精品解析：甘肃平凉市第四中学2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试题

2026—2027学年第一学期期中质量检测题（卷）八年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，能构成三角形的是（ ） A. 2，5，7 B. 4，4，8 C. 4，5，6 D. 2，5，8 3. 下列图形中，正确画出AC边上的高的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，用窗钩可将窗户固定，其所运用的几何原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 三角形具有稳定性 5. 如图，，若，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 某同学把一块三角形的玻璃打碎了块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①②③去 7. 如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于() A. 30° B. 40° C. 60° D. 70° 8. 已知点与关于x轴对称，则a，b分别为 （ ） A. 3， B. ， C. 3，4 D. ，4 9. 如图，把长方形纸片纸沿对角线折叠，设重叠部分为，那么，有下列说法：①是等腰三角形，；②折叠后和一定相等；③折叠后得到的图形是轴对称图形 ；④和一定是全等三角形，其中正确的有：( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 如图，在中，，的面积为18，，平分，，分别是，上的动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 9 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 已知等腰三角形的两条边长分别为和，等腰三角形的周长为____________． 12. 请写出命题“如果|x|=|y|，那么x2=y2”的逆命题_____． 13. 已知a、b、c 是三角形的三边长，化简： ________． 14. 如图，在中，若点D，E分别是，的中点，且的面积为12，则阴影部分的面积是__________． 15. 如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为_____． 16. 如图，三角形纸片中，，，，折叠纸片，使点C和点A重合，折痕与，交于点D和点E，则折痕的长为__________． 三、解答题（一）（本大题共6小题，共46分，解答时应写出必要的证明过程或演算步骤．） 17. 如图，两条公路和相交于点，在的内部有工厂和，现要在的内部修建一个货站，使货站到两条公路、的距离相等，且到两工厂、的距离相等，用尺规作出货站的位置．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 18. 如图，已知的三个顶点在格点上． （1）作出与关于轴对称的图形； （2）请在轴上找到一个点，使得点到点、点的距离的和最短（保留作图痕迹，不要求写作法）． 19. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，，求证：． 20. 如图，已知，，，与相等吗？说明理由． 21. 如图，是的平分线，是上一点，于，于，是上的另外一点，连接，．求证：． 22. 如图，，，是上的一点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 四、解答题（二）（本大题共5小题，共50分，解答时应写出必要的证明过程或演算步骤．） 23. 如图，在中，，是边上的高，求的度数． 24. 如图，在中，，，线段的垂直平分线分别交，于点，，连接．若，求的长度． 25. 如图，，，，求证：是的垂直平分线． 26. 在中，，． （1）如图1，若过点C在外作直线，于点M，于点N．求证：． （2）如图2，若过点C在内作直线，于点M，于点N，则与之间有什么关系？请说明理由． 27. 如图①，，，，交于点M，交于点O，连接． （1）求证：； （2）用含的式子表示的度数； （3）当时，分别取的中点P，Q，连接，如图②所示，判断的形状，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期期中质量检测题（卷）八年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，故B符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 2. 下列各组线段中，能构成三角形的是（ ） A. 2，5，7 B. 4，4，8 C. 4，5，6 D. 2，5，8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据任意两边之和大于第三边，判断各组线段是否满足条件． 【详解】解：A．，2，5，7不能构成三角形； B．，4，4，8不能构成三角形； C．，4，5，6能构成三角形； D．，2，5，8不能构成三角形； 故选：C． 3. 下列图形中，正确画出AC边上的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高的定义即可求解． 【详解】解：根据锐角三角形和钝角三角形的高线的画法，可得D选项中，BE是△ABC中AC边长的高， 故选：D． 【点晴】此题主要考查高的作法，解题的关键是熟知高的定义． 4. 如图，用窗钩可将窗户固定，其所运用的几何原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图可知，窗钩与窗框、窗扇构成了三角形结构， 三角形具有稳定性， 用窗钩可将窗户固定． 5. 如图，，若，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，准确计算是解题的关键．根据全等三角形的对应边相等可得到，然后根据线段关系求出，即可求出． 【详解】解： 由图可知， 即，解得： 故选：B． 6. 某同学把一块三角形的玻璃打碎了块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①②③去 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，做题时要根据已知条件进行选择运用．根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形． 【解答】解：第一块只保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法： 第二块仅保留了原三角形的一部分边，不符合任何判断方法； 第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 最省事的方法是应带③去，理由是：． 故选：C． 7. 如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于() A. 30° B. 40° C. 60° D. 70° 【答案】A 【解析】 【详解】∵AB∥CD，∠A=70°， ∴∠1=∠A=70°， ∵∠1=∠C+∠E，∠C=40°， ∴∠E=∠1﹣∠C=70°﹣40°=30°． 故选A． 8. 已知点与关于x轴对称，则a，b分别为 （ ） A. 3， B. ， C. 3，4 D. ，4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标，根据关于x轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此即可作答． 【详解】解：∵点与关于x轴对称， ∴， 故选：A． 9. 如图，把长方形纸片纸沿对角线折叠，设重叠部分为，那么，有下列说法：①是等腰三角形，；②折叠后和一定相等；③折叠后得到的图形是轴对称图形 ；④和一定是全等三角形，其中正确的有：( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了图形的翻折变换，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．根据矩形的性质得到，，再由对顶角相等可得，推出，根据等腰三角形的性质即可得到结论，依此可得①③④正确，无法判断和是否相等． 【详解】根据矩形的性质得到，， 在和中， ， ∴，故④正确； ∴， ∴是等腰三角形，故①正确； 故③折叠后得到的图形是轴对称图形也正确； ∵无法判断和是否相等，∴②错误， 综上可知：①③④正确， 故选：C． 10. 如图，在中，，的面积为18，，平分，，分别是，上的动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值转化为； 过点作于点，交于点，过点作于点，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴，此时的值最小， ∵的面积为18，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 已知等腰三角形的两条边长分别为和，等腰三角形的周长为____________． 【答案】 22 【解析】 【分析】分两种情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系筛选可构成三角形的情形，计算对应周长． 【详解】解：当腰长为时，三边长为，，， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴该情况无法构成三角形，不符合要求； 当腰长为时，三边长为，，； ∵，，满足三角形三边关系， ∴该情况可以构成三角形， 此时等腰三角形的周长为． 12. 请写出命题“如果|x|=|y|，那么x2=y2”的逆命题_____． 【答案】如果x2=y2，那么|x|=|y| 【解析】 【分析】直接利用逆命题的写法就是将原命题的结论与题设交换进而得出答案． 【详解】解：“如果|x|=|y|，那么x2=y2”的逆命题是“如果x2=y2，那么|x|=|y|”． 故答案为：如果x2=y2，那么|x|=|y|． 【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握逆命题的定义是解题关键． 13. 已知a、b、c 是三角形的三边长，化简： ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，绝对值的意义，整式的加减运算，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形的三边关系可知，，，进而去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】解：a、b、c 是三角形的三边长， ，， ，， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，若点D，E分别是，的中点，且的面积为12，则阴影部分的面积是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 先由点是的中点得出，再由点是的中点计算即可得解． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 15. 如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，根据角平分线的性质求出点到的距离，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴． 16. 如图，三角形纸片中，，，，折叠纸片，使点C和点A重合，折痕与，交于点D和点E，则折痕的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质，三角形内角和，得到；根据折叠的性质，可以得到，继而得到，利用直角三角形的性质，解答即可． 【详解】解：，， ； 由折叠纸片，使点C和点A重合，折痕与，交于点D和点E， ， ，； ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ． 三、解答题（一）（本大题共6小题，共46分，解答时应写出必要的证明过程或演算步骤．） 17. 如图，两条公路和相交于点，在的内部有工厂和，现要在的内部修建一个货站，使货站到两条公路、的距离相等，且到两工厂、的距离相等，用尺规作出货站的位置．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了尺规作角平分线和垂直平分线，根据点P到两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在的角平分线上，又在垂直平分线上，即的角平分线和垂直平分线的交点处即为点P． 【详解】如图所示：作的垂直平分线，的角平分线的交点P即为所求． 18. 如图，已知的三个顶点在格点上． （1）作出与关于轴对称的图形； （2）请在轴上找到一个点，使得点到点、点的距离的和最短（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）取点B关于x轴的对称点，连接，此时交x轴于点P，连接，则点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，，求证：． 【答案】 证明：， ， ， 在和中， ， ∴， ． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，证明角相等，通常证明它们所在的三角形全等．运用证明，从而可得出结果． 【详解】略 20. 如图，已知，，，与相等吗？说明理由． 【答案】与相等； 理由如下： ∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证明即可得到． 【详解】略 21. 如图，是的平分线，是上一点，于，于，是上的另外一点，连接，．求证：． 【答案】 证明：是的平分线， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，证明，推出，证明，即可推出． 【详解】略 22. 如图，，，是上的一点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在与中 ， ∴． （2）10 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质的运用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据已知可得到，，从而利用判定两三角形全等； （2）由三角形全等可得到，，再利用即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴，． ∴ ， ∴的面积为10． 四、解答题（二）（本大题共5小题，共50分，解答时应写出必要的证明过程或演算步骤．） 23. 如图，在中，，是边上的高，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据以及三角形内角和定理可得，从而得到，再由，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴． 24. 如图，在中，，，线段的垂直平分线分别交，于点，，连接．若，求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到， ， 求得，最后根据含角直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∵线段的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 25. 如图，，，，求证：是的垂直平分线． 【答案】证明：在和中， ， ． ， 点O在的垂直平分线上， 又， ∴点E在的垂直平分线上． 是的垂直平分线． 【解析】 【分析】根据证明，可得，再结合即可证明是的垂直平分线． 【详解】略 26. 在中，，． （1）如图1，若过点C在外作直线，于点M，于点N．求证：． （2）如图2，若过点C在内作直线，于点M，于点N，则与之间有什么关系？请说明理由． 【答案】 证明：（1）∵AM⊥MN，BN⊥MN， ∴∠AMC=∠CNB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°， ∴∠MAC=∠NCB， 在△AMC和△CNB中， △AMC≌△CNB（AAS）， AM=CN，MC=NB， ∵MN=NC+CM， ∴MN=AM+BN； （2）结论：MN=NB-AM． ∵AM⊥MN，BN⊥MN， ∴∠AMC=∠CNB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°， ∴∠MAC=∠NCB， 在△AMC和△CNB中， △AMC≌△CNB（AAS）， AM=CN，MC=NB， ∵MN=CM-CN， ∴MN=BN-AM． 【解析】 【分析】（1）利用互余关系证明∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，故可证△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，利用线段的和差关系证明结论； （2）类似于（1）的方法，证明△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN与MN之间的数量关系． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．关键是利用互余关系推出对应角相等，证明三角形全等． 27. 如图①，，，，交于点M，交于点O，连接． （1）求证：； （2）用含的式子表示的度数； （3）当时，分别取的中点P，Q，连接，如图②所示，判断的形状，并加以证明． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ， ． （2） （3） 为等边三角形． 证明：如图2，由（1）得， 的中点分别为点P、Q， ， ∵， ， 在与中， ， ， ， 又， ， ， ∴为等边三角形． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，准确找到全等三角形是解决此题的关键 （1）利用证明，即可得； （2）根据得出，再利用三角形内角和定理，进一步即可得出的度数； （3）先证明，再根据全等三角形的性质，得出，然后得，进而得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， 在中，， = ， 在中， ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $