专题12过三点的圆同步培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册
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精品
内容正文：
专题12过三点的圆同步培优讲义
✺知识框架
1.探究作圆：过一点、两点、三点作圆的情形
2.外接圆与外心：相关概念、外心性质
3.外心分布：外心位置与三角形形状的对应关系
4.确定圆的条件：三点确定圆的前提条件
5.尺规作图：确定圆心、作三角形外接圆
6.反证法：基本步骤与简单应用
本节以确定圆的条件为核心，探究经过不同数量点作圆的规律；认识三角形的外接圆与外心，掌握外心的性质及位置分布规律；掌握尺规确定圆心、作外接圆的方法；理解反证法的思想，熟悉其证明步骤。
✺学习目标
1.掌握过一点、两点、三点作圆的规律，理解 “不在同一直线上的三个点确定一个圆”。
2.理解三角形外接圆、圆的内接三角形的定义，明确外心是三角形三边垂直平分线的交点。
3.能利用外心到三顶点距离相等的性质，求解外接圆半径与外心坐标。
4.能够依据外心的位置判定三角形的形状，掌握三类三角形外心的位置特征。
5.会运用尺规确定圆心、作三角形外接圆，准确辨析确定圆的条件。
6.理解反证法的原理，能正确写出命题结论的反面，运用反证法证明简单命题。
✺题型归纳
题型1.三角形外接圆的概念辨析
题型2.求三角形外心坐标
题型3.求特殊三角形外接圆的半径
题型4.已知外心的位置判断三角形的形状
题型5.判断三角形外接圆的圆心位置
题型6.判断确定圆的条件
题型7.确定圆心(尺规作图)
题型8.求能确定的圆的个数
题型9.画圆(尺规作图)
题型10.反证法证明中的假设
题型11.用反证法证明命题
题型12.举反例
题型13.课堂小练
✺知识清单
知识点01探究过点作圆的规律
1.经过一个点可以作无数个圆，圆心为平面内异于该点的任意一点，半径为圆心到该点的距离。
2.经过两个点可以作无数个圆，圆心在这两点连线的垂直平分线上。
3.不在同一条直线上的三个点确定一个圆，有且只有一个。
4.在同一条直线上的三个点，无法作出圆。
知识点02三角形的外接圆与外心
1.外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆称为三角形的外接圆。
2.内接三角形：顶点都在同一个圆上的三角形，叫做这个圆的内接三角形。
3.外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。 备注：外心到三角形三个顶点的距离相等，该距离即为外接圆的半径。
知识点03外心的位置与三角形形状
1.锐角三角形：外心位于三角形内部；
2.直角三角形：外心为斜边中点，外接圆半径等于斜边长的一半；
3.钝角三角形：外心位于三角形外部。
知识点04确定圆的条件
经过一个点或两个点，不能确定唯一的圆；只有不在同一直线上的三个点，才能确定唯一的圆。
知识点05反证法
1.定义：先假设命题的结论不成立，由此进行推理，推出矛盾，进而判定假设错误，由此证明原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
2.一般步骤： ①假设命题的结论不成立； ②由假设出发推理，推导出与已知条件、公理、定理或已证结论相矛盾的结果； ③否定假设，肯定原命题成立。
✺题型精讲
题型1.三角形外接圆的概念辨析
1．下列说法错误的是（ ）
A．半径相等的两个半圆是等弧 B．面积相等的两个圆是等圆
C．长度相等的两条弧一定是等弧 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
【答案】C
【分析】本题考查了等弧、等圆的定义以及三角形外心的性质，掌握圆的相关性质是解题关键．根据“等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合”；“等圆半径相等”；“三角形外心到顶点距离相等”逐项判断即可．
【详解】解：A、半径相等的两个半圆，所在圆是等圆，半圆弧长相等且能重合，原说法正确，不符合题意；
B、圆面积相等则半径相等，故是等圆，原说法正确，不符合题意；
C、等弧需在同圆或等圆中能够完全重合，长度相等的两条弧不一定满足此条件，原说法错误，符合题意；
D、三角形的外心是垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
2．如图，填空：
（1）是的______________三角形．
（2）是的______________圆．
（3）圆心O是的______________的交点．
【答案】 内接 外接 三边垂直平分线
【分析】直接根据三角形的外接圆与外心相关概念分别分析得出即可．
【详解】解：（1）由题意得，是的内接三角形；
（2）由题意得，是的外接圆；
（3）∵是的外接圆，
∴圆心O是的三边垂直平分线的交点．
3．【问题情境】
（1）如图，三角形外接圆圆心为．若，圆半径为4．求三角形面积的最大值；
【问题解决】
（2）如图，在四边形中设计一个三角形花园，点在边上，修建四条笔直小路，，，．满足．经测量，，米，，．当三角形花园的面积取最小值时，求道路的长度．
【答案】（1）；（2）30米．
【分析】（1）当延长线交于中点且在优弧上时，最大，利用勾股定理求出，再求的最大值；
（2）先说明当最小时，面积最小，再最小值，然后含有30度角的直角三角形的性质求出当三角形花园的面积取最小值时道路的长度．
【详解】解：（1）已知外接圆半径，．
设到的距离为，
当延长线交于中点且在优弧上时，最大，
此时．
∵，，
∴的最大值为；
（2）由题意，在以为直径的半圆上，设点为圆心，
如图，连接，过点作于点，过点作于点，
∴，
∴当最小时，面积最小．
∵，
∴，
∴当，，三点在一条直线上时，取得最小值，
此时，
∵米，，
∴是等边三角形，
∴米
∴米，米，
，，
∴
∴四边形是矩形，
∴米，米，
∴的最小值为米．
∴面积的最小值为：平方米，
此时点为半圆弧的中点，
∴，
又，
∴，
又是的中点，
∴即
∴是的中位线，
∴米．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的外接圆，勾股定理，求三角形的面积等知识点，解题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出相关线段的长度．
题型2.求三角形外心坐标
1．如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的外接圆的外心，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心．
【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心，
由图可知，点的坐标是：，
故选：B．
2．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知，的外心坐标应是________．
【答案】
【分析】本题考查了求三角形外心坐标，解题关键是掌握三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．
先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心.
【详解】解：∵的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴作图得：
∴与的交点即为所求的的外心，
∴的外心坐标是，
故答案为：．
3．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，是第一象限的抛物线下方一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当，则外接圆圆心坐标为__________；
(3)当，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，直角三角形外接圆圆心以及圆的性质，构造辅助圆是解答本题的关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）根据直角三角形外接圆圆心是斜边中点可得结论；
（3）以为弦，构造，设I为圆心，连接交于点P，过I作轴于点E，轴于点F，如图，得出为等腰直角三角形，证明四边形为正方形，求得，由勾股定理得出，从而可得出的最小值．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
把点，，代入解析式得：，
解得：，
所以解析式为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴外接圆圆心是的中点，即，如图，
故答案为：；
（3）解：以为弦，构造，设I为圆心，连接交于点P，过I作轴于点E，轴于点F，如图，
，
，
为等腰直角三角形
轴，轴，
四边形为正方形，
，
，，
在中，
由勾股定理得：，
CP的最小值为：．
题型3.求特殊三角形外接圆的半径
1．直角三角形的两条直角边分别为和，则它的外接圆的半径为（ ）
A．5 B．6 C．6.5 D．13
【答案】C
【分析】解题关键是明确直角三角形外接圆直径等于斜边长．
【详解】解：由勾股定理得，直角三角形斜边长为，
∵直角三角形外接圆的直径等于斜边长，
∴外接圆半径为．
2．在中，，，，则此三角形的外接圆的半径长为____________．
【答案】
【分析】先通过三边的平方关系判定三角形为直角三角形，再结合直角三角形外接圆的直径等于斜边长的性质计算半径．
【详解】解：∵ ，，，
∴ ．
∴ 由勾股定理的逆定理可得，是直角三角形，且．
∵ 圆周角为直角时，其所对的弦为圆的直径，
∴ 直角三角形的外接圆直径与斜边长度相等．
∴ 外接圆半径为．
3．学校耕读园里有一块空地，空地上有三棵树A，B，C，学校想修建一个圆形苗圃，使三棵树都在苗圃的边上．
(1)请你把苗圃的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若中，米，米，，试求圆形苗圃的面积．
【答案】(1)解：如图，即为苗圃的位置．
(2)圆形花坛的面积为平方米
【分析】本题考查了作垂直平分线，画三角形的外接圆，勾股定理，直角所对的弦是直径；
（1）根据线段垂直平分线性质，求三角形的外接圆；
（2）根据勾股定理求斜边，斜边的一半就是圆的半径，即可求圆的面积．
【详解】（1）略
（2）∵，米，米，
∴米，
∴外接圆的半径为米．
∴圆形花坛的面积为平方米．
题型4.已知外心的位置判断三角形的形状
1．在中，，为所在平面内一点，且点与的任意两个顶点构成的，，均为等腰三角形．满足上述条件的点有（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以的外心满足条件；
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作等腰的底边的垂直平分线，再以点为圆心为半径作圆，这个圆与的垂直平分线的两个交点也满足条件；
分别以点、为圆心，以长为半径画圆，这两个圆相交于两点，其中一点是点，另一点为满足条件的点；
以点为圆心为半径画圆，这个圆和以点为圆心为半径的圆有两个交点，其中一个交点是点，另一个交点为满足条件的点；
同理以点为圆心为半径画圆，这个圆和以点为圆心为半径的圆有两个交点，其中一个交点是点，另一个交点为满足条件的点．
【详解】解：如图所示，作的垂直平分线，
的外心为满足条件的一个点，
以点为圆心，以长为半径画圆，、为满足条件的点，
分别以点、为圆心，以长为半径画圆，为满足条件的点，
分别以点、为圆心，以长为半径画圆，、为满足条件的点，
综上所述，满足条件的所有点的个数为．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的外心到三个顶点的距离相等，圆的半径相等的性质．
2．如图，在中，，，，则此的重心与外心之间的距离为______．
【答案】
【分析】根据三角形外心的定义可知外心为斜边的中点，根据三角形重心的定义可知C、P、Q三点共线，根据勾股定理求出，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，然后利用重心的性质得到．
【详解】解∶根据题意可知，C、P、Q三点共线．
在中，，
的外心为，
为斜边的中点，
，
的重心为，
．
故答案为∶．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的外接圆与外心，三角形的重心，直角三角形的性质，根据三角形外心与重心的定义得出C、P、Q三点共线是解题的关键．
3．如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）．
(1)在图1中作出的外心D；
(2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得．
【答案】(1)
如图1，点D即为的外心；
(2)
如图2，点F即为所作；
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
（1）如图1中，分别作及的垂直平分线，相交于点D，点D即为所求．
（2）如图2中，过点A作的垂线，垂足即为点F，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一亲，可得．
【详解】（1）略
（2） 略
题型5.判断三角形外接圆的圆心位置
1．如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形的外心，关键是熟练掌握三角形的外心的概念．根据三角形的外心是三边的垂直平分线的交点，再结合图形进行判断即可．
【详解】解：三角形的外心是三边的垂直平分线的交点，
三角形的外心到三个顶点的距离相等．
由图可知，设网格中每个小正方形的边长为，
则点到三个顶点的距离均为，
即点到三个顶点的距离相等，
的外心是点．
故选：C．
2．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外接圆的半径为______．
【答案】
【分析】利用三角形外心的性质找到圆心，由网格计算出半径．
【详解】解：如图，点即为圆心，
由网格可知，，
∴的外接圆的半径为．
3．如图，在的网格图中，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形顶点称为格点，的顶点均在格点上．
(1)作图：①将绕点C逆时针旋转，得到，画出；
②画出三角形的外接圆；
(2)求的面积．
【答案】(1)
①如图所示：
②如图所示：
(2)
【分析】本题考查网格作图，熟练掌握图形的旋转性质，三角形外接圆性质，三角形面积公式，是解题的关键．
（1）①根据旋转的性质作图即可；②根据三角形外接圆性质作图即可；
（2）连接，根据三角形的面积公式，求解即可．
【详解】（1）①将点A、B绕点C逆时针旋转得到，
连接，得到．
②分别取边垂直平分线上的格点，
作边的垂直平分线相交于点O，
以O为圆心长为半径画圆，
得到的外接圆．
（2）连接，
∴的面积为．
题型6.判断确定圆的条件
1．下列条件中，可以确定一个圆的是（ ）
A．以点为圆心 B．以为半径
C．以点为圆心，为半径 D．经过已知点
【答案】C
【分析】确定一个圆需同时明确圆心和半径两个必要条件．
【详解】解：A仅给出圆心、B仅给出半径，均不能确定一个圆．
C同时给出圆心和半径，可以确定一个圆．
D仅给出经过的点，圆心与半径均不确定，不能确定一个圆．
2．经过线段的两个端点作圆，所有这样的圆的圆心都在____________上．
【答案】线段的垂直平分线
【分析】过、两点的圆的圆心到、的距离相等，结合线段垂直平分线的判定规则确定圆心位置．
【详解】解：∵ 经过、两点的圆的圆心到两个端点的距离等于圆的半径，即．
∴ 根据线段垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
∴ 所有满足条件的圆的圆心都在线段的垂直平分线上．
3．在中，，D为斜边的中点．求证：A、B、C三点在以点D为圆心、以为半径的同一个圆上．
【答案】证明：由D为斜边的中点，
得为斜边上的中线，
由定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，得，
所以A、B、C三点到D的距离都等于，
即三点在以点D为圆心、以为半径的同一个圆上．
【分析】依据直角三角形斜边中线定理得到，再由圆的定义得三点共圆．
【详解】略．
题型7.确定圆心(尺规作图)
1．如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接、、、． 若， 四边形的面积为．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查基本作图、菱形的判定与性质，掌握菱形的判定与性质是解题的关键．由作图过程可知，可得四边形是菱形，则，可得，则可得．
【详解】解：由作图过程可知，
四边形是菱形，
，
四边形的面积为，
，
．
故选：C．
2．如图，边长均为的个正方形，、、三点在圆上，则圆的半径为________．
【答案】
【分析】作出解图的辅助线，确定圆心O，设，利用勾股定理得到，即，解方程得到，再用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，作的垂直平分线，交于点Q，交的延长线于点P，作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，
4个正方形的边长均为2，
，，，
设，则，
，即，
，
即，
解得，即，
，
．
3．如图，已知．
(1)用尺规作的外接圆（保留作图痕迹，标出圆心O）
(2)说明圆心O为什么是的垂直平分线的交点．
【答案】(1)如图所示
(2)连接，
∵，
∴点O在的垂直平分线上，且在的垂直平分线上，
∴圆心O是的垂直平分线的交点．
【分析】（1）分别以点B，C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线，同理作的垂直平分线，两条直线交于点O，则点O即为所求；
（2）根据线段垂直平分线的性质定理解答．
【详解】（1）略
（3） 略
题型8.求能确定的圆的个数
1．经过一个已知点作圆，可以作的圆有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】D
【详解】解：圆由圆心和半径确定.过点的圆，只需圆心到点的距离等于半径，圆心的位置有无数种可能，因此可以作无数个圆.
2．如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为___________个．
【答案】3
【分析】本题考查了确定圆的条件.
根据不共线的三点确定一个圆可得答案．
【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个，
故答案为：3．
3．已知线段．
(1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？
(2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？
(3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？
【答案】(1)一个
(2)两个
(3)不能
【分析】本题考查圆的确定，掌握通过作线段垂直平分线，结合半径与线段一半的长度关系确定圆的个数是解题的关键．
（1 ）由圆半径为，，即可判断圆心是中点；
（2 ）由圆半径为，，即可判断圆心在线段的垂直平分线上；
（3 ）由圆半径为，，即可判断不能画出半径的圆．
【详解】（1）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画一个，圆心是的中点；
（2）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画两个，圆心在线段的垂直平分线上圆心到A点的距离是；
（4）
由于，故不能画出半径为的圆，使它经过A，B两点．
题型9.画圆(尺规作图)
1．如图，在中， °，，要求用无刻度的直尺和圆规在内部作一个45°的．各小组经过激烈讨论后给出了三种方案：①作的平分线；②构造等腰直角三角形；③分别作两个锐角的平分线，图、图、图分别对应其中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（ ）
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②
【答案】D
【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，圆的尺规作图，熟练掌握以上知识是解题的关键．
按照角平分线的尺规作图，圆的尺规作图，与图，图，图分别对应即可．
【详解】解：①作的平分线：画角平分线的方法是，以角的顶点为圆心，画一个圆弧，交角两边于两点，以这两点为圆心，大于两点连接线一半为半径，画两个圆，交于一点，连接角顶点和两个圆交于的一点，沿长交于三角形一边，此直线即为角平分线．
故对应图所示．
②构造等腰直角三角形：以点为圆心，以为半径画圆，交于点，故为等腰直角三角形，故对应图所示．
③分别作两个锐角的平分线，按照①中角平分线的画法即可得出，对应与图所示．
故选：．
2．已知中，过点作一条射线，使其将分成两个相似的三角形，观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是______（将正确选项的番号填在横线上）．
【答案】①
【分析】本题考查了尺规作图，过直线外一点作这条直线的垂线，作直径所对的圆周角，理解尺规作图的依据是解题的关键．按尺规作图的要求依次判断即可．
【详解】解：图以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于；再分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点；过点作射线，射线即是所求的射线；图符合题意；
图以点为圆心，长为半径画弧交于点E；再以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于，直线，且直线不一定过点C，即射线不一定与垂直，所以射线不是所求的射线，图不符合题意；
图中不是射线，故图不符合题意．
故答案为：．
3．如图，在四点A，B，C，D中，任意三点都不在同一条直线上．作过A，B，C三点的圆，并判断这个圆是否过点D．
【答案】如图，即为所求，
不经过点D
【分析】分别连接，、，分别作、的垂直平分线，交于点O，分别连接，再以点O为圆心，为半径作，由图形可以判断不过点D．
【详解】解：由作图可知，，故经过A，B，C三点，
由图形可知，到圆心的距离不等于半径，
∴不经过点D．
题型10.反证法证明中的假设
1．用反证法证明"一个三角形中不能有两个角是直角"时，第一步应假设（ ）
A．三角形中三个角都是直角 B．三角形中有两个角是直角
C．三角形中没有直角 D．三角形中只有一个直角
【答案】B
【分析】根据反证法基本步骤判断即可．
【详解】解：反证法第一步需假设原命题的结论不成立，
原命题结论为“一个三角形中不能有两个角是直角”，
故假设“三角形中有两个角是直角”．
2．用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，应假设同位角____________．
【答案】不相等
【分析】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】证明两直线平行，同位角相等，用反证法证明这个结论时，应先假设两直线平行时同位角不相等．
3．完成下面的证明过程：
用反证法证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
已知：如图，直线，，求证：
证明：假设____________________，则与相交，
设与相交于点，
由已知条件_________________，________________，得过点有两条直线_________与____________都平行于直线，
这与“__________”矛盾．
所以，假设“_____________________”不成立
故____________．
【答案】与不平行；；；；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；与不平行；
【分析】利用反证法和平行线的性质证明即可．
【详解】略
题型11.用反证法证明命题
1．用反证法证明命题时，若推出的结论与已知条件矛盾，则应（ ）
A．肯定假设成立
B．说明假设不成立，从而原结论成立
C．改变假设重新推理
D．得出命题无法证明
【答案】B
【详解】解：反证法中，先假设原结论不成立，从假设出发进行推导，若推出的结论与已知条件矛盾，则说明假设不成立，从而原结论成立．
2．用反证法证题时，从假设出发推出____________，从而肯定原命题的结论成立．
【答案】矛盾
【分析】因为反证法是先否定原命题结论，所以第一步是提出与原命题结论相反的假设．基于提出的假设进行合理推导，因为推导过程需要结合已知的定理、公理、题设条件，所以如果推导结果和这些已成立的内容产生冲突，就说明假设不成立．因为假设不成立，所以原命题的结论是正确的，明确推导得到的矛盾的类型即可完成填空．
【详解】反证法的证明流程为，首先假设原命题的结论不成立，从该假设出发开展严谨的逻辑推导，若推导得到的结果与题目给出的已知条件、已学的数学定义、基本事实、经过证明的定理相矛盾，即可判定最初的假设不成立，由此反向证明原命题的结论是正确的．
3．用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．（按“提出假设—推出矛盾—得出结论”三步写出证明．）
【答案】证明：假设三角形中有两个角是直角，记三个角分别为、、，设，
则，
∴，
这与定理“三角形内角和等于”矛盾，
故假设不成立，
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
【分析】根据题意提出假设，进而推理得出矛盾即可证明．
【详解】略．
题型12.举反例
1．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】假命题的反例需满足命题的条件成立，但结论不成立，据此解答．
【详解】解：该命题的条件为，结论为，反例需满足且．
A．当时，，不满足，不符合反例要求；
B．当时，满足且，不符合反例要求；
C．当时，满足且，不符合反例要求；
D．当时，，且，符合反例要求．
2．要说明命题“若，则”是假命题，任意写出一个反例a的值：__________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】举反例需满足命题的题设条件，但不满足命题的结论，据此选取符合要求的值即可．
【详解】解：当时，，满足题设的条件，但此时，不满足结论的要求，
则可作为说明原命题为假命题的反例．
3．举反例说明下列命题是假命题．
(1)任何偶数都是4的整数倍；
(2)对于任意有理数x，代数式的值总是正数；
(3)有公共顶点且相等的角是对顶角．
【答案】(1)2是偶数，但2不是4的整数倍（答案不唯一）
(2)是有理数，但不是正数（答案不唯一）
(3)角平分线分成的两个角，有公共顶点且相等，但不是对顶角．（答案不唯一）
【分析】本题考查了命题，证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论．据此判断即可．
【详解】（1）解：偶数，，不是整数，所以不是的整数倍，说明“任何偶数都是的整数倍”是假命题．
所以反例为：2是偶数，但2不是4的整数倍；
（2）解：当时，，是负数，不是正数，说明“对于任意有理数，代数式的值总是正数”是假命题．
所以反例为：是有理数，但不是正数；
（3）解：在角平分线分成的两个角，它们有公共顶点且相等，但不是对顶角，说明“有公共顶点且相等的角是对顶角”是假命题．
所以反例为：角平分线分成的两个角，有公共顶点且相等，但不是对顶角．
✺课堂小练
一、单选题
1．用反证法证明命题“一个三角形中至少有两个锐角”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．最多有一个锐角 B．至少有两个锐角
C．至少有两个钝角 D．最多有一个直角
【答案】A
【分析】反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立，只需找出原命题结论的否定即可．
【详解】解：用反证法证明“一个三角形中至少有两个锐角”时，应先假设结论不成立．
∵“至少有两个锐角”表示三角形中锐角的个数大于或等于2，它的否定是锐角的个数小于2，即最多有一个锐角．
∴应假设这个三角形中最多有一个锐角．
2．用反证法证明“过同一条直线上的三点不能作圆”时，第一步应假设（ ）
A．过同一条直线上的三点不能作圆
B．过同一条直线上的三点可以作一个圆
C．过任意三点都不能作圆
D．过同一条直线上的三点只能作一个圆
【答案】B
【详解】解：原命题的结论为过同一条直线上的三点不能作圆，
反证法第一步需假设结论的反面成立，即过同一条直线上的三点可以作一个圆，对应选项B．
3．三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（ ）种．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】分别判断三角形四心在任意三角形中的位置，统计满足“任意三角形中都在内部”的心的个数即可得到答案．
【详解】解：内心是三角形内角平分线的交点，任意三角形的内心都在三角形内部；
重心是三角形中线的交点，任意三角形的重心都在三角形内部；
外心是三角形三边垂直平分线的交点，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心在斜边中点，因此外心不满足条件；
垂心是三角形高线所在直线的交点，钝角三角形的垂心在三角形外部，直角三角形的垂心在直角顶点，因此垂心不满足条件．
综上所述，满足条件的心共有种．
4．如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（ ）
A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外
C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为
【答案】D
【分析】本题考查点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系，确定圆的条件以及勾股定理进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴圆心在直线上，
设其圆心坐标为，
则，即，
由勾股定理得，
解得，
∴这条圆弧所在圆的圆心为，
半径为，
∵，
∴点在这条圆弧所在圆上，
∵，
∴原点在这条圆弧所在圆内，
观察四个选项，选项D符合题意．
故选：D．
二、填空题
5．对于下列命题：①三个连续整数的和是3的倍数；②在锐角三角形中，任意两个内角和一定大于第三个内角；③当为正整数时，的值一定是质数；④任意一个三角形的三个内角中，至少有一个角不超过．其中，真命题是______（填所有真命题的序号）．
【答案】①②④
【分析】命题①通过设三个连续整数求和验证；命题②利用锐角三角形内角性质推导；命题③通过代入举反例；命题④采用反证法基于三角形内角和定理．
【详解】解：对于命题①：设三个连续整数为n，，，其和为，是3的倍数，故原命题为真命题．
对于命题②：在锐角三角形中，每个内角均小于，任意两个内角之和为减去第三个内角，由于第三个内角小于，故两个内角之和大于且大于第三个内角，故原命题为真命题．
对于命题③：当时，，55不是质数，故原命题为假命题．
对于命题④：假设所有内角均大于，则内角和大于，与三角形内角和定理矛盾，故至少有一个内角不超过，故原命题为真命题．
故真命题是：①②④．
6．如图，O是的外心，则________．
【答案】/90度
【分析】根据圆的外心定义和等腰三角形的性质得到，，，再根据三角形的内角和定理和周角定义求解即可．
【详解】解：由题意，，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，则．
7．如图，边长为的正方形外有一点，，为的中点，连接，则的最大值为________．
【答案】
【分析】如图，以为直径作，延长至，使，连接，过点作于，由题意易得是的中位线，然后根据三角形三边不等关系可得，当且仅当点三点共线时取等号，进而问题可求解．
【详解】解：如图，以为直径作，
∵，
∴点在这个上，
延长至，使，连接，过点作于，
∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，
在正方形中，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
根据三角形三边不等关系可得：，当且仅当点三点共线时取等号，
∴，即的最大值为，
∴的最大值为．
三、解答题
8．如图，点是直角坐标系第三象限内的一个点．
(1)求作，使得经过、两点且圆心在轴上；（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若点的坐标为，求的半径．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）圆心M一定在线段的垂直平分线上，故作线段的垂直平分线交x轴于点M，再以M为圆心， 的长为半径画圆即可；
（2）设点M的坐标为，根据，即建立方程求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：设点M的坐标为，
由圆的性质可得，则
∴，
∴
∴，
解得，
∴圆心的坐标为．
∴的半径为．
9．如图，在中，．
(1)用尺规作的外接圆（保留作图痕迹，标出圆心O）
(2)求的外接圆的半径．
【答案】(1)如图所示
(2)5
【分析】（1）分别以点B，C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点D，E，作直线，再以点A，C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点G，H，作直线，两直线交于点O，以点O为圆心，以为半径画弧，则即为所求作；
（2）根据勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】（1）略
（2）解：根据勾股定理，得，
∴，
所以的外接圆的半径是5．
10．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
(1)利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为______；
(2)连接，的半径为______，的度数为______．
【答案】(1)；
(2)；
【分析】（1）分别作线段和线段的垂直平分线，二者的交点即为圆心D点的位置；
（2）连接，利用两点间的距离公式求出的长即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）解：如图所示，连接，
由（1）和题意得，
∴，，
，
∴的半径为；
∵，
∴，
∴是直角三角形，即．
试卷第1页（共3页）
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专题12过三点的圆同步培优讲义
✺知识框架
1.探究作圆：过一点、两点、三点作圆的情形
2.外接圆与外心：相关概念、外心性质
3.外心分布：外心位置与三角形形状的对应关系
4.确定圆的条件：三点确定圆的前提条件
5.尺规作图：确定圆心、作三角形外接圆
6.反证法：基本步骤与简单应用
本节以确定圆的条件为核心，探究经过不同数量点作圆的规律；认识三角形的外接圆与外心，掌握外心的性质及位置分布规律；掌握尺规确定圆心、作外接圆的方法；理解反证法的思想，熟悉其证明步骤。
✺学习目标
1.掌握过一点、两点、三点作圆的规律，理解 “不在同一直线上的三个点确定一个圆”。
2.理解三角形外接圆、圆的内接三角形的定义，明确外心是三角形三边垂直平分线的交点。
3.能利用外心到三顶点距离相等的性质，求解外接圆半径与外心坐标。
4.能够依据外心的位置判定三角形的形状，掌握三类三角形外心的位置特征。
5.会运用尺规确定圆心、作三角形外接圆，准确辨析确定圆的条件。
6.理解反证法的原理，能正确写出命题结论的反面，运用反证法证明简单命题。
✺题型归纳
题型1.三角形外接圆的概念辨析
题型2.求三角形外心坐标
题型3.求特殊三角形外接圆的半径
题型4.已知外心的位置判断三角形的形状
题型5.判断三角形外接圆的圆心位置
题型6.判断确定圆的条件
题型7.确定圆心(尺规作图)
题型8.求能确定的圆的个数
题型9.画圆(尺规作图)
题型10.反证法证明中的假设
题型11.用反证法证明命题
题型12.举反例
题型13.课堂小练
✺知识清单
知识点01探究过点作圆的规律
1.经过一个点可以作无数个圆，圆心为平面内异于该点的任意一点，半径为圆心到该点的距离。
2.经过两个点可以作无数个圆，圆心在这两点连线的垂直平分线上。
3.不在同一条直线上的三个点确定一个圆，有且只有一个。
4.在同一条直线上的三个点，无法作出圆。
知识点02三角形的外接圆与外心
1.外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆称为三角形的外接圆。
2.内接三角形：顶点都在同一个圆上的三角形，叫做这个圆的内接三角形。
3.外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。 备注：外心到三角形三个顶点的距离相等，该距离即为外接圆的半径。
知识点03外心的位置与三角形形状
1.锐角三角形：外心位于三角形内部；
2.直角三角形：外心为斜边中点，外接圆半径等于斜边长的一半；
3.钝角三角形：外心位于三角形外部。
知识点04确定圆的条件
经过一个点或两个点，不能确定唯一的圆；只有不在同一直线上的三个点，才能确定唯一的圆。
知识点05反证法
1.定义：先假设命题的结论不成立，由此进行推理，推出矛盾，进而判定假设错误，由此证明原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
2.一般步骤： ①假设命题的结论不成立； ②由假设出发推理，推导出与已知条件、公理、定理或已证结论相矛盾的结果； ③否定假设，肯定原命题成立。
✺题型精讲
题型1.三角形外接圆的概念辨析
1．下列说法错误的是（ ）
A．半径相等的两个半圆是等弧 B．面积相等的两个圆是等圆
C．长度相等的两条弧一定是等弧 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
2．如图，填空：
（1）是的______________三角形．
（2）是的______________圆．
（3）圆心O是的______________的交点．
3．【问题情境】
（1）如图，三角形外接圆圆心为．若，圆半径为4．求三角形面积的最大值；
【问题解决】
（2）如图，在四边形中设计一个三角形花园，点在边上，修建四条笔直小路，，，．满足．经测量，，米，，．当三角形花园的面积取最小值时，求道路的长度．
题型2.求三角形外心坐标
1．如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知，的外心坐标应是________．
3．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，是第一象限的抛物线下方一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当，则外接圆圆心坐标为__________；
(3)当，求的最小值．
题型3.求特殊三角形外接圆的半径
1．直角三角形的两条直角边分别为和，则它的外接圆的半径为（ ）
A．5 B．6 C．6.5 D．13
2．在中，，，，则此三角形的外接圆的半径长为____________．
3．学校耕读园里有一块空地，空地上有三棵树A，B，C，学校想修建一个圆形苗圃，使三棵树都在苗圃的边上．
(1)请你把苗圃的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若中，米，米，，试求圆形苗圃的面积．
题型4.已知外心的位置判断三角形的形状
1．在中，，为所在平面内一点，且点与的任意两个顶点构成的，，均为等腰三角形．满足上述条件的点有（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
2．如图，在中，，，，则此的重心与外心之间的距离为______．
3．如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）．
(1)在图1中作出的外心D；
(2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得．
题型5.判断三角形外接圆的圆心位置
1．如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
2．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外接圆的半径为______．
3．如图，在的网格图中，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形顶点称为格点，的顶点均在格点上．
(1)作图：①将绕点C逆时针旋转，得到，画出；
②画出三角形的外接圆；
(2)求的面积．
题型6.判断确定圆的条件
1．下列条件中，可以确定一个圆的是（ ）
A．以点为圆心 B．以为半径
C．以点为圆心，为半径 D．经过已知点
2．经过线段的两个端点作圆，所有这样的圆的圆心都在____________上．
3．在中，，D为斜边的中点．求证：A、B、C三点在以点D为圆心、以为半径的同一个圆上．
题型7.确定圆心(尺规作图)
1．如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接、、、． 若， 四边形的面积为．则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，边长均为的个正方形，、、三点在圆上，则圆的半径为________．
3．如图，已知．
(1)用尺规作的外接圆（保留作图痕迹，标出圆心O）
(2)说明圆心O为什么是的垂直平分线的交点．
题型8.求能确定的圆的个数
1．经过一个已知点作圆，可以作的圆有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
2．如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为___________个．
3．已知线段．
(1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？
(2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？
(3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？
题型9.画圆(尺规作图)
1．如图，在中， °，，要求用无刻度的直尺和圆规在内部作一个45°的．各小组经过激烈讨论后给出了三种方案：①作的平分线；②构造等腰直角三角形；③分别作两个锐角的平分线，图、图、图分别对应其中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（ ）
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②
2．已知中，过点作一条射线，使其将分成两个相似的三角形，观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是______（将正确选项的番号填在横线上）．
3．如图，在四点A，B，C，D中，任意三点都不在同一条直线上．作过A，B，C三点的圆，并判断这个圆是否过点D．
题型10.反证法证明中的假设
1．用反证法证明"一个三角形中不能有两个角是直角"时，第一步应假设（ ）
A．三角形中三个角都是直角 B．三角形中有两个角是直角
C．三角形中没有直角 D．三角形中只有一个直角
2．用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，应假设同位角____________．
3．完成下面的证明过程：
用反证法证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
已知：如图，直线，，求证：
证明：假设____________________，则与相交，
设与相交于点，
由已知条件_________________，________________，得过点有两条直线_________与____________都平行于直线，
这与“__________”矛盾．
所以，假设“_____________________”不成立
故____________．
题型11.用反证法证明命题
1．用反证法证明命题时，若推出的结论与已知条件矛盾，则应（ ）
A．肯定假设成立
B．说明假设不成立，从而原结论成立
C．改变假设重新推理
D．得出命题无法证明
2．用反证法证题时，从假设出发推出____________，从而肯定原命题的结论成立．
3．用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．（按“提出假设—推出矛盾—得出结论”三步写出证明．）
题型12.举反例
1．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
2．要说明命题“若，则”是假命题，任意写出一个反例a的值：__________．
3．举反例说明下列命题是假命题．
(1)任何偶数都是4的整数倍；
(2)对于任意有理数x，代数式的值总是正数；
(3)有公共顶点且相等的角是对顶角．
✺课堂小练
一、单选题
1．用反证法证明命题“一个三角形中至少有两个锐角”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．最多有一个锐角 B．至少有两个锐角
C．至少有两个钝角 D．最多有一个直角
2．用反证法证明“过同一条直线上的三点不能作圆”时，第一步应假设（ ）
A．过同一条直线上的三点不能作圆
B．过同一条直线上的三点可以作一个圆
C．过任意三点都不能作圆
D．过同一条直线上的三点只能作一个圆
3．三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（ ）种．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（ ）
A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外
C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为
二、填空题
5．对于下列命题：①三个连续整数的和是3的倍数；②在锐角三角形中，任意两个内角和一定大于第三个内角；③当为正整数时，的值一定是质数；④任意一个三角形的三个内角中，至少有一个角不超过．其中，真命题是______（填所有真命题的序号）．
6．如图，O是的外心，则________．
7．如图，边长为的正方形外有一点，，为的中点，连接，则的最大值为________．
三、解答题
8．如图，点是直角坐标系第三象限内的一个点．
(1)求作，使得经过、两点且圆心在轴上；（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若点的坐标为，求的半径．
9．如图，在中，．
(1)用尺规作的外接圆（保留作图痕迹，标出圆心O）
(2)求的外接圆的半径．
10．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
(1)利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为______；
(2)连接，的半径为______，的度数为______．
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