上册广东深圳市龙岗区道远学校2026-2027学年北师大版九年级数学期中模拟试卷（范围第1～第4章）
2026-2027学年第一学期九年级期中考试数学模拟试卷（考察范围第1-第4章）
满分：100分 考试时长：90分钟
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．2025年5月 29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组制作了一个航天器模型，其中某个部件使用 3D打印完成如图所示，其俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若长度分别为2，3，x，6的四条线段依次成比例，则x的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．将一元二次方程
化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（ ）
A．3，5 B．3，
C．
， D．
，
4．如图1为某建筑结构施工图，其中
，
，
，
，
为一组平行线，每相邻两条平行线之间的距离如图所示，线段
分别交、、于点
，
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
图1 图2 图3
5．关于一元二次方程
的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．如图2，小区广场有一块矩形休闲草坪
，为方便居民散步，物业沿矩形草坪两条对角线修了小路，
，两条对角线交于点
．工人测量出
，草坪短边
长
米，请问对角线小路的长是多少米（ ）
A．
米 B．
米 C．
米 D．
米
7．蝶几图即明代时期的七巧板，它是以正方形为模分割为如图3所示的图形，其中“闺”为等腰直角三角形，点E，F分别是正方形ABCD中边AD，AB上的中点，点G为EF的中点．若正方形ABCD的边长为8，则“闺”的斜边GF的长为（ ）
A．
B．2 C．
D．4
8．如图4，已知在菱形中，
，则四边形
的面积与菱形的面积的比值为（ ）
A．
B．
C． D．
图4 图5 图6 图7
二、填空题（每小题3分，共15分）
9．一元二次方程
的一个根为a，则
的值是________
10．校园里一片小小的枫树叶也蕴含着“黄金分割”，如图5，A，P，B点共线，点P为的黄金分割点（
）若
，则
的长为______
．
11．新定义定义新运算：
，例如： 
，则方程 
的解为_________．
12．如图6，阳光下一根长
的木棒在地面上的影子
长为
，此时旗杆
的影子有一部分落在距离旗杆
的墙
上，旗杆的影子落在墙上的高度
为
，则旗杆的高度为___________
．
13．如图7，正方形的边长为4，点
是对角线上一点，连接
，将线段绕点逆时针旋转
得到
，连接
，点
为中点，
，垂足为
，若
，则
_____．
三、解答题（共61分）
14．（4+4=8分）用适当的方法解下列一元二次方程．
(1)
(2)
15．（3+2+2=7分）在如图的方格纸中，
与
是以点P为位似中心的位似图形．
(1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标____________；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画出的一个位似
，使它与的位似比为
．
(3)在内有一点
，按（2）的方式得到的对应点
的坐标是__________．
16．（4+4=8分）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线
与
相交于点，与相交于点．连接
，
．
试卷第1页（共1页）
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(1)求证：四边形
是菱形；
(2)若
，
，求
的长．
17．（4+3=7分）图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线
平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点
与经过凸透镜中心的光线交于点
，其中四边形
是矩形，
，
．
(1)将长为15厘米的蜡烛进行移动，使物距
为30厘米，光线
传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距
为12厘米，求像的长度．
(2)在（1）的条件下，已知光线平行于主光轴
，经过凸透镜折射后通过焦点，则凸透镜焦距
的长为__________厘米．
18．（2+3+4=9分）如果关于x的一元二次方程
（a，b，c均为常数，
）有两个实数根，且其中一个根比另一个根的2倍大1，则称这样的方程为“倍邻根方程”．
(1)判断方程
（填“是”或“不是”）“倍邻根方程”
(2)若一元二次方程
是“倍邻根方程”，求k的值．
(3)若一元二次方程
（b为常数）是“倍邻根方程”，求证：
．
19．（3+3+4=10分）我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据：学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示）
学习时间（分钟） | … |
|
|
| … |
学习效率 | … |
|
|
| … |
记录学习效率时，每
分钟为一个记录单元．
(1)求分钟到
分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率和
的值；
(2)研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加分钟，学习效率值下降
．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能．
①求学习时间为分钟的学习效能；
②恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，试求当小明同学的学习效能为的时候，他当晚的作业时间是多少．
20．（3+3+3+3=12分）【材料理解】
素材1：凸多边形是指多边形总在其任意一条边所在直线的同一侧（北师大数学七年级上册教材P128）．
例：如图1，四边形是凸四边形，四边形
不是凸四边形．
素材2：过多边形的一个顶点的线段把该多边形分成相似的两部分，则称该多边形为“顶似多边形”，这条过顶点的线段称为“顶似线”．
【特例感知】
如图2，在等腰
中，
，
，则是“顶似三角形”．
分析：________
________，相似比是________．
则等腰是“顶似三角形”，是它的“顶似线”．
(1)请补充以上分析过程中横线上的内容．
【问题解决】
(2)如图3，在
中，
，
是“顶似三角形”吗？请证明你的结论．
【拓展延伸】
(3)如图4，在
中，
，
，
．
①直接写出：
________，
________，的面积为________；
②凸四边形
是“顶似四边形”，它的唯一一条“顶似线”过点M．请在的基础上，用直尺作出凸四边形，并求出它的面积．
试卷第2页（共1页）
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2026-2027学年第一学期九年级期中考试数学模拟试卷（考察范围第1-第4章）班级 姓名
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项涂在答题卡上）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
答案 |
|
|
|
|
|
|
|
|
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）
题号 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
答案 |
|
|
|
|
|
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（4+4=8分）用适当的方法解下列一元二次方程．
(1) (2)
15．（2+4+2=8分）
(1)写出点P的坐标为______；
(2)
(3)对应点的坐标是__________．
16．（4+4=8分）(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
17．（4+3=7分）
(1)
(2) 凸透镜焦距的长为__________厘米．
18．（2+3+4=9分）
(1)方程 （填“是”或“不是”）“倍邻根方程”
(2)若一元二次方程是“倍邻根方程”，求k的值．
(3)若一元二次方程（b为常数）是“倍邻根方程”，求证：．
试卷第3页（共1页）
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由根与系数的关系得
，
∴
解得
，
∴
，
∴
；
(3)证明：设方程的两根为
、
，且
，
由根与系数的关系得，
，
，
将代入得，
，
∴
，
将代入得，
，
∴
，
把代入上式得，
．
19．（1）解：设分钟到分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率为
，
由题意可知，
， 解得
，
（负值舍去），
∴平均增长率为
，
∴
；
（2）解：①
，
， ∴学习时间为分钟的学习效能为
；
②设作业时间为
分钟，
由题意可知，学习效率为
，
∴
，
整理，得
，
解得
，
，
∵
，
∴
．
答：小明同学当晚的作业时间是
分钟．
20．(1)
，
，
(3)【详解】（1）解：∵在等腰中，，，
∴
，
，
，
∴
，相似比是
；
∴等腰是“顶似三角形”，是它的“顶似线”．
(2)是“顶似三角形”，证明如下：
如图，作
于点
，则
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴是“顶似三角形”；
（3）解：①如图，作
于点
，则
，
∵，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
，
∵
，，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴的面积为
；
②当
时，作
于点
，
则
，
，
∵，
∴
为等腰直角三角形，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴此时凸四边形的面积为
；
如图，当
时，作
于点
，
则
，
，
∵，
∴
为等腰直角三角形，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴此时凸四边形的面积为；
如图，当
时，作
于点
，
则
，
，
∵，
∴
为等腰直角三角形，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
答案第2页（共1页）
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