精品解析：湖南省长沙市开福区周南实验学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

湖南省长沙市开福区周南实验学校2025-2026学年上学期 九年级期中数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 三星堆遗址的发现让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，将一个图形绕着某个点旋转180度后与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是中心对称图形； B、它不是中心对称图形； C、它是中心对称图形； D、它不是中心对称图形． 故选：C． 2. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 3. 如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知这两个定理的用法是正确解答此题的关键． 根据垂径定理得出的长，根据勾股定理得，即可求解． 【详解】解：的直径垂直弦于点E，且，， ， 在中，， ， 故答案为：B． 4. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到抛物线的函数表达式为， 故选：A． 5. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某种柑橘的甜度情况 B. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 C. 调查某市垃圾分类的情况 D. 调查全班观看电影《哪吒2》的情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】解：A中，调查某种柑橘的甜度情况，全面调查工作量大，且具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意； B中，调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意； C中，了调查某市垃圾分类的情况 ，全面调查工作量大，适合抽样调查，故本选项不合题意； D中，调查全班观看电影《哪吒2》的情况，范围较小，适于全面调查，故本选项符合题意． 故选：D． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算和二次根式的加法运算，掌握相关运算法则是解题关键． 由多项式得运算逐项判断即可． 【详解】解：A：与不是同类项，无法合并，故A错误； B：，故B错误； C：根据积的乘方法则，，等式成立，故C正确； D：均非同类二次根式，无法直接相减，故D错误； 故选：C． 7. 如图，在中，，，，.沿过点的直线折叠这个三角形，使得点落在边上的点处，折痕为，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，进一步即可得出答案. 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，属于基础题目，熟知折叠的性质是关键. 8. 拉布布（）作为中国潮玩品牌泡泡玛特旗下的核心，其全球爆火不仅是一次商业奇迹，更是中国文化输出的创新范式．某商店在今年6月和8月拉布布的销售额分别是万元和万元．设今年6月到8月拉布布的销售额的月平均增长率为，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设今年6月到8月拉布布的销售额的月平均增长率为，则7月拉布布的销售额为万元，则8月拉布布的销售额为，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 9. 如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，由平行四边形性质可得，即为中点，又是的中点，所以是中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即为中点， ∵是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵，点P是的中点， ∴，即， 故选：． 10. A、B、C、D四个孩子踢球时打碎了玻璃窗，A说：“是C或D打碎的．”B说：“是D打碎的．”C说：“我没有打破玻璃窗．”D说：“不是我打破的”他们中只有一个人说了谎话，请问打碎玻璃窗的是( ) A. A B. B C. C D. D 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了推理与论证．先分别假设A说的是实话、B说的是实话、C说的是实话，D说的是实话，然后推理都得出与题设相矛盾的结论，即可得到说实话的人． 【详解】解：假设A说的是实话，“是C或D打碎的”，则C、D中有一个说了实话，一个说了谎话，所以B说的就是实话，打碎玻璃的是D，C说的也是实话，与他们中只有一个人说了谎话符合； 假设B说的是实话，则D说的也就是谎话，A、C说的也是实话，所以打碎玻璃的是D，与他们中只有一个人说了谎话符合； 假设C说的是实话，则A、B、D中有一人撒谎，若D说的是实话，则A、B两人都撒谎，所以不符合只有一人说谎，所以D说谎，故打碎玻璃的是D； 假设D说的是实话，则B说谎，所以C也说了实话，所以打碎玻璃的应是A或B，所以A也说谎，与只有一个人说了谎话矛盾，所以D说谎故都是玻璃的是D． 故选D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 【答案】x≠1 【解析】 【详解】根据题意得：x-1≠0，即x≠1. 故答案为：x≠1． 12. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是______________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是解题关键．根据方差越大，越不稳定，即可求解． 【详解】解：两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为， ， 两种小麦长势更整齐的是甲， 故答案为：甲． 13. 若是一元二次方程的解，则m的值_________. 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 把代入方程即可求解． 【详解】解：将代入得，， 解得， 故答案为：． 14. 如图，在中，弦、相交于点，，，则的大小为______（度）． 【答案】30 【解析】 【详解】欲求的度数，需求出同弧所对的圆周角的度数；中，已知了及外角的度数，可由三角形的外角性质求出的度数，由此得解．本题主要考查了三角形的外角性质和圆周角，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 【解答】解：∵是的外角， ∴； ∵，， ∴； ∴． 故答案为：30． 15. 抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的顶点坐标公式，即可得出结果． 【详解】解：的顶点坐标为； 故答案为：． 16. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为______． 【答案】##75度 【解析】 【详解】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，关键是熟练应用旋转的性质． 先根据旋转的性质得到，再由等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得到，最后由即可求解． 【解答】解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共72分，其中17、18、19题各6分，20、21题各8分，22、23题各9分，24、25题各10分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握相关幂的运算法则是解题的关键． 先计算幂的运算、负整数指数幂、零指数幂及绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 19. 如图，的顶点坐标分别为． （1）画出关于点成中心对称的； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作的三角形； （2） 解：如图，即为所求作的三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了作中心对称图形，旋转作图，解题的关键是作出对应点的位置． （1）作出点A、B、C关于点O的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）作出点A、B绕点C顺时针旋转的对应点、，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即求解即可； （2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）由题意可得： 解得： 即实数m的取值范围是． （2）由可得： ∵； ∴ 解得：或 ∵ ∴ 即的值为-2． 【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键． 21. 已知抛物线经过点A（3，0），B（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 【答案】（1）（2）（1，4） 【解析】 【详解】解：（1）∵抛物线经过点A（3，0），B（－1，0）， ∴抛物线的解析式为；，即， （2）∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）． （1）根据抛物线经过点A（3，0），B（﹣1，0），直接由交点式得出抛物线的解析式． （2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案． 22. 如图，是的外接圆，，且且恰好经过圆心． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径长． 【答案】（1） 证明：连接． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）2 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆周角定理得到，再求出，即可得到结论； （2）连接，直径所对圆周角，中，，则，可证．则，进一步得到，即可得的半径为2． 本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接． 由（1）得， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴， 即的半径为2． 23. 为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每个80元． （1）原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？ （2）在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？ 【答案】（1）原计划篮球买40个，则足球买20个 （2）篮球最多能买24个 【解析】 【分析】（1）设原计划篮球买x个，则足球买y个，根据：“恰好能够购买篮球和足球共60个、原计划募捐5600元”列方程组即可解答； （2）设篮球能买a个，则足球（80﹣a）个，根据“实际收到捐款共6890元”列不等式求解即可解答． 【小问1详解】 解：设原计划篮球买x个，则足球买y个，根据题意得： ，解得：． 答：原计划篮球买40个，则足球买20个． 【小问2详解】 解:设篮球能买a个，则足球（80﹣a）个， 根据题意得：100a+80（80﹣a）≤6890， 解得：a≤24.5， 答：篮球最多能买24个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程组和不等式． 24. 【感知】（1）如图①，点、、、均在上，点在外，点、、三点共线，，则为______度； 【理解】（2）如图②，是四边形的外接圆，连接、，点在上，，若延长到点，使，连接，请探究线段，，之间的数量关系； 【应用】（3）如图③，是的直径，点、在上，点是弧的中点，点为圆周上一动点，若，，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补，即可求解； （2）根据圆内接四边形的对角互补可得，推出，证明，得到，，推出，根据勾股定理得到，结合，，，即可求解； （3）分两种情况讨论：当点与点分别在直径的异侧时，当点与点分别在直径的同侧时，分别求得即可． 【详解】解：（1）点、、、均在上，， ， ， 点、、三点共线， ， 故答案为：； （2）是四边形的外接圆， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， 点在上， ，即， ，即， ， ，，， ， 线段，，之间的数量关系为； （3）当点与点分别在直径的异侧时，如图，连接，，，，过点作交的延长线于点， 是的直径， ， 点是弧的中点， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴； 当点与点分别在直径的同侧时，如图，连接，，，过点作交的延长线于点， 是的直径， ， 点是弧的中点， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的综合题，圆内接四边形的性质，圆周角定理，旋转的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，理解题意并学会运用是解题的关键． 25. 定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“美好函数”，该点称为“美好点”，例如：“美好函数”，其“美好点”为． （1）判断：函数 _____“美好函数”（填“是”或“不是”）； （2）若抛物线上有两个“美好点”，求m的取值范围； （3）若函数的图象上存在唯一的一个“美好点”，且当时，n的最小值为k，求k的值． 【答案】（1）不是 （2）且 （3）k的值为0或 【解析】 【分析】（1）根据“美好函数”的定义得出关于x的一元一次方程，根据解的情况即可得出结论； （2）根据题意得出关于x的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论； （3）根据题意得出关于x的一元二次方程，再判断根的判别式得n是m的一元二次函数，根据一元二次函数的性质分类讨论n的最小值，列方程求解即可：①当时，n在时有最小值为，由题意得，解得；②当时，n随着m的增大而减小，n的最小值为，无解；③当时，n随着m的增大而增大，n的最小值为，解得或（舍去），故k的值为0或． 本题主要考查了新定义，一元二次方程根的情况和一元二次函数的性质，熟练掌握利用根的判别式判断根的情况和利用一元二次函数的性质求最值是解题的关键． 【小问1详解】 解：令，方程无解， ∴函数不是“美好函数”； 故答案为：不是． 【小问2详解】 由题意得有2个解， 整理得， ∴， 解得且． 【小问3详解】 由题意得只有一个解， 整理得， ∴， 整理得， 对称轴为直线， ①当时，n的最小值为， ∵当时，n的最小值为k， ∴， ∴； ②当时，n随着m的增大而减小， ∴n的最小值为，无解； ③当时，n随着m得增大而增大， ∴n的最小值为， ∴或（舍去）． 综上，k的值为0或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市开福区周南实验学校2025-2026学年上学期 九年级期中数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 三星堆遗址的发现让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某种柑橘的甜度情况 B. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 C. 调查某市垃圾分类的情况 D. 调查全班观看电影《哪吒2》的情况 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，.沿过点的直线折叠这个三角形，使得点落在边上的点处，折痕为，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 拉布布（）作为中国潮玩品牌泡泡玛特旗下的核心，其全球爆火不仅是一次商业奇迹，更是中国文化输出的创新范式．某商店在今年6月和8月拉布布的销售额分别是万元和万元．设今年6月到8月拉布布的销售额的月平均增长率为，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 10. A、B、C、D四个孩子踢球时打碎了玻璃窗，A说：“是C或D打碎的．”B说：“是D打碎的．”C说：“我没有打破玻璃窗．”D说：“不是我打破的”他们中只有一个人说了谎话，请问打碎玻璃窗的是( ) A. A B. B C. C D. D 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 12. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是______________（填“甲”或“乙”）． 13. 若是一元二次方程的解，则m的值_________. 14. 如图，在中，弦、相交于点，，，则的大小为______（度）． 15. 抛物线的顶点坐标是__________． 16. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为______． 三、解答题（本题共9小题，共72分，其中17、18、19题各6分，20、21题各8分，22、23题各9分，24、25题各10分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，的顶点坐标分别为． （1）画出关于点成中心对称的； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的． 20. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 21. 已知抛物线经过点A（3，0），B（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 22. 如图，是的外接圆，，且且恰好经过圆心． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径长． 23. 为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每个80元． （1）原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？ （2）在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？ 24. 【感知】（1）如图①，点、、、均在上，点在外，点、、三点共线，，则为______度； 【理解】（2）如图②，是四边形的外接圆，连接、，点在上，，若延长到点，使，连接，请探究线段，，之间的数量关系； 【应用】（3）如图③，是的直径，点、在上，点是弧的中点，点为圆周上一动点，若，，求的长度． 25. 定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“美好函数”，该点称为“美好点”，例如：“美好函数”，其“美好点”为． （1）判断：函数 _____“美好函数”（填“是”或“不是”）； （2）若抛物线上有两个“美好点”，求m的取值范围； （3）若函数的图象上存在唯一的一个“美好点”，且当时，n的最小值为k，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $