精品解析：甘肃兰州市多校2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试卷

2026—2027学年度第一学期期中试卷 八年级数学 本卷满分120分，考试时间120分钟． 一．选择题（共11小题，满分33分，每小题3分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 4. 要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列式子中y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中间的三角形为直角三角形，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ） A. 514 B. 8 C. 16 D. 64 8. 如图，在方格纸上建立适当的平面直角坐标系，“自”“贸”“港”三个字均在格点上，若“自”的坐标为，“贸”的坐标为，则“港”的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 11. 如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A. 8 B. C. D. 1 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 12. 的平方根是__________． 13. 开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯．如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度为______米． 14. 在平面直角坐标系中，点在第一象限，它到轴的距离为，则的值为________． 15. 在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙车先出发，图中的折线段表示甲乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，则a的值是____． 三．解答题（共11小题，满分75分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1） （2）． 17. 计算：． 18. 已知一个正数的两个平方根分别为和，求这个正数的立方根． 19. 由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，如图，树顶落在离树干底部处，求这棵树在折断前（不包括树根）的高度？ 20. 如图．正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． （1）求出三角形的周长． （2）判断三角形形状，并说明理由． 21. 某人骑车往返于甲、乙两地，距甲地的路程（单位：）与骑行时间（单位：）的函数图象如图所示． （1）甲、乙两地相距多远？此人在路上停留了多久？ （2）此人在骑车去往乙地的过程中，停留前和停留后的速度分别是多少？ （3）计算此人从乙地返回时的骑车速度． 22. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为． （1）点的坐标为____________，点的坐标为____________； （2）在图中描出点； （3）在（2）的条件下，为轴上方的一点，且，，则点的坐标为____________． 23. 如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． （1）求的距离； （2）通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 24. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，，． （1）画出关于轴对称的； （2）的面积是 ； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为8，则点P的坐标是 ． 25. 在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． （1）化简：__________． （2）观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． （3）利用分母有理化计算：． 26. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为___________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数满足，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期期中试卷 八年级数学 本卷满分120分，考试时间120分钟． 一．选择题（共11小题，满分33分，每小题3分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、 是有理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、是有理数，不符合题意． 2. 的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】先确定各选项中三角形的最长边，再利用勾股定理逆定理验证两短边平方和是否等于最长边平方． 【详解】解：A选项，，，，不是直角三角形； B选项，，，，∴不是直角三角形； C选项，，，，∴不是直角三角形； D选项，，，，∴是直角三角形． 3. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、因为与的被开方数不同，不能合并，故本选项的计算错误； B、因为与的被开方数不同，不能合并，故本选项的计算错误； C、，故本选项的计算错误； D、，故本选项的计算正确． 故选：D． 4. 要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 5. 下列式子中y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据函数定义判断即可，函数要求对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，据此找出不符合要求的选项． 【详解】解：∵函数的定义为：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，y才是x的函数， 对选项C：，取代入得，此时或， ∴有两个y值和同一个x对应，不满足函数定义，因此y不是x的函数， 其余选项中，对于任意确定的x，都只有唯一的y值对应，均符合函数定义， 故选C． 6. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行分析，即可解答． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故选：D． 7. 如图，中间的三角形为直角三角形，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ） A. 514 B. 8 C. 16 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理． 根据正方形的面积并结合勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设直角三角形的三边长分别为a，b，c， 由题意得， ∴， ∴字母A所代表的正方形的面积为． 故选：D． 8. 如图，在方格纸上建立适当的平面直角坐标系，“自”“贸”“港”三个字均在格点上，若“自”的坐标为，“贸”的坐标为，则“港”的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知坐标建立坐标系，再进行判断即可． 【详解】解：∵“自”的坐标为，“贸”的坐标为， ∴可建立坐标系如下： ∴“港”的坐标为． 9. 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，进而结合数轴可得答案． 【详解】解：根据题意可得：， ， ∴点A表示的数为， 故选C． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴，勾股定理，正确求出长是解题关键． 10. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 由长方形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 11. 如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A. 8 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题关键．根据左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，可得，再根据勾股定理得出和的长即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1， ∴， ∴， ∴按此手势解锁一次的路径长为：． 故选：B． 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 12. 的平方根是__________． 【答案】± 【解析】 【详解】分析：根据平方运算，可得平方根、算术平方根． 详解：的平方根是±． 故答案为． 点睛：本题考查了算术平方根．平方运算是求平方根的关键． 13. 开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯．如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度为______米． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，以及利用平移可知地毯的长为的和，解题的关键是能熟练掌握勾股定理以及数形结合的方法； 先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：是直角三角形，， ， 如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为， 故答案为：7． 14. 在平面直角坐标系中，点在第一象限，它到轴的距离为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合第一象限点的坐标特征、点到y轴的距离与横坐标的对应关系列方程求解，同时验证纵坐标符合第一象限的取值要求． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴点P的横、纵坐标均为正数，即，. ∵点P到y轴的距离为2， ∴点P的横坐标的绝对值为2，即， 又∵， ∴， 解得， 验证：当时，，满足第一象限的坐标要求． 15. 在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙车先出发，图中的折线段表示甲乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，则a的值是____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查函数图象，从函数图象中有效地获取信息，是解题的关键，由图象可知，乙车出发0.5小时后，甲车开始出发，根据乙车0.5小时行驶了30千米，求出乙车的速度，进而求出乙车到达A地所用的时间，进而求出甲车到达B地所用时间，求出甲车的速度，根据小时，两车相遇，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：乙车出发0.5小时后，甲车开始出发，乙车0.5小时行驶了千米，A地与B地之间的距离为100千米，小时后，两车相遇， ∴乙车的速度为（千米/小时）； ∴乙车到达A地所用时间为（小时）， ∴乙车先到达地， ∴甲车从A地到B地所用时间为（小时）， ∴甲车的速度为（千米/小时）， ∴，解得； 故答案为：1． 三．解答题（共11小题，满分75分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 已知一个正数的两个平方根分别为和，求这个正数的立方根． 【答案】 【解析】 【分析】正数的两个平方根互为相反数，所以它们相加等于0，先列方程求出m，再求出这个正数，最后求它的立方根． 【详解】解：根据题意得， ， ， ， 这个正数是， 的立方根是． 19. 由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，如图，树顶落在离树干底部处，求这棵树在折断前（不包括树根）的高度？ 【答案】这棵树在折断前（不包括树根）的高度 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得，， 在中，根据勾股定理得：． 所以大树的高度是． 答：这棵树在折断前（不包括树根）的高度． 20. 如图．正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． （1）求出三角形的周长． （2）判断三角形形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 是直角三角形，理由是： ∵ ∴是直角三角形 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，准确应用勾股定理求出三角形的边长是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理进行判定即可． 【小问1详解】 解：由勾股定理得， ，，， ∴三角形的周长为． 【小问2详解】 略 21. 某人骑车往返于甲、乙两地，距甲地的路程（单位：）与骑行时间（单位：）的函数图象如图所示． （1）甲、乙两地相距多远？此人在路上停留了多久？ （2）此人在骑车去往乙地的过程中，停留前和停留后的速度分别是多少？ （3）计算此人从乙地返回时的骑车速度． 【答案】（1）甲、乙两地相距；此人在路上停留了 （2）停留前的速度为，停留后的速度为 （3）此人从乙地返回时的骑车速度为 【解析】 【分析】（1）观察所给图形，可得答案； （2）结合图形，根据时间、路程、速度关系求解； （3）结合图形，根据时间、路程、速度关系求解． 【小问1详解】 解：甲、乙两地相距；此人在路上停留了； 【小问2详解】 解：停留前的速度：； 停留后的速度：， 答：停留前的速度为，停留后的速度为； 【小问3详解】 解：， 答：此人从乙地返回时的骑车速度为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为． （1）点的坐标为____________，点的坐标为____________； （2）在图中描出点； （3）在（2）的条件下，为轴上方的一点，且，，则点的坐标为____________． 【答案】（1），； （2）点的位置如图所示， （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面直角坐标系，直接读出点的横、纵坐标； （2）根据坐标，在网格中找到对应位置描点； （3）先判断平行于y轴，结合、得到也平行于y轴，故点A的横坐标和点D的横坐标一样，利用点D在x轴上方得到点D的纵坐标． 【小问1详解】 解：由所给平面直角坐标系可知点坐标为，点坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，且轴， 轴， 点的横坐标为， ，且点在轴上方，， 点的纵坐标为， 点的坐标为． 23. 如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． （1）求的距离； （2）通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【答案】（1）米 （2）大巴车超速了 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键． （1）由勾股定理求出线段长度即可得到答案； （2）先计算出大巴车的速度，将速度化为，与高速公路限速比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得， 的距离为米； 【小问2详解】 解：大巴车的速度为， 则， ， 大巴车超速了． 24. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，，． （1）画出关于轴对称的； （2）的面积是 ； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为8，则点P的坐标是 ． 【答案】（1）如图即为所求， （2）7 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用割补法计算即可得出结果； （3）设点P的坐标为，根据三角形的面积公式列出关于的方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：设点P的坐标为， ∵的面积为8， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 25. 在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． （1）化简：__________． （2）观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． （3）利用分母有理化计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）模仿示例，分子分母同乘，利用平方差公式分母有理化； （2）观察示例规律，给的分子分母同乘​，化简得到式子； （3）先利用（2）的规律将每个分式分母有理化，得到相邻二次根式的差，合并后再与相乘计算结果 【小问1详解】 解：分子分母同乘： 原式 ． 【小问2详解】 解：分子分母同乘​： 原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，掌握利用平方差公式对​型分式分母有理化，及相邻二次根式差的合并规律是解题的关键． 26. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为___________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数满足，求的值． 【答案】（1）13（2）（3） 【解析】 【分析】本题考查了数形结合思想、勾股定理的几何应用以及无理方程的求解，将代数式转化为几何图形中的线段长度（直角三角形斜边），利用“两点之间线段最短”或方程变形规则解题是关键． （1）和对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最短得为最小值； （2）和对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最短得为最小值； （3）和对应直角三角形直角边，通过移项平方消根号，结合正数条件求解． 【详解】解：（1）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，， 则，， 代数式表示， 的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得： ， 即的最小值为； （2）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，， 则，， 代数式表示， 的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得： ， 即的最小值为； （3） ，（舍去） 的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $