精品解析：吉林省长春市实验中学2026-2027学年高二上学期10月第一学程考试数学试题

长春市实验中学 2026-2027学年上学期第一学程考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）. A. B. 或 C. D. 或 3. 若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（ ） A. R B. C. D. 4. 光线通过点A（2，3），在直线l：上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为 A. B. 4x+5y-1=0 C. 3x-4y+1=0 D. 3x-4y-1=0 5. 已知直线的方向向量为，则向量在直线上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知满足，则的最大值为　　 A. B. C. D. 7. 已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点，（在的上方），且．过点且倾斜角为的直线与圆相交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，始终不过第三象限 10. 已知圆与圆，圆心分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 过点作圆的切线只有1条，则 B. 若圆与圆有且只有2条公切线，则或 C. 当时，两圆的公共弦长为 D. 当时，两圆的一条公切线方程为 11. 已知正四棱台的侧面积为9，，，为AD的中点，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则（ ） A. 正四棱台的体积为 B. 动点的轨迹长度为 C. 过，，三点的平面截该正四棱台所得截面的周长为 D. 若均在同一球面上，则该球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，B和C．则的外接圆方程为 _________________． 13. 已知点，，则点到直线的距离为______． 14. 若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为____________. 四、解答题：本题共5小题：共77分.（15题13分，16题、17题15分，18题、19题17分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知的顶点，直线的方程为边上的中线所在直线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求边上的高所在直线方程． 16. 如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面． （1）证明：平面平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，． （1）若为的中点，证明：平面． （2）求二面角的正弦值． 18. 平面直角坐标系xOy中，点，圆与轴正半轴交于点. （1）求过点且斜率为1的直线被圆截得的弦长； （2）求过点与圆相切的直线方程： （3）过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线，的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 19. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为． （1）过点的直线被曲线所截得的线段长为，求直线的方程； （2）过作直线与曲线交于，两点，中点为，求的最值； （3）已知点为圆上任意一点，过点向曲线作切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市实验中学 2026-2027学年上学期第一学程考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以， 故直线的倾斜角为． 2. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）. A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】分为两种情况：当直线过原点时；当直线不过坐标原点时．设出直线的方程，代入点坐标可得解． 【详解】当直线过原点时，设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 所以直线的方程为， 此时直线在两坐标轴上的截距均为0，满足题意； 当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 则直线方程，即， 综上所述直线方程为或， 故选：B． 3. 若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（ ） A. R B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线与圆相交转化为圆心到直线的距离小于半径，列不等式求解即可. 【详解】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交， 所以，化简得. 4. 光线通过点A（2，3），在直线l：上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为 A. B. 4x+5y-1=0 C. 3x-4y+1=0 D. 3x-4y-1=0 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称的性质，设点A（2，3）关于直线l的对称点为A′（x0，y0），利用斜率和中点坐标可得A′，可得反射光线所在直线的方程． 【详解】设点A（2，3）关于直线l的对称点为A′（x0，y0）， 则 解得：A′（﹣4，﹣3）． 由于反射光线所在直线经过点A′（﹣4，﹣3）和B（1，1）， 所以反射光线所在直线的方程为y﹣1＝（x﹣1）•，即4x﹣5y+1＝0． 故答案为A. 【点睛】本题考查了直线关于直线的对称直线方程的求法，斜率，中点坐标的应用，属于基础题． 5. 已知直线的方向向量为，则向量在直线上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合，代入即可求解. 【详解】直线l的方向向量为和， 可得， 则向量直线l上的投影向量的坐标为 . 故选：D. 6. 已知满足，则的最大值为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则直线与圆有交点，利用圆心到直线的距离不大于半径列不等式求解即可． 【详解】可化为， 圆心为,半径为， 设， 则直线与圆有交点， 所以，解得，故选B． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属中档题．解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用判别式来解答. 7. 已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设，则， ， ， ， ， ，， ， ， 则， ， 设异面直线与的夹角为， 则，故选项D正确. 8. 如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点，（在的上方），且．过点且倾斜角为的直线与圆相交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可求得圆的方程，可求得，的坐标，进而利用阿波罗尼斯圆，逐项计算可判断每个选项的正误. 【详解】圆与轴相切于点，所以设圆的圆心为，圆的半径为， 因为，所以，解得， 所以圆的方程为， 令，得，所以，， 由，可得圆与轴正半轴交于点， 所以，，所以， 设平面内一点，且，所以， 化简整理得，所以点的轨迹方程为； 又因为为圆上的点，所以，， 所以，， 所以，故A，B错误； 所以，故C正确，D错误. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，始终不过第三象限 【答案】AB 【解析】 【分析】根据直线过定点、两直线平行、直线的图像以及两直线垂直逐项计算判断即可. 【详解】解：对于A，直线：， 由，得，，始终过定点，故A正确； 对于B，若，则有，解得，故B正确； 对于C，，则，解得或，故C错误； 对于D，取，直线：过第三象限，故D错误． 故选：AB. 10. 已知圆与圆，圆心分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 过点作圆的切线只有1条，则 B. 若圆与圆有且只有2条公切线，则或 C. 当时，两圆的公共弦长为 D. 当时，两圆的一条公切线方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，分析可知圆心的圆心在圆上，将圆心的坐标代入圆的方程，求出的值，可判断A选项；对于B，分析可知，两圆相交，根据圆与圆的位置关系求出的取值范围，可判断B选项；对于C，求出两圆的公共弦长，可判断C选项；对于D，求出两圆圆心到直线的距离，可判断D选项. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径为， 圆的圆心为，半径为， 对于A选项，若过点作圆的切线只有条，则在圆上， 则有，解得，A对； 对于B选项，若圆与圆有且只有条公切线，则两圆相交， 且， 由题意可得，即， 解得或，B错； 对于C选项，当时，由B选项可知，两圆相交， 将两圆方程作差可得，此时，两圆的相交弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为，C错； 圆心到直线的距离， 圆心到直线的距离， 所以当时，直线是两圆的一条公切线，D对. 故选：AD 11. 已知正四棱台的侧面积为9，，，为AD的中点，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则（ ） A. 正四棱台的体积为 B. 动点的轨迹长度为 C. 过，，三点的平面截该正四棱台所得截面的周长为 D. 若均在同一球面上，则该球的表面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】先由正四棱台的侧面积求每个侧面梯形的面积，再求侧面梯形的高、侧棱长和棱台的高，利用棱台体积公式判断A项；对于B项，取的中点，的中点，在平面内作出点到平面的垂线，结合线面角的正切值得到点的轨迹是侧面梯形内某圆的一部分，再判断其轨迹长度；对于C项，利用和确定截面为等腰梯形，再计算其周长；对于D项，建立空间直角坐标系，设过，，，的球的球心为，半径为，列方程求，进而求球的表面积． 【详解】因为正四棱台的侧面积为，所以每个侧面梯形的面积为． 设该正四棱台的侧棱长为，则侧面梯形的高为，所以，解得． 设正四棱台的高为，由于上下底面对应顶点在底面上的水平距离为，所以． 对于A项，正四棱台上、下底面面积分别为和，所以体积，A项正确． 由上述分析可知，侧面的高为． 取的中点，连接，，，则．因为，所以，从而四点，，，共面．因此过，，三点的平面截该正四棱台所得截面为等腰梯形． 其中，，，所以该截面的周长为，不是，C项错误． 如下图，取的中点，连接，． 易知，，且，所以平面．又平面，所以平面平面． 过点作，垂足为，则平面.连接，则为直线与平面所成的角． 在中，，.过点作于点，则． 因为，所以． 由题意得．又，所以．因此动点在以为圆心、为半径的圆上． 又，而点在侧面的边界上，所以该圆不可能全部位于侧面内． 因此动点在侧面内的轨迹不是整个圆，轨迹长度小于，B项错误． 以正方形的中心为原点，过点且平行于的直线为轴， 过点且平行于的直线为轴，过点的高所在直线为轴，建立空间直角坐标系． 则，，，． 设过，，，的球的球心为，半径为，则 由第三个方程与第四个方程相减，得；由第一个方程与第二个方程相减，得，所以． 再由第一个方程与第三个方程比较，得，解得． 所以，该球的表面积为，D项正确． 故选AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，B和C．则的外接圆方程为 _________________． 【答案】 【解析】 【分析】设出圆的一般方程，代入点的坐标求解即可． 【详解】由题意设圆的方程为， 代入三个点的坐标可得，解得， 所以的外接圆方程为， 故答案为：． 13. 已知点，，则点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【详解】依题意得，，则， 又，，所以， 则点到直线的距离为. 14. 若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】首先变形曲线，并画出曲线的图象，再根据直线恒过点，利用数形结合，结合临界值，求实数的取值范围. 【详解】由题意得，所以，当时，曲线为； 当时，曲线为， 显然为半圆，如图所示， 易得直线经过定点，当直线与相切时， ，,所以，易得， 故当时，直线与曲线恰有三个公共点，即的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题：共77分.（15题13分，16题、17题15分，18题、19题17分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知的顶点，直线的方程为边上的中线所在直线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求边上的高所在直线方程． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】 （1）联立直线方程可解得结果； （2）设出，利用的中点在直线上以及点在直线上，解方程组可得的坐标，利用垂直可得斜率，根据点斜式可得所求直线方程. 【详解】（1）联立，解得，可得； （2）设，则的中点， 则，解得， 又，所以边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在直线方程为，即. 【点睛】关键点点睛：求出点的坐标是求出边上的高所在直线方程的关键，设，利用直线的方程和的中点坐标满足的方程可解得点的坐标. 16. 如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面． （1）证明：平面平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为侧面是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明即可. （2）方法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 方法二：根据平面平面得到直线在平面内的射影即直线，进而即为所求角，结合正弦定理求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：如图，以C为坐标原点，CA，，CB所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则，即，取，得． 设直线与平面所成的角为θ， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 方法二：设与的交点为O，连接OB， 因为平面平面，所以直线在平面内的射影即直线， 则即为直线与平面所成的角． 因为，四边形是正方形，所以，． 又， 所以，． 所以． 在中，由正弦定理可得， 即，解得， 即直线与平面所成角的正弦值为． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，． （1）若为的中点，证明：平面． （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）如图，的中点，连接，， 在中，，分别为，的中点， ∴且，又且， ∴且，∴四边形是平行四边形， ∴，又平面，平面， ∴平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先构造平行四边形，再利用线面平行判定定理证明即可. （2）先取的中点，建立空间直角坐标系，再分别求出两个面的法向量，最后利用二面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 取的中点为，连接，作， 又已知平面，所以两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，， ，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设平面与平面所成的角为， 则，由同角三角函数的基本关系得， 故二面角的正弦值为． 18. 平面直角坐标系xOy中，点，圆与轴正半轴交于点. （1）求过点且斜率为1的直线被圆截得的弦长； （2）求过点与圆相切的直线方程： （3）过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线，的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 【答案】（1） （2）和. （3） 【解析】 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，然后根据半径、圆心到直线的距离、半弦长之间的关系求解出弦长； （2）先直接分析直线斜率不存在的情况，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求解出切线方程，由此结果可知； （3）设以及直线的方程，联立直线与圆的方程，得到坐标的韦达定理形式，然后将化简至用韦达定理表示的形式，代入计算可得结果. 【小问1详解】 过点斜率为的直线方程为， 圆心到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为. 【小问2详解】 圆的圆心为，半径为3， 若过点的直线垂直于轴，则方程为，显然与圆相切，符合题意； 若过点的直线不垂直于轴，设直线的斜率为， 则直线方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以切线方程为； 综上所述，切线方程为和. 【小问3详解】 由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立，得， 设，则， 且， 所以 ， 所以是定值，定值为． 19. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为． （1）过点的直线被曲线所截得的线段长为，求直线的方程； （2）过作直线与曲线交于，两点，中点为，求的最值； （3）已知点为圆上任意一点，过点向曲线作切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）的最大值：，的最小值：. （3）当时，为定值，当时，为定值 【解析】 【分析】（1）使用几何法求直线与圆弦长问题，计算直线的斜率求解； （2）通过圆的定义确定点的轨迹，得出点的轨迹方程，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题求解； （3）设，使用解析法计算定值求解. 【小问1详解】 设，由，得，即， 曲线的方程为，即曲线是以为圆心，2为半径的圆， 当直线斜率不存在时，直线方程为：，直线被曲线所截得的线段长为，符合题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为：， 圆心到直线的距离为：，则，解得，即，，此时直线方程为：，即， 所以直线的方程为：或. 【小问2详解】 设，由题意知，即，则点的轨迹是以为直径的圆， 中点为，，所以圆半径为，点的轨迹方程为：， 的最大值：，的最小值：. 【小问3详解】 设，则，即， ， 设，， 设，则， 即对满足的所有恒成立， 则有，解得或， 所以当时，，当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $