精品解析：上海市东华大学附属奉贤致远中学2025-2026学年高二上学期期中教学评估数学试题

东华大学附属奉贤致远中学2025学年第一学期期中教学评估 高二数学 （考试时间：120分钟 满分150分） 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 直线的倾斜角为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由直线方程计算斜率，由斜率得倾斜角. 【详解】由直线方程得直线斜率，故直线的倾斜角为. 故答案为：. 2. 两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：设两球半径分别为，由可得，所以．即两球的表面积之比为． 考点：球的表面积，体积公式． 3. 圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据圆锥底面圆的半径为1得到侧面展开图扇形的弧长为，然后根据侧面展开图扇形的圆心角为列方程，解方程即可得到圆锥的母线长. 【详解】因为圆锥底面圆的半径为1，所以侧面展开图扇形的弧长为， 设圆锥的母线长为，因为侧面展开图扇形的圆心角为，所以，解得，所以此圆锥的母线长为3. 故答案为：3. 4. 已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为__________． 【答案】28 【解析】 【分析】根据题意先求出棱台的高，然后利用棱台体积公式求解. 【详解】如图所示，为正四棱台，连接， 由，得， 过作，为垂足；过作，为垂足， 则，， 又，在中，得， 所以正四棱台的高，正四棱台上下底面积分别为4和16， 体积. 故答案为：28 5. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量．若直线，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线面垂直的条件列方程，化简求得的值. 【详解】由，得： 与  平行，即存在  使得 . 即，得： ，解 得：， 因此，. 故答案为： 6. 已知平面经过点，且向量是平面的法向量，则点到平面的距离为________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题设，结合平面的法向量，应用点到平面距离的向量求法即得. 【详解】由题设，又向量是平面的法向量， 所以点到平面的距离为. 故答案为： 7. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案． 【详解】向量，， 则，，， 所以向量在向量上的投影向量为 . 故答案为：. 8. 在等比数列中，，，则_____ 【答案】8或 【解析】 【分析】先求等比数列的第三项和公比，再根据无穷等比数列的求和公式计算即得. 【详解】设等比数列公比为， 由题意，. 所以或. 又. 当时，； 当时，. 故答案为：8或 9. 已知数列的前项和为，且满足，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据与的关系求解可得. 【详解】当时，； 当时，. 综上，. 故答案为： 10. 数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意列不等式即可求解. 【详解】由题意若数列是严格增数列，则当且仅当，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 11. 在棱长为1的正四面体ABCD中，E为AD的中点，则______. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】将转化成，再结合正四面体性质和数量积的定义计算即可. 【详解】， . 故答案为：. 12. 在矩形中，，，点在上，现将沿折起，使平面平面，当从运动到时，则点在平面上的投影点的轨迹长度为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间中垂直关系的转化可得点在平面上的投影点的轨迹为圆弧，故可求其长度. 【详解】 设将沿折起后得到的平面为平面， 在矩形中，过作，垂足为， 旋转后，故为二面角的平面角， 因平面平面，，故， 而，平面， 故平面，故为在平面上的射影， 因为，故在以为直径的半圆上（如图所示，去除）， 连接，交半圆于， 因为，故，故在劣弧（去除）上， 其长度为， 故答案为： 二、选择题（本大题共4小题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 在正项等比数列中，，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等比中项列出等式即可求解. 【详解】在正项等比数列中，有，解得. 故选：A 14. 已知，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（ ） A. 0 B. 5 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量基底的概念可知，，，三向量共面，从而不能构成基底. 【详解】根据空间基底的概念，当，，三向量不能构成空间向量的一组基底时， ，，三向量共面，根据共面向量的条件，即存在，且， 即，解得. 故选：C 15. 已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点满足，其中，得到点是平面内的一点，再由当点与在上的射影重合时，等于正四面体的高达到最小值求解. 【详解】如图所示： 根据题意，点满足，其中 所以， 所以， 所以点是平面内的一点，又正四面体棱长为1， 所以当点与在上的射影重合时，等于正四面体的高， 此时且达到最小值． 故选：A． 16. 在数列中，如果存在正整数T，使得，对于任意的正整数m均成立，那么称数列为周期数列，其中T叫做数列的周期.已知数列满足，如果，，当数列的周期最小时，该数列前2025项的和是（ ） A. 674 B. 1348 C. 1350 D. 2024 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义分周期为1，周期为2，周期为3，分类讨论计算结合周期性计算求和. 【详解】若数列的周期为1，则，但，矛盾，所以数列的周期不可能为1. 若数列的周期为2，则，，且，又，所以解得， 而当时，，矛盾，所以数列的周期不可能为2. 若数列的周期为3，则，，且，， 所以或，又，所以，且此时有， 所以或，又，所以，解得符合题意， 当时，数列为：1，1，0，1，1，0，…，满足题意， 此时， 所以该数列前2025项的和是. 故选：C. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为，底面半径为2． （1）求该圆锥的侧面积： （2）设为该圆锥的底面半径，且为线段的中点，求直线与直线所成的角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理及圆锥的侧面积公式求解即可； （2）取中点，连接，得出直线与直线所成的角即为直线的夹角，再由余弦定理求解即可． 【小问1详解】 由题意，圆锥的母线长， 所以圆锥的侧面积为． 【小问2详解】 取中点，连接，则，， 所以直线与直线所成的角即为直线的夹角， 因为平面，平面，所以， 在中，，同理可得， 在中，由余弦定理得，， 所以直线与直线所成的角的余弦值为． 18. 已知等差数列的前四项和为10，且为等比数列； （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意得到方程组，求出、，即可求出通项公式； （2）利用分组求和法计算可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意，得， 又为等比数列，所以，即， 解得或，所以或； 【小问2详解】 当时，， 此时； 当时，， 此时. 19. 在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）求证：； （2）若为的中点，过的平面交平面于，求证：平面. 【答案】（1） 由，为的中点，则， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，故. （2） 由为的中点，为的中点，则， 由，，则，又平面，平面平面， 所以，平面，平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）由题设易知，再由面面垂直、线面垂直的性质定理即可证； （2）由题设易得，由线面平行的判定得，再由线面平行的性质有，最后应用线面平行的判定即可证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图1，在矩形中，，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设，若二面角的正弦值为，求实数的值． 【答案】（1） 因为矩形中，，，点为的中点， 所以，故， 又，所以∽， 故，故， 故⊥，故折叠后，⊥，⊥， 又，平面，所以平面； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）由三角形相似得⊥，故折叠后，⊥，⊥，从而证明出线面垂直； （2）求出各边长，由勾股定理逆定理得⊥，故两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面法向量，求出线面角的正弦值； （3）求出，得到两平面的法向量，根据二面角的正弦值得到方程，求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 图1中，所以∽， 故，其中，， 所以，，故， 又，所以， 由勾股定理逆定理得⊥，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 则由得， 所以，故，， ， 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 设，因为， 所以， 解得，则， 其中，，， ， 设平面的法向量为， 则， 设，则，故， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，，故， 设二面角的大小为，则， 所以， 即， 整理得，，解得或，均满足要求. 21. 已知数列是正项等比数列，且，，若数列满足，． （1）求数列和的通项公式； （2）已知，记，求． （3）若恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设数列的公比为，由求出，进而得，由得，由得，最后利用累加法即可求解； （2）由（1）有，利用裂项相消法即可求解； （3）由恒成立，得恒成立，令，求出其最大值即可. 【小问1详解】 解：设数列的公比为，所以， 所以， 由有：，即，化简得，解得， 所以，所以； 又由，所以， 由，所以，解得， 当时，， 当时，，所以； 【小问2详解】 解：由（1）得 ， 所以 . 【小问3详解】 解：由恒成立， 所以，即恒成立， 令， 所以， 当时，，当时，， 当时，，，所以， 所以， 所以，所以， 所以实数t的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东华大学附属奉贤致远中学2025学年第一学期期中教学评估 高二数学 （考试时间：120分钟 满分150分） 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 直线的倾斜角为________． 2. 两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________． 3. 圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为______． 4. 已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为__________． 5. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量．若直线，则___________． 6. 已知平面经过点，且向量是平面的法向量，则点到平面的距离为________. 7. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是__________. 8. 在等比数列中，，，则_____ 9. 已知数列的前项和为，且满足，则____________. 10. 数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为_________. 11. 在棱长为1的正四面体ABCD中，E为AD的中点，则______. 12. 在矩形中，，，点在上，现将沿折起，使平面平面，当从运动到时，则点在平面上的投影点的轨迹长度为__________. 二、选择题（本大题共4小题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 在正项等比数列中，，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 14. 已知，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（ ） A. 0 B. 5 C. 8 D. 9 15. 已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 16. 在数列中，如果存在正整数T，使得，对于任意的正整数m均成立，那么称数列为周期数列，其中T叫做数列的周期.已知数列满足，如果，，当数列的周期最小时，该数列前2025项的和是（ ） A. 674 B. 1348 C. 1350 D. 2024 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为，底面半径为2． （1）求该圆锥的侧面积： （2）设为该圆锥的底面半径，且为线段的中点，求直线与直线所成的角的余弦值． 18. 已知等差数列的前四项和为10，且为等比数列； （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 19. 在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）求证：； （2）若为的中点，过的平面交平面于，求证：平面. 20. 如图1，在矩形中，，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设，若二面角的正弦值为，求实数的值． 21. 已知数列是正项等比数列，且，，若数列满足，． （1）求数列和的通项公式； （2）已知，记，求． （3）若恒成立，求实数t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $