精品解析：天津市北辰区华辰中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

2026-2027学年度第一学期阶段练习（一） 九年级数学 一、单选题（本题有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：形如（a、b、c为常数，且）的函数是二次函数，即可判断． 【详解】解：A、中的最高次数为1，不是二次函数，故选项不符合题意； B、未明确，不一定是二次函数，故选项不符合题意； C、是分式形式，不是二次函数，故选项不符合题意； D、将整理得，符合二次函数的定义，是二次函数，故选项符合题意． 2. 一元二次方程经过配方后，可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解方程，正确运用配方的基本要领解答即可． 【详解】， ， ， ， 故选C． 3. 二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 4. 函数是向右平移2个单位后的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，解题的关键是掌握“左加右减”的平移法则． 根据二次函数图象“右移减”的平移规律，将中替换为，得到平移后的解析式． 【详解】解：原函数为，向右平移2个单位， 新函数为． 故选C 5. 关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 6. 下列函数中，当时，y随x值的增大而先增大后减小的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对应二次函数当二次系数大于0时，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，在对称轴左侧y随x的增大而减小，当二次系数小于0时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，在对称轴左侧y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：A．由于，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，不符合题意； B．由于，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，不符合题意； C．由于，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，不符合题意； D．由于，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，则当时，y随x值的增大而先增大后减小，符合题意． 7. 已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点，，到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴． 8. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是(　　) A. 且 B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】当方程为一元一次方程时(二次项系数为)，直接验证是否有实数根；当方程为一元二次方程时，利用判别式确定参数范围，最后综合两种情况得到的取值范围．关键是不能忽略二次项系数为0的情况，否则会漏解． 【详解】解：当时，，此时方程变为，解该方程得，存在实数根，故符合条件． 当，，此时方程为一元二次方程． 若方程有实数根，则判别式， 解得， ∴此时的取值范围是且． 综合两种情况，的取值范围是． 9. 若是方程的根，则的值为（ ） A. 2020 B. 2019 C. 2018 D. 2017 【答案】C 【解析】 【分析】所求代数式的二次项、一次项系数与方程对应系数成比例，可通过整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 10. 已知抛物线经过和两点，则的值为（ ） A. B. 4 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线上纵坐标相等的两点关于抛物线对称轴对称的性质，先求出对称轴，再计算的值，最后代入点坐标求即可． 【详解】解：∵抛物线经过和两点，两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线对称轴对称，可得抛物线对称轴为， 对于抛物线，对称轴为， 解得， ∴抛物线解析式为， 将代入解析式得． 11. 已知函数的图像如图，则关于x的方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有两个实数根 C. 有两个同号不等实数根 D. 有两个异号实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程与二次函数的关系，利用图象法进行判断即可． 【详解】解：如图， 抛物线与直线，在第四象限有2个交点， ∴关于x的方程有两个同号不等实数根； 故选：C． 12. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，结合正方形性质证明，再利用全等三角形性质以及抛物线上点的坐标特征分析求解，即可解题． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， 顶点，在抛物线上，且，两点的横坐标分别为，， ， ， 整理得， ． 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 13. 已知抛物线有最高点，那么的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵抛物线有最高点， ∴抛物线开口向下，二次项系数小于0， ∴， 解得． 14. 有一元二次方程（）的两根分别是与，则这两根分别是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直接开方法解一元二次方程以及解一元一次方程，灵活运用一元二次方程的两根互为相反数是解题的关键．根据一元二次方程的解互为相反数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其分别代入与，中即可求出结论． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别是与， ∴， 解得：， ∴，． 故答案为：． 15. 若关于x的一元二次方程的两个根为，，则关于x的一元二次方程的解为_______． 【答案】， 【解析】 【分析】令，代入，根据题意可得或，即可求解． 【详解】解：令，代入， 则， 则由题意得，或， ∴或， 解得或， ∴一元二次方程的解为，． 16. 关于的一元二次方程的两实根满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系表示两根和与积，代入给定条件得到关于m的方程，解方程并检验判别式确保实根． 【详解】解：关于的一元二次方程的两实根满足，． ∵， ∴， ∴， 解得或． 又∵原方程有实根， ∴判别式， 解得． ∴， 故答案为． 17. 若实数a，b满足等式，，则________． 【答案】 或或 【解析】 【分析】先由a、b满足结构相同的方程，确定二者是一元二次方程的根，同时将变形为代入待求式降次，把式子转化为含与的形式，再分两种情况讨论，①时用一元二次方程根与系数关系 求出、后代入计算，时先解出方程的根，再分别代入求值． 【详解】解：∵实数a，b满足等式，， ∴a，b可看作方程的根， ∵， ∴， ∴， 分两种情况讨论： ①： 由一元二次方程根与系数关系得 ，， 原式； ②： 解方程， 因式分解，得， 解得，， 当时，原式； 当时，原式； 综上，或或． 18. 如图，是由三个边长分别为6，9，x的正方形所组成的图形，若直线将它分成面积相等的两部分，则x的值是___________． 【答案】3或6 【解析】 【分析】延长交于点C，延长交于点D，可得四边形是矩形，依据与面积相等，线段将三个正方形分成面积相等的两部分，即可得到四边形与四边形的面积相等，进而得到x的值． 【详解】解：如图所示，延长交于点C，延长交于点D，则四边形是矩形， ∴与面积相等， 又∵线段将三个正方形分成面积相等的两部分， ∴四边形与四边形的面积相等， ∴， 解得或6， 故答案为：3或6． 【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，矩形的性质，正方形的性质，题中的辅助线的引入是难点． 二、解答题（本题有6个小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解即可． （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， 【小问2详解】 解：， ， ∴，． 20. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中列表画出的图象； （2）结合函数图像，直接写出时x的取值范围． 【答案】（1）解：根据题意，画图象如下： （2）或 【解析】 【分析】（1）利用列表，描点，连线，画出函数的图象即可； （2）根据图象，结合图象与x轴的交点的横坐标，解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，列表如下： x …… 0 …… y …… 0 0 …… 画图象略． 【小问2详解】 解：略． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为4，求的值以及另一个根． 【答案】（1）证明：∵， ∴ ∴ ， ∵， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2），另一个根为 【解析】 【分析】（1）先把原方程化为一般式，再利用判别式证明即可； （2）把代入到原方程中求出m的值，再解原方程求出另一个根即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵该方程的一个根为4， ∴把代入得， 解得， ∴原方程为，即， ∴， ∴或， 解得或， ∴原方程的另一个根为． 22. 已知函数是二次函数． （1）求的值； （2）写出这个二次函数图象的对称轴； （3）当时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）该二次函数图象的对称轴为直线 （3）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的定义，得到，，即可求解； （2）写出函数解析式，化为顶点式，即可求得对称轴； （3）根据抛物线开口向下，对称轴为直线，即可求出时，函数的最大值和最小值． 【小问1详解】 解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴二次函数解析式为， ∴这个二次函数图象的对称轴为直线． 【小问3详解】 解：由（2）可知，二次函数解析式为， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴在上，当时，取得最大值， 当时，， 当时，， ∵， ∴在上，的取值范围是． 23. 关于x的一元二次方程有两个实根． （1）若方程有两个根，，满足，求的值； （2）若方程有一个根不小于2，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用根与系数的关系变形已知等式，代入求解m； （2）因式分解得方程两根，根据一根恒小于2列不等式求范围． 【小问1详解】 解：∵方程有两个根，， ∴， ∴方程总有两个实数根； 根据题意有：，， 即：， 解得：； 【小问2详解】 ， ∴方程的根为，， ∵方程有一个根不小于2， ∴， ∴． 24. 如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． （1）填空： ， ．（用含的代数式表示） （2）当五边形的面积等于时，求此时的值． （3）是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 （3）存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， 【小问2详解】 解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． 【小问3详解】 解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 25. 如图，二次函数的图像与x轴交于两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线经过B、C两点． （1）求该二次函数的表达式； （2）点P在线段上运动（不与重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，请直接写出点P的坐标； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）首先求出直线的解析式为，设，则，则，，由题意可得方程，求解方程即可． 【小问1详解】 解：将点代入， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，设，则， ∵抛物线对称轴为直线，轴， ∴点M和点N关于对称轴对称， ， ， ， ， 当，即时， 整理得， 解得（舍去）， ； 当，即时，， 整理得， 解得（舍去）， ， ； 综上所述，点P 点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期阶段练习（一） 九年级数学 一、单选题（本题有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程经过配方后，可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 4. 函数是向右平移2个单位后的解析式是（　　） A. B. C. D. 5. 关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 下列函数中，当时，y随x值的增大而先增大后减小的是（） A. B. C. D. 7. 已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是(　　) A. 且 B. C. 且 D. 9. 若是方程的根，则的值为（ ） A. 2020 B. 2019 C. 2018 D. 2017 10. 已知抛物线经过和两点，则的值为（ ） A. B. 4 C. 3 D. 5 11. 已知函数的图像如图，则关于x的方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有两个实数根 C. 有两个同号不等实数根 D. 有两个异号实数根 12. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 13. 已知抛物线有最高点，那么的取值范围是_________． 14. 有一元二次方程（）的两根分别是与，则这两根分别是______． 15. 若关于x的一元二次方程的两个根为，，则关于x的一元二次方程的解为_______． 16. 关于的一元二次方程的两实根满足，则__________． 17. 若实数a，b满足等式，，则________． 18. 如图，是由三个边长分别为6，9，x的正方形所组成的图形，若直线将它分成面积相等的两部分，则x的值是___________． 二、解答题（本题有6个小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2）； 20. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中列表画出的图象； （2）结合函数图像，直接写出时x的取值范围． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为4，求的值以及另一个根． 22. 已知函数是二次函数． （1）求的值； （2）写出这个二次函数图象的对称轴； （3）当时，请直接写出的取值范围． 23. 关于x的一元二次方程有两个实根． （1）若方程有两个根，，满足，求的值； （2）若方程有一个根不小于2，求的取值范围． 24. 如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． （1）填空： ， ．（用含的代数式表示） （2）当五边形的面积等于时，求此时的值． （3）是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 25. 如图，二次函数的图像与x轴交于两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线经过B、C两点． （1）求该二次函数的表达式； （2）点P在线段上运动（不与重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，请直接写出点P的坐标； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $