精品解析：上海市上海交通大学附属第二中学2026-2027学年第一学期七年级数学期中试卷

2026学年第一学期期中考试 七年级数学试卷 （考试时间：100分钟满分100分） 考生注意：请将所有答案写在答题纸上，写在试卷上不计分 一、选择题（本大题共6题，每题3分，共18分） 1. 在中，单项式的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如果分式中的字母，都扩大为原来的2倍，那么分式的值是（ ） A. 原来的4倍 B. 原来的2倍 C. 原来的 D. 原来的 3. 下列说法中，属于平移现象的是（ ） A. 表针的转动 B. 水龙头的转动 C. 荡秋千 D. 电梯的升降 4. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将下图按逆时针方向旋转后的图形是（ ） A. B. C. D.   6. 若，．则的值为（ ） A. B. 1 C. 9 D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 如果分式有意义，那么x的取值范围是_____． 8. 因式分解：__________． 9. 将表示成只含有正整数指数幂的形式：_________． 10. 已知多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为________． 11. 已知，则___________． 12. 如果关于的方程有增根，则_________． 13. 如图，有三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线_________最长．（填“”或“”或“”或“一样”） 14. 关于的整式与相乘的积不含一次项，则_________． 15. 如果分式的值为正整数，则所有满足题意的整数的值的和为_________． 16. 如图，将绕点A逆时针旋转至的位置，若，，则旋转角的度数为______． 17. 如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）．如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则_________ 18. 已知一副三角板按如图拼接在一起，边、与直线重合，其中，．三角板绕点O按顺时针方向，以/秒的速度旋转；三角板绕点O按逆时针方向，以秒的速度旋转，旋转时间为t秒，旋转后记对应射线为．当为_________秒时，． 三、简答题（共6题，19题4分，20-23题每题5分，24题6分，共30分） 19. 因式分解： 20. 因式分解：． 21. 因式分解：； 22. 计算：． 23. 解方程： 24. 化简：，并在，0，1，2，3中选取1个代入代数式求值． 四、解答题（共4题，25题8分，26、27每题6分，28题8分，共28分） 25. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点均在格点上，位置如图所示． （1）在图中画出向右平移3个单位之后的； （2）将绕点顺时针旋转，得到，请在图中画出． （3）在（1）（2）的基础上，若连接（不用在图中作出），四边形的面积是_________． 26. 七年级的同学组织去公园秋游，从学校出发到相距12千米的公园，可以乘坐大巴或者骑自行车前往，一部分学生骑自行车从学校先出发，过了半小时后，其余学生乘坐大巴车出发，结果他们同时到达公园．假设他们全程都保持匀速前行，且已知大巴车的速度是骑自行车的4倍，请问骑自行车学生的速度为每小时多少千米？ 27. 材料一：，则或．即：或． 材料二：因式分解是一种恒等变形，如：，则．我们可以根据变形前后的对应关系，求出相应量的值． 根据材料完成下列问题： （1）若，则__________，__________． （2）若，则__________，__________． （3）若，且为四个连续的自然数，若，求的值． 28. 如果一个有理数可以表示成形式（均为有理数，）称m为“优美数”． （1）由以上可知0_________“优美数”（填“是”或“不是”）；1_________“优美数”（填“是”或“不是”） （2）若有理数均为“优美数”，试证明：均为“优美数”． （3）若“优美数”，且，，其中均为非负数，且，求代数式的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中考试 七年级数学试卷 （考试时间：100分钟满分100分） 考生注意：请将所有答案写在答题纸上，写在试卷上不计分 一、选择题（本大题共6题，每题3分，共18分） 1. 在中，单项式的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据单项式的定义，解答即可． 【详解】解：，是单项式； 是多项式，分母含字母，均不是单项式； 故单项式共有2个． 2. 如果分式中的字母，都扩大为原来的2倍，那么分式的值是（ ） A. 原来的4倍 B. 原来的2倍 C. 原来的 D. 原来的 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴分式的值是原来的， 故选C 【点睛】本题主要考查分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数；解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 3. 下列说法中，属于平移现象的是（ ） A. 表针的转动 B. 水龙头的转动 C. 荡秋千 D. 电梯的升降 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、表针的转动，不属于平移现象； B、水龙头的转动，不属于平移现象； C、荡秋千，不属于平移现象； D、电梯的升降，属于平移现象． 4. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：为平方和，不符合要求； 选项B：为平方和的相反数，不符合要求； 选项C：符合平方差形式，可使用平方差公式分解因式； 选项D：为平方和，不符合要求． 5. 如图，将下图按逆时针方向旋转后的图形是（ ） A. B. C. D.   【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质，确定旋转方向为逆时针，旋转角度为，重点观察图形开口方向的变化． 【详解】解：原图形开口向上，按逆时针方向旋转后，开口方向变为向左，观察各选项，只有D选项图形开口向左． 6. 若，．则的值为（ ） A. B. 1 C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将z视为已知数，解关于x，y的方程组，用含z的式子表示x和y，代入分式约分即可得结果． 【详解】解：∵， ∴①，② ，得，即 将代入①，得，解得 ∴ ． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 如果分式有意义，那么x的取值范围是_____． 【答案】x≠3 【解析】 【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义． 【详解】当分母x﹣3≠0，即x≠3时，分式有意义． 故答案是：x≠3． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零； （3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 8. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】观察多项式的两项结构，确定公共因式，通过提公因式法完成因式分解． 【详解】多项式的两项分别为、， 两项系数的最大公约数为1，共含有的字母为和，的最低次幂为，的最低次幂为， 两项的公因式为， 提取公因式后，剩余的因式部分为， 原式因式分解结果为． 9. 将表示成只含有正整数指数幂的形式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】依据负整数指数幂的转化规则，将原式中带负指数的项改写为正整数指数对应的分式形式，其余项保持不变即可得到目标形式． 【详解】解：． 10. 已知多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的计算是解题的关键． 根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为： ． 11. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】对所求式子因式分解即可解答本题． 【详解】解：， ． 12. 如果关于的方程有增根，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定分式方程的增根，再将分式方程转化为整式方程，把增根代入整式方程即可求得的值． 【详解】∵分式方程的分母为和， ∴最简公分母为． ∵方程有增根， ∴最简公分母为0，即． 解得增根为． 方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程， 得． ∵增根是该整式方程的根， ∴将代入整式方程． 得． 即． 解得． 13. 如图，有三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线_________最长．（填“”或“”或“”或“一样”） 【答案】 一样 【解析】 【分析】根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小.观察图形可知，三户电线的水平部分总长相等，竖直部分总长相等，或者视为整体平移关系. 【详解】 解：由图可知，、、三户电路的电线均由若干水平线段和竖直线段组成，且相邻电路的电线等距排列， 将户电线向右平移即可得到户电线，将户电线向右平移即可得到户电线，  图形的平移不改变图形的大小，即不改变线段的长度，  、、三户所用电线长度相等. 14. 关于的整式与相乘的积不含一次项，则_________． 【答案】 3 【解析】 【分析】展开两个整式的乘积并合并同类项，根据积不含一次项的条件令一次项系数为0，求出a的值后计算． 【详解】解：， ∵积不含一次项， ∴一次项系数为0，即， 解得， ∴． 15. 如果分式的值为正整数，则所有满足题意的整数的值的和为_________． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为正整数，说明是4的正约数，先找出所有符合条件的整数，再计算这些的和． 【详解】解：∵分式的值为正整数，且分子， ∴分母，且是4的正约数， ∴或或， ∴对应的整数为或或， ∴所有满足条件的整数x的和为． 16. 如图，将绕点A逆时针旋转至的位置，若，，则旋转角的度数为______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】由题意得，由旋转得，则，即可知旋转角的度数为 本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 【详解】解：由旋转得， ， ， ， 旋转角的度数为 故答案为：． 17. 如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）．如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，原分式减去指定真分式后结果为整式，即化简后的分子可被分母整除，通过多项式展开对比对应项系数求解a、b的值． 【详解】解：由题意得的结果为整式， ∴ 化简得为整式， ∵ 分母为二次多项式，分子为三次多项式， ∴ 该整式为一次多项式，设为， ∴ ， 将右边展开得 ， ∵ 等式两边多项式对应项系数相等， ∴ 对比x项系数：，解得， ∴ 对比项系数：，代入得， ∴ 对比常数项：，代入得， ∴ ． 18. 已知一副三角板按如图拼接在一起，边、与直线重合，其中，．三角板绕点O按顺时针方向，以/秒的速度旋转；三角板绕点O按逆时针方向，以秒的速度旋转，旋转时间为t秒，旋转后记对应射线为．当为_________秒时，． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据角的和差关系和平角的定义求出的度数，再表示出的度数，根据列式解方程即可． 【详解】解：，， ， ∴， 由题意得，，，，， ∴， ， ， ∴或 解得或； 综上所述，当t为21或25秒时，． 三、简答题（共6题，19题4分，20-23题每题5分，24题6分，共30分） 19. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：原式． 20. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】将原式后三项结合构造完全平方式，再利用平方差公式完成因式分解． 【详解】解： ． 21. 因式分解：； 【答案】 【解析】 【分析】观察式子结构，将视为整体，先对整体做十字相乘分解，再对可分解的二次因式继续分解至最简． 【详解】原式 ． 22. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是分式的加减运算，先通分，再约分即可． 【详解】解： ． 23. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】确定最简公分母为，去分母化为整式方程求解，检验所得根是否为增根． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， ∴， ∴， 解得， 检验：将代入公分母，得， 因此原方程的解为． 24. 化简：，并在，0，1，2，3中选取1个代入代数式求值． 【答案】 化简结果为；选取代入，代数式的值为（选取代入，代数式的值为） 【解析】 【分析】先计算括号内的分式减法，将除法转为乘法后因式分解约分，再根据分式有意义的条件选值代入计算； 【详解】解：原式 ， ∵分式有意义需满足分母不为0，除数不为0， ∴，， ∴，，， ∴可选取或代入， 选取代入，得； （选取代入，得）． 四、解答题（共4题，25题8分，26、27每题6分，28题8分，共28分） 25. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点均在格点上，位置如图所示． （1）在图中画出向右平移3个单位之后的； （2）将绕点顺时针旋转，得到，请在图中画出． （3）在（1）（2）的基础上，若连接（不用在图中作出），四边形的面积是_________． 【答案】（1）如图， （2）如图， （3）9 【解析】 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （3）利用分割法解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，如图， ∴四边形的面积． 26. 七年级的同学组织去公园秋游，从学校出发到相距12千米的公园，可以乘坐大巴或者骑自行车前往，一部分学生骑自行车从学校先出发，过了半小时后，其余学生乘坐大巴车出发，结果他们同时到达公园．假设他们全程都保持匀速前行，且已知大巴车的速度是骑自行车的4倍，请问骑自行车学生的速度为每小时多少千米？ 【答案】 骑自行车学生的速度为每小时18千米 【解析】 【分析】以自行车与大巴行驶相同路程的时间差为等量关系，结合速度倍数关系列分式方程求解； 【详解】解：设骑自行车学生的速度为千米/小时，则大巴车的速度为千米/小时， 由题意得 ， 解得， 检验：当时，，是原方程的解，且符合实际意义， 答：骑自行车学生的速度为每小时18千米． 27. 材料一：，则或．即：或． 材料二：因式分解是一种恒等变形，如：，则．我们可以根据变形前后的对应关系，求出相应量的值． 根据材料完成下列问题： （1）若，则__________，__________． （2）若，则__________，__________． （3）若，且为四个连续的自然数，若，求的值． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）先计算，可得，，再进一步求解即可； （2）先计算，可得，； （3）先计算，可得，，结合为四个连续的自然数，设，则，，，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴. 【小问2详解】 解：∵ ， 而， ∴， ∴，， ∴. 【小问3详解】 解：∵ ， ∵，， ∴，， ∵为四个连续的自然数， 设，则，，， ∴， 整理得：， ∴， ∴或， 解得：或（舍去）， ∴，则，，， ∴. 28. 如果一个有理数可以表示成形式（均为有理数，）称m为“优美数”． （1）由以上可知0_________“优美数”（填“是”或“不是”）；1_________“优美数”（填“是”或“不是”） （2）若有理数均为“优美数”，试证明：均为“优美数”． （3）若“优美数”，且，，其中均为非负数，且，求代数式的值． 【答案】（1）不是；是； （2）证明：∵有理数均为“优美数”， ∴可设，（都是有理数，）， ∴ ， ， ∵都是有理数， ∴，都是有理数， 当，是“优美数”， 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴是“优美数”； 由（1）可知，0不是“优美数”，而y是“优美数”，故， ∵， ∴， ∴， 同理可得和都是有理数， 当时，是“优美数”； 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴是“优美数”； （3） 【解析】 【分析】（1）当时，可得，当时，则，矛盾；当时，则，由于不是完全平方数，故有理数的平方不可能等于2026，矛盾，据此可得第一空的答案；根据可得第二空的答案； （2）设，（都是有理数，），可证明，故是“优美数”；可证明，则，故是“优美数”； （3）根据题意得到，仿照（2）可推出，结合已知条件可推出，利用平方差公式分解因式得到，据此分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：当时， ∴， 当时，则，这与矛盾； 当时，则， ∵为有理数， ∴为有理数， ∴为有理数，而不是完全平方数，故有理数的平方不可能等于2026，产生矛盾， ∴不成立， ∴0不是“优美数”； 当时，， ∴1是“优美数”； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， 由（2）可得 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵，且a、d都是非负数，即， ∴， 又∵x、w也是非负数， ∴， ∴， ∴，这与矛盾； 当时， ∴， ∴； 综上所述，的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $