精品解析：甘肃省 兰州市第三十五中学2024－2025学年上学期八年级期中考试数学试题

兰州市第三十五中2024-2025-1八年级期中考试试卷数学 一、选择题（共12题，每小题3分，共计36分，每小题只有一个选项符合题意．） 1. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 7，24，25 B. 0.3，0.4，0.5 C. 1.5，2，2.5 D. 5，11，12 2. 下列函数表达式中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 数，，，，，，，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数有（ ）个． A. 5 B. 2 C. 3 D. 4 4. 三角形中，点和点的位置如图所示，点的位置正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致应为（ ） A. B. C. D. 6. 若与最简二次根式可以合并，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 8. 实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（ ） A. B. C. b D. 9. 设点在第四象限，则点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 有下列说法：①的平方根是；②表示6的算术平方根的相反数；③是的平方根；④与是同类二次根式；⑤的绝对值是．其中，正确的说法有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 11. 如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 12. 关于函数（为常数），有下列结论：①当时，此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若图像经过二、三、四象限，则的取值范围是；④若函数图像与轴的交点始终在正半轴，则的取值范围是．其中，正确结论的个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题（共4题，每小题3分，共计12分） 13. 若是一次函数，则m=______________． 14. 如图，有一块直角三角形纸片，，两直角边，，现将该纸片沿直线折叠，使点落在斜边上的点处，则折痕___________． 15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 16. 已知，则的值______． 三、解答题（共12题，计72分，解答应写出过程） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件求值： （1）当点P在y轴上时，求点P坐标； （2）当时，求m的值． 19. 如图，一次函数与x轴、y轴分别相交于点A和点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）点在轴上，若的面积为6，求点的坐标． 20. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）画出关于y轴对称的，并直接写出各顶点的坐标； （2）直接写出的面积是______； （3）在y轴上找一点P，使的和最小（标出点P即可，不用求点P坐标）． 21. 如图，圆柱形无盖玻璃容器，高，底面圆的直径为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口的处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．（结果保留根号） 22. 已知点，请解答下列问题： （1）点的坐标为，直线轴，求的值； （2）若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 23. 如图，九龙大道上A，B两点相距，C，D为两商场，于A，于B．已知，．现在要在公路上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等． （1）求E站应建在离A点多少处？ （2）若某人从商场D以的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？ 24. 若点在一次函数的图象上． （1）求代数式的值； （2）点在直线上吗？为什么？ 25. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 26. 喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． （1）请直接判断3，12，32是不是“和谐组合”，______． （2）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根． （3）已知9，，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求的值． 27. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形． （1）若ABC三边长分别是3，2和4，则此三角形 常态三角形（填“是”或“不是”）； （2）若RtABC是常态三角形，求此三角形的三边长之比（请写出求解过程并将三边按从小到大排列）； （3）如图，RtABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AD＝DB＝DC，若BCD是常态三角形，求ABC的面积． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，，记，，将称为点A，B的横纵偏差，记为，即．若点B在线段上，将的最大值称为线段关于点A的横纵偏差，记为． （1），， ①的值是 ； ②点K在y轴上，若，则点K的坐标是 ． （2）点P，Q在x轴上，点P在点Q的左侧，，点M的坐标为，求线段在x轴上运动时，直接写出的最小值及此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市第三十五中2024-2025-1八年级期中考试试卷数学 一、选择题（共12题，每小题3分，共计36分，每小题只有一个选项符合题意．） 1. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 7，24，25 B. 0.3，0.4，0.5 C. 1.5，2，2.5 D. 5，11，12 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数，勾股数必须是正整数．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小小数的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A选项，，7，24，25是勾股数； B选项，三个数都不是正整数，0.3，0.4，0.5不是勾股数； C选项，1.5和2.5不是正整数，1.5，2，2.5不是勾股数； D选项，，5，11，12不是勾股数； 故选：A． 2. 下列函数表达式中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数定义是解此题的关键，注意：形如、为常数，的函数叫一次函数，当时，函数也叫正比例函数．根据正比例函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、分母中含有未知数，不是正比例函数，故本选项不符合题意； B、是正比例函数，故本选项符合题意； C、自变量的最高次为2次，不是正比例函数，故本选项不符合题意； D、因变量的最高次为2次，不是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 数，，，，，，，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数有（ ）个． A. 5 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根． 根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比．逐个判断每个数是否为无理数即可． 【详解】解：4， 数，，，，，，，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数有，，，…（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1），共4个． 故选：D． 4. 三角形中，点和点的位置如图所示，点的位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有序数对表示位置，根据点和点的位置得出的位置为，即可求解． 【详解】解：，在同一条竖直的直线上， ，的横坐标相同，即的横坐标为， ，在同一条水平的直线上， ，的纵坐标相同，即的纵坐标为， 的位置为， 故选：A 5. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象分别确定的取值范围，若有公共部分，则有可能；否则不可能． 【详解】解：根据图象知： A、，则，正比例函数的图象不对，不符合题意； B、，则．图象正确，符合题意； C、当，过一、二、三象限，不符合题意； D、正比例函数的图象不对，不符合题意； 故选：B． 【点睛】一次函数的图象有四种情况：①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 6. 若与最简二次根式可以合并，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握最简二次根式的性质和同类二次根式的定义．把化简为最简二次根式，根据同类二次根式的定义，求出即可． 【详解】解：∵， 又∵与最简二次根式可以合并， ∴， 解得：． 故选：B． 7. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出四个直角三角形的面积，即可得到的值，根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后根据即可求解． 【详解】解：因为大正方形的面积是41，小正方形的面积是1， 所以一个小三角形的面积是，， 所以，即， 所以． 所以． 8. 实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（ ） A. B. C. b D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：B． 9. 设点在第四象限，则点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据点在第四象限，可得出a、b的符号，即可得出点到轴的距离． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，， ∴， ∴在第三象限， ∴点到轴的距离， 故选：B． 10. 有下列说法：①的平方根是；②表示6的算术平方根的相反数；③是的平方根；④与是同类二次根式；⑤的绝对值是．其中，正确的说法有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根，算术平方根，同类二次根式，绝对值，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：的平方根是；故①错误； 表示6的算术平方根的相反数；故②正确； 是的平方根；故③正确； 与是同类二次根式；故④正确； 的绝对值是；故⑤正确； 故选C． 11. 如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、在数轴上表示无理数、基本尺规作图-作相等线段等知识，熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键． 先由勾股定理求出，再由基本尺规作图得到，则，从而得到答案． 【详解】解：如图所示：于， 在中，，，，则由勾股定理可得， 以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点， ， 则， 点表示的数为， 故选：B． 12. 关于函数（为常数），有下列结论：①当时，此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若图像经过二、三、四象限，则的取值范围是；④若函数图像与轴的交点始终在正半轴，则的取值范围是．其中，正确结论的个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】①根据一次函数定义即可求解；②，即可求解；③图像经过二、三、四象限，则，，解关于的不等式组即可；④函数图像与轴的交点始终在正半轴，则，即可求解． 【详解】解：①根据一次函数定义：形如的函数为一次函数， ， ， 故①正确； ②， 无论取何值，函数图像必经过点， 故②正确； ③图像经过二、三、四象限， ， 解不等式组得：， 故③正确； ④令，则， 函数图像与轴的交点始终在正半轴， ， ， 经分析知：， 解这个不等式组得， 故④正确． ①②③④都正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式的相关知识，是难点和易错点．解答此题的关键是熟知一次函数图像上点的坐标特征，确定函数与系数之间的关系． 二、选择题（共4题，每小题3分，共计12分） 13. 若是一次函数，则m=______________． 【答案】﹣1. 【解析】 【分析】根据一次函数的定义可得自变量的次数为1，且系数不为零可得关于m的方程，然后求解即可. 【详解】解：∵是一次函数， ∴m2=1，且m﹣1≠0， 解得m=﹣1. 故答案为﹣1. 【点睛】本题考查一次函数的定义. 一次函数解析式 y=kx+b 的结构特征： （1）k是常数，k≠0 ；（2）自变量x的次数是1；（3）常数项b可以为任意实数． 14. 如图，有一块直角三角形纸片，，两直角边，，现将该纸片沿直线折叠，使点落在斜边上的点处，则折痕___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折变换的性质，勾股定理的应用，先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长，然后根据勾股定理即可求得．掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将该纸片沿直线折叠，使点落在斜边上的点处， ∴，，， ∴， 设， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，． 故答案为：． 15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∴，，，， ∴ ． 16. 已知，则的值______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查绝对值和二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得，再根据绝对值的代数意义将化简，即可得解．解题的关键是掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的值为． 故答案为：． 三、解答题（共12题，计72分，解答应写出过程） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）4 （2）10 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）首先化简二次根式和零指数幂，然后约分后相减即可； （2）首先乘法分配律展开，然后计算算术平方根，然后相减即可； （3）首先利用完全平方公式和平方差公式化简，然后去括号后计算即可； （4）首先计算乘方，算术平方根和立方根，绝对值，然后计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件求值： （1）当点P在y轴上时，求点P坐标； （2）当时，求m的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据y轴上的点的横坐标为0，进行求解即可； （2）利用平方根解方程即可. 【小问1详解】 解：由题意，，解得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或. 19. 如图，一次函数与x轴、y轴分别相交于点A和点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）点在轴上，若的面积为6，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）当点在点上方时，；当点在点下方时， 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出直线与坐标轴的交点坐标，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． （1）令，求出x的值，得到点A的坐标，令，求出y的值，得到点B的坐标； （2）分点在点上方和点在点下方两种情况讨论． 【小问1详解】 解：当时，， ， 当时，，， ； 【小问2详解】 点在轴上，若的面积为6， ， ， ， 当点在点上方时，． 当点在点下方时，． 20. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）画出关于y轴对称的，并直接写出各顶点的坐标； （2）直接写出的面积是______； （3）在y轴上找一点P，使的和最小（标出点P即可，不用求点P坐标）． 【答案】（1） 如图，即为所求作的图形， 由图形可得，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2） （3） 如图，连接，与轴交于点，则点即为所求． 理由如下：由轴对称的性质可得： ， ∴， 此时最小． 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解题的关键． （）根据轴对称的性质分别确定的对称点即可作出所求图形，根据图形即可写出各顶点的坐标即可； （）利用割补法计算即可求解； （）如图，连接，与轴交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积是； 【小问3详解】 略 21. 如图，圆柱形无盖玻璃容器，高，底面圆的直径为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口的处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最短路径问题，解题思路为：①先根据题意把立体图形展开成平面图形后并画出展开图，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短；②构建直角三角形，利用勾股定理列式求解，首先将圆柱展开，将两个点放在同一平面上，构建直角，可知捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线就是的长；根据已知求出，由题意可知：是底面的周长的一半，根据底面圆的直径为和圆的周长公式，可以求的长，从而由勾股定理求出的长． 【详解】解：画圆柱的展开图，如图所示：过作于， 由题意得：，， ， ， 由勾股定理得：， 答：急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为． 22. 已知点，请解答下列问题： （1）点的坐标为，直线轴，求的值； （2）若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，掌握点的坐标与位置的关系是解题的关键． （1）根据“直线轴”得出纵坐标相等，列方程求解； （2）根据题意列方程求解． 【小问1详解】 解：∵轴， ∴点和点的纵坐标相等， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ∴点的横坐标和纵坐标互为相反数， ∴， 解得， ∴，， ∴点的坐标为． 23. 如图，九龙大道上A，B两点相距，C，D为两商场，于A，于B．已知，．现在要在公路上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等． （1）求E站应建在离A点多少处？ （2）若某人从商场D以的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？ 【答案】（1）E站应建在离A点处 （2）2小时 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求得的长是解答的关键． （1）设，则，根据勾股定理得到，进而列方程求解即可； （2）利用勾股定理求得即可求解． 【小问1详解】 解：设，则， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∵C，D两商场到E站的距离相等， ∴，则， ∴，又，， ∴，解得， ∴E站应建在离A点处； 【小问2详解】 解：在中，， ， 答：某人需要多少小时从商场D以的速度匀速步行到收购站E，需要2小时． 24. 若点在一次函数的图象上． （1）求代数式的值； （2）点在直线上吗？为什么？ 【答案】（1） （2） 解：点在直线上，理由： 当时， ， 点在直线上． 【解析】 【分析】（1）直接把点代入一次函数求出、的关系，代入代数式进行计算即可； （2）把代入直线，求出的值即可． 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【小问1详解】 解：点在一次函数的图象上， ， ； 【小问2详解】 略 25. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化： （1）先利用分母有理化法则求出，进而得到，，再根据完全平方公式的变形求解即可； （2）根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ，， ∴； 【小问2详解】 解： ． 26. 喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． （1）请直接判断3，12，32是不是“和谐组合”，______． （2）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根． （3）已知9，，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求的值． 【答案】（1）不是 （2）4，12 （3）81 【解析】 【分析】（1）根据“和谐组合”的定义，进行判断即可； （2）根据“和谐组合”的定义求解即可； （3）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∵，不是整数， ∴3，12，32不是“和谐组合”； 故答案为：不是； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴2，18，8这三个数是“和谐组合” ∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； 【小问3详解】 分三种情况：①当时，得：（舍去） ②当时，，得：（舍去） ③当时，．得：． 综上所述，a的值为81． 【点睛】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则． 27. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形． （1）若ABC三边长分别是3，2和4，则此三角形 常态三角形（填“是”或“不是”）； （2）若RtABC是常态三角形，求此三角形的三边长之比（请写出求解过程并将三边按从小到大排列）； （3）如图，RtABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AD＝DB＝DC，若BCD是常态三角形，求ABC的面积． 【答案】（1）是 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）直接利用常态三角形的定义判断即可； （2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案； （3）分①和②两种情况，利用直角三角形的性质、常态三角形的定义得出的长，从而可得的长，再根据勾股定理求得的长，然后利用直角三角形的面积公式即可得． 【小问1详解】 解：， 是常态三角形， 故答案为：是． 【小问2详解】 解：设的两直角边长为，斜边长为， 则， ∵是常态三角形， ， ，， ，， 则三边长之比为． 【小问3详解】 解：①当时，是常态三角形， ∵， ∴，（负值已舍）， 在中，由勾股定理得：， 此时的面积为； ②当时，是常态三角形， ∵， ∴，（负值已舍）， 在中，由勾股定理得：， 此时的面积为； 综上，的面积为或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、二次根式的化简、利用平方根解方程．理解常态三角形的定义，并熟练掌握勾股定理是解题关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，，记，，将称为点A，B的横纵偏差，记为，即．若点B在线段上，将的最大值称为线段关于点A的横纵偏差，记为． （1），， ①的值是 ； ②点K在y轴上，若，则点K的坐标是 ． （2）点P，Q在x轴上，点P在点Q的左侧，，点M的坐标为，求线段在x轴上运动时，直接写出的最小值及此时点P的坐标． 【答案】（1）①；②或 （2）的最小值为，此时点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形综合，理解新定义，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）①根据定义计算即可得出结果；②设点的坐标为，则，，再结合，得出，计算即可得出结果； （2）设，则，设线段上任意一点的坐标为，则，求出，则就是在区间上，与的差的绝对值的最大值，要使这个最大值最小，当离越远，越大，越大，当在附近，可能较大（接近，差接近），故可以让尽量远离，并且让的两个端点到的距离相等，分三种情况：当区间在轴的正半轴，即时，此时，最大值出现在端点，为或；当区间在轴的负半轴，，即时，此时，最大值出现在端点，为或，当时，分别求解即可得出结果． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴，， ∴； ②∵点K在y轴上， ∴设点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； 【小问2详解】 解：∵点P在点Q的左侧，， ∴设，则， 设线段上任意一点的坐标为，则， ∵点M的坐标为， ∴， ∴就是在区间上， 与的差的绝对值的最大值， 要使这个最大值最小，当离越远，越大，越大，当在附近，可能较大（接近，差接近），故可以让尽量远离，并且让的两个端点到的距离相等， 当区间在轴的正半轴，即时，此时，最大值出现在端点，为或， 令， 解得， 此时，， 当区间在轴的负半轴，，即时，此时，最大值出现在端点，为或， 令， 解得， 此时，， 当时，，故该情况下无最小值， 综上所述，的最小值为，此时点P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $