精品解析：甘肃省平凉市第四中学2025--2026学年上学期九年级11月期中数学试卷

平凉四中2025—2026学年第一学期第二阶段考试题（卷） 九年级数学（150分） 命题人：史亚明 程消 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，点A，B，C在上，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 正六边形的半径为4，则该正六边形的边心距是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 如图，内接于，点在上，连接，若，则的直径为（ ） A. 12 B. C. 6 D. 8. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是的内接四边形，四边形为平行四边形，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边的边长为，直线l经过点A且直线，直线l从点A出发沿以的速度向点C移动，直到经过点C即停止，直线l分别与或交于点M，与交于点N，若的面积为，直线l的移动时间为，则下面最能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图所示是“光盘行动”的宣传海报，图中的餐盘与筷子可看成圆和直线，它们的位置关系是______． 12. 若二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是_______． 13. 平面直角坐标系中，点P(-2，1)绕点O(0，0)顺时针旋转90°后，点P的对应点将落在第______象限． 14. 如图，、分别切于、，，是劣弧上的点（不与点、重合），过点的切线分别交、于点、．则的周长为______． 15. 的三边分别为6，8，10，则内切圆的半径为_____． 16. 在中国历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，它们经常和其它汉字来搭配命名，如化学中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，如图为有机物甲烷、乙烷、丙烷的分子结构图，请你依照规律，推测出壬烷中“”的个数为________． 三、解答题（共计6道题，总分46分） 17. 用适当的方法解方程： （1） （2） 18. 如图，在中，． （1）求作：的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求的面积． 19. 已知：如图，点A，B，C是平面直角坐标系中的三个点，将△ABC向右平移3个单位长度． （1）请画出平移后的图形△A1B1C1； （2）再将△A1B1C1绕原点O旋转180°，请画出旋转后的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标为 ． 20. 已知关于的一元二次方程． 若等腰三角形的底边长为，且腰长恰好是这个方程的根，求该三角形的周长． 21. 如图，在中，是直径，是弦，，垂足为P，若．求的长． 22. 某超市销售一批精装玩偶，平均每天能售出20个，每个盈利15元．为了扩大销售、增加盈利及尽快减少库存，超市决定采取适当的降价措施，经调查发现，当每个玩偶每降价1元时，平均每天可多售出4个．超市要想使这批玩偶的销售利润平均每天达到396元，每个玩偶应降价多少元？ 四、解答题（共计5道题，总分50分） 23. 如图所示，的直径为，弦为，的平分线交于D，求，的长． 24. 如图，正方形的边长为6，E，F分别是，边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 25. 3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即米），最高点距地面4.5米．如图所示，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带、的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 26. 如图，中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为． （1）求证：为的切线； （2）若半径为5，，求的长． 27. 如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点，点C为中点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点C作，垂足为H，交抛物线于点E，求线段的长； （3）点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．如图2，当点F落在抛物线上时，直接写出点F的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平凉四中2025—2026学年第一学期第二阶段考试题（卷） 九年级数学（150分） 命题人：史亚明 程消 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式． 【详解】解：将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是． 故选：D． 3. 如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，解题的关键是掌握中心对称的性质． 根据中心对称的性质进行求解即可． 【详解】解：∵和关于点O成中心对称， ∴， ∴， 故选项A，C正确， 根据对顶角相等得， 故选项B正确． 故选：D． 4. 如图，点A，B，C在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半是解题的关键． 直接运用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 5. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据方程根的情况求参，根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据方程有两个实数根得到，然后解关于的不等式即可． 【详解】解：对于方程， 其根的判别式为：， ∵方程有两个实数根， ∴， 即， 解得， 故选：B． 6. 正六边形的半径为4，则该正六边形的边心距是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的性质，掌握正六边形可以分成六个等边三角形是解题关键．由题意可知，是等边三角形，过点作于点，则，再利用勾股定理求出的长，即为该正六边形的边心距． 【详解】解：如图，正六边形可以分成六个等边三角形，即是等边三角形， 正六边形的半径为4， ， 过点作于点， ， ， 即该正六边形的边心距是， 故选：B 7. 如图，内接于，点在上，连接，若，则的直径为（ ） A. 12 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理和直角三角形的性质，连接，由，可得为的直径，当，可得，在中，，则，故可得解． 【详解】解：连接，如图， ∵，即， ∴为的直径， ∵所对的圆周角是， ∴ 在中，， ， 故选：A． 8. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 9. 如图，四边形是的内接四边形，四边形为平行四边形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键． 利用“圆内接四边形的对角与圆心角的关系”，结合平行四边形中，通过圆周角定理，最终求出的度数． 【详解】四边形是的内接四边形， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ． 故选：B． 10. 如图，等边的边长为，直线l经过点A且直线，直线l从点A出发沿以的速度向点C移动，直到经过点C即停止，直线l分别与或交于点M，与交于点N，若的面积为，直线l的移动时间为，则下面最能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识，根据直线的位置分两种情况讨论是解题关键．过点作于点，先求出，，，再分两种情况：①和②，利用相似三角形的判定与性质可求出与之间的函数关系式，然后根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】解：过点作于点， ∵等边的边长为， ∴，， ∴， ， 直线， ， 由题意得：， ， 如图1，当时， ， ，即， 解得，此函数图象是开口向上的抛物线的一部分； 如图2，当时， ， ，即， 解得， ，此函数图象是开口向下的抛物线的一部分； 观察四个选项可知，只有选项C符合题意， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图所示是“光盘行动”的宣传海报，图中的餐盘与筷子可看成圆和直线，它们的位置关系是______． 【答案】相交 【解析】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，已知O的半径为r，圆心O到直线的距离是d，当时，直线和圆相离，当时，直线和圆相切，当时，直线和圆相交． 【详解】解：把餐盘看成圆，餐盘的圆心到筷子的距离为d． ∴， ∴直线和圆相交， 故答案为：相交． 12. 若二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，是解答本题的关键． 观察图象，x轴下方的图象所对应的x轴上的部分即是的解集． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，与x轴交于两点， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 13. 平面直角坐标系中，点P(-2，1)绕点O(0，0)顺时针旋转90°后，点P的对应点将落在第______象限． 【答案】一 【解析】 【分析】画出点绕点顺时针旋转后的对应点即可判断． 【详解】观察图象可知：点绕点顺时针旋转后的对应点在第一象限． 故答案是：一 【点睛】本题考查旋转变换，坐标与图形变化，解题的关键是理解题意，正确画出图象解决问题． 14. 如图，、分别切于、，，是劣弧上的点（不与点、重合），过点的切线分别交、于点、．则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题重点考查切线的性质，圆的切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，熟练掌握定理是解题的关键． 根据切线长定理得到，即可求出的周长，即可完成求解． 【详解】解：∵、分别切于、， ∴， ∵过点的切线分别交、于点、， ∴， ∴的周长 ． 故答案为：16． 15. 的三边分别为6，8，10，则内切圆的半径为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】找到内切圆与的切点，连接，得到正方形，求出的长即为圆的半径． 【详解】解：如图， 圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F，连接， 则，，． 由切线长定理，可知， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、勾股定理的逆定理，构造正方形是解题的关键． 16. 在中国历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，它们经常和其它汉字来搭配命名，如化学中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，如图为有机物甲烷、乙烷、丙烷的分子结构图，请你依照规律，推测出壬烷中“”的个数为________． 【答案】20 【解析】 【点睛】本题考查图形类规律探究，解答本题的关键是明确题意，发现“”的个数的变化特点． 根据题目中的图形，可以发现“”的个数的变化特点，然后即可写出癸烷分子结构式中“”的个数． 【详解】解：由图可得， 甲烷分子结构式中“”的个数是； 乙烷分子结构式中“”的个数是； 丙烷分子结构式中“”的个数是； ， 可以总结出规律：对于n烷（n为天干顺序数），其分子中 “H” 的个数为． ∵“壬” 是十天干中的第9个，即． ∴壬烷分子结构式中“”的个数是：； 故答案为：20． 三、解答题（共计6道题，总分46分） 17. 用适当的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）用直接开平方法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得：，． 18. 如图，在中，． （1）求作：的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，三角形外接圆的定义，勾股定理，掌握直角三角形外接线圆心为斜边中点时解题的关键． （1）作出的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，为半径画圆，即为所求； （2）先根据勾股定理求出，进而得出，最后根据圆的面积公式，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴根据勾股定理可得， ∴， ∴的面积． 19. 已知：如图，点A，B，C是平面直角坐标系中的三个点，将△ABC向右平移3个单位长度． （1）请画出平移后的图形△A1B1C1； （2）再将△A1B1C1绕原点O旋转180°，请画出旋转后的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标为 ． 【答案】（1）作图如图所示； （2）作图如图所示，旋转后点B2的坐标为（-2，-4）， 故答案为：（-2，-4）． 【解析】 【分析】（1）按照向右平移，每个点的横坐标都增加3的规律平移即可； （2）将△A1B1C1的三个顶点分别绕点O旋转180°，得到对应点A2、B2、C2，然后顺次连接各点即可． 【详解】略 【点睛】本题考查平面直角坐标系中的平移和旋转的应用，掌握平移和旋转的含义和方法是本题解题关键． 20. 已知关于的一元二次方程． 若等腰三角形的底边长为，且腰长恰好是这个方程的根，求该三角形的周长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，等腰三角形的性质，熟练掌握根的判别式是解题的关键；据题意可得方程有两个相等的实数根，从而得到的值，即可求解． 【详解】解：∵腰长恰好是这个方程的根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， ∴，此时方程即为， 解得， 经检验：能构成三角形， ∴该三角形的周长为． 21. 如图，在中，是直径，是弦，，垂足为P，若．求的长． 【答案】8 【解析】 【分析】连接，求出的长，再根据垂径定理可得，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 22. 某超市销售一批精装玩偶，平均每天能售出20个，每个盈利15元．为了扩大销售、增加盈利及尽快减少库存，超市决定采取适当的降价措施，经调查发现，当每个玩偶每降价1元时，平均每天可多售出4个．超市要想使这批玩偶的销售利润平均每天达到396元，每个玩偶应降价多少元？ 【答案】每个玩偶应降价6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键．设每个玩偶应降价元，可使超市销售利润平均每天达到396元，然后根据“当每个玩偶每降价1元时，平均每天可多售出4个”，结合每天利润每个的利润卖出的个数，列出方程，即可求解． 【详解】解：设每个玩偶应降价元，可使超市销售利润平均每天达到396元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 因要尽快减少库存，故，经检验，符合题意． 答：每个玩偶应降价6元． 四、解答题（共计5道题，总分50分） 23. 如图所示，的直径为，弦为，的平分线交于D，求，的长． 【答案】， 【解析】 【分析】根据直径所对的角是，判断出和是直角三角形，根据圆周角的平分线交于D，判断出为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出具体值． 此题考查圆周角问题，解答此题要抓住两个关键， 判断出和是直角三角形，以便利用勾股定理； 判断出线段，然后将各种线段转化到直角三角形中利用勾股定理解答． 【详解】解：是直径， ， 在中，，，， ， ， 又平分， ， ， ， 又在中，， ， ． 24. 如图，正方形的边长为6，E，F分别是，边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：在正方形中，有，，， 根据旋转的性质，可知：， ∴，，， ∴， ∴点、、共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）证明即可得解； （2）设，可得，，进而可得，，在中，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，有， ∴， 解得，即． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握旋转的性质是解答本题的关键． 25. 3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即米），最高点距地面4.5米．如图所示，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带、的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）设，把点A的坐标代入求解即可； （2）把代入（1）中所求表达式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，， 设， 代入，得， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∴， 答：两条彩带之间的水平距离为米． 26. 如图，中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为． （1）求证：为的切线； （2）若半径为5，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30度直角三角形，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）连接，根据等边对等角的性质，推出，进而得到，即可证明得到结论； （2）证明和是等边三角形，从而得出，，再根据锐角三角函数求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：半径为5， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，，， ∴， ∴ ． 27. 如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点，点C为中点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点C作，垂足为H，交抛物线于点E，求线段的长； （3）点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．如图2，当点F落在抛物线上时，直接写出点F的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到点的对称性、平行四边形的性质等． （1）由待定系数法即可求解； （2）由中点坐标公式得点，即可求解； （3）由在右侧作平行四边形，可得，得到点为与抛物线的一个交点，位于右边的点，当时，，则，即可求解． 【小问1详解】 解：∵顶点， ∴， 将点A的坐标代入上式得：， 解得：， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∵点C为中点， ∴点， 当时，， 则； 【小问3详解】 解：由（2）知，， ∵在右侧作平行四边形， ∴， ∴点为与抛物线的一个交点，位于右边的点， 当时，， 则， ∵点位于点右边， ∴， 即点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $