精品解析：天津市滨海新区大港第一中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段性检测数学试卷

九年级数学 阶段性检测 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的方程的一个根是，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是( ) A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 4. 若，那么的值为（ ） A. 27 B. 9或 C. 或 D. 或27 5. 已知方程配方后是，那么方程配方后是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 7. 下表给出了二次函数中的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（ ） … 0.6 0.7 0.8 0.9 1 … … 0.24 0.61 1 … A. B. C. D. 8. 设A（－3，），B（－2，），C（2，）是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. >> B. >> C. >> D. >> 9. 若抛物线y=﹣x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c的值为（　　） A. ﹣16 B. 16 C. ±16 D. 8 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④；⑤（其中），其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若方程的一个根是-5，则另一根是________，m的值是___. 12. 设m、n分别为一元二次方程x2+2x﹣13＝0的两个实数根，则m2+3m+n的值为 _____． 13. 抛物线的对称轴是___________． 14. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行___________秒才能停下来，滑行的最大距离为___________米． 15. 2019年，某市番茄获得了大丰收，农民总收入从2017年的2000万元提高到今年的2420万元，设年平均增长率为x，可列方程为_____. 16. 二次函数的部分图象如图所示，有下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤对任意实数m，不等式总成立． 其中正确的结论有__________填序号 三、解答题其中：17-20题每题8分，21-22题每题10分． 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 18. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求，的值； （2）在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）如果此抛物线上下平移后过点，试确定平移的方向和平移的距离． 19. 已知关于x的一元二次方程 ． （1）求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根为p和q，且满足，求m的值． 20. 如图，要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙（墙长22m），并在BC边上开一道2m宽的门，现在可用的材料为38m长的木板． （1）若仓库的面积为150平米，求AB． （2）当仓库的面积最大时，求AB，并指出仓库的最大面积． 21. 大鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知该款童装每件成本30元，设该款童装每件售价x元，每星期销售量为件． （1）求与之间的函数关系式． （2）若商店按每件售价不超过45元，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ 22. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 阶段性检测 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，需逐一验证各选项是否符合条件． 【详解】解：选项A：，分母含，自变量次数为，不符合二次函数定义． 选项B：展开：代入得：化简后为一次函数，不符合二次函数定义． 选项C：，符合形式（，，），是二次函数． 选项D：，分母含，自变量次数为，不符合二次函数定义． 综上，正确答案为C． 故选：C． 2. 已知关于的方程的一个根是，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把x=3代入方程得一个以k为未知数的方程，解方程即可求得k值． 【详解】把x=3代入方程，得， 9－3k+1=0 解得，k=． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程解的定义是解决问题的关键， 3. 抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是( ) A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 【答案】D 【解析】 【详解】∵抛物线y=-3（x+1）2-2的顶点坐标为（-1，-2）， 平移后抛物线y=-3x2的顶点坐标为（0，0）， ∴平移方法为：向右平移1个单位，再向上平移2个单位． 故选D． 4. 若，那么的值为（ ） A. 27 B. 9或 C. 或 D. 或27 【答案】D 【解析】 【分析】先用直接开平方法解出x的值，再计算x立方即可． 【详解】， 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程、立方等知识，涉及直接开平方法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是关键． 5. 已知方程配方后是，那么方程配方后是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式展开，求出p的值，再代入求出即可． 【详解】解：∵方程配方后是， ∴， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴， 即为，配方得， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；根据题意可得，且，计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：且， 故选：A． 7. 下表给出了二次函数中的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（ ） … 0.6 0.7 0.8 0.9 1 … … 0.24 0.61 1 … A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似根，熟练掌握求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键． 【详解】解：解：由表格知，当时，； 当时，； ∴一元二次方程的一个近似解的范围为． 故选：B． 8. 设A（－3，），B（－2，），C（2，）是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. >> B. >> C. >> D. >> 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数解析式可知抛物线开口向下，且对称轴为x＝−2．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小． 【详解】∵二次函数线， ∴该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为：x＝−2． ∵A（－3，），B（－2，），C（2，）是抛物线上的三点， 而三点横坐标离对称轴x＝-2的距离按由近到远为： B（－2，），A（－3，），C（2，）， ∴>> 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性． 9. 若抛物线y=﹣x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c的值为（　　） A. ﹣16 B. 16 C. ±16 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点坐标公式和x轴上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵抛物线y=﹣x2﹣8x+c的顶点在x轴上， ∴，解得：c=﹣16． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标公式和x轴上点的坐标特征，属于基础题目，熟知抛物线的顶点坐标公式是解题的关键． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④；⑤（其中），其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由抛物线的开口方向，与轴交点的位置可得，，由对称轴为直线可得，可判断①；由抛物线与轴有2个交点，可判断②；由图象知，当时，，可判断③；再结合，可判断④；当时，有最大值，可判断⑤，即可得出结论． 【详解】解：由图象知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ，， 抛物线对称轴为直线， ，即， ，故①错误； 由图象知，抛物线与轴有2个交点， ，故②错误； 由图象知，当时，， ，即，故③错误； 又， ， ，故④正确； 由图象知，当时，有最大值， （其中）， ，故⑤正确； 综上所述，其中正确的结论有④⑤，共2个． 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若方程的一个根是-5，则另一根是________，m的值是___. 【答案】 ①. ②. -10 【解析】 【详解】∵, ∴. ∵, ∴m=-10. 12. 设m、n分别为一元二次方程x2+2x﹣13＝0的两个实数根，则m2+3m+n的值为 _____． 【答案】11 【解析】 【分析】由m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣13＝0的两个实数根，推出m+n=-2，m2+2m=13，由此即可解决问题． 【详解】解：∵m、n分别为一元二次方程x2+2x﹣13＝0的两个实数根， ∴m+n=-2，m2+2m=13， 则原式=m2+2m+m+n =m2+2m+（m+n） =13-2 =11． 故答案为：11． 【点睛】本题考查根与系数关系，解题的关键是记住x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=． 13. 抛物线的对称轴是___________． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在，对称轴为，顶点坐标为，把抛物线解析式化为顶点式即可求得答案． 【详解】解：， 对称轴为直线， 故答案为：直线． 14. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行___________秒才能停下来，滑行的最大距离为___________米． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用． 将函数解析式配方成顶点式求出S取得最大值时的t的值即可得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，S取得最大值， 即无人机着陆后滑行16秒才能停下来，滑行的最大距离为米． 故答案为：16， 15. 2019年，某市番茄获得了大丰收，农民总收入从2017年的2000万元提高到今年的2420万元，设年平均增长率为x，可列方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程增长率问题即可列式求解. 【详解】设年平均增长率为x，可列方程为； 故填：. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程. 16. 二次函数的部分图象如图所示，有下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤对任意实数m，不等式总成立． 其中正确的结论有__________填序号 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系逐一分析即可解答． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴ ， ∴，故①正确； ②根据图形可得二次函数图象与x轴有两个交点， ∴，故②错误； ③∵ ∴ ∴，故③正确； ④由图可得，当时，， ∵抛物线对称轴为直线， ∴当时，，即，故④错误； ⑤当时，取最小值， ∴， ∴，故⑤正确； 故答案为：①③⑤． 三、解答题其中：17-20题每题8分，21-22题每题10分． 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：      解得， 【小问2详解】 解：       或   解得 ， 18. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求，的值； （2）在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）如果此抛物线上下平移后过点，试确定平移的方向和平移的距离． 【答案】（1），； （2） 画函数图象： （3）抛物线向下平移了个单位长度． 【解析】 【分析】（）把点，代入二次函数即可求解； （）根据画函数图象的步骤即可求解； （）设沿轴平移后的抛物线的解析式为，把点 代入求出的值，根据的正负即可确定平移的方向； 本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的平移，画函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点，， ∴，解得：； 【小问2详解】 解：由（）得； ∴二次函数解析式为， 列表： 描点： 连线： 【小问3详解】 设沿轴平移后的抛物线的解析式为：， 将点代入，得：， 解得， ∴抛物线向下平移了个单位长度． 19. 已知关于x的一元二次方程 ． （1）求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根为p和q，且满足，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）的值为或 【解析】 【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解法： （1）先计算，从而可得结论； （2）由根与系数的关系可得，再代入，建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系，得， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴的值为：或． 20. 如图，要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙（墙长22m），并在BC边上开一道2m宽的门，现在可用的材料为38m长的木板． （1）若仓库的面积为150平米，求AB． （2）当仓库的面积最大时，求AB，并指出仓库的最大面积． 【答案】（1）15米； （2）当AB=10米时，仓库的最大面积为200平方米． 【解析】 【分析】（1）设AB的长为x m，则AD=（38+2-2x）m，根据题意得到x（38+2-2x）=150，解方程即可得到结论； （2）设仓库的最大面积为y平方米，根据题意得到函数关系y=x（38+2-2x）=-2x2+40x=-2（x-10）2+200，根据二次函数的关系即可得到结论． 【小问1详解】 设AB的长为x m，则AD=（38+2-2x）m， 根据题意得，x（38+2-2x）=150， 解得：x1=15，x2=5， 当x1=15时，AD=10，当x2=5时，AD=30＞22（不合题意舍去）， ∴AB=15（米）； 【小问2详解】 设仓库的面积为y平方米， 根据题意得，y=x（38+2-2x）=-2x2+40x=-2（x-10）2+200， ∵a=-2＜0，38+2-2×10=20＜22， ∴当x=10时，y最大值=200， 答：当AB=10米时，仓库的最大面积为200平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键． 21. 大鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知该款童装每件成本30元，设该款童装每件售价x元，每星期销售量为件． （1）求与之间的函数关系式． （2）若商店按每件售价不超过45元，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （） （2） 当每件售价定为45元时，每星期的销售利润最大，最大利润是3750元． 【解析】 【分析】（1）根据总销售量=原销售量+降价增加的销售量列等式，化简得到函数关系式． （2）先根据总利润=每件利润×销售量列出利润关于售价的二次函数，再结合售价限制和二次函数增减性求最大值． 【小问1详解】 解：由题意得，每件售价为元时，每件降价元， 每星期多销售的件数为件， ∴， 整理得， 结合实际意义，售价不低于成本且不高于原价， 故自变量取值范围为． 【小问2详解】 解：设每星期的销售利润为元， 由题意得，每件利润为元， ∴，将代入， 得 ， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 由题意知，且，即， ∴当时，取得最大值，将代入， 得（元）， 答：当每件售价定为45元时，每星期的销售利润最大，最大利润是3750元． 22. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为 （3）、、或 【解析】 【分析】（1）由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标； （3）设点的坐标为，则，，，分、和三种情况，利用勾股定理可得出关于的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出的值，进而即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：将、代入中， 得：，解得：， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示． 当时，有， 解得：，， 点的坐标为． 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， 直线的解析式为． 当时，， 当的值最小时，点的坐标为． 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 则，，． 分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：，， 点的坐标为或； ②当时，有，即， 解得：， 点的坐标为； ③当时，有，即， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为、、或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点的位置；（3）分、和三种情况，列出关于的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $