即可. 【小问1详解】 取的中点O，连接. 由为等边三角形，得. 而平面平面，平面平面，平面， 则平面. 由，，得四边形是平行四边形. 于是，而，则，直线两两垂直. 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，. 则，，. 设平面的法向量为， 则，取，得. 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 略 19. 在三棱锥中，已知，均是边长为的正三角形，棱．现对其四个顶点随机贴上写有数字~的八个标签中的四个，，，，表示顶点，，，所贴数字，为侧棱上一点． （1）求事件“”的概率； （2）求事件“为偶数”的概率； （3）若，求“平面与平面夹角大于”的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求解； （2）分、均为奇数，、均为偶数两种情况，根据古典概型的概率公式求解； （3）先证明是平面与平面的夹角，再在、中利用正弦定理得出，进而得出，再分类得出满足条件的样本点个数，最后利用古典概型的概率公式即可求解. 【小问1详解】 由于、是从8个数字中选取两个不同的数字， 若，则有种；若，则有种；依此类推， 可得样本空间的个数为56个， 又因为满足的基本事件有 ，，，，，，，，，，，， 共12个样本点， 根据古典概率知识得：； 【小问2详解】 用表示“、均为奇数”的事件， 若，则有种；若，则有种；依此类推， 可知事件包含12个样本点， 用表示“、均为偶数”的事件，同上可知，事件也包含12个样本点， 又从1∼8个数字中任取两个数字标签贴在C､D顶点的样本空间有56个样本点， 根据古典概率知识得：， 记“为偶数”为事件，则， 故； 【小问3详解】 如图，取边的中点，连结， 因为、均是边长为的正三角形， 所以， 因，平面，因此平面， 因平面，则，从而是平面与平面的夹角， 又，则， 在中利用正弦定理得，则， 同理在中利用正弦定理得，， 当平面与平面夹角大于时，，则， 则， 当时，，则可取3，4，5，6，7，8共六个值； 当时，，则可取共三个值； 当时，，则不存在， 从1∼8个数字中任取两个数字标签贴在顶点的样本空间有56个样本点， 其中使得平面与平面夹角大于的样本点有9个，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州实验中学2026—2027学年高二年10月适应性练习 考试时间：120分钟 一．单选题（8*5＝40分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若为复数，，则（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据按从小到大的顺序排列为3，5，6，m，10，12.若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第60百分位数是（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 9.5 4. 用这三个数字组成无重复数字的三位数，记事件“能被整除”，事件“为奇数”，则事件与事件至少有一个发生的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图1，在中，，，是线段的中点.将沿CD所在直线翻折，得到如图2所示的三棱锥.若，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两名同学做同一道数学题（甲乙做对与否互不影响），甲做对的概率为0.7，乙做对的概率为0.8，下列说法错误的是（ ） A. 两人都做对的概率是0.56 B. 恰好有一人做对的概率是0.38 C. 两人都做错的概率是0.16 D. 至少有一人做对的概率是0.94 8. 对于二元一次方程组，其系数，的值分别由掷一颗均匀骰子和一枚均匀硬币决定．令的值为骰子出现的点数；若硬币出现正面时的值为1，若硬币出现反面时的值为2．对于以下两个命题判断正确的是（ ）． ①此方程无解或有无穷多解的概率为； ②在硬币出现反面且此方程有解的条件下，的值为正的概率为． A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 二．多选题（3*6＝18分） 9. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设2名全是男生，2名全是女生，恰有一名男生，至少有一名男生，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四棱柱中，底面是正方形，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 直线与平面所成的角为 11. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立，已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，且.记该棋手连胜两盘的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛，最小 C. 该棋手在第二盘与乙比赛，最小 D. 该棋手在第二盘与丙比赛，最大 三．填空题（3*5＝15分） 12. 若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 13. 已知正方体的棱长为，点满足，且，则的最小值是________． 14. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 四．解答题（13＋15＋15＋17＋17＝77分） 15. 如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. （1）若，求的值. （2）若，且，，求的长. 16. 国务院2026年印发的《关于推进服务业扩能提质的意见》，将物业服务纳入社区服务的重点提升领域．某社区为提升物业服务质量，随机选取了100名业主就小区物业服务情况进行问卷调查，并将业主的满意度评分值（百分制）按照，，，…，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这组数据的众数与平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）； （3）已知这100名业主中满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为．若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率． 17. 人工智能大模型在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景．某公司为了提高人工智能应用能力，拟组织、两部门的员工参加培训． （1）已知该公司、两部门分别有3名领导，此次培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，试写出其样本空间，并求出事件“选取的2人全部来自部门领导”的概率； （2）此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率. 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 在三棱锥中，已知，均是边长为的正三角形，棱．现对其四个顶点随机贴上写有数字~的八个标签中的四个，，，，表示顶点，，，所贴数字，为侧棱上一点． （1）求事件“”的概率； （2）求事件“为偶数”的概率； （3）若，求“平面与平面夹角大于”的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $