精品解析：浙江省杭州市西湖区浙附中学2024-2025学年初三上月考初中数学试卷

数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2020年，新冠病毒全球肆虐，据世界卫生组织公布的数据，截至2022年1月16日，美国累计确诊病例超6670万，这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：6670万=66700000=6.67×107． 故选：D． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2. 估算的值在（ ） A. 15和16之间 B. 16和17之间 C. 17和18之间 D. 18和19之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，估算出，即可求解；掌握无理数估算的方法：“逐步逼近法”是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：A． 3. n是整数，式子[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（ ） A. 是0 B. 总是奇数 C. 总是偶数 D. 可能是奇数也可能是偶数 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可以利用分类讨论的数学思想探索式子[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果等于什么，从而可以得到哪个选项是正确的． 【详解】解：当n是偶数时，[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）= [1﹣1]（n2﹣1）=0， 当n是奇数时，[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）=×（1+1）（n+1）（n﹣1）=， 设n=2k﹣1（k为整数），则==k（k﹣1）， ∵0或k（k﹣1）（k为整数）都是偶数． 故选C． 4. 若关于x的分式方程产生增根，则m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x−1＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：去分母，得：x-3＝m+2（x−1）， 由分式方程有增根，得到x−1＝0，即x＝1， 把x＝1代入整式方程，可得：m＝−2． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 5. 如图，坐标平面上，二次函数y＝﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？( ) A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：∵y＝﹣x2+4x﹣k＝﹣(x﹣2)2+4﹣k， ∴顶点D(2，4﹣k)，C(0，﹣k)， ∴OC＝k， ∵△ABC的面积＝AB•OC＝AB•k，△ABD的面积＝AB(4﹣k)，△ABC与△ABD的面积比为1：4， ∴k＝(4﹣k)， 解得：k＝． 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键． 6. 如图，在中，，于O，于E，以点O为圆心，为半径作半圆，交于点F，若点F为的中点，，点P是边上的动点，则的最小值为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作E点关于直线的对称点D，连接，交于点P，连接，，，交于点N，过D点作，交的延长线于点M，根据对称性可得，即当点D、P、F三点共线时，最短，最短为线段的长，根据在中，，可得，证明是等边三角形，即有，即有，，再证明四边形是矩形，即有，，进而有，最后利用勾股定理即可作答． 【详解】作E点关于直线的对称点D，连接，交于点P，连接，，，交于点N，过D点作，交的延长线于点M，如图， ∵E点关于直线对称点为点D， ∴垂直平分线段， ∴，，， ∴， 即当点D、P、F三点共线时，最短，最短为线段的长，如上图所示， ∵，点F为的中点， ∴， ∵， ∴在中，， ∴，即， ∵在中， ， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查了对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，此类是将军饮马问题，构造出合理的辅助线，是解答本题的关键． 7. 图1的摩天轮上以等间隔的方式设置个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为号到号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费分钟．若图2表示号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，号车厢才会运行到最高点？（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出从21号旋转到9号旋转的角度占圆大小比例，再根据旋转一圈花费30分钟解答即可． 【详解】解： =20（分钟）． 所以经过20分钟后，9号车厢才会运行到最高点． 故选B． 【点睛】本题考查生活中的旋转现象，理清题意，得出从21号旋转到9号旋转的角度占圆大小比例是解题的关键． 8. 如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图像交于点D，过点A作轴与反比例函数的图像相交于点C，若，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作DE⊥x轴于E，由直线解析式可得点A、B坐标，从而可得AB，由DE⊥x轴可得△OAB∽△EAD，于是OA∶EA=OB∶ED=AB∶AD=5∶=，进而可得D点坐标，再代入反比例函数解析式计算求值即可； 【详解】解：如图，过点D作DE⊥x轴于E， 直线中，令x=0可得y=-4，令y=0可得x=3， ∴A（3，0）、B（0，-4）， ∴AB=， ∵AC⊥x轴，∴C点横坐标x=3， ∴C（3，），即AC=， ∴AD=AC=， DE⊥x轴，则DE∥OB， ∴△OAB∽△EAD， ∴OA∶EA=OB∶ED=AB∶AD=5∶=， ∴EA=，ED=， ∴D（3+，）， ∴=，解得：k=0（舍去）或k=， 故选： D． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键． 二、多选题：本题共3小题，每小题5分，共15分．每小题全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分． 9. 将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1，4）的方法是（ ） A. 向左平移1个单位 B. 向右平移3个单位 C. 向上平移3个单位 D. 向下平移1个单位 【答案】D 【解析】 【详解】A.平移后，得y=(x+1)2，图象经过A点，故A不符合题意； B.平移后，得y=(x−3)2，图象经过A点，故B不符合题意； C.平移后，得y=x2+3，图象经过A点，故C不符合题意； D.平移后，得y=x2−1图象不经过A点，故D符合题意； 故选D. 10. 设袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取5次，每次取1个球，记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1．则（ ） A. 可能取到数字4 B. 中位数可能是2 C. 极差可能是4 D. 众数可能是2 【答案】BD 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、方差和极差的定义与计算，根据题意，对于A、C，利用平均数、方差和极差的定义分析判断；对于B、D，举例说明即可得到答案． 【详解】解：设抽取的个数为、、、、， ， ， ， ， A.假设，，这个数中至少有个， 这个数为、、、或、、、，或，此项错误，故不符合题意； B.当抽取的个数为、、、、，这5个数字满足平均数为2，方差小于，中位数是2，此项正确，故符合题意； C.若极差是4，设最大的数时，最小的数不妨设为，，，则这个数为、、， ，此时极差不能是4；最大的数时，最小的数不妨设为，，，最小的数是，，此时极差不能是4；此项错误，故不符合题意； D.当抽取的个数为、、、、，这5个数字满足平均数为2，方差小于，众数是2，此项正确，故符合题意； 故选：B D． 11. 如图，抛物线的对称轴是直线，且抛物线经过点．下而给出了四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查了本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识；①由抛物线的开口方向得，抛物线与轴的交点及对称轴得，，即可判断；②由图得当时，，即可判断；③，，即可判断； ④，，即可判断；能熟练利用图象信息判断式子的正确性是解题的关键． 【详解】解：①由图得：， ， ， ， ， 故此项正确； ②由图得： 当时，， ， ， 故此项正确； ③抛物线经过点， 对称轴是直线， ， 抛物线经过点， ， ， ， 故此项错误； ④由③得：， 对称轴是直线， ， ， ， ， ， ， 故此项正确； 故选：． 三、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分． 12. 如果关于x、y二元一次方程组，则__________． 【答案】12 【解析】 【分析】先利用加减法解得，再用整体思想解得，最后代入数值即可解题． 【详解】， ②-①得， ∴ 故答案为：12． 【点睛】本题考查含参数的一元二次方程解法，涉及加减法、整体思想等，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 13. 现有5包同一品牌的饼干，其中3包已过期，随机抽取2包，2包都过期的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求等可能情形下的概率计算；画树状图法或列表法，利用概率计算公式，即可求解；会用画树状图法或列表法求概率是解题的关键． 【详解】解：：过期的饼干，：没有过期的饼干 列表如下： 共有种等可能结果，其中2包都过期的有种结果， 随机抽取2包，2包都过期的的概率为：； 故答案为：． 14 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式混合运算，由等式性质得 ，由平方差公式得进行计算，即可求解；能由平方差公式进行整体运算是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 解得：； 故答案为：． 15. 指数运算可以做如下推广：m，n是实数，时满足运算：，，已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算的应用，由，得，即可求解；能熟练利用幂的运算公式求解是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图：中，与交于点G，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定及性质，过作交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由三角形中位线定理得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定及性质，能构建全等三角形是解题的关键． 【详解】解：过作交于， ， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ； 故答案为：． 17. 如图：已知圆内接，圆的半径为，，则面积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 过作于点，根据题意得的长确定，要使的面积最大，只要取最大值即可，证明是等边三角形，根据勾股定理求出的值，根据三角形面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：过作于点， ， 弦的长确定， 要使的面积最大，只要取最大值即可， 如图， 当过圆心时，最大， ， 是等边三角形， 设，则， ， ， ， ， ， 面积的最大值为， 故答案为： ． 18. 读一读：式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新运算，由新定义得，进行裂项运算，即可求解；理解新定义，会用裂项法进行计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故答案为：． 四、解答题：本题共3小题，共33分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程． 19. ①化简； ②分解因式： 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查了分式化简，因式分解； ①先对所有的分子、分母进行因式分解，同时将除法化为乘法，再用乘法分配律进行运算，然后进行加减运算，结果化为最简分式或整式，即可求解； ②先进行分组，再分别进行因式分解，即可求解； 掌握分式化简的步骤及分组因式分解法是解题的关键． 【详解】①解：原式 ； ②解：原式 ． 20. 如图1，在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A﹣C﹣B运动，点Q从点A出发以a（cm/s）的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图2所示． （1）求a的值； （2）求图2中图象C2段的函数表达式； （3）当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围． 【答案】（1）1；（2）；（3）2＜x＜3． 【解析】 【分析】（1）作PD⊥AB于D，根据直角三角形的性质得到PD=AP=x，根据三角形的面积公式得到函数解析式，代入计算； （2）根据当x=4时，y=，求出sinB，得到图象C2段的函数表达式； （3）求出的最大值，根据二次函数的性质计算即可． 【详解】（1）如图1，作PD⊥AB于D， ∵∠A=30°， ∴PD=AP=x， ∴y=AQ•PD=， 由图象可知，当x=1时，y=， ∴×a×12=， 解得，a=1； （2）如图2，作PD⊥AB于D， 由图象可知，PB=5×2﹣2x=10﹣2x，PD=PB•sinB=（10﹣2x）•sinB， ∴y=×AQ×PD=x×（10﹣2x）•sinB， ∵当x=4时，y=， ∴×4×（10﹣2×4）•sinB=， 解得，sinB=， ∴y=x×（10﹣2x）×， 即； （3）， 解得，x1=0，x2=2， 由图象可知，当x=2时，有最大值， 最大值是×22=2， =2， 解得，x1=3，x2=2， ∴当2＜x＜3时，点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积． 考点：三角形综合题；二次函数的性质；分段函数；动点型；综合题． 21. 对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6． （1）计算：F（243），F（617）； （2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k最大值． 【答案】（1）F（243）=9，F（617）=14；（2）． 【解析】 【详解】解：（1）F（243）=（423+342+234）÷111=9； F（617）=（167+716+671）÷111=14． （2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y， ∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6． ∵F（t）+F（s）=18， ∴x+5+y+6=x+y+11=18， ∴x+y=7． ∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数， ∴或或或或或． ∵s是“相异数”， ∴x≠2，x≠3． ∵t是“相异数”， ∴y≠1，y≠5． ∴或或， ∴或或， ∴或或， ∴k的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2020年，新冠病毒全球肆虐，据世界卫生组织公布的数据，截至2022年1月16日，美国累计确诊病例超6670万，这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 估算的值在（ ） A. 15和16之间 B. 16和17之间 C. 17和18之间 D. 18和19之间 3. n是整数，式子[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算结果（ ） A. 是0 B. 总奇数 C. 总是偶数 D. 可能是奇数也可能是偶数 4. 若关于x的分式方程产生增根，则m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 如图，坐标平面上，二次函数y＝﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？( ) A. 1 B. C. D. 6. 如图，在中，，于O，于E，以点O为圆心，为半径作半圆，交于点F，若点F为中点，，点P是边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 图1的摩天轮上以等间隔的方式设置个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为号到号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费分钟．若图2表示号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，号车厢才会运行到最高点？（　　） A. B. C. D. 8. 如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图像交于点D，过点A作轴与反比例函数的图像相交于点C，若，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题5分，共15分．每小题全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分． 9. 将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1，4）的方法是（ ） A. 向左平移1个单位 B. 向右平移3个单位 C. 向上平移3个单位 D. 向下平移1个单位 10. 设袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取5次，每次取1个球，记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1．则（ ） A. 可能取到数字4 B. 中位数可能是2 C. 极差可能是4 D. 众数可能是2 11. 如图，抛物线的对称轴是直线，且抛物线经过点．下而给出了四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 三、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分． 12. 如果关于x、y的二元一次方程组，则__________． 13. 现有5包同一品牌的饼干，其中3包已过期，随机抽取2包，2包都过期的概率是________． 14. 已知，则________． 15. 指数运算可以做如下推广：m，n是实数，时满足运算：，，已知，，则________． 16. 如图：中，与交于点G，，，则________． 17. 如图：已知圆内接，圆的半径为，，则面积的最大值为________． 18. 读一读：式子“”表示从1开始100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算________． 四、解答题：本题共3小题，共33分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程． 19. ①化简； ②分解因式： 20. 如图1，在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以2cm/s速度沿折线A﹣C﹣B运动，点Q从点A出发以a（cm/s）的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图2所示． （1）求a的值； （2）求图2中图象C2段的函数表达式； （3）当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围． 21. 对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6． （1）计算：F（243），F（617）； （2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$