专题10过三点的圆暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题10过三点的圆暑假预习讲义 ①探究：分类探究过一点、两点、三点作圆的情况，明确过一点、两点可作无数个圆；圆心分别分布在任意位置、两点连线的垂直平分线上。 ②识记：牢记核心定理：不在同一直线上的三点确定一个圆，理解“有且只有”的含义；共线三点无法作出外接圆。 ③概念：熟记三角形外接圆、内接三角形、外心定义，明确外心是三角形三条边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点距离相等（外接圆半径）。 ④辨析：根据三角形类型判断外心位置：锐角三角形外心在内部、直角三角形外心在斜边中点、钝角三角形外心在三角形外部 。 ⑤实操：掌握尺规作三角形外接圆完整步骤，通过作两条边的垂直平分线锁定圆心，以圆心到顶点距离为半径画圆，规范作图流程。 ⑥运算：针对直角三角形快速求解外接圆半径，掌握半径等于斜边一半的结论；结合垂直平分线性质计算外接圆半径、线段长度。 ⑦应用：利用三点定圆原理解决破损圆盘找圆心、复原圆形器物这类实际应用题，掌握找圆心的实操方法。 ⑧认知：初步认识反证法，理解反证法基本思路，能够简单证明“共线三点不能确定一个圆”。 ⑨说理：依托垂直平分线性质，简单说理外心到三顶点距离相等，培养几何严谨推理能力。 ⑩避错：规避高频易错点，忽略“三点不共线”前提、混淆外心与内心概念、直角三角形外接圆半径公式记错、作图遗漏垂直平分线。 预习必备 知识梳理 1.过一点.两点作圆 2过不在同一直线上的三点作圆 3.外心的位置规律 4.反证法 1.角形外接圆的概念辨析 2..求三角形外心坐标 常考题型 精讲精练 3.求特殊三角形外接圆半径 4.由外心位置判断三角形形状 5.判断三角形外接圆圆心位置 6.判断确定圆的条件 7.确定圆心 8.求能确定的圆的个数 9.画圆 10.反政府证明中的假设 11.用反证法证明命题 12.举反例 强化题型 解答题6题 基础回顾：过一点、两点作圆 1. 过一个已知点 A 作圆 画法：任取异于 A 的点作为圆心，圆心到 A 的距离为半径画圆 结论：过一点可以作无数个圆 2. 过两个已知点 A、B 作圆 圆心要求：圆心到 A、B 距离相等，因此圆心在线段AB的垂直平分线上 结论：过两点可以作无数个圆 条件 圆心位置 可画圆数量 过 1 个点A 平面内任意一点（除A） 无数个 过 2 个点A、B 线段AB的垂直平分线上任意一点 无数个 知识点02：过不在同一直线上的三点作圆 1. 定理 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 解读： “确定”= 有且只有一个圆； 关键前提：三点不能共线，若三点在一条直线上，则无法画出同时经过三点的圆。 2. 作图步骤（必考操作题） 已知：不在同一直线上三点A、B、C (1)连接AB、BC； (2)分别作线段AB、BC的垂直平分线； (3)两条垂直平分线交于一点O； (4)以O为圆心，OA（或OB、OC）为半径画圆，⊙ O即为所求。 3. 相关概念 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆； 三角形的外心：外接圆的圆心，即三角形三条边垂直平分线的交点； 圆的内接三角形：三个顶点都在同一个圆上的三角形。 4. 外心核心性质 ① 外心到三角形三个顶点的距离相等，这个距离就是外接圆半径； ② 外心位置与三角形形状对应： 知识点03：外心的位置规律（表格总结，板书高频） 三角形类型 外心位置 特征 锐角三角形 三角形内部 三条垂直平分线交于形内 直角三角形 斜边中点 外接圆直径 = 直角三角形斜边 钝角三角形 三角形外部 三条垂直平分线交于形外 核心推论：直角三角形外接圆半径 R=斜边长度。 知识点04：反证法（本节必考新方法） 1. 适用命题 证明：在同一直线上的三个点不能作圆（定理逆命题） 2. 反证法标准三步流程 假设：假设原命题结论不成立； 推理：从假设出发推导，得出与已知公理、定理、条件矛盾的结果； 结论：由矛盾判定假设错误，原命题成立。 完整证明示例 求证：过同一直线上三点不能作圆 （1）假设：过直线l上三点A、B、C可以作圆，圆心为O； （2）推导：OA=OB=OC，则O既在AB垂直平分线上，又在BC垂直平分线上；两条垂直平分线都垂直于l，过一点O有两条直线垂直l，与 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直” 矛盾； （3）结论：假设不成立，故共线三点无法作圆。 知识点 5 基础概念辨析易错汇总 1.圆是封闭曲线，不是圆面；圆面是圆周及其内部整体； 2.直径是线段，不是直线；半径也是线段； 3.优弧书写必须三字母，劣弧可两字母； 4.判定等弧先看是否同圆 / 等圆，再看能否重合，不能只看弧长； 5.三点共线时无外接圆，不共线三点确定唯一外接圆； 6.外心是垂直平分线交点，不是角平分线交点（角平分线交点是内心）。 知识点 6 基础题型应用 1.已知半径和点到圆心距离，判断点在圆内 / 圆上 / 圆外； 2.已知点与圆位置，求半径或距离的取值范围； 3.识图：在图形中准确找出圆心、半径、弦、直径、优弧、劣弧、半圆； 4.判断命题对错：辨析直径、弦、等弧、半圆、外接圆、外心相关判断题； 5.给定三角形，判断外心位置、求外接圆半径（尤其直角三角形斜边为直径题型）。 题型1.三角形外接圆的概念辨析 【典例】三角形的外心是______的交点． 【跟踪专练1】如图，已知点是的外心，，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，O是的外心，则________． 【跟踪专练3】如图，在中，．观察图中尺规作图的痕迹，则的半径是（   ） A． B．5 C．6 D．10 题型2.求三角形外心坐标 【典例】图中的外心坐标是___． 【跟踪专练1】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，已知，，，则外接圆的圆心坐标为___________． 【跟踪专练3】如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．点D为的外心 题型3.求特殊三角形外接圆半径 【典例】在中，，则外接圆的半径为 ___________． 【跟踪专练1】如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是的内接三角形，，，把绕点按逆时针方向旋转得到，则对应点、之间的距离为_______． 【跟踪专练3】如图，是，的外接圆，，若，，则的半径为（　　）    A． B．5 C． D． 题型4.由外心位置判断三角形形状 【典例】．设I为△ABC的外心，若∠BIC=100°，则∠A的度数为______． 【跟踪专练1】的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【跟踪专练2】如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________． 【跟踪专练3】如图，是等边三角形且边长为1，点，，分别在边的延长线上，，连接，．给出下面四个结论： ①是等边三角形； ②； ③的面积为； ④的外心与的外心重合． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 题型5.判断三角形外接圆圆心位置 【典例】已知点O是的外心，且，则________． 【跟踪专练1】如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（    ） A． B． C．2 D． 【跟踪专练2】已知中，，点O是的外心，点是的外心，点是的外心，点是的外心，…，则的度数为________． 【跟踪专练3】如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型6.判断确定圆的条件 【典例】已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ___________． 【跟踪专练1】一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【跟踪专练2】如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，M，N分别是，上的动点，连接，交于点E，且． （1）___________． （2）连接，则的最小值为___________． 题型7.确定圆心 【典例】如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断 【跟踪专练1】如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 题型8.求能确定的圆的个数 【典例】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪专练1】已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 题型9.画圆 【典例】下列尺规作图的语句正确的是（　　） A．延长射线到D B．延长线段至C，使 C．作直线 D．以点D为圆心，任意长为半径画弧 【跟踪专练1】下面是李老师编辑的一份文档，由于粗心，作法的步骤被打乱了： 已知：如图，是的一个内角． 求作：． 作法： ①以点为圆心，为半径作的外接圆； ②在弧上取一点，连接，．所以． ③分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；与直线交于点； 正确的作图步骤应该是（    ） A．①③② B．③②① C．③①② D．②①③ 【跟踪专练2】如图，已知的半径为1，是直径，分别以点为圆心，以的长为半径画弧．两弧相交于两点，则图中阴影部分的面积是__________ 题型10.反政府证明中的假设 【典例】“若，则”，用反证法证明这个结论时，应先假设________． 【跟踪专练1】用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（     ） A．有两个锐角都不大于 B．只有一个锐角不大于 C．有两个锐角都大于 D．只有一个锐角大于 【跟踪专练2】利用反证法证明命题“同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行”，第一步应该假设：______． 【跟踪专练3】用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有两个不相等的有理根，则a，b，c不可能全为奇数”时，应先假设（     ） A．a，b，c全为偶数 B．a，b，c至多有一个奇数 C．a，b，c全为奇数 D．a，b，c至多有两个奇数 题型11.用反证法证明命题 【典例】阅读下面关于“不是有理数”的证明过程，并填空： “不是有理数”，对于这一事实的证明，最早出现在亚里士多德（）的著作中，但他声明来源于毕达哥拉斯学派．欧几里得（）在《原本》中给出了证明． 证明：假设应是有理数，由于，所以必然有两个正整数a，b， 使，① 而且a，b互质（即没有1以外的公因数）． 等式①两边平方，得 ，即． 所以________．② 上面式子的右边是偶数，所以左边也是偶数，因而b也是________， 可设（k是正整数），代入②，得 ， 即． 所以a也是偶数，这说明a，b都是偶数，不是________， 与假设相矛盾，即________有理数． 【跟踪专练1】证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 【跟踪专练2】以下是用反证法证明命题“在三角形中，大角对大边”的四个步骤： ①如图，已知：在中，．求证：． ②无论哪种情况，都与已知矛盾． ③因此假设都不成立，所以． ④假设，；假设，．这四个步骤正确的顺序应是_______________． 【跟踪专练3】某校为丰富校园生活、培育团队精神，特举办班超三人篮球赛，根据场上位置分工，出场三人的位置一般分为中锋、前锋、后卫，七年级某班选派甲、乙、丙三名同学首发出场，其中后卫比丙年龄大，中锋和乙不同岁，乙比前锋年龄小，下列推断正确的是（     ） A．甲是后卫，乙年龄最小 B．乙是后卫，丙年龄最小 C．甲是后卫，丙年龄最小 D．乙是后卫，乙年龄最小 题型12.举反例 【典例】．要说明“若，则”是假命题，可作为反例的一组数值是________，________． 【跟踪专练1】判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中可以为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】用一组，，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是__________、__________、__________． 【跟踪专练3】下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 解答题 1．已知：在中，．求作：的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别三个是，，．    (1)把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； (2)若点P为的外心，请直接写出点P的坐标 ． 3．定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 4．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． (1)弧所在圆的圆心的坐标为________________； (2)求弧所在圆的半径； 5．如图，点A为直线l外一点，分别作出满足下列条件的． (1)过点A，与l相切且半径最小； (2)过点A，与l相切于点P，的度数为． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 6．北师大版教材八年级下册§1.1在探究反证法时，给出了如下思路：“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．假设，则由等边对等角得，这与已知矛盾，故． (1)上述证明使用的方法是 ； (2)写出“等腰三角形两底角相等”的逆命题，并判断真假； (3)仿照上述思路、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10过三点的圆暑假预习讲义 ①探究：分类探究过一点、两点、三点作圆的情况，明确过一点、两点可作无数个圆；圆心分别分布在任意位置、两点连线的垂直平分线上。 ②识记：牢记核心定理：不在同一直线上的三点确定一个圆，理解“有且只有”的含义；共线三点无法作出外接圆。 ③概念：熟记三角形外接圆、内接三角形、外心定义，明确外心是三角形三条边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点距离相等（外接圆半径）。 ④辨析：根据三角形类型判断外心位置：锐角三角形外心在内部、直角三角形外心在斜边中点、钝角三角形外心在三角形外部 。 ⑤实操：掌握尺规作三角形外接圆完整步骤，通过作两条边的垂直平分线锁定圆心，以圆心到顶点距离为半径画圆，规范作图流程。 ⑥运算：针对直角三角形快速求解外接圆半径，掌握半径等于斜边一半的结论；结合垂直平分线性质计算外接圆半径、线段长度。 ⑦应用：利用三点定圆原理解决破损圆盘找圆心、复原圆形器物这类实际应用题，掌握找圆心的实操方法。 ⑧认知：初步认识反证法，理解反证法基本思路，能够简单证明“共线三点不能确定一个圆”。 ⑨说理：依托垂直平分线性质，简单说理外心到三顶点距离相等，培养几何严谨推理能力。 ⑩避错：规避高频易错点，忽略“三点不共线”前提、混淆外心与内心概念、直角三角形外接圆半径公式记错、作图遗漏垂直平分线。 预习必备 知识梳理 1.过一点.两点作圆 2过不在同一直线上的三点作圆 3.外心的位置规律 4.反证法 1.角形外接圆的概念辨析 2..求三角形外心坐标 常考题型 精讲精练 3.求特殊三角形外接圆半径 4.由外心位置判断三角形形状 5.判断三角形外接圆圆心位置 6.判断确定圆的条件 7.确定圆心 8.求能确定的圆的个数 9.画圆 10.反政府证明中的假设 11.用反证法证明命题 12.举反例 强化题型 解答题6题 基础回顾：过一点、两点作圆 1. 过一个已知点 A 作圆 画法：任取异于 A 的点作为圆心，圆心到 A 的距离为半径画圆 结论：过一点可以作无数个圆 2. 过两个已知点 A、B 作圆 圆心要求：圆心到 A、B 距离相等，因此圆心在线段AB的垂直平分线上 结论：过两点可以作无数个圆 条件 圆心位置 可画圆数量 过 1 个点A 平面内任意一点（除A） 无数个 过 2 个点A、B 线段AB的垂直平分线上任意一点 无数个 知识点02：过不在同一直线上的三点作圆 1. 定理 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 解读： “确定”= 有且只有一个圆； 关键前提：三点不能共线，若三点在一条直线上，则无法画出同时经过三点的圆。 2. 作图步骤（必考操作题） 已知：不在同一直线上三点A、B、C (1)连接AB、BC； (2)分别作线段AB、BC的垂直平分线； (3)两条垂直平分线交于一点O； (4)以O为圆心，OA（或OB、OC）为半径画圆，⊙ O即为所求。 3. 相关概念 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆； 三角形的外心：外接圆的圆心，即三角形三条边垂直平分线的交点； 圆的内接三角形：三个顶点都在同一个圆上的三角形。 4. 外心核心性质 ① 外心到三角形三个顶点的距离相等，这个距离就是外接圆半径； ② 外心位置与三角形形状对应： 知识点03：外心的位置规律（表格总结，板书高频） 三角形类型 外心位置 特征 锐角三角形 三角形内部 三条垂直平分线交于形内 直角三角形 斜边中点 外接圆直径 = 直角三角形斜边 钝角三角形 三角形外部 三条垂直平分线交于形外 核心推论：直角三角形外接圆半径 R=斜边长度。 知识点04：反证法（本节必考新方法） 1. 适用命题 证明：在同一直线上的三个点不能作圆（定理逆命题） 2. 反证法标准三步流程 假设：假设原命题结论不成立； 推理：从假设出发推导，得出与已知公理、定理、条件矛盾的结果； 结论：由矛盾判定假设错误，原命题成立。 完整证明示例 求证：过同一直线上三点不能作圆 （1）假设：过直线l上三点A、B、C可以作圆，圆心为O； （2）推导：OA=OB=OC，则O既在AB垂直平分线上，又在BC垂直平分线上；两条垂直平分线都垂直于l，过一点O有两条直线垂直l，与 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直” 矛盾； （3）结论：假设不成立，故共线三点无法作圆。 知识点 5 基础概念辨析易错汇总 1.圆是封闭曲线，不是圆面；圆面是圆周及其内部整体； 2.直径是线段，不是直线；半径也是线段； 3.优弧书写必须三字母，劣弧可两字母； 4.判定等弧先看是否同圆 / 等圆，再看能否重合，不能只看弧长； 5.三点共线时无外接圆，不共线三点确定唯一外接圆； 6.外心是垂直平分线交点，不是角平分线交点（角平分线交点是内心）。 知识点 6 基础题型应用 1.已知半径和点到圆心距离，判断点在圆内 / 圆上 / 圆外； 2.已知点与圆位置，求半径或距离的取值范围； 3.识图：在图形中准确找出圆心、半径、弦、直径、优弧、劣弧、半圆； 4.判断命题对错：辨析直径、弦、等弧、半圆、外接圆、外心相关判断题； 5.给定三角形，判断外心位置、求外接圆半径（尤其直角三角形斜边为直径题型）。 题型1.三角形外接圆的概念辨析 【典例】三角形的外心是______的交点． 【答案】三角形三条边的线段垂直平分线 【分析】本题主要考查了三角形外心的概念，掌握外心的定义和性质是本题的解题关键． 【详解】解：∵三角形的外心到三角形三个顶点的距离相同， ∴三角形的外心是三角形三条边的线段垂直平分线的交点， 故答案为：三角形三条边的线段垂直平分线． 【跟踪专练1】如图，已知点是的外心，，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外心的性质以及圆周角定理，掌握“三角形的外心是其外接圆的圆心”、“同弧所对的圆心角的度数是圆周角的两倍”知识点是解题的关键． 由已知点是的外心，说明点是外接圆的圆心，根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：点是的外心，， 是圆周角，是同弧所对的圆心角， ． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，O是的外心，则________． 【答案】/90度 【分析】根据圆的外心定义和等腰三角形的性质得到，，，再根据三角形的内角和定理和周角定义求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，则． 【跟踪专练3】如图，在中，．观察图中尺规作图的痕迹，则的半径是（   ） A． B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】由作法得：点O为的三边垂直平分线的交点，则为的外接圆，连接，由圆周角定理可得，可得为等边三角形，即可求解． 【详解】解：由作法得：点O为的三边垂直平分线的交点，则为的外接圆， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 即的半径是5． 题型2.求三角形外心坐标 【典例】图中的外心坐标是___． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义，根据三角形外心的定义作三角形两边的垂直平分线，根据网格的特点，很容易作出与的垂直平分线，则它们交点的坐标为所求． 【详解】解：作，的垂直平分线交点P，如图， 则点P为的外心， P点坐标为． 故答案为∶． 【跟踪专练1】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外接圆圆心的确定，勾股定理等知识，确定圆心坐标是关键；确定外接圆的圆心坐标，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，圆心M的坐标， ∵， ∴， ∴的半径为， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，已知，，，则外接圆的圆心坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形外接圆圆心的确定，掌握三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，通过求三边垂直平分线的交点得到圆心坐标是解题的关键． 三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，所以需分别画出和的垂直平分线，再求其交点坐标． 【详解】解：如图所示： 分别作出与的垂直平分线交于点，则的横坐标为4，纵坐标为4， ∴△ABC的外接圆的圆心坐标为 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．点D为的外心 【答案】C 【分析】本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形内角和定理的应用，三角形的外心的定义；由题意可知直线是线段的垂直平分线，故，，故可得出的度数，根据可知，故可得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：由题意可知直线是线段的垂直平分线， ，， ， ， ． ， ， B正确，C错误； ，， ， 点为的外心，故D正确； ，， ，故A正确． 故选：C． 题型3.求特殊三角形外接圆半径 【典例】在中，，则外接圆的半径为 ___________． 【答案】4或5 【分析】本题考查了直角三角形外接圆半径，掌握理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆是解题的关键． 根据外接圆直径是斜边长，分斜边为和两种情况进行讨论计算即可． 【详解】解：当为斜边时，， 是直角， 三角形外接圆直径， 半径是4； 当为斜边时， 为直角， ， ， 三角形外接圆直径为 半径是5； 综上所述：半径为4或5． 故答案为：4或5． 【跟踪专练1】如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键．直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离． 【详解】解：∵中，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． 【跟踪专练2】如图，是的内接三角形，，，把绕点按逆时针方向旋转得到，则对应点、之间的距离为_______． 【答案】2 【分析】连接、、，根据圆周角定理求出，得到是等边三角形，求出，根据旋转的性质得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接、、， 由圆周角定理得，， 是等边三角形， ， 由旋转的性质可知，， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心的概念和性质，掌握圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定定理是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，是，的外接圆，，若，，则的半径为（　　）    A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识．连接，过点O作，交于点F，交于点E，根据圆心角、弧、弦的关系求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作，交于点F，交于点E，    则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的半径为 在中，，即， 解得：， 故选：B． 题型4.由外心位置判断三角形形状 【典例】．设I为△ABC的外心，若∠BIC=100°，则∠A的度数为______． 【答案】50°或130° 【分析】根据三角形的外心是三角形外接圆圆心，是圆心角，可得出∠A的度数． 【详解】解：当三角形是锐角三角形 ∵I是的外心， ∴圆心角与圆周角∠A所对弧是同弧， ∴． ． 当三角形是钝角三角形， 同理可得：． 故答案为：50°或130°． 【点睛】本题主要考查了三角形的外心与圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 【跟踪专练1】的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据三角形外心与三角形的位置关系可判断三角形的形状，因此可得到答案． 【详解】解：当的外心在的内部时，则是锐角三角形； 当的外心在的外部时，则是钝角三角形； 当的外心在的一边时，则是直角三角形，且这边是斜边． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的外心，解决本题的关键是经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 【跟踪专练2】如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________． 【答案】△ADC、△BDC、△ABD 【分析】先求出△ABC的外接圆半径r，再找到距离O点的长度同为r的点，即可求解． 【详解】由网格图可知O点到A、B、C三点的距离均为：， 则外接圆半径， 图中D点到O点距离为：， 图中E点到O点距离为：， 则可知除△ABC外把你认为外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC， 故答案为：△ADC、△ADB、△BDC． 【点睛】本题考查了外接圆的性质、勾股定理等知识，求出△ABC的外接圆半径r是解答本题的关键． 【跟踪专练3】如图，是等边三角形且边长为1，点，，分别在边的延长线上，，连接，．给出下面四个结论： ①是等边三角形； ②； ③的面积为； ④的外心与的外心重合． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．利用证明，推出，证明是等边三角形；利用三角形的外角性质求得，可证明；利用勾股定理求得，求得；利用等边三角形的外心和内心的性质据此即可得解． 【详解】解：∵是等边三角形且边长为1， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故①正确； ∵，， ∴， ∴，即，故②正确； ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； 设的外心为， ∵是等边三角形， ∴点也是的内心，作于点，于点， ∴，， ∴， ∴， ∴，同理，则， ∴的外心与的外心重合，故④正确． 综上，正确的有①②④， 故选：B． 题型5.判断三角形外接圆圆心位置 【典例】已知点O是的外心，且，则________． 【答案】3 【分析】根据三角形的外心的性质解答即可； 【详解】∵点 为 的外心， 故答案为3 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等是解题的关键 【跟踪专练1】如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，得出外接圆圆心位置是解题关键． 根据题意得出的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理求出半径即可． 【详解】解：如图所示：点O为外接圆圆心，则为外接圆半径， 故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：． 故选：D． 【跟踪专练2】已知中，，点O是的外心，点是的外心，点是的外心，点是的外心，…，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】画出图形，根据圆周角定理依次算出，，，最后根据规律即可解答． 【详解】解：如图：     ， ；    ， ；   ， ；   ， ；   ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形外心的概念，圆周角定理，熟练画出图形，找出规律是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，根据三角形的外心是三角形三条边的线段垂直平分线的交点，结合网格，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，满足题意，共2个， 故选：C． 题型6.判断确定圆的条件 【典例】已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ___________． 【答案】2 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟知经过线段最小的圆即为以AB为直径的圆是解答此题的关键． 经过线段最小的圆即为以为直径的圆，求出半径即可． 【详解】解：根据题意得：经过线段最小的圆即为以为直径的圆，则此时半径为． 故答案为：2． 【跟踪专练1】一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 【跟踪专练2】如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得，解题的关键是熟练掌握圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，只要有一段弧，即可确定圆心和半径， ∴小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是， 故选：B． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，M，N分别是，上的动点，连接，交于点E，且． （1）___________． （2）连接，则的最小值为___________． 【答案】 /90度 2 【分析】（1）由，推出，最后利用矩形的性质即可得解； （2）先确定E点的运动路径是个圆，再利用圆的知识和两点这间线段最短确定最短长度，然后利用勾股定理即可得解． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴ .∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 故答案为． （2）∵，点E在以为直径的圆上，设的中点为O，则当O，E，C三点共线时，的值最小，此时 ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，最短距离，圆等知识的应用，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 题型7.确定圆心 【典例】如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断． 【详解】解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心． 故选：B． 【点睛】本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键． 【跟踪专练1】如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问题的关键． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 【答案】D 【分析】根据三角形外心的定义对结论 Ⅰ 进行判断；利用点 D、 G有任意性可对结论 Ⅱ 进行判断． 【详解】解：点是和的垂直平分线的交点， 点是的外心，故结论Ⅰ正确； 点，的位置不确定， 和的长度不确定，故结论Ⅱ不正确． 故选：． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形的外心与内心，熟练掌握尺规作图和三角形外心的性质是解题的关键． 题型8.求能确定的圆的个数 【典例】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可． 【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． 【跟踪专练1】已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（）有三点共线；（）任意三点不共线，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆． 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． 【跟踪专练2】已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 【答案】C 【分析】根据过不共线三点可作一个圆，找出不共线三点的组数即可． 【详解】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆． 故选C． 【点睛】本题考查三点共圆问题，掌握查确定圆的个数方法是解题关键． 题型9.画圆 【典例】下列尺规作图的语句正确的是（　　） A．延长射线到D B．延长线段至C，使 C．作直线 D．以点D为圆心，任意长为半径画弧 【答案】D 【分析】本题考查了线段、射线以及直线的概念及尺规作图，熟练掌握线段、射线以及直线的性质是解题的关键； 根据线段、射线以及直线的概念，利用尺规作图的方法进行判断即可得出正确的结论． 【详解】解：A．根据射线是从A向B无限延伸，故延长射线到D是错误的；不符合题意； B．延长线段至C，则，故使是错误的；不符合题意； C．根据直线的长度无法测量，故作直线是错误的；不符合题意； D．根据圆心和半径长即可确定弧线的形状，故以点D为圆心，任意长为半径画弧是正确的；符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】下面是李老师编辑的一份文档，由于粗心，作法的步骤被打乱了： 已知：如图，是的一个内角． 求作：． 作法： ①以点为圆心，为半径作的外接圆； ②在弧上取一点，连接，．所以． ③分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；与直线交于点； 正确的作图步骤应该是（    ） A．①③② B．③②① C．③①② D．②①③ 【答案】C 【分析】根据同弧所对的圆周角相等，因此要画出的外接圆，即要确定外接圆的圆心，根据外心，是三角形，三边的中垂线的交点，因此要先做的中垂线，利用交点确定圆心，再画出的外接圆，进行判断即可． 【详解】解：根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等， ∴画出的外接圆，在弧上取一点，连接，．即可得到， ∵外心是三角形三边的中垂线的交点， ∴先作的中垂线，利用交点确定圆心，再点为圆心，为半径作的外接圆，然后在弧上取一点，连接，，即可． ∴作图的顺序为：③①②； 故选C． 【点睛】本题考查作图—复杂作图．熟练掌握三角形的外接圆的圆心是三边中垂线的交点，以及同弧所对的圆周角相等，是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，已知的半径为1，是直径，分别以点为圆心，以的长为半径画弧．两弧相交于两点，则图中阴影部分的面积是__________ 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，作图—复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．连接，先判断为等边三角形，则，由于，所以图中阴影部分的面积，然后利用扇形的面积公式、等边三角形的面积公式和圆的面积公式计算． 【详解】解：连接如图： 的半径为1，是直径， ， 以的长为半径画弧，两弧相交于两点， ， 为等边三角形， 图中阴影部分的面积 ， 故答案为： 题型10.反政府证明中的假设 【典例】“若，则”，用反证法证明这个结论时，应先假设________． 【答案】 【详解】解：若，则，用反证法证明这个结论时，应先假设． 【跟踪专练1】用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（     ） A．有两个锐角都不大于 B．只有一个锐角不大于 C．有两个锐角都大于 D．只有一个锐角大于 【答案】C 【详解】∵用反证法证明命题，需要先假设结论的反面成立． 原结论为“直角三角形中至少有一个锐角不大于”， “至少有一个不大于”的否定为“全部都大于”， 又∵直角三角形有且仅有两个锐角， ∴应假设两个锐角都大于． 【跟踪专练2】利用反证法证明命题“同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行”，第一步应该假设：______． 【答案】这两条直线不平行 【分析】本题考查了反证法，根据反证法的第一步是假设原命题的结论不成立即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由原命题“同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行”的结论是“两条直线互相平行”， 因此反证法第一步应假设结论不成立，即“这两条直线不平行”， 故答案为：这两条直线不平行． 【跟踪专练3】用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有两个不相等的有理根，则a，b，c不可能全为奇数”时，应先假设（     ） A．a，b，c全为偶数 B．a，b，c至多有一个奇数 C．a，b，c全为奇数 D．a，b，c至多有两个奇数 【答案】C 【分析】反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立，只需对原结论进行否定即可得到所求假设． 【详解】解：∵反证法证明命题时，第一步要假设原命题的结论不成立，命题需证明的结论为：，，不可能全为奇数， ∴该结论的否定为：，，全为奇数，即应先假设，，全为奇数． 题型11.用反证法证明命题 【典例】阅读下面关于“不是有理数”的证明过程，并填空： “不是有理数”，对于这一事实的证明，最早出现在亚里士多德（）的著作中，但他声明来源于毕达哥拉斯学派．欧几里得（）在《原本》中给出了证明． 证明：假设应是有理数，由于，所以必然有两个正整数a，b， 使，① 而且a，b互质（即没有1以外的公因数）． 等式①两边平方，得 ，即． 所以________．② 上面式子的右边是偶数，所以左边也是偶数，因而b也是________， 可设（k是正整数），代入②，得 ， 即． 所以a也是偶数，这说明a，b都是偶数，不是________， 与假设相矛盾，即________有理数． 【答案】 偶数 互质数 不是 【分析】本题考查了反证法的知识点，熟知反证法的步骤和方法是解题的基础，等式的恒等变形、奇数、偶数和互质数的概念的理解和运用是解题的关键． 根据被除数等于商乘以除数可得；其它几问根据奇数、偶数、互质数的概念和反证法的要求填写即可． 【详解】解：∵， 故答案为：； ∵是偶数， ∴也是偶数，也是偶数． 故答案为：偶数； ∵a、b都是偶数， ∴a、b不是互质数． 故答案为：互质数； ∵假设“是有理数，”，在假设的基础上，经过推理得出的结论“a、b不是互质数”与“a、b是互质数”相矛盾， ∴假设“是有理数”不成立． ∴不是有理数． 故答案为：不是． 【跟踪专练1】证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 【答案】C 【分析】本题考查了反证法“假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法”，熟记定义是解题关键．根据反证法的定义即可解答． 【详解】解：由证明过程可知，证明方法是反证法， 故选：C． 【跟踪专练2】以下是用反证法证明命题“在三角形中，大角对大边”的四个步骤： ①如图，已知：在中，．求证：． ②无论哪种情况，都与已知矛盾． ③因此假设都不成立，所以． ④假设，；假设，．这四个步骤正确的顺序应是_______________． 【答案】①④②③ 【分析】反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．据此即可解答． 【详解】解：如图，已知：在中，．求证：． 假设，；假设，； 无论哪种情况，都与已知矛盾． 因此假设都不成立，所以． 【跟踪专练3】某校为丰富校园生活、培育团队精神，特举办班超三人篮球赛，根据场上位置分工，出场三人的位置一般分为中锋、前锋、后卫，七年级某班选派甲、乙、丙三名同学首发出场，其中后卫比丙年龄大，中锋和乙不同岁，乙比前锋年龄小，下列推断正确的是（     ） A．甲是后卫，乙年龄最小 B．乙是后卫，丙年龄最小 C．甲是后卫，丙年龄最小 D．乙是后卫，乙年龄最小 【答案】B 【分析】根据题干给出的条件，逐步排除得到每个人的位置和年龄大小关系即可判断选项． 【详解】解：∵ 甲、乙、丙对应中锋、前锋、后卫三个不同位置，已知条件： 1. 后卫比丙年龄大，可得后卫不是丙； 2. 中锋和乙不同岁，可得中锋不是乙； 3. 乙比前锋年龄小，可得乙不是前锋； ∴ 乙既不是中锋也不是前锋，因此乙是后卫。 ∵ 乙是后卫，后卫比丙年龄大， ∴ 乙的年龄大于丙的年龄； 又∵ 乙比前锋年龄小， ∴ 前锋年龄大于乙的年龄； 得到年龄关系：前锋乙丙，因此丙年龄最小． 综上，乙是后卫，丙年龄最小，选项B正确． 题型12.举反例 【典例】．要说明“若，则”是假命题，可作为反例的一组数值是________，________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【详解】解：要说明“若，则”是假命题，则只需找到一组的值，满足且， 可取（答案不唯一）． 【跟踪专练1】判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反例需要满足命题条件，且不满足命题结论，据此逐一判断选项即可． 【详解】反例需要满足条件，且不满足结论． 选项B、D中，，均不满足， B、D不符合要求，不是反例； 选项C中，满足，且，满足命题结论， C不是反例； 选项A中，满足，且，不满足， A是符合要求的反例． 【跟踪专练2】用一组，，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是__________、__________、__________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】只需举出反例说明命题错误即可，根据不等式的性质，当为非正数时，满足，但无法得到，即可完成举例． 【详解】解：当，，时，可得，即，不满足，因此可以说明“如果，那么”是假命题． 【跟踪专练3】下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反例，要证明命题“若，则”是假命题，需找到满足但的例子即可，理解反例的概念是解题的关键． 【详解】解：、当，时， ，不满足，不合题意； 、当，时， ，满足条件， 又∵，结论成立，不能作为反例，不合题意； 、当，时， ，满足条件， 又∵，结论不成立，符合反例要求； 、当，时， ，不满足，不合题意； 综上，只有选项满足且， 故答案为：． 解答题 1．已知：在中，．求作：的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形外接圆的尺规作图知识点，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图方法以及三角形外接圆的性质（三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等）。 通过作线段的垂直平分线确定外接圆的圆心O，再以圆心到三角形顶点的距离为半径作圆，即可得到三角形的外接圆。 【详解】解：如图即为所求． 2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别三个是，，．    (1)把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； (2)若点P为的外心，请直接写出点P的坐标 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的作图，三角形的外心，掌握旋转的作图方法，以及三角形的外心是三边垂直平分线是交点，是解题的关键． （1）连接并延长，使，再依次连接点即可； （2）找出，垂直平分线的交点，即可解答． 【详解】（1）解：如图1所示：即为所求； （2）解：如图2，点P为的外心， ∵四边形为正方形， ∴为的垂直平分线， ∵，， ∴的垂直平分线为直线， 由图可知，的垂直平分线与的垂直平分线相交于点， ∴点为外心， ∴点坐标为． 故答案为：． 3．定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 【答案】(1) 解：如图，即所求． (2)不是， 【分析】（1）作线段，的垂直平分线交于点O，连接以O为圆心，为半径作即可； （2）的外接圆不是它的最小覆盖圆，以为直径的圆是最小覆盖圆． 【详解】（1）略 （2）解：的外接圆不是它的最小覆盖圆．以为直径的是的最小覆盖圆． 如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ，， ， ， 的最小覆盖圆的直径为． 4．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． (1)弧所在圆的圆心的坐标为________________； (2)求弧所在圆的半径； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆的确定方法，勾股定理，熟练掌握圆的确定方法是解题的关键： （1）根据圆的确定方法，得到线段的中垂线的交点即为圆心，画图即可得出结果； （2）利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，点即为圆心，由图可知：； （2）由勾股定理，得； 故半径为． 5．如图，点A为直线l外一点，分别作出满足下列条件的． (1)过点A，与l相切且半径最小； (2)过点A，与l相切于点P，的度数为． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图，过点A作直线l于点D，以为直径作即可； （2）如图，过点A作直线l于点D，以为边作等边三角形，延长交直线l于点P，以为边在的右侧构造等边三角形，以O为圆心，为半径作即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 理由：由垂线段最短可知：所有过点A，与l相切的圆中，是最短的直径， 所以，半径最小； （2）解：如图，过点A作直线l于点D，以为边作等边三角形， 所以，， 延长交直线l于点P，则, 以为边在的右侧构造等边三角形，以O为圆心，为半径作， 所以，, 所以，，即， 所以直线是的切线，此时的度数为． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，切线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．北师大版教材八年级下册§1.1在探究反证法时，给出了如下思路：“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．假设，则由等边对等角得，这与已知矛盾，故． (1)上述证明使用的方法是 ； (2)写出“等腰三角形两底角相等”的逆命题，并判断真假； (3)仿照上述思路、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角． 【答案】(1)反证法 (2)逆命题为“如果一个三角形中两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”，该命题是真命题 (3)证明见详解 【分析】（1）根据反证法的定义即可判断； （2）根据逆命题的定义，找准结论和条件即可写出逆命题，并判断； （3）根据反证法，假设一个三角形中有两个直角，再利用三角形内角和证伪即可． 【详解】（1）解：由题目中的证明过程可知，该方法为反证法； （2）解：逆命题需将结论和条件互换，故逆命题为“如果一个三角形中两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”， 根据“等角对等边”定理可知，此为真命题； （3）证明：假设一个三角形中有两个直角，不妨设在中，，， ∵三角形内角和为， ， ∵在一个三角形中 ， ∴， 这与三角形内角和等于矛盾， ∴假设不成立， ∴一个三角形中不能有两个直角． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $