精品解析：吉林省长春市二道区长春力旺高中2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

长春力旺高中2028届毕业生十月检测1 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的条件得出向量数量积为零，进而进行坐标运算求解． 【详解】，， ，解得，故A正确． 故选：A． 2. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 【答案】B 【解析】 【分析】比较圆心距与两圆半径和与差大小关系可判断选项正误. 【详解】圆心为，半径为5，圆心为，半径为. 两圆圆心距为：. ， 注意到，从而，; ， 注意到，则，, 从而，两圆相交. 故选：B 3. 若直线过点且与直线相互垂直，则原点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直线垂直得出直线，再应用点到直线距离计算求解. 【详解】直线与直线相互垂直，所以直线的斜率为， 直线过点且斜率为，则直线， 则原点到直线的距离为. 故选：C. 4. 在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件得出相关向量关系，再利用三棱柱的性质结合向量加减法计算求解． 【详解】 ，分别是线段，上靠近，的三等分点， ，， ，， 又，， ，即 ，故A正确． 故选：A． 5. 我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标，利用异面直线夹角的向量求法结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】如图，作，以为原点，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，， 因为，分别为，的中点，所以由中点坐标公式得，， 则，，设异面直线与所成角为， 可得，而，则， 由同角三角函数的基本关系得，解得（负根舍去）， 则异面直线与所成角的正弦值为，故C正确. 故选：C 6. 已知直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. 或2 C. D. 或1 【答案】C 【解析】 【详解】因为直线与直线平行， 根据两直线平行的充要条件可得，解得或， 当时，代入可得与，两条直线平行且不重合，符合题意； 当时，代入可得与，两条直线重合，不符合题意. 所以 7. 已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（ ） A. 的周长为12 B. C. 点到轴的距离为 D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，根据椭圆标准方程得，，，由椭圆定义知， 所以的周长为，A错误. 对于B，在中，由余弦定理可得，， 由，代入， 化简得， 所以， 在中，，所以为锐角， 且， 故，B选项错误. 对于C，由B选项知，在中，设点到的距离为， 由，得，即， 因为到的距离,就是到轴的距离，C选项正确. 对于D，根据数量积公式，，D选项错误. 8. 已知圆，直线，过直线上一动点作圆的两条切线，切点记作，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何关系可得，由此推得，再分析的取值范围，从而得到的取值范围，据此可求得的最小值． 【详解】如图所示，可知， 根据对称性易得，所以， 所以， 圆心到直线的距离，且易知， ，所以， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线经过第一、二、三象限 C. 直线与直线之间的距离是 D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】BC 【解析】 【详解】A选项，的斜率为，故倾斜角为，A错误； B选项，直线，即，经过第一、二、三象限，B正确； C选项，直线，即与直线之间的距离为，C正确； D选项，当在轴，轴上的截距为0时，设直线方程为， 将代入可得，故直线方程为， 当在轴，轴上的截距不为0时，设直线方程为， 将代入可得，解得，故直线方程为，即， 综上，过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为或，D错误. 10. 已知实数x，y满足方程，则下列错误的有（ ） A. x＋y的最小值为 B. 的范围是 C. 的最小值为－20 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据方程判断出图形是上半圆，再把每个选项里的代数式转化为对应的几何意义，分别用三角函数、斜率、点到定点距离、点到直线距离来求最值或范围，最后结合图形位置判断结果是否正确即可. 【详解】因为，可得， 对于A选项，，则， 因为，所以当时，取得最小值， 此时取得最小值，最小值为，故A本身错误，符合题意； 对于B选项，表示以为圆心，为半径的半圆， 则可看作是半圆上的点与点连线的斜率，因为，， 由图可知的范围是，故B本身错误，符合题意； 对于C选项，， 则可看作是半圆上的点到点的距离，如图所示，其最小值为， 所以的最小值为，故C本身正确； 对于D选项，可以看做半圆上的点到直线的距离， 设与直线平行，且与半圆相切的直线方程为，由， 可得，此时，切点到直线的距离为， 点到直线的距离为，所以的最大值为， 所以的最大值为，故D本身错误. 11. 在棱长为3的正方体中，点M是线段的中点，点F满足其中，则（ ） A. 平面平面 B. 对于任意，三棱锥的体积为定值 C. 周长的最小值为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】建系设点，对于A：求证两个面的法向量垂直即可证明面面垂直；对于B：利用空间向量求证与平面不平行得到到平面的距离不是定值，且底面的面积为定值即可判断；对于C：将平面沿旋转至与平面共面，结合几何性质求周长的最小值；对于D：利用空间向量求球心到平面的距离，进而可得截面面积. 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 对于选项A：因为，，， 设平面法向量为，则， 令，则，可得， 设平面法向量为，则， 令，则，可得， 因为，则， 所以平面平面，故A正确； 对于选项B：因为，则， 可知与不垂直，则与平面不平行， 所以当在上运动时，到平面的距离不是定值，且底面的面积为定值， 所以三棱锥的体积不是定值，故B错误； 对于选项C：因为， 将平面沿旋转至与平面共面， 则，可得， 所以周长的最小值为，故C正确； 对于选项D：因为正方体的球心，球的半径， 当时，则，可得， ， 设平面法向量为，则， 令，则，可得， 则球心到平面的距离， 设平面截该正方体的外接球所得截面圆的半径为， 则， 所以平面截该正方体的外接球所得截面的面积为，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆与圆的公共弦长为______ 【答案】 【解析】 【分析】先联立两圆方程消去二次项得到公共弦所在直线方程，再结合点到直线距离公式与垂径定理计算公共弦长. 【详解】圆的圆心为，半径,圆的圆心为，半径为， 所以，两圆圆心距，由于，故两圆相交， 所以，公共弦方程为：，整理得， 所以，，圆心到直线的距离 ， 所以，根据垂径定理，公共弦长. 13. 已知圆 ，直线，若直线被圆截得的弦长最短，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由求出直线过的定点，进而可判断定点在圆内，所以直线被圆截得的弦长最短时，垂直于直线，由此即可求解 【详解】将直线直线整理得， 由得， 则直线过定点 ， 由于点在圆 的内部， 故直线被圆截得的弦长最短时，垂直于直线， 故它们的斜率之积等于，即 ，解得 ， 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，已知点，分别为椭圆C：的左，右焦点，P为椭圆C上的点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点H，则点H的轨迹长度为______ 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，由三线合一可得线段相等，结合椭圆定义和三角形中位线可知，从而确定点H的轨迹，求出轨迹长度 【详解】由题意得， 延长交于点，因为是的外角平分线，⊥， 所以由三线合一可知，，， 由椭圆定义可知，故，即， 又因为为的中点，所以， 所以点H的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，轨迹长度为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在轴上，焦距是4，且经过点； （2）与椭圆有相同的焦点，且经过点 （3）经过，两点 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出焦点坐标，根据椭圆的定义求出，即可求解； （2）根据已知椭圆方程写出所求椭圆的焦点坐标，再由椭圆的定义求得解； （3）设所求的椭圆方程为，代入点的坐标求解. 【小问1详解】 由题意知，且焦点坐标分别为，. 由，得， 可得，所以. 又焦点在轴上，所以所求椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 椭圆的焦点坐标为，则所求椭圆的焦距为， 所求椭圆过点， ， ，， 椭圆的标准方程为. 【小问3详解】 设所求的椭圆方程为. 把，两点代入， 得：，解得，， 椭圆方程为. 16. 如图，在平行六面体中，，是棱的中点，记，，. （1）用、、表示向量； （2）若，，点满足，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的基本定理可将用向量、、表示； （2）由题意得出结合空间向量数量积的运算性质得出关于的值，再利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【小问1详解】 由题意可得 . 【小问2详解】 ， 因为，所以，解得， 所以， 故. 17. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）直线与圆交于A，B两点，若的面积为2，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. （3） 【解析】 【分析】（1）设圆心，半径为，根据，列方程求，即可得到圆心和半径，从而得到圆的标准方程. （2）利用圆心到切线的距离等于半径，分斜率存在和不存在两种情况求解即可； （3）先求出圆心到直线的距离为，再利用的面积，得到 ，从而求出斜率即可求解. 【小问1详解】 设圆心，半径为， 因为圆与直线相切于点， 所以直线，解得 ， 所以圆心，所以， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当切线斜率存在时，设斜率为 k， 切线方程为 ，即， 由圆心到切线的距离等于半径得到， 即，解得， 所以切线方程为， 当斜率不存在时直线也是切线。 综上所述，切线方程为或. 【小问3详解】 由（1）知圆心，半径， 圆心到直线的距离为， 所以， 因为的面积， 即，解得 所以， 所以直线的方程为. 18. 如图甲所示，已知在长方形中，，且为BC的中点，将图甲中沿折起，使得，如图乙. （1）求证：平面平面AECD； （2）若点为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点是线段上的动点，且满足，若平面与平面AECD的夹角为，求的值. 【答案】（1） 在矩形中，因为，且为的中点， 可得，所以，所以，所以， 因为，，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得平面平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面和的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由，得到，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，过点作直线垂直于平面， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，以所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 可得， 则.， 设平面的一个法向量，则， 取，可得，所以， 又由平面的一个法向量 ， 设平面与平面所成夹角为，则， 所以平面与平面AEF所成夹角的余弦值为. 【小问3详解】 解：由，可得，其中， 则， 设平面的一个法向量，则， 取，可得，所以， 又由平面的一个法向量， 设平面与平面所成夹角为，则， 解得， 19. 已知顶点坐标分别为． （1）求的外接圆的方程； （2）设点，若圆上存在点，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为的直线与圆交于两点（不与原点重合），直线斜率分别为，且，证明：直线恒过定点． 【答案】（1） （2） （3） 依题意，设直线的方程为， 由联立消去，可得， 则由可得， 设，则（*）， 则， 即， 将（*）式代入整理上式得：，故得或. 当时，直线经过原点，不合题意； 当时，直线经过定点. 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，代入三点坐标，求出参数值，即得圆的方程； （2）设，利用可得点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，由题意知圆与圆有公共点，故得，求解即得参数的取值范围； （3）设直线的方程为，与圆的方程联立，写出韦达定理，结合，推出，依题排除，得，将其代入直线方程即可求得定点. 【小问1详解】 设圆的一般方程为：， 依题意，有，解得， 故的外接圆圆的方程为. 【小问2详解】 设，由代入点的坐标，可得 ， 整理得，易得， 则点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆(当时为点，看作半径为0的圆). 依题意，圆与圆有公共点. 圆的方程化为标准方程，圆心，半径为2， 而， 所以在圆外，所以， 解得， 即实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春力旺高中2028届毕业生十月检测1 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6 2. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 3. 若直线过点且与直线相互垂直，则原点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. 或2 C. D. 或1 7. 已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（ ） A. 的周长为12 B. C. 点到轴的距离为 D. 8. 已知圆，直线，过直线上一动点作圆的两条切线，切点记作，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线经过第一、二、三象限 C. 直线与直线之间的距离是 D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 10. 已知实数x，y满足方程，则下列错误的有（ ） A. x＋y的最小值为 B. 的范围是 C. 的最小值为－20 D. 的最大值为 11. 在棱长为3的正方体中，点M是线段的中点，点F满足其中，则（ ） A. 平面平面 B. 对于任意，三棱锥的体积为定值 C. 周长的最小值为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆与圆的公共弦长为______ 13. 已知圆 ，直线，若直线被圆截得的弦长最短，则的值为__________. 14. 在平面直角坐标系中，已知点，分别为椭圆C：的左，右焦点，P为椭圆C上的点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点H，则点H的轨迹长度为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在轴上，焦距是4，且经过点； （2）与椭圆有相同的焦点，且经过点 （3）经过，两点 16. 如图，在平行六面体中，，是棱的中点，记，，. （1）用、、表示向量； （2）若，，点满足，且，求. 17. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）直线与圆交于A，B两点，若的面积为2，求直线的方程. 18. 如图甲所示，已知在长方形中，，且为BC的中点，将图甲中沿折起，使得，如图乙. （1）求证：平面平面AECD； （2）若点为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点是线段上的动点，且满足，若平面与平面AECD的夹角为，求的值. 19. 已知顶点坐标分别为． （1）求的外接圆的方程； （2）设点，若圆上存在点，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为的直线与圆交于两点（不与原点重合），直线斜率分别为，且，证明：直线恒过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $