精品解析：广东汕头市潮阳区 联考2026-2027学年九年级上学期10月期中数学试题

2026～2027学年度第一学期 九年级数学科阶段训练（O） （内容：25.1～27.3） 说明：1．全卷共4页，考试用时120分钟，满分为120分． 2．请将答案写在答题卷相应的位置上． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 将一元二次方程化成一般形式后，则二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 方程的解为（ ） A. B. ， C. ， D. ， 4. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，线段端点的坐标为，，其中，反比例函数的图象交线段于点P．当时，m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 6. 已知二次函数（a、b为常数，），若其图象上有两点，，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 7. 如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x 的一元二次方程的两实数根之积等于，则 m的值为（ ） A. 0 B. C. 10 D. 0 或10 9. 如图，的两点在反比例函数的图象上，过作轴于点，交于点．若为的中点，则的面积是（ ） A. B. C. 6 D. 5 10. 如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知函数，当时，___________． 12. 设函数与y=x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），则的值为　　　　　　． 13. 如图，某停车场的长为，宽为．停车场内过道的宽度相等，若停车位的占地面积为，求过道的宽度，设过道的宽为，根据题意所列方程为___________； 14. 已知实数a、b满足，，则___________． 15. 已知二次函数（a、b均为常数，且）的顶点坐标为，当时，该二次函数的最大、最小值分别为m、n，则的值为___________. 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 用适当方法解下列方程：． 17. 先化简，再求值：，其中是方程的解． 18. 已知二次函数（m为非零常数）经过点．若此二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求的值． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个根分别为、，求的值． 20. 某公司生产手机零件，其在某一年中的生产数量y(万件)与生产月份x之间的变化如图所示，生产前期是反比例函数图象的一部分，为了适应市场的变化进行技术改造后， 变为一次函数图象的一部分， 根据题目所给出的条件，回答下列问题： （1）求这一年中该公司手机零件的生产数量y(万件)与生产月份x之间的函数解析式； （2）求该企业月生产数量没达到200万件的月份． 21. 一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． （1）已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ （2）随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，双曲线与直线的图象交于点，点B，直线AB与x轴交于点C，动点P在线段AC上，过点P分别作轴，轴交双曲线于点N，交x轴于点M，连接MN． （1）求k的值及点B的坐标； （2）求的最大值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使． ①求点P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期 九年级数学科阶段训练（O） （内容：25.1～27.3） 说明：1．全卷共4页，考试用时120分钟，满分为120分． 2．请将答案写在答题卷相应的位置上． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 将一元二次方程化成一般形式后，则二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 原方程为 ， 将方程移项整理为一般形式得 ， 其中二次项为 ，一次项为 ，常数项为 ，符合题意 ∴ 二次项系数为 ，一次项系数为． 2. 二次函数的图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为，求出该二次函数的顶点坐标，再根据坐标符号判断顶点所在象限即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为，可变形为，符合顶点式的形式， ∴该二次函数图象的顶点坐标为， ∵顶点横坐标，纵坐标，符合第二象限内点的坐标特点， ∴顶点在第二象限． 3. 方程的解为（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．可通过因式分解法解方程，注意不能直接约去含未知数的因式，避免漏根． 【详解】解：， ， ， 或， ，． 4. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将原方程整理为一般形式得． ∵该一元二次方程有实数根， ∴，即， 整理得， 解得． 5. 如图，在平面直角坐标系中，线段端点的坐标为，，其中，反比例函数的图象交线段于点P．当时，m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得点P为线段的中点，从而得到点，即可求解． 【详解】解：∵， ∴点P为线段的中点， ∵线段端点的坐标为，， ∴点， 把点代入得： ， 解得：． 6. 已知二次函数（a、b为常数，），若其图象上有两点，，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】A、 B两点的纵坐标相等，因此两点关于二次函数的对称轴对称，先求出二次函数的对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的中点，计算得到m的值． 【详解】解：由题意得，二次函数的对称轴为直线 ， ∵二次函数的图象上有两点，， ∴点A和点B关于对称轴对称， ∴， ∴． 7. 如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象可得二次函数的图象与轴有两个交点，可得；二次函数的图象与轴交在负半轴，可得；当时，，对比图象可得；由对称轴可得，当时，，根据图象即可判断． 【详解】解：根据图象可得二次函数的图象与轴有两个交点， ，即，故A正确； 二次函数的图象与轴交在负半轴， 可得，故B正确； 当时，， 对称轴为直线， 当时和当时，函数值相等， 根据图象当时，， ，故C正确； ， ， 当时，， 根据图象当时，， ，故D错误． 8. 已知关于x 的一元二次方程的两实数根之积等于，则 m的值为（ ） A. 0 B. C. 10 D. 0 或10 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之积，结合题意列方程求解，再根据方程有两个实数根，利用判别式检验，舍去不符合题意的解． 【详解】解：∵ 一元二次方程两根之积为， 由题意得， 整理得， 解得， ∵ 方程有两个实数根， ∴， 当时，，此时方程无实数根，舍去， 当时，，符合题意， ∴的值为． 9. 如图，的两点在反比例函数的图象上，过作轴于点，交于点．若为的中点，则的面积是（ ） A. B. C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】设，则可求得点和点的坐标，推出的长，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：设， 为的中点， ， 轴， 点的纵坐标为， 点在反比例函数上， ， ，点到的距离为， ． 10. 如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知函数，当时，___________． 【答案】1 【解析】 【分析】将给定的自变量取值代入函数解析式，按有理数运算法则计算对应的函数值即可． 【详解】解：将代入函数表达式 得 ． 12. 设函数与y=x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），则的值为　　　　　　． 【答案】-1 【解析】 【分析】把点的坐标代入两函数得出ab=1，b-a=-1，把化成，代入求出即可， 【详解】解：∵函数与y=x﹣1的图象的交点坐标为（a，b）， ∴ab=1，b-a=-1， ∴==， 故答案为：−1. 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握函数图像上点的意义是解题的关键. 13. 如图，某停车场的长为，宽为．停车场内过道的宽度相等，若停车位的占地面积为，求过道的宽度，设过道的宽为，根据题意所列方程为___________； 【答案】 【解析】 【分析】根据“停车位的占地面积为”列方程即可． 【详解】解：设过道的宽为，根据题意所列方程为． 14. 已知实数a、b满足，，则___________． 【答案】2或 【解析】 【分析】a、b满足同一个形式的一元二次方程，需分、两类情况计算，时可借助根与系数的关系化简所求代数式． 【详解】解：∵实数a、b满足，， ∴a、b是一元二次方程的两个根， 1. 当时， ∵ 方程的两根乘积为，故均不为0，分式有意义， ∴ 2. 当时， ∵ 是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴ 根据根与系数的关系，，， 对所求代数式通分变形： ， 代入数值计算： ， 综上所述，所求式子的值为2或． 15. 已知二次函数（a、b均为常数，且）的顶点坐标为，当时，该二次函数的最大、最小值分别为m、n，则的值为___________. 【答案】0 【解析】 【分析】已知二次函数的常数项与顶点坐标，通过待定系数法求出函数解析式，结合抛物线开口方向、对称轴与给定x的取值范围的位置关系，确定给定x的取值范围内的最大值m和最小值n，进而计算的值． 【详解】解：∵二次函数（为常数，）的顶点坐标为 ∴列方程组． 解得． ∴二次函数的解析式为． ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 则在范围内，自变量的值到对称轴的距离越远，对应的函数值越小． ∵，， ∴当时，函数取得最小值． 代入计算得． ∵开口向下的抛物线顶点为最高点，且顶点横坐标在范围内， ∴当时，函数取得最大值． ∴． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 用适当方法解下列方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：去括号得， 整理得， 因式分解得， 开方得， 所以． 17. 先化简，再求值：，其中是方程的解． 【答案】，． 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则化简原式，再解一元二次方程得到的可能取值，根据分式有意义的条件排除使分母为零的，最后代入化简式计算即可得到结果． 【详解】解： 解方程得， ∵原分式有意义时分母不能为， ∴， ∵是方程的解 ∴ 将代入得：原式． 18. 已知二次函数（m为非零常数）经过点．若此二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求的值． 【答案】15 【解析】 【详解】解：二次函数（m为非零常数）经过点． 则有， ∴， ∴， 当时，得：， 解得：或； 当时，得：， ∴，点C坐标为， ∴． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个根分别为、，求的值． 【答案】（1）证明：∵关于的一元二次方程， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根； （2）关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵该方程的两个根分别为、， ∴，，， ∴， ∴ ． 20. 某公司生产手机零件，其在某一年中的生产数量y(万件)与生产月份x之间的变化如图所示，生产前期是反比例函数图象的一部分，为了适应市场的变化进行技术改造后， 变为一次函数图象的一部分， 根据题目所给出的条件，回答下列问题： （1）求这一年中该公司手机零件的生产数量y(万件)与生产月份x之间的函数解析式； （2）求该企业月生产数量没达到200万件的月份． 【答案】（1）； （2）4、5、6月份，该企业月生产数量没达到200万件． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用． （1）分当和时，分别利用待定系数法求解即可； （2）分别求得当时，的值，由题意结合图象得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：当时，是反比例函数， 设其函数解析式为， 由题意得在反比例函数图象上， 则， ∴函数解析式为， 当时，， 当时，是一次函数， 设其函数解析式为， ∴，解得， ∴其函数解析式为， 综上，生产数量y(万件)与生产月份x之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，，解得， 当时，，解得， ∴没达到200万件时，， ∴4、5、6月份，该企业月生产数量没达到200万件． 21. 一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． （1）已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ （2）随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 【答案】（1）这三天票房的平均增长率为； （2）扛标旗单价上涨了2元或5元． 【解析】 【分析】（1）设这三天票房的平均增长率为，根据题意列方程解答即可； （2）设单价上涨了元，根据题意列方程解答即可． 【小问1详解】 解：设这三天票房的平均增长率为 解得：， （舍去） 答：这三天票房的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设单价上涨了元， 解得：， 答：扛标旗单价上涨了2元或5元． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，双曲线与直线的图象交于点，点B，直线AB与x轴交于点C，动点P在线段AC上，过点P分别作轴，轴交双曲线于点N，交x轴于点M，连接MN． （1）求k的值及点B的坐标； （2）求的最大值． 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】（1）先根据待定系数法求，继而得到双曲线的表达式，利用图像交点列出分式方程求解即可得点的坐标； （2）设点，先求出，再用三角形面积公式得到的函数，继而计算其最大值． 【小问1详解】 解：点在上， ， ， ， 把代入双曲线，得 ， 双曲线的表达式：， 与的图象交于点， ， 解得， 经检验，两个根都满足题意， ， 的横坐标为， 的纵坐标为， 即． 【小问2详解】 解：设点， 轴，轴， ， 在上， ， 即， ， ， ， 即 ， ，对称轴， 当时，的最大值是2． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使． ①求点P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①点P的坐标为；②存在，点M的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别求出点C的坐标，利用求出点A的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）①设点P的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，用含a的式子表示出点E的坐标，用含a的式子表示出和的长度，由，得到关于a的方程，求得a的值，即可得到点P的坐标； ②设点M的坐标为，分别求得、、的长度，根据是以为直角边的直角三角形，所以可分为两种情况：一是为斜边，二是为斜边，利用勾股定理列出关于m的方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线与抛物线交于点， ∴点坐标为， 把点、坐标代入解析式 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：①∵是直线上方的抛物线上一点 ∴设点的坐标为 设直线解析式： 将点、坐标代入解析式，得 解得： ∴ ∵轴于，交于点，如图， ∴点坐标为 ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）， 当时， ∴点坐标是 ②∵点M在直线上， ∴设点M的坐标为 ∵点，点， ∴， ∵为以为直角边的直角三角形， Ⅰ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， Ⅱ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴ ∴点M的坐标为 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $