期中考试模拟培优卷（范围：第25-28章）2026-2027学年九年级数学上册（人教版，长沙市专用）

2026-2027学年人教版九年级上学期期中模拟卷 数学培优卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级数学上册第25~28章。 一﹑选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．近年来，“博物馆热”持续升温，博物馆作为生动的历史教科书成为文旅新宠．下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、该选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、该选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 2．已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（     ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【详解】解：把，代入， 得， 解得． 3．一元二次方程的根的情况为（     ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 4．对于二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线 C．时，随x的增大而减小 D．顶点坐标 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而减小， ∵，即在范围内， ∴时，随的增大而减小， 故A、B、D选项错误，C选项正确． 5．如图，在平面直角坐标系中，点绕点O逆时针旋转后得到点绕点O逆时针旋转后得到点，以此类推，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质得到每旋转4次一个循环，即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：将点绕点O逆时针旋转得到点， ∴点，依此类推，可得，，与重合，即， ∴每旋转4次一个循环， ∵， ∴第2026次旋转结束时，点的坐标与相同， ∴点的坐标是． 6．已知点 ，， 都在反比例函数 的图象上，则 ，， 的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断的正负，确定反比例函数图象分布象限与增减性；再分象限比较函数值． 【详解】解：， ， ． 反比例函数图象在第二、四象限；在每个象限内，随的增大而增大． 点、横坐标为负，在第二象限，． ，且在第二象限内随增大而增大， ． 点横坐标为正，在第四象限， ． 综上：． 7．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中两边各开有一扇宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边的长为，则下列所列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的长，再根据面积公式列方程即可． 【详解】解：∵试验田垂直于墙的一边的长为， ∴， 则边使用篱笆长为， ∵边开有一扇宽的门， ∴， ∵面积为， ∴． 8．二次函数（，，为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③图象过点．其中正确的结论有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点坐标；根据时图象的位置判断函数值的符号； 【详解】解：由抛物线开口向下，得， 由对称轴为直线，得，即， 由抛物线与轴交点在轴上方，得， ，故①错误； 抛物线过点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为，故③正确； 由图象可知，当时，， 当时，，故②错误； 综上所述，正确的结论有1个． 9．如图，平行四边形的顶点，在函数的图象上，边与轴交于点，轴于点．若，则平行四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，得到，；根据三角形的面积公式，求出，根据点在函数图象上，求出，最后根据，求出，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，； ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 10．如图，在中，，，是边上一点，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，是的中点，连接．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可得，可得，，再由等腰直角三角形的性质可得，，从而得到，，然后在中，根据勾股定理，求得的长，再利用三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据旋转的性质得， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， 在中，， ∵是的中点， ∴． 二﹑填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如果点与点关于原点对称，那么点的坐标是______． 【答案】 【分析】平面直角坐标系中点关于原点对称的坐标特征，关于原点对称，横变号，纵也变号． 【详解】解：关于原点对称的点的坐标规律：横、纵坐标都互为相反数． 已知点，横坐标 的相反数是，纵坐标 的相反数是 ． 所以点 的坐标是 ． 12．如图，点 是反比例函数 （）在第一象限内图象上的一点，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，矩形 的面积为 6，则 的值为______． 【答案】6 【分析】设，将点横坐标代入反比例函数解析式，用横、纵坐标表示矩形邻边，列式计算面积，约分求出；结合第一象限说明为正． 【详解】设，则，， 矩形的面积． 13．二次函数的最大值为__________． 【答案】2 【分析】该二次函数为顶点式，二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点的纵坐标k即为函数的最大值． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴，，， ∴抛物线开口向下，顶点为抛物线的最高点， ∴当时，函数取得最大值，最大值为． 14．若关于 x 的方程有两个相等的实数根，则 ________． 【答案】 【分析】方程有两个相等的实数根，可得根的判别式等于0，据此列关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵对于一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，整理得，解得． 15．如图，在平面直角坐标系中，若与关于点E成中心对称，点A，B，C的对应点分别为，，，则对称中心点E的坐标是______． 【答案】 【分析】由题意可知和关于点E成中心对称，根据对应点连线经过对称中心可知连接，交于点E，即可得出答案． 【详解】解：连接，交于点E，其坐标是． 16．若二次函数的最小值为，最大值为4，则m的取值范围是____________． 【答案】 【分析】将二次函数配方得到顶点式，确定对称轴与最小值点，结合最大值对应的自变量取值，根据抛物线开口方向即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵ ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，函数的最小值为． ∵二次函数的最小值为， ∴， 令，则， 解得，， ∵抛物线开口向上，离对称轴越远的点函数值越大，且当时，对应函数值为， ∴， 综上，的取值范围为． 三﹑解答题：本题共9小题，共72分。（其中：17-19题每题6分，20-21题每题8分，22-23题每题9分，24-25题每题10分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．用适当的方法解下列一元二次方程． (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)请画出与关于轴对称的图形； (2)请画出与关于点对称的图形． 【答案】(1)解：如图，即为所求， (2)解：如图， 即为所求， 【详解】（1）略 （2）略 19．已知抛物线． (1)用配方法求顶点坐标、对称轴； (2)直接写出当取何值时，；当取何值时，；当取何值时， 【答案】(1) 顶点坐标为，对称轴为直线 (2) 当或时，； 当或时，； 当时， 【分析】（1）把抛物线的解析式整理成顶点坐标式，根据解析式即可得到抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）由抛物线的解析式可知抛物线开口向上，解方程即可求出当或时，；根据抛物线的开口向上可知：当或时，；当时，． 【详解】（1）解：， 配方得：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：抛物线中， 抛物线开口向上， 解方程， 分解因式可得：， 可得：，， 解得：，， 当或时，； 当或时，； 当时，． 20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）根据一元二次方程根和系数的关系可得，由完全平方公式可得，再代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：； （2）解：∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴． 21．如图，为等边三角形内一点，连接． (1)作出绕点顺时针旋转所得的三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按旋转作图的要求将绕点顺时针旋转得，连接即可； （2）连接，证明是等边三角形，进而证明是直角三角形，即可求得的度数． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接． 由绕点顺时针旋转所得， ． ． ， 是等边三角形． ，． ， ， 是直角三角形，且． ． 22．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若点是轴上的一点，的面积是9，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（1）根据一次函数解析式确定点，点的坐标，由此确定反比例函数的表达式； （2）根据点，点的坐标，观察图象即直线在双曲线上方的部分； （3）设，确定直线与轴的交点，则的面积等于与的面积之和，据此列式计算． 【详解】（1）解：把点、代入一次函数解析式得 ，， ，， 把代入得， 反比例函数的表达式为； （2）解：观察图象可知当或时，； （3）解：把代入得， 直线与轴的交点为， 设，则， 的面积是9， ， ， ， 或， 或， 或． 23．作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． (1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天票房的日平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有300名游客参与扛标旗项目，当扛标旗单价每上涨一元时，参与该项目的游客数量减少10人，则扛标旗单价上涨了多少元可使营收最大？最大营收是多少？ 【答案】(1)这三天票房的平均增长率为 (2)扛标旗单价上涨了11元时，营收最大为3610元 【分析】（1）设这三天票房的平均增长率为，根据题意列方程求解即可； （2）设单价上涨了元，营收为W元，根据题意列出函数关系式，再根据其性质即可求解． 【详解】（1）解：设这三天票房的平均增长率为， 由题意得， 解得，（舍去）， 答：这三天票房的平均增长率为； （2）解：设单价上涨了元，营收为W元， 则 ， ∵， ∴当时，W取最大值，最大值为， 答：扛标旗单价上涨了11元时，营收最大为3610元． 24．按要求完成以下问题 (1)【探究与思考】已知，点是等边内的任一点，连接，，．如图1所示，已知，，将绕点按顺时针方向旋转得． ①________°； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)【迁移与应用】点是等腰直角三角形内一点，且，，，连接，，，求的度数以及四边形的面积． (3)【拓展与创新】如图3，在中，，为内一点，．若，求的最小值． 【答案】(1)①；② (2)的度数为，四边形的面积 (3) 【分析】（1）①根据旋转的性质进行求解即可； ②推导出是等边三角形，得到，求出，，根据勾股定理，得到，将代入，即可解答； （2）将绕点顺时针旋转，使与重合，得，连接，推导出为等腰直角三角形，得到，，推导出，得到是直角三角形，，求出，再根据 进行求解即可； （3）将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，连接，过点作于，推导出，得到，由勾股定理，得到 ，推导出是直角三角形，得到，设，推导出，根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】（1）解：①绕点顺时针旋转得到， ； ②连接，如图 绕点顺时针旋转得到， ， 是等边三角形 ， ， 周角等于， ， 四边形内角和为， ， 是直角三角形，， ， 又， ， （2）解：将绕点顺时针旋转，使与重合，得，连接，如图 旋转得到， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， 是直角三角形，， ， ， ∴ ； （3）解：将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，连接，过点作于，如图 旋转得到 ， ， ， ， 在中， ， 由勾股定理，得 （负值已舍去）， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， 设， ， 代入得： ， 二次函数，，开口向上， 对称轴为， 当时，取得最小值， ， ． 25．如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，交轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为线段上一动点，过点作轴的垂线，分别交抛物线与直线于点，，连接，，，求四边形面积的最大值及此时的值； (3)点为轴右侧抛物线上一动点，过点作直线交直线于点，是否存在点，使以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，四边形的面积有最大值，最大值为； (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线l的函数表达式为，根据题意可得，则，可求出，据此可得答案； （3）由，可得以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，是该平行四边形的一组对边；据此分两种情况：当四边形是平行四边形时，则点A平移到点C的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同，当四边形是平行四边形时，则点C平移到点A的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于，两点， ∴ ， ∴， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线l的函数表达式为， 则， ∴， ∴直线l的函数表达式为； ∵轴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：设， ∵， ∴以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，是该平行四边形的一组对边； 当四边形是平行四边形时，则点A平移到点C的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴点A向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点C， ∴点N向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点M， ∴点M的坐标为，即， ∴， 解得或， ∴当时，， 当时，，不符合题意； ∴点M的坐标为； 当四边形是平行四边形时，则点C平移到点A的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同， ∵点C向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点A， ∴点N向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点M， ∴点M的坐标为，即， ∴， 解得或， ∴当时，， 当时，，不符合题意； ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版九年级上学期期中模拟卷 数学培优卷 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：新教材人教版九年级数学上册第25~28章。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.近年来，“博物馆热”持续升温，博物馆作为生动的历史教科书成为文旅新宠.下列博物馆标志中， 既是轴对称图形又是中心对称图形的是() 自·禀煎岛 2.已知点6,4在反比例函数y=的图象上，则k的值为() A.3 B.-4 C.-12 D.6 3.一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况为() A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 y=-2(x+3)2 4.对于二次函数 的说法正确的是() A.图象开口向上 B.图象的对称轴是直线x=3 C.x>-2时，y随x的增大而减小 第1页共8页 3,0) D.顶点坐标 5.如图，在平面直角坐标系中，点1(2,3)绕点0逆时针旋转0°后得到点4,4绕点0逆时针旋转0°后 得到点，以此类推，点“的坐标是《） A A。--- -2O1 A.(32) B.（3-2) c.（-2,3) 0.(2-3) 6.已知点A(4y)B(-25)C3,)都在反比例函数y=1 的图象上，则片，为’为的 大小关系为() A.⅓3y B. c.乃yy D.⅓yy 7.某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200的矩形试验田，用来种植蔬菜.如图，试验 田一面靠墙，墙长35m,另外三面用48m长的篱笆围成，其中两边各开有一扇lm宽的门（不包括篱笆）. 设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm,则下列所列方程正确的是()， D 门 A.(48+2-x)=200 B.x(48+2-2x)=200 c.(48-2-x)=200 D.x(48-2-2x)=200 8.二次函数y=r+r+c(4,b,C为常数，且a≠0)的部分图象如图所示，图象过点 -1,0 ,对称 第2页共8页 轴为直线x=2,下列结论：①hc>0,②9a-3动+c>0:③图象过点 5,0) 其中正确的结论有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 如图，平行四边形O4BC的顶点4：B在函数yx>0)的图象上，边RC与y轴交于点D'AE OD 8 轴于点E:若AE3,则平行四边形0ABC的面积为(） 0 A.20 B.18 c.16 D.14 10.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D是BC边上一点，将△ABD绕点A逆时针旋转得到 △1CE,点B,D的对应点分别为C,E.连接DE,厂是DE的中点，连接CF.若B=4,BD=5 则线段CF的长为() 9 B V10 C v5 第3页共8页 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1.如果点P与点2-3 关于原点对称，那么点P的坐标是一。 12.加用，点B是反比例函数兰（：0在第象限内图袋上的点。过点B作1L:轴于 点A,BC1y轴于点C,矩形AOCB的面积为6，则k的值为一， 18,二次两数y=-+2的最大值为 14.若关于x的方程x2+x+4=0有两个相等的实数根，则m= 15.如图，在平面直角坐标系中，若△MBC与△4B,G 与 关于点E成中心对称，点A,B,C的对应点分别为 A BC ,则对称中心点E的坐标是一。 LR 210 6 4 5 y=x2+2x-4(m≤x≤2) 16.若二次函数 的最小值为5，最大值为4，则m的取值范围是 第4页共8页 三、解答题：本题共9小题，共72分。（其中：17-19题每题6分，20-21题每题8分，22-23题每题9分， 24-25题每题10分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.用适当的方法解下列一元二次方程。 但)r-6x+5=0 2,x+3)°=2(x+3) 18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为 (-4,1)B(-1,-1)C(-3,2) ()请画出与△AB 关于轴对称的图 △ABC 2)请画出与△ABC △A2B2C2 于点对称的图形 y=x2+2x-3 19.已知抛物线 (1)用配方法求顶点坐标、对称轴： (2)直接写出当x取何值时，y=0:当x取何值时，y>0;当x取何值时，y<0 20.已知关于x的-元二次方程+(2+)小x+=0 两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围： ②)设方程的两个实数根分别为，。，且满足+号=山，求 ,求的值 21,如图，P为等边三角形ABC内一点，连接PA,PB,PC 第5页共8页 B (1)作出△APC绕点A顺时针旋转60°所得的三角形： (2)若PA=6,PB=8,PC=10,求∠APB的度数. 22.如图，一次函数y=2x+1与反比例函数y=的图象相交于点A(2,小、B(b,-) M X B (1)求反比例函数的表达式： 2请直接写出关于x的不等式+1 1 x的解集； (3)若点P是y轴上的一点，△ABP的面积是9，求点P的坐标 23.作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭细腻的 情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛的社会共鸣.截至6月初，《给阿嬷的情书》票房已超16亿元. (1)已知5月12日至5月14日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为2100万，第三天日票房为3024 万，那么这三天票房的日平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一， 游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为8元时， 每天约有300名游客参与扛标旗项目，当扛标旗单价每上涨一元时，参与该项目的游客数量减少10人，则扛 标旗单价上涨了多少元可使营收最大？最大营收是多少？ 24.按要求完成以下问题 第6页共8页 图1 图2 图3 (1)【探究与思考】已知，点P是等边△ABC内的任一点，连接PA,PB,PC.如图1所示，已知 ∠APB=150°，∠BPC=120°，将△BPC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC. ①∠DCP=; ②用等式表示线段PA,PB,PC之间的数量关系，并证明： 2【迁移与应用】点'是等腰直角三角形1BC内点，∠4BC=90且PB=1,PC=3.PA=而 日1 连接 PA,PB,PC,求∠BPC的度数以及四边形ABCP的面积. (3)【拓展与创新】如图3，在△ABC中，AB=AC,P为△ABC内一点，∠APB=∠BAC=120°.若 AP+BP=1,求PC的最小值. 25.如图。抛物线=+r-3的图象与轴交于1(-10)，8(30)丙点，与轴交于点C,百线'与地 D(0,3) 物线交于点B,交'轴于点 图1 图2 备用图 (1)求该抛物线的函数表达式： P(m,0)为线段OB上一动点，过点P作产轴的垂线F,分别交抛物线与直线'于点B,F,连接CE, (2)点 CF,BE,求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值； (3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN‖AC交直线I于点N,是否存在点M,使以A, 第7页共8页 C,M,N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理 由. 第8页共8页