精品解析：陕西省榆林市靖边中学2026-2027学年第一学期第一次月考试卷高二数学

2025级2026～2027学年度第一学期第一次月考试卷 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章第3节． 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 2. 点关于平面对称的点是（ ） A. B. C. D. 3. 直线的倾斜角为 A. B. C. D. 4. 已知点，点满足，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 过点且与直线平行的直线方程为（　　） A. B. C. D. 6. 已知点，，若平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（ ） A. B. C. D. 或 7. 已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，则（ ） A. 是的必要不充分条件 B. 若不共面，则也不共面 C. 若，且，则 D. 若，则 10. 已知O为坐标原点，过点的直线与坐标轴交于A，B两点，若的面积为2，则直线在x轴上的截距可以是（ ） A. B. C. -2 D. 2 11. 如图，在正四棱锥中，，，空间两点，满足，，则（） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 当时，的最小值为 D. 当时，则到平面的距离为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，且，则经过，的直线的一般方程为________． 13. 直线一定经过点________． 14. 设点，点是轴上的动点，点是直线上的动点，则周长的最小值是________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知.求： （1）过点且与BC垂直的直线方程； （2）过点且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程. 16. 如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点. （1）求的长； （2）证明：. 17. 如图，正方体的棱长为分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 在中，，边上的中线所在直线的方程为：，边上的高所在直线的方程为：，求： （1）点的坐标； （2）边所在直线的方程； （3）中的角平分线所在直线的方程． 19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，为的中点，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若，平面与分别交于点，求线段的长度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级2026～2027学年度第一学期第一次月考试卷 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章第3节． 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 依次首尾相接，用向量加法的三角形法则逐次合并即可化简. 【详解】由向量加法的三角形法则，. . 2. 点关于平面对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点的对称性，分析即可得答案. 【详解】点关于平面对称的点是. 故选：A 3. 直线的倾斜角为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】由直线， 则， 设直线的倾斜角为， 所以， 所以. 故选：A 【点睛】本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题. 4. 已知点，点满足，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，求向量，的坐标表示，由条件列方程求即可. 【详解】设点，因为， 所以， 又，所以， 解得，，，所以点的坐标是. 5. 过点且与直线平行的直线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知直线方程设出与已知直线平行的直线，再代入坐标求出方程. 【详解】与直线平行的直线方程可设为，且， 将代入直线可得. 所以过点且与直线平行的直线方程为，即， 故选：A 6. 已知点，，若平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】通过直线的方向向量与平面的法向量的关系，判断直线与平面的位置关系 【详解】因为，， 所以，所以或． 故选：D． 7. 已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据过两点的直线的斜率公式，结合图象求解即可. 【详解】，. 若直线与线段相交，结合图象可知，. 故直线的斜率的取值范围是. 8. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，确定相关点以及向量的坐标，利用点到直线的距离的向量求法，即可得答案. 【详解】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，由，可得， 为的重心，所以，，， 则，，， 故点到直线的距离为. 故选：A 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，则（ ） A. 是的必要不充分条件 B. 若不共面，则也不共面 C. 若，且，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】借助向量定义及充分条件及必要条件定义可判断A；借助反证法结合空间向量共面定理可得B；举出反例可得C、D. 【详解】对A：的充要条件是的大小相等，方向相同，故由可得， 但当时，方向不一定相同，故A正确； 对B：假设共面，则存在实数，使得， 所以，所以共面，与条件矛盾，故B正确； 对C：在空间直角坐标系中，三个坐标轴上的单位向量显然满足C中的条件， 但任何两个都不相等，故C错误； 对D：若，则不一定共线，故D错误. 故选：AB. 10. 已知O为坐标原点，过点的直线与坐标轴交于A，B两点，若的面积为2，则直线在x轴上的截距可以是（ ） A. B. C. -2 D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用截距式方程，由点在直线上，及三角形面积公式列式求解即可. 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线的方程为， 其中a，b分别为在x轴，y轴上的截距，，， 又点在直线上，所以， 又的面积为2，所以，即或． 当时，，即，解得或； 当时，，即，解得． 故选：ABC． 11. 如图，在正四棱锥中，，，空间两点，满足，，则（） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 当时，的最小值为 D. 当时，则到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.转化为点 到底面的距离，最小值为棱锥的高，不等于4；B. 表示点到直线上点的距离，最小值为点到直线的距离，，求二次函数的最小值C.时在定直线上，消元后求二次函数的最小值，得的最小值为；D.时，求出和平面的法向量，代入点到平面距离公式求解，距离恒为. 【详解】设底面正方形的中心为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ，，，， 由，得棱锥高，故， 由得在底面所在平面内，由得在直线上， 设， ，得，得 ，得， 同理可得. 选项A，，即点到底面平面上点的距离，最小值为正四棱锥的高，A错误； 选项B，表示点到直线上点的距离，最小值为点到直线的距离， ， 二次函数在时取得最小值，，B正确； 选项C，当时，， ， 对求最小值，，取等后得， 对求最小值， 在时取得最小值，故，C正确； 选项D，当时，， ， 设平面的法向量为， 则，取，得平面的法向量为， 所以点到平面的距离为，距离与无关，D正确. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，且，则经过，的直线的一般方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知点都满足同一个关系式，可得直线方程. 【详解】因为，所以点都满足直线， 所以经过的直线的一般方程为. 13. 直线一定经过点________． 【答案】 【解析】 【详解】由得，令，得，解得， 所以直线一定经过点. 14. 设点，点是轴上的动点，点是直线上的动点，则周长的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求点关于轴和直线的对称点，则周长的最小值为. 【详解】点关于轴的对称点为，设点关于直线的对称点为， 则，即，解得，即， 所以， 因为关于轴对称，关于直线对称， 所以，， 所以的周长， 当且仅当四点共线时取等号， 所以周长的最小值是. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知.求： （1）过点且与BC垂直的直线方程； （2）过点且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线BC的斜率，从而设过点且与BC垂直的直线方程，将代入，求出答案； （2）求出直线AB的斜率和倾斜角，从而得到所求直线的倾斜角和斜率，利用点斜式求出直线方程. 【小问1详解】 ，故与垂直的直线的斜率为1，故设过点且与BC垂直的直线方程为， 将代入可得，解得， 所以过点且与BC垂直的直线方程为； 【小问2详解】 ，故直线AB的倾斜角为， 故所求直线的倾斜角为，所求直线的斜率为， 故过点且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程为，即. 16. 如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点. （1）求的长； （2）证明：. 【答案】（1）； （2） 由（1）知， 在菱形中，， 所以 ， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）由，根据已知及向量数量积的运算律求向量的模长； （2）由（1）及，应用向量数量积的运算律求，即可证. 【小问1详解】 以为一个基底， 由题意知， 又， 所以 ， 所以； 【小问2详解】 略 17. 如图，正方体的棱长为分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：取的中点为，连接. 因为分别是的中点，所以. 在正方体中，，又为的中点， 所以，四边形是平行四边形，. 又平面平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取棱的中点，使目标直线与平面  内的一条直线平行，从而由线面平行的判定定理直接得证； （2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得直线  的方向向量和平面  的法向量；利用线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值，通过向量数量积公式计算即得结果． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为分别为的中点， 所以 所以， 设是平面的法向量，则，即， 令，则，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 18. 在中，，边上的中线所在直线的方程为：，边上的高所在直线的方程为：，求： （1）点的坐标； （2）边所在直线的方程； （3）中的角平分线所在直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，可得，由，可得，再根据斜率公式列式，联立方程，解出坐标即可； （2）设，则边的中点，由边上的高所在直线过点C，及边的中点在上，列式求出点C坐标，求出边所在直线的斜率，利用点斜式方程即可求解； （3）求出、所在直线方程，设是的角平分线所在直线上任意一点，由角平分线的性质可得P到边所在直线，边所在直线的距离相等，结合点到直线的距离公式列式即可求解. 【小问1详解】 设， 因为边上的中线所在直线：经过点A，所以， 因为边上的高所在直线的方程为：， 所以，即， 又，所以，即， 由得 所以点A的坐标为． 【小问2详解】 设，因为边上的高所在直线：经过点C， 所以． 因为边上的中线所在直线的方程为：， 所以边的中点在：上， 即，所以， 由得 所以点C的坐标为． 因为边所在直线的斜率， 所以边所在直线的方程为，即． 【小问3详解】 因为边所在直线的斜率， 所以边所在直线的方程为，即． 因为：过B，C两点， 所以边所在直线的方程为． 设是的角平分线所在直线上任意一点， 由角平分线的性质可得P到边所在直线，边所在直线的距离相等， 即． 所以或． 因为的角平分线应该与边（不含端点）有交点， 所以的角平分线所在直线的斜率， 所以不符合，符合， 所以中的角平分线所在直线的方程为． 19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，为的中点，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若，平面与分别交于点，求线段的长度. 【答案】（1） 证明：因为为的中点，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证线面垂直平面，进而可证得面面垂直； （2）求出平面与平面的法向量，再利用向量夹角公式，再利用同角三角函数的基本关系，即可得解； （3）先根据向量共线关系，求出的坐标，再求出平面的法向量，再设出，表示出的坐标，继而写出，再利用与均垂直，求出，即可确定的坐标，最后应用两点间距离公式即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，在平面内，作，交于点，则两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意，得， 所以， 设是平面的法向量，则， 令，则，所以是平面的一个法向量； 设是平面的法向量，则 令，则，所以是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）得，由，得， 又因为，所以， 由，得，又因为，所以， 因此， 设是平面的法向量，则， 令，则，所以是平面的一个法向量， 由平面与交于点，设，因为，则， 因为是平面的法向量，所以，即，解得，所以. 由平面与交于点，设，因为，则， 因为是平面的法向量，所以， 即，解得，所以. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $