第27章 反比例函数 单元复习（10大知识点总结+12大题型+易错警示+解题技巧）2026-2027学年人教版数学九年级上册易错题重难点培优讲义

第27章 反比例函数 知识点1：反比例函数的概念 　　1.定义：一般地，形如（为常数，）的函数，叫做反比例函数。 　　2.等价形式：、（）。 　　3.称为比例系数，自变量的取值范围是一切不等于0的实数。 知识点2：求反比例函数的解析式 　　用待定系数法： 　　（1）设（）； 　　（2）代入一组对应值，解出k； 　　（3）写出解析式。 知识点3：反比例函数的图象 　　1.图象是双曲线，由两支曲线组成，由列表、描点、连线画出。 　　2.两支曲线无限接近坐标轴，但永不相交。 　　3.双曲线既是中心对称图形（关于原点），又是轴对称图形（关于、对称）。 知识点4：反比例函数的性质 项 图象位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 增减性 每一象限内y随x增大而减小 每一象限内y随x增大而增大 注意：增减性只在"每个象限内"成立，跨象限不能直接比大小 知识点5：比例系数k的几何意义 　　1.过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于。 　　2.连接该点与原点所得三角形面积等于。 　　3.由图形面积可求，进而确定函数解析式。 知识点6：反比例函数与一次函数的交点 　　1.联立两解析式解方程组，交点为公共解。 　　2.交点个数由联立后判别式决定：两交点，一交点，无交点。 　　3.与正比例函数交点的两个交点关于原点对称。 知识点7：利用图象解不等式 　　1.先求交点横坐标。 　　2.图象在上方的函数值大，下方的小。 　　3.由图象确定满足或的x取值范围。 知识点8：反比例函数的实际应用 　　1.判断两变量是否成反比例：看乘积是否为定值。 　　2.常见模型：杠杆、压强、电压、矩形面积、浓度等。 　　3.实际问题的自变量取值范围需根据实际意义确定。 知识点9：反比例函数与几何图形综合 　　1.用点坐标表示线段长、图形面积。 　　2.结合矩形、三角形、平行四边形等图形性质列式。 　　3.利用k的几何意义与对称性简化计算。 知识点10：易错警示 易错点 错误做法 正确做法 比例系数 忽略 写解析式先判 增减性 跨象限比较y大小 只在每个象限内比较 面积与k 忘加绝对值 面积取或 自变量范围 忽略实际问题限制 结合实际意义取范围 【易错题型】 【题型1】反比例函数概念的判断 　　1.易错点总结 　　（1）忽略k≠0，导致字母取值出错； 　　（2）把、与一般式混淆； 　　（3）将一次、二次函数误认为反比例函数。 　　2.纠错技巧 　　（1）化成或判断； 　　（2）判k≠0； 　　（3）验证x、y乘积为定值。 【例题1】.（26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）下列属于反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义逐一判断各选项． 【详解】解：选项是一次函数，不符合； 选项中的次数为，不符合； 选项是反比例函数； 选项由变形得，是正比例函数，不符合． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·吉林·期中）下列关系式中，属于二次函数的是（为自变量）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简B选项的表达式，再结合二次函数的定义逐一判断． 【详解】解：A．是反比例函数，不是二次函数； B． 化简得，是一次函数，不是二次函数． C．符合二次函数的定义，是二次函数． D． 分母含有自变量，不是整式函数，不是二次函数． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）若是反比例函数，则m的值为_______． 【答案】 或 【分析】根据反比例函数定义，需满足自变量的次数为，且比例系数不为，据此列方程求解即可. 【详解】解：∵是反比例函数， ∴ 且， 解得或， 经检验，或均符合题意， 故或. 【变式题1-3】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）若函数是反比例函数，则______． 【答案】3 【详解】解：∵为反比例函数时，的次数为， ∴， 解得． 【基础题型】 【题型2】图象的分布象限与增减性 　　解题技巧： 　　（1）由k符号定象限：一、三象限，二、四象限； 　　（2）每个象限内的增减性由k符号定； 　　（3）比较y大小先看是否同象限； （4）结合图象直观判断。 【例题2】.（26-27九年级上·吉林·期中）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（     ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】B 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质进行判断． 【详解】解：把代入， 得， ∵， ∴该反比例函数的图象在第一、三象限． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·安徽合肥·期中）若关于的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别为（） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】A 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·河南开封·期中）已知，两点在双曲线上，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两点坐标代入双曲线解析式，得到、关于的表达式，结合列不等式求解． 【详解】解：将，代入，得 ，， ， ， 两边同乘得 ， 移项得 ， 解得 ． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图像经过点 B．图像在第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数为， ． ∴图象位于第二、四象限，选项B错误． 将代入解析式，得， ∴图象不经过点，选项A错误． 当时，随的增大而增大，选项C错误． 当时，随的增大而增大，选项D正确． 【题型3】图象上点的坐标特征 　　解题技巧： 　　（1）图象上的点满足； 　　（2）已知一点求k，再验证其它点； 　　（3）利用乘积定值求字母； （4）对称点也在图象上。 【例题3】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是_________． 【答案】 【分析】两个函数的交点关于原点中心对称，根据关于原点对称的点的坐标性质，由点的坐标可求得点的坐标． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴两个图象的交点关于原点中心对称， ∵关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，点的坐标为， ∴点的坐标为． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于，两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的交点问题，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线与反比例函数图象的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：由题意可知，点与点B关于原点对称， 点的坐标为， 故选：A． 【变式题3-2】.（24-25八年级下·山西晋城·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象的一个交点为，与轴交于点，为轴上的一点，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键． 利用待定系数法求出一次函数的解析式，即可求出点坐标，设点的坐标为，可得为代入面积公式求值即可． 【详解】解：将代入， 可得：， ∴， 将代入， 可得：， ∴， ∴点坐标为， 根据为轴上的一点，可设点的坐标为， 即， ∴， 解得：，， ∴点的坐标为或． 故选：C． 【变式题3-3】.（2026·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据代入求解即可． 【详解】（1）解： 在反比例函数的图象上， ，则， 点在正比例函数的图象上， ，则， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：联立和得，即，则， ∴， 的面积为8，即， ， ， ∵点是轴正半轴上的一点， 点的坐标为． 【题型4】反比例函数的对称性 　　解题技巧： 　　（1）关于原点中心对称，与同在图象上； 　　（2）关于、轴对称； 　　（3）利用对称性求点的坐标； （4）正比例与反比例交点关于原点对称。 【例题4】.（19-20九年级上·四川成都·期中）下列坐标是反比例函数图象上的一个点的坐标是（    ） A．（-3，－1） B．（-1，3） C．（－3，1） D．（1，-3） 【答案】A 【分析】找到横纵坐标的积等于3的坐标即可． 【详解】A. -3×(−1)=3，故正确； B. -1×3=-3，故错误； C. −3×1=−3，故错误； D. 1×（-3）=−3，故错误； 故选A 【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于掌握反比例函数得特征. 【变式题4-1】.（25-26九年级上·河南·期末）若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，反比例函数的性质，首先由得到和互为相反数，然后判断出点和关于原点对称，进而得到和3互为相反数，进而求解即可． 【详解】解：∵双曲线（）的图象经过点和， ∵， ∴和互为相反数， ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴点和关于原点对称， ∴和3互为相反数， ∴． 故答案为：． 【变式题4-2】.（2026·河南平顶山·三模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点，，已知点的纵坐标为． (1)求点的坐标和反比例函数的表达式； (2)若是轴上一个动点，连接，将绕点顺时针旋转后点的对应点恰好能落在反比例函数图象上，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）分别将点的纵坐标代入正比例函数和反比例函数的表达式，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，分类讨论：当点在轴正半轴上时；当点在轴负半轴上时；构造全等三角形，结合图形分析线段的和差关系表示出的坐标，代入表达式，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意，分别将点的纵坐标代入正比例函数和反比例函数的表达式可知：，， 整理可得，， 解得， ∵， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 点的坐标为， ∴由点，关于原点对称得点的坐标为； （2）解：①当点在轴正半轴上时，如图所示， 分别过点、向轴作垂线，垂足为、， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 设，则，，， ∴点的坐标为，将点坐标代入反比例函数表达式， ∴， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴点的坐标为； ②当点在轴负半轴上时，如图所示， 分别过点、向轴作垂线，垂足为、， 同理可得，，， ∴， 设，则，，， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为，将点坐标代入反比例函数表达式， ∴， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∵点在轴负半轴上， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何图形，掌握待定系数法求解析式，构造三角形全等得到点坐标，分类讨论思想是关键． 【变式题4-3】.（20-21九年级上·福建南平·期末）在平面直角坐标系中 ，的顶点，反比例函数的图象过的中点． (1)求反比例函数表达式； (2)已知点关于点的对称点，试判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)在反比例函数的图象上，理由： ∵点关于点的对称点为， ∴点的坐标为， ∴当时，， 则在反比例函数的图象上． 【分析】本题考查了中点坐标公式、反比例函数表达式的求解、关于点对称的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，通过这些知识来解决求反比例函数表达式以及判断点是否在反比例函数图象上的问题． （）先求中点的坐标，再代入反比例函数求出表达式； （）先根据点关于点对称求出点的坐标，再判断点是否在反比例函数图象上 【详解】（1）解：∵点， ∴的中点的坐标为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数表达式为． （2）略 【提升题型】 【题型5】k的几何意义与面积 　　解题技巧： 　　（1）过点向两坐标轴作垂线，矩形面积=； 　　（2）连接原点，三角形面积=； 　　（3）面积加绝对值定k符号； （4）由面积求k再定解析式。 【例题5】.（26-27九年级上·山西朔州·期中）如图，这是反比例函数的一部分图象，已知是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，的面积是，则的值是（     ） A． B．6 C．3 D．2 【答案】A 【详解】解：∵的面积等于， ∴， ∴， ∵反比例函数图象过第二象限， ∴， ∴． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，P在x轴上，连接、，若的面积为6，则__________． 【答案】 【分析】连接，根据平行面积转化结合值的几何意义，进行求解即可. 【详解】解：连接，设与轴交于点，如图， ∵轴，P在x轴上，的面积为6， ∴轴，的面积等于的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∵图象在第二象限， ∴， ∴. 【变式题5-2】.（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于D、E两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为_______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义，由求出的值，进而求出、的长，利用割补法，用矩形面积减去三个直角三角形面积即可求解． 【详解】解：四边形是长方形，，， ，，， 点、在反比例函数的图像上， ，， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴，点B在y轴正半轴，四边形为矩形，顶点在第一象限，矩形的面积为．反比例函数（）的图象交线段于点，交线段于点．连接、、，若，记． (1)求的值； (2)求此时的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）设点坐标为，点坐标为，由矩形面积为8，得．根据矩形性质和坐标与图形性质，结合已知可得点，代入即可求得函数解析式； （2）求得点，根据反比例函数系数k的几何意义得，再由求解即可． 【详解】（1）解：设点坐标为，点坐标为，因为四边形是矩形，所以点坐标为． 由矩形面积为8，得． ∵， ， ∴， ∴． 代入反比例函数得： ， ​∴． （2）解：∵在反比例函数 ​上，代入得​，因此． ∵． ∵ ∴； 由的纵坐标可知， ∵即​， ∴． ∴ ， ​ ∴，​ ∴． 【题型6】反比例函数与一次函数的交点 　　解题技巧： 　　（1）联立方程组求交点； 　　（2）判别交点个数用判别式； 　　（3）交点代回验证； （4）结合图象判断位置。 【例题6】.（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象在同一坐标系中可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线经过定点，即可排除B、C选项；再由一次函数与反比例函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：，当时，，而 ∴， 故直线经过点，B、C均不符合题意； 由A、D可知，直线经过第一、二、三象限，故，那么此时反比例函数图象经过第一、三象限，故只有D符合题意． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）若二次函数的图象开口向上，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象开口向上，可得，再根据正比例函数和反比例函数的图象性质求解即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，可得， ， 正比例函数的图象经过一、三象限，反比例函数的图象在一、三象限， 选项C符合题意． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，直线与函数的图象交于B，C两点，与y轴交于点A，与x轴交于点D．已知，则__________． 【答案】 3 【分析】联立直线与反比例函数解析式得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得出，证明，得出线段与的数量关系； 【详解】解：过点B，C分别作轴于点E，轴于点F， 设，， 则， 联立直线与反比例函数得，整理得， 则方程的两个根为， 根据根与系数的关系，得， 对于直线，令，得，即点的横坐标， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， 【变式题6-3】.（26-27九年级上·山西朔州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与y轴交于点C，与x轴交于点． (1)求k与m的值． (2)为y轴上的一动点，当的面积为2时，求a的值． 【答案】(1)的值为，的值为 (2)或． 【分析】（1）把点的坐标代入一次函数的解析式求出，再求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论； （2）根据，构建方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ， ∴一次函数的解析式为． 把代入，得， ． 把代入，得， 的值为，的值为． （2）解：当时，， ． 为轴上的一动点， ， ， ． ， ． 或， 或． 【题型7】利用图象解不等式 　　解题技巧： 　　（1）先求交点横坐标； 　　（2）图象在上方函数值大； 　　（3）在交点两侧分段观察； （4）写出满足条件的x范围。 【例题7】.（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将、两点代入函数，求出的值，再结合图象，根据函数的图象在函数的图象上方部分对应的自变量取值直接作答即可． 【详解】解：将，两点代入， 得，， 解得：， ，， 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， 当时，的取值范围是． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出点B的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）连接，设一次函数与y轴交于点C，求出点C的坐标，根据列式求解即可； （3）根据函数图象可得答案． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入反比例函数的解析式得，解得， ∴反比例函数的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式得， ∴， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图所示，连接，设一次函数与y轴交于点C， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：由函数图象可知，当时，的取值范围为或． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·山东淄博·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)9 (3)或 【分析】（1）把点B代入反比例函数，即可得到反比例函数的解析式；把点A代入反比例函数，即可求得点A的坐标；把点A、B的坐标代入一次函数即可求得a、b的值，从而得到一次函数的解析式； （2）求出，的面积是和的面积之和，利用面积公式求解即可； （3）利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方或与一次函数图象相交所对应的x的范围，直接得出结论． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为． ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）． ∴点A的坐标为． ∵点A，B在一次函数的图象上， 把点，代入得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵点C为直线与y轴的交点， ∴把代入函数，得， ∴点C的坐标为， ∴， ∴ ． （3）解：由图象可得，当或时，反比例函数图象在一次函数图象下方或与一次函数图象相交， ∴不等式的解集是或． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·河南开封·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．在反比例函数图象上有一点，过点作轴于点，连接，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)直接写出时的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）将点分别代入一次函数和反比例函数，可求出和； （2）由反比例函数的表达式求出点的坐标，再分别求一次函数与轴交点和点的坐标，将四边形分割为两个三角形，，求面积即可； （3）先求出双曲线与直线的另一个交点，的解集即为直线在双曲线上方时，对应交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意，点在一次函数上， ，解得； 一次函数的表达式为． 点在反比例函数上， ，解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：点在反比例函数 上， ， 点的坐标为， 轴，垂足在轴上， 点的坐标为， 直线与轴交点， 令，则，解得， 点的坐标为， ， 四边形的面积为． （3）解：联立与可得，， 解得或， ∴双曲线与直线的另一个交点的横坐标为， ∴的解集为或． 【题型8】实际应用与建模 　　解题技巧： 　　（1）判断是否反比例关系（乘积定值）； 　　（2）列函数关系式； 　　（3）结合实际取值范围求值； （4）用图象与性质解问题。 【例题8】.（26-27九年级上·山西朔州·期中）如图，某车载烧水杯在时开启速热档，水温每分钟上升，直至时停止加热，此后水温开始下降．水温下降时，水温y（单位：）与通电时间x（单位：）满足关系式．若从杯内水温时开始通电，则此时杯内的水温为________． 【答案】 【分析】先算出水温从升到需要分钟，之后水温按反比例函数下降，判断分钟在降温区间内，直接把代入反比例解析式求出水温． 【详解】解：， 经过，水温上升至， 在中，当时，，， 经过，水温从上升至后又下降到了， 当时，水温y（单位：）与通电时间x（单位：）满足关系式， 当时，， 从杯内水温时开始通电，此时杯内的水温为． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·河南省直辖县级单位·期中）同学们学习了物理知识后，知道在力（单位：N）的作用下，如果物体在力的方向上发生位移（单位：m），那么力所做的功（单位：J）满足．某数学兴趣小组在综合实践探究实验中得到：当为定值时，与之间的函数关系如下图所示． 请根据以上信息解决以下问题： (1)写出关于的函数解析式； (2)因安全需要，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的取值范围． 【答案】(1) (2)要使物体在力的作用下的位移小于，力要大于． 【分析】（1）将，代入求出W即可； （2）将代入第一问求出的解析式，结合图象回答即可． 【详解】（1）解：由图可知，当力为时，物体在力的方向上发生的位移为， 此时所做的功． 当W为定值时，与之间的函数解析式为． （2）解：将代入，得． 随着的增大而减小， 要使物体在力的作用下的位移小于，力要大于． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分． (1)当时，求此时大棚内的温度； (2)大棚里种植的草莓在温度为到的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是，则草莓一天内最适合生长的时间段是什么． 【答案】(1)大棚内的温度为度 (2)草莓一天内最适合生长的时间段是1到16时 【分析】（1）应用待定系数法求函数解析式； （2）先求出段的解析式，代入临界值，分别求出段和段温度为的时间，再相减即可． 【详解】（1）解：设段所对应的反比例函数关系式为． 由条件可得， ∴． 当时，， ∴当时，此时大棚内的温度为度． （2）解：设直线的函数关系式为． 由条件可得， 解得， ∴直线的函数关系式为． 当时，，解得． 当时，，解得， ∴草莓一天内最适合生长的时间段是1到16时． 【变式题8-3】.（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易秤杆，原料包括：一根轻质秤杆、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总重量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当杆秤平衡时，有． (1)若取，为了得到零刻度点的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至秤杆平衡，此时点的位置即为点．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析与之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当增加相同的数值，的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)秤杆可用总长度，为了保证杆秤最大刻度不小于，求的取值范围． 【答案】(1) (2)；是一次函数，刻度均匀 (3) 【分析】（1）由，得求解即可； （2）把代入杠杆关系式，整理得到关于的一次函数，根据一次函数自变量均匀增减时因变量增量恒定，判定刻度线均匀； （3）求得，由时随着的增大而减小，结合反比例函数的性质代入即可求解． 【详解】（1）解：，代入杠杆等式得， , , 即零刻度位置． （2）解：代入原式得， ， ， 是关于的一次函数；自变量每增加相等数值，增加固定值，杆秤刻度均匀． （3）解：砣最远可以移动到点，砣最大力臂，此时对应最大称重，， ， 整理得， ， 随着的增大而减小， 当最大刻度是时， 令，得， ． 【培优题型】 【题型9】k的几何意义与不规则图形面积 　　解题技巧： 　　（1）把不规则图形分割为矩形、三角形； 　　（2）利用k几何意义求各部分面积； 　　（3）相加减求整体； （4）注意两支曲线面积符号。 【例题9】.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为，，，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，都是反比例函数图象上的点可得：，，；由得：，，，；再根据得，进而求出的值． 【详解】 解：∵，，都是反比例函数图象上的点， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，， 即，， 又∵， ∴， 解得， ∵， ∴． 【变式题9-1】.（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，矩形与反比例函数的图象交于点，，与反比例函数的图象交于点，连接、，则四边形的面积为______． 【答案】3 【分析】设，根据反比例函数的性质表示出M、N点的坐标，再结合矩形的性质，利用，即可作答． 【详解】解：设，则有， ∴， ∵矩形， ∴，，， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为，即，， ∴，， ∵矩形面积为：， ∴四边形的面积为：． 【变式题9-2】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点为轴上的点，点是第一象限内的一点，轴，轴于，已知线段交反比例函数的图像于点，连接，连接，交反比例函数图像于点．若的面积为4，则梯形的面积为___________． 【答案】 【分析】利用反比例函数的几何意义：图象上的点与坐标轴围成的直角三角形面积为；由得，减去即为梯形的面积． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴， ∴（反比例函数的几何意义）， ∵， ∴． ∵点在反比例函数图象上，轴， ∴， ∴， ∴梯形的面积为． 【变式题9-3】.（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，点、是双曲线上的点，分别过、两点向轴、轴作垂线段，若，则的值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】利用反比例函数系数的几何意义，得出 及 的值，进而求解． 【详解】解：点、是双曲线 上的点， 过点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积均为， ，， ， ，， ． 【题型10】动点与存在性问题 　　解题技巧： 　　（1）用参数t表示动点坐标； 　　（2）设存在点列方程（平行、等腰、周长最小）； 　　（3）结合k几何意义、对称性； （4）检验解的可行性。 【例题10】.（2026·河北唐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中点，点，动点从点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，运动时间为秒，过点的直线：也随之移动，反比例函数 的图象经过点． (1)求的值； (2)若直线：与反比例函数 的图象有唯一的公共点，求的值； (3)若直线：与轴交于点，与反比例函数 的图象交于，两点，且点在点的左侧，当时，求的值． 【答案】(1) (2). (3) 【分析】（1）将点代入反比例函数解析式，即可求解； （2）依题意得出，方程有唯一解，进而求得的值，结合题意求得的值； （3）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，勾股定理求得，根据求得，，进而求得，结合题意求得的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点， ∴； （2）解：∵直线：与反比例函数 的图象有唯一的公共点， 当时， 即，有两个相等的解， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，运动时间为秒， ∴， （3）解：如图， ∵与轴交于点，在上， 设，， ∴， ∵当时，， ∴， 联立， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，运动时间为秒， ∴． 【变式题10-1】.（26-27九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在轴上是否存在点，使的面积为，若存在，请求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）先将点的坐标代入反比例函数求，再求出点坐标，最后用待定系数法求出一次函数解析式； （2）观察图像，找到一次函数在反比例函数下方对应的范围； （3）设点的坐标为，求出直线与轴的交点，以为底，拆分为和列方程，解绝对值方程得到坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点， 将点代入， 可得， 则反比例函数为， 将点代入， 可得，解得， 则点的坐标为， 将点和点代入， 可得， 解得， 故一次函数的解析式为． （2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象下方时， 自变量的取值范围为或， 故的解集为或． （3）解：设点的坐标为，直线与轴交于点， 对于， 当，， 则点的坐标为， 可得， ，， 则， 的面积为， 则， 可得， 解得或， 故点的坐标为或． 【变式题10-2】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)平移直线与反比例函数交于，是否存在这样的点使得是直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数解析式为， (2)存在满足条件的，坐标为 (3)点坐标为或或或 【分析】（1）先求出点m的值，可得点A坐标，进而可得反比例函数解析式，根据对称性可得B坐标；过作轴，设，表示出的长，用面积公式代入计算，可得答案； （2）设，在中，由勾股定理得，得到，求出p的值，即可解答． （3）先求出的长，分情况讨论计算即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， 正比例函数表达式为， ， 反比例函数解析式为， 点、关于原点对称， ； 过作轴，交于点， 设， 直线的解析式为， 当时， ， 解得， ， ， ， 解得或（舍去）， ； （2）解：存在，理由如下： 设， ，，， ，，， 在中，由勾股定理得：， ∴ ， ， 两边同乘，整理得： ， 解得：，． 对应点，舍去． 当时，，即． 存在满足条件的，坐标为． （3）解：， ． 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此时点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，、为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，有如下一种情况： 过作轴于点， 设，则，， 在△中，， 解得， ， ； 点坐标为或或或． 【变式题10-3】.（2026·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点． (1)求b和k的值； (2)点C是x轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点D，连接，若，求的面积； (3)在（2）条件下，一次函数与x轴交于点N，过点B的直线交反比例函数于点P，交x轴于点M，是否存在点P，使得与相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)6 (3)存在， 【分析】（1）将点代入求出的值，确定点坐标后，将点代入函数中，求出； （2）过点作轴交于点，过点作轴交于点，可得，求出，可知轴，则的面积； （3）由题可推导出有两种情况或，当时，，求出，直线与反比例函数图象的交点即为点；当时，，求出，直线与反比例函数图象的交点即为点． 【详解】（1）解：将点代入， ， 解得， ， 将点代入函数中，可得； （2）解：， ， 过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， ∵， ， ， ∴， ， 当时，， ， 在中，令，则， ∴， ∴轴，， ∴的面积； （3）解：存在点，使得与相似，理由如下： 当时，， ， ， ， 或， ∵，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ， ， ， 当时，， ， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，解得（与点B重合，舍去）或， ； 当时，， ， 解得， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，解得（与点B重合，舍去）或（舍）； 综上所述：． 【题型11】新定义与探究问题 　　解题技巧： 　　（1）理解新定义（倒数点、倍增点、整点等）； 　　（2）把定义转化为坐标或等式； 　　（3）借助k几何意义、图象性质； （4）分类讨论并验证。 【例题11】.（25-26八年级下·河南周口·期中）定义新运算：对于分式、，规定． (1)若，，求化简结果； (2)当时，求（1）中式子的值； (3)若一次函数与反比例函数图象无交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据规定，先列出分式，再根据分式混合运算法则计算即可； （2）将代入（1）中结果计算即可； （3）先确定一次函数的图象过定点，分， ，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ； （2）解：当时， ； （3）解：将代入，则， ∴一次函数的图象过定点， 当时，一次函数的图象过一，三象限，与反比例函数图象必有交点，不符合题意； 当时，一次函数的图象过二，四象限，如图， ∵一次函数与反比例函数图象无交点， ∴当时，反比例函数图象始终在一次函数图象的下方，且无交点，当时，反比例函数图象在一次函数图象的上方， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ，即， ∴． 【变式题11-1】.（2026·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：，都是“倒数点”．给出下列结论： ①函数的图象上存在2个“倒数点”； ②函数的图象上不存在“倒数点”； ③函数的图象上存在1个“倒数点”； ④若函数的图象上存在“倒数点”，则． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“倒数点”定义，若为倒数点，则满足，即，联立各函数与，判断方程解的个数，逐个验证结论即可. 【详解】解：由定义得，倒数点满足，，即， ① 联立，则， 整理得， 解得， ∴方程有2个不同解，故存在2个倒数点，故①正确； ② 联立， ， ， 当时，，整理得， ， 解得，， 正根，存在解， ∴图象上存在倒数点，故②错误； ③ 联立， ∴， 画出函数和图象的草图如图所示： 由图象知：函数和图象有唯一的交点， ∴有唯一的解， ∴存在1个倒数点，故③正确； ④ 联立， 整理得， 当时，方程为，解得，，满足，是倒数点， 此时，故④错误； 综上，正确的结论共2个. 【变式题11-2】.（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）定义：若点（为常数，且在函数的图象上，则称为的倍关联点．如：点，都是函数：的倍关联点． （1）若点是函数：的倍关联点，则点的坐标为________； （2）函数与函数：交于点、两点，且有、两个倍关联点，则的面积为________． 【答案】 或 【分析】（1）根据题意可设点的坐标为，代入反比例函数的解析式，求出，从而得到点的坐标； （2）根据题意可得，点是直线与直线的交点，联立可得，代入二次函数的解析式可得．将二次函数的解析式分别与直线和联立，求得，．作轴交于点，容易求得，利用割补法求出的面积即可． 【详解】解：（1）设点的坐标为， 将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为或； （2）由题意可知，点、在直线上， 联立方程， 解得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ，即， ∴， 联立方程， 解得或， ∴点的坐标为， 联立方程， 解得或， ∴点的坐标为， 如图，过点作轴的平行线，交于点， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∴， 点到的距离为，点到的距离为， ∴． 【变式题11-3】.（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接，BO． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)若时，求点C的坐标； (3)定义：我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”，若点D在x轴上方，当以A，B，C，D为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数表达式的求解、三角形面积的坐标计算以及新定义“铅垂平行四边形”的综合应用；解题的关键是利用函数图象上点的坐标特征求解析式，结合坐标表示面积建立等量关系，以及分类讨论平行四边形中对角线与边的垂直关系． （1）由点B在反比例函数上求出反比例函数解析式，进而确定点A的坐标，再将A、B坐标代入一次函数求出其表达式； （2）设点C的坐标，通过坐标表示出三角形的高（即点C与直线的纵向距离），结合面积关系列方程求解点C的坐标； （3）按“铅垂平行四边形”的垂直条件分三类：①为对角线且，通过构造相似三角形求得直线解析式，联立反比例函数得，再用平移求；②为对角线且，构造相似直角三角形，用相似比列方程求，再求；③为对角线且，同理求C后用平移求D． 【详解】（1）解：反比例函数经过点， ， ， 反比例函数的表达式为， 点在反比例函数的图象上， ， 解得：， ， 把，代入，得：， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）解：设，过点C作y轴的平行线交直线于E，如图1，设直线交y轴于点F，则，， ，， ， ， 即， 整理得：或， 或或， 点C在第一象限， 或， 或； （3）解：分三类讨论： ①当为对角线，时，如图2， 直线的表达式为，设与x轴、y轴的交点为M、L， 当时，，当时，， ∴点，且， 所以，，， 设直线与与x轴交于点N， ∵， ∴， ∴，即，得， ∴，即， 设直线的解析式为，将点B与点N坐标代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 联立方程组得：， 解得：舍去，， ， 四边形是平行四边形，，， ，， 由平移规律得：，， ； ②当为对角线，时，如图3，设，过点C作轴，过点A、B分别作y轴的平行线交于E、F， 则，，，，， ， ， ∽， ，即， 解得：（舍去）或舍去或， ， 四边形是平行四边形， ，， 由平移规律得：，， ； ③当为对角线，时，如图4， 同理可得：， 四边形是平行四边形， ，， 由平移规律得：，， ； 综上所述，点D的坐标为或或 【题型12】跨学科综合应用 　　解题技巧： 　　（1）把物理量（压强、电压、杠杆、浓度）转化为反比例； 　　（2）建立函数模型； 　　（3）用图象与性质求值或范围； 　　（4）回归实际并验证。 【例题12】.（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）材料一：某款冰柜内部温度上升到时，冰柜运行；当内部温度下降到时，冰柜停止运行、当内部温度上升到时，冰柜再次运行……如此循环（冰柜不运行时，耗电量忽略不计）． 材料二：从某一时刻起，该款冰柜内部温度与时间之间的函数关系如图所示． 当时，是的一次函数；当时，是的反比例函数． 材料三：冰柜内部温度不高于时为有效制冷时间． 结合以上材料，解决下列问题． (1)求当时，关于的函数表达式，并求出的值； (2)求这款冰柜一天内（）的有效制冷时间有多长． 【答案】(1)； (2) 【分析】结合图像分析，求出对应的函数图像，再结合函数解析式即可解决问题． 【详解】（1）解：设当时，关于的函数表达式为． 将代入，得，解得， 故关于的函数表达式为． 对于，当时，， ． （2）当时，设关于的函数表达式为． 将分别代入，得 解得 ． 由题意可知，冰柜每运行一次． 对于，当时，． 对于，当时，． 故这款冰柜一天内的有效制冷时间为． 【变式题12-1】.（26-27九年级上·河南开封·期中）“行车规范要牢记，安全守护每一程”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 30 40 50 60 75 100 视野角度（度） 100 75 60 50 40 30 (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（单位：度）与行车速度（单位：）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2) (3) 【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即可； （2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值，判断为反比例函数，写出近似函数表达式并标注自变量取值范围即可； （3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控制范围． 【详解】（1）略 （2）解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度的乘积近似等于，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：； （3）解：由题意，要求视野角度不小于度，即，代入函数表达式得： ， 因为行车速度，不等式两边同时乘，不等号方向不变： ， 解得， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过，即． 【变式题12-2】.（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）阅读与思考 下面是小宇学习了“反比例函数的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 已知蓄电池的电压（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）满足的反比例函数关系，它的图象如图所示． 问题一：请写出这个反比例函数的表达式： 问题二：如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 方法 分析问题 解答过程 解法一 因为中电流，可以得到关于的不等式并求解 解：①，且， ②， 又， ③，（依据：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变） ④． 解法二 因为，可以求出当电流时相应的值，并通过反比例函数的增减性求的取值范围 任务： (1)问题一中反比例函数的表达式为___________； (2)补充问题二中解法一的过程，①表示：___________，②表示：___________，③表示：___________，④表示：___________； (3)完成问题二中解法二的解答过程． 【答案】(1) (2)；；； (3)解：当时，， 解得：， ∵， ∴当时，随的增大而减小， 又∵， ∴． 【分析】（1）根据函数图象上点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出的值，进而可得出反比例函数的表达式； （2）由，且，可得出，结合，即可求出的取值范围； （3）利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出当时的值，由且，利用反比例函数的性质可得出随的增大而减小，再结合，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵，且， ∴， 又∵， ∴，（依据：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变）， ∴， ∴①表示，②表示，③表示，④表示； （3）略． 【变式题12-3】.（26-27九年级上·天津和平·阶段检测）阅读素材，完成任务． 制作简易密度计 素材1 制作原理：装有钢珠且下端密封的吸管漂浮在液体中时，吸管浸在液体中的深度会因液体密度的改变而改变 素材2 小明将简易密度计放入不同密度的液体中，当简易密度计漂浮在液体中时，记录其浸入的深度，得到如下几组数据： … 19.8 18 16.5 13.2 … 密度 … 1.0 1.1 1.2 1.5 … (1)分析上述素材，发现是关于的 函数，关于的函数解析式为 ； (2)小明将该简易密度计放入50%酒精中，当简易密度计悬浮于其中时，测得其浸入的深度为22 cm，据此求50%酒精的密度为 ； (3)小明查阅资料获取到如下信息：①酒精与水的密度分别为，；②浓度为的酒精密度．请根据以上信息判断第（2）中小明所测得的数据“深度为22 cm”是否准确，并说明理由： (4)在（3）的条件下，若将该简易密度计放入40%酒精中，则测得其浸入的深度约为 （结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)反比例；（） (2) (3)数据准确． 理由：由题意得，50%酒精的密度为． 将代入， 得， 与测得的深度一致，故数据准确． (4) 【分析】（1）看数据的关系：把每组的 h 与 ρ 相乘，发现乘积恒为19.8，于是判断为反比例关系； （2）已知 h求ρ，代入 即可，注意单位是 ； （3）判断数据准不准，要用两条独立路径分别算出密度再比对：一条从深度出发（用函数），一条从浓度出发（用公式）．两者相等则数据可信．这一步体现用不同方法算同一个量来检验的意识； （4）先反求密度，再由反比例求深度．步骤是浓度→密度→深度，注意最后一步用 而不是 ，且要按题要求四舍五入到小数点后一位． 【详解】（1）解：观察表格四组数据的乘积都等于 19.8，即 ρ 与 h 的乘积是定值， 设 ， 取第一组数据代入：， ∴， 答：ρ 是关于 h 的（h＞0 时的）反比例函数，解析式为； （2）解：把 h＝22 代入解析式： ， 答：酒精的密度为． （3）略； （4）解：算 酒精的密度， 取a＝40， ， 由反比例函数求深度． ， 答：浸入的深度约为 ． 同步练习 一、单选题 1．已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（     ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【详解】解：把，代入， 得， 解得． 2．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由反比例函数的值确定图象所在象限及增减性，结合各点纵坐标的特征比较横坐标大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. ∵点的纵坐标， ∴点在第三象限，． ∵点、的纵坐标、均大于， ∴点、在第一象限， 又∵， ∴， 综上可得． 3．某物理小组探究电热水壶的功率（单位：千瓦）与烧开一壶水所需的时间（单位：分钟）之间的关系，在电压恒定、水量相同的条件下，记录了个不同功率的电热水壶的实验数据如下： 功率/千瓦 时间/分钟 经分析，与之间满足某种函数关系，则与之间的函数关系式为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算各组与的乘积，判断函数类型后推导函数关系式． 【详解】解：，，，， 各组数据均满足， 与的函数关系式为． 二、填空题 4．某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）的函数表达式为．当时，，若从升到，则的变化量为__________． 【答案】 【分析】根据已知的电阻和电流值求出电压，再分别计算和对应的电流，两者的差值即为电流的变化量． 【详解】解：∵当时，，代入， ∴ ， ∴ 电流与电阻的函数表达式为， 当时，代入得， 当时，代入得， ∴的变化量为． 5．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点是轴上的一点，若的面积为4，则的值为__________． 【答案】 【分析】设点坐标为，根据三角形面积公式可得，再结合图象确定的符号． 【详解】解：设点的坐标为， 轴， ， 点在轴上，轴， 中边上的高为， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， ， ， ， 由图象可知反比例函数图象位于第二、四象限， ， ． 6．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴和轴上，点，点，反比例函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】 【分析】过作轴于，轴于，则是直角，根据正方形的性质得到，，然后可以证明三角形与三角形全等，从而得到，，从而可以得出四边形是正方形，设正方形的边长为，则，，然后根据即可求解． 【详解】解：过作轴于，轴于， ， 四边形是矩形， ， ， 又四边形是正方形， ， ， ， 四边形是正方形， 设正方形的边长为，则 ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴． 三、解答题 7．已知与成反比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，再由当时，，求出k的值，即可求解； （2）把代入（1）中函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：设， 因为当时，， 所以， 解得：， ∴， 即y与x之间的函数关系式为； （2）解：当时，． 8．已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求m的取值范围； (2)若点、、在该反比例函数的图象上，请直接写出函数值、、的大小关系（用“”连接）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴； （2）解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴在每一个象限内，随着值的增大而减小， ∵点、、在该反比例函数的图象上， ∴，即. 9．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若点是轴上的一点，的面积是9，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（1）根据一次函数解析式确定点，点的坐标，由此确定反比例函数的表达式； （2）根据点，点的坐标，观察图象即直线在双曲线上方的部分； （3）设，确定直线与轴的交点，则的面积等于与的面积之和，据此列式计算． 【详解】（1）解：把点、代入一次函数解析式得 ，， ，， 把代入得， 反比例函数的表达式为； （2）解：观察图象可知当或时，； （3）解：把代入得， 直线与轴的交点为， 设，则， 的面积是9， ， ， ， 或， 或， 或． 10．在矩形中，，，当时，我们把这个矩形称为“等和积矩形”，根据此定义，解答下列问题： (1)如图，若矩形是“等和积矩形”，且，求的值； (2)分别以矩形的边，所在的直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，点在第一象限，点与点重合，若“等和积矩形”的面积为，则点的坐标为___________； (3)从函数的角度研究“等和积矩形”，已知一个“等和积矩形”的邻边长分别为，． ①直接写出与之间的函数表达式； ②请直接在图中画出①中函数的图象，并观察图象，写出该函数的一条性质； ③若将“等和积矩形”的邻边长分别增加，则这个新矩形还是不是“等和积矩形”？请说明理由． 【答案】(1)的值为 (2)点的坐标为 (3)①；②函数图象如图所示， 函数性质：当时，随的增大而减小； ③新矩形不是“等和积矩形”，理由如下： 新矩形的邻边长为和， 邻边之和：，邻边之积：， 原矩形是“等和积矩形”， ， 代入积的表达式得：， 假设新矩形是“等和积矩形”，则邻边和等于邻边积：， 整理得：， ，且， ，与矛盾， 因此假设不成立，即邻边长分别增加后，新矩形不是“等和积矩形”． 【分析】（1）根据“等和积矩形”定义列出等式，结合代入消元，解一元二次方程并舍去不合题意的解； （2）建立平面直角坐标系后确定，联立与面积条件，构造一元二次方程求出，得到点坐标； （3）①利用定义式移项变形，整理得到关于的函数表达式；②在取值范围内描点画出函数图像，结合图像写出函数性质；③根据新矩形边长列出和与积的代数式，结合原有定义推理判断是否满足“等和积矩形”条件． 【详解】（1）解：矩形是“等和积矩形”， ， ， ． 将代入，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：（边长为正，舍去），， 的值为； （2）解：由题意，在轴上，在轴上，点与原点重合， 点的横坐标为，纵坐标为，即， 矩形是“等和积矩形”， ， 矩形面积为， ， ， 由此可知是一元二次方程的两个根， 解方程得：，即， ， 点的坐标为； （3）解：①根据“等和积矩形”的定义，得， 整理变形：，， ， ， ； ②画图：在的范围内取点、、等，在坐标系中描点后用平滑曲线连接，图像位于第一象限、直线右侧，且无限接近直线和； 函数性质：当时，随的增大而减小； ③见答案处． 【点睛】本题考查了新定义“等和积矩形”、一元二次方程、分式函数的变形与性质探究，读懂定义、熟练运用代数式变形与方程解法是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27章 反比例函数 知识点1：反比例函数的概念 　　1.定义：一般地，形如（为常数，）的函数，叫做反比例函数。 　　2.等价形式：、（）。 　　3.称为比例系数，自变量的取值范围是一切不等于0的实数。 知识点2：求反比例函数的解析式 　　用待定系数法： 　　（1）设（）； 　　（2）代入一组对应值，解出k； 　　（3）写出解析式。 知识点3：反比例函数的图象 　　1.图象是双曲线，由两支曲线组成，由列表、描点、连线画出。 　　2.两支曲线无限接近坐标轴，但永不相交。 　　3.双曲线既是中心对称图形（关于原点），又是轴对称图形（关于、对称）。 知识点4：反比例函数的性质 项 图象位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 增减性 每一象限内y随x增大而减小 每一象限内y随x增大而增大 注意：增减性只在"每个象限内"成立，跨象限不能直接比大小 知识点5：比例系数k的几何意义 　　1.过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于。 　　2.连接该点与原点所得三角形面积等于。 　　3.由图形面积可求，进而确定函数解析式。 知识点6：反比例函数与一次函数的交点 　　1.联立两解析式解方程组，交点为公共解。 　　2.交点个数由联立后判别式决定：两交点，一交点，无交点。 　　3.与正比例函数交点的两个交点关于原点对称。 知识点7：利用图象解不等式 　　1.先求交点横坐标。 　　2.图象在上方的函数值大，下方的小。 　　3.由图象确定满足或的x取值范围。 知识点8：反比例函数的实际应用 　　1.判断两变量是否成反比例：看乘积是否为定值。 　　2.常见模型：杠杆、压强、电压、矩形面积、浓度等。 　　3.实际问题的自变量取值范围需根据实际意义确定。 知识点9：反比例函数与几何图形综合 　　1.用点坐标表示线段长、图形面积。 　　2.结合矩形、三角形、平行四边形等图形性质列式。 　　3.利用k的几何意义与对称性简化计算。 知识点10：易错警示 易错点 错误做法 正确做法 比例系数 忽略 写解析式先判 增减性 跨象限比较y大小 只在每个象限内比较 面积与k 忘加绝对值 面积取或 自变量范围 忽略实际问题限制 结合实际意义取范围 【易错题型】 【题型1】反比例函数概念的判断 　　1.易错点总结 　　（1）忽略k≠0，导致字母取值出错； 　　（2）把、与一般式混淆； 　　（3）将一次、二次函数误认为反比例函数。 　　2.纠错技巧 　　（1）化成或判断； 　　（2）判k≠0； 　　（3）验证x、y乘积为定值。 【例题1】.（26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）下列属于反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·吉林·期中）下列关系式中，属于二次函数的是（为自变量）（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）若是反比例函数，则m的值为_______． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）若函数是反比例函数，则______． 【基础题型】 【题型2】图象的分布象限与增减性 　　解题技巧： 　　（1）由k符号定象限：一、三象限，二、四象限； 　　（2）每个象限内的增减性由k符号定； 　　（3）比较y大小先看是否同象限； （4）结合图象直观判断。 【例题2】.（26-27九年级上·吉林·期中）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（     ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【变式题2-1】.（26-27九年级上·安徽合肥·期中）若关于的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别为（） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【变式题2-2】.（26-27九年级上·河南开封·期中）已知，两点在双曲线上，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图像经过点 B．图像在第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 【题型3】图象上点的坐标特征 　　解题技巧： 　　（1）图象上的点满足； 　　（2）已知一点求k，再验证其它点； 　　（3）利用乘积定值求字母； （4）对称点也在图象上。 【例题3】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是_________． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于，两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（24-25八年级下·山西晋城·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象的一个交点为，与轴交于点，为轴上的一点，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式题3-3】.（2026·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 【题型4】反比例函数的对称性 　　解题技巧： 　　（1）关于原点中心对称，与同在图象上； 　　（2）关于、轴对称； 　　（3）利用对称性求点的坐标； （4）正比例与反比例交点关于原点对称。 【例题4】.（19-20九年级上·四川成都·期中）下列坐标是反比例函数图象上的一个点的坐标是（    ） A．（-3，－1） B．（-1，3） C．（－3，1） D．（1，-3） 【变式题4-1】.（25-26九年级上·河南·期末）若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是______． 【变式题4-2】.（2026·河南平顶山·三模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点，，已知点的纵坐标为． (1)求点的坐标和反比例函数的表达式； (2)若是轴上一个动点，连接，将绕点顺时针旋转后点的对应点恰好能落在反比例函数图象上，求点的坐标． 【变式题4-3】.（20-21九年级上·福建南平·期末）在平面直角坐标系中 ，的顶点，反比例函数的图象过的中点． (1)求反比例函数表达式； (2)已知点关于点的对称点，试判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． 【提升题型】 【题型5】k的几何意义与面积 　　解题技巧： 　　（1）过点向两坐标轴作垂线，矩形面积=； 　　（2）连接原点，三角形面积=； 　　（3）面积加绝对值定k符号； （4）由面积求k再定解析式。 【例题5】.（26-27九年级上·山西朔州·期中）如图，这是反比例函数的一部分图象，已知是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，的面积是，则的值是（     ） A． B．6 C．3 D．2 【变式题5-1】.（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，P在x轴上，连接、，若的面积为6，则__________． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于D、E两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为_______． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴，点B在y轴正半轴，四边形为矩形，顶点在第一象限，矩形的面积为．反比例函数（）的图象交线段于点，交线段于点．连接、、，若，记． (1)求的值； (2)求此时的值． 【题型6】反比例函数与一次函数的交点 　　解题技巧： 　　（1）联立方程组求交点； 　　（2）判别交点个数用判别式； 　　（3）交点代回验证； （4）结合图象判断位置。 【例题6】.（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象在同一坐标系中可能是（     ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）若二次函数的图象开口向上，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，直线与函数的图象交于B，C两点，与y轴交于点A，与x轴交于点D．已知，则__________． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·山西朔州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与y轴交于点C，与x轴交于点． (1)求k与m的值． (2)为y轴上的一动点，当的面积为2时，求a的值． 【题型7】利用图象解不等式 　　解题技巧： 　　（1）先求交点横坐标； 　　（2）图象在上方函数值大； 　　（3）在交点两侧分段观察； （4）写出满足条件的x范围。 【例题7】.（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·山东淄博·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·河南开封·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．在反比例函数图象上有一点，过点作轴于点，连接，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)直接写出时的取值范围． 【题型8】实际应用与建模 　　解题技巧： 　　（1）判断是否反比例关系（乘积定值）； 　　（2）列函数关系式； 　　（3）结合实际取值范围求值； （4）用图象与性质解问题。 【例题8】.（26-27九年级上·山西朔州·期中）如图，某车载烧水杯在时开启速热档，水温每分钟上升，直至时停止加热，此后水温开始下降．水温下降时，水温y（单位：）与通电时间x（单位：）满足关系式．若从杯内水温时开始通电，则此时杯内的水温为________． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·河南省直辖县级单位·期中）同学们学习了物理知识后，知道在力（单位：N）的作用下，如果物体在力的方向上发生位移（单位：m），那么力所做的功（单位：J）满足．某数学兴趣小组在综合实践探究实验中得到：当为定值时，与之间的函数关系如下图所示． 请根据以上信息解决以下问题： (1)写出关于的函数解析式； (2)因安全需要，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的取值范围． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分． (1)当时，求此时大棚内的温度； (2)大棚里种植的草莓在温度为到的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是，则草莓一天内最适合生长的时间段是什么． 【变式题8-3】.（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易秤杆，原料包括：一根轻质秤杆、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总重量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当杆秤平衡时，有． (1)若取，为了得到零刻度点的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至秤杆平衡，此时点的位置即为点．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析与之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当增加相同的数值，的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)秤杆可用总长度，为了保证杆秤最大刻度不小于，求的取值范围． 【培优题型】 【题型9】k的几何意义与不规则图形面积 　　解题技巧： 　　（1）把不规则图形分割为矩形、三角形； 　　（2）利用k几何意义求各部分面积； 　　（3）相加减求整体； （4）注意两支曲线面积符号。 【例题9】.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为，，，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式题9-1】.（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，矩形与反比例函数的图象交于点，，与反比例函数的图象交于点，连接、，则四边形的面积为______． 【变式题9-2】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点为轴上的点，点是第一象限内的一点，轴，轴于，已知线段交反比例函数的图像于点，连接，连接，交反比例函数图像于点．若的面积为4，则梯形的面积为___________． 【变式题9-3】.（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，点、是双曲线上的点，分别过、两点向轴、轴作垂线段，若，则的值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【题型10】动点与存在性问题 　　解题技巧： 　　（1）用参数t表示动点坐标； 　　（2）设存在点列方程（平行、等腰、周长最小）； 　　（3）结合k几何意义、对称性； （4）检验解的可行性。 【例题10】.（2026·河北唐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中点，点，动点从点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，运动时间为秒，过点的直线：也随之移动，反比例函数 的图象经过点． (1)求的值； (2)若直线：与反比例函数 的图象有唯一的公共点，求的值； (3)若直线：与轴交于点，与反比例函数 的图象交于，两点，且点在点的左侧，当时，求的值． 【变式题10-1】.（26-27九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在轴上是否存在点，使的面积为，若存在，请求出点的坐标． 【变式题10-2】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)平移直线与反比例函数交于，是否存在这样的点使得是直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式题10-3】.（2026·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点． (1)求b和k的值； (2)点C是x轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点D，连接，若，求的面积； (3)在（2）条件下，一次函数与x轴交于点N，过点B的直线交反比例函数于点P，交x轴于点M，是否存在点P，使得与相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型11】新定义与探究问题 　　解题技巧： 　　（1）理解新定义（倒数点、倍增点、整点等）； 　　（2）把定义转化为坐标或等式； 　　（3）借助k几何意义、图象性质； （4）分类讨论并验证。 【例题11】.（25-26八年级下·河南周口·期中）定义新运算：对于分式、，规定． (1)若，，求化简结果； (2)当时，求（1）中式子的值； (3)若一次函数与反比例函数图象无交点，求的取值范围． 【变式题11-1】.（2026·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：，都是“倒数点”．给出下列结论： ①函数的图象上存在2个“倒数点”； ②函数的图象上不存在“倒数点”； ③函数的图象上存在1个“倒数点”； ④若函数的图象上存在“倒数点”，则． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【变式题11-2】.（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）定义：若点（为常数，且在函数的图象上，则称为的倍关联点．如：点，都是函数：的倍关联点． （1）若点是函数：的倍关联点，则点的坐标为________； （2）函数与函数：交于点、两点，且有、两个倍关联点，则的面积为________． 【变式题11-3】.（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接，BO． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)若时，求点C的坐标； (3)定义：我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”，若点D在x轴上方，当以A，B，C，D为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点D的坐标． 【题型12】跨学科综合应用 　　解题技巧： 　　（1）把物理量（压强、电压、杠杆、浓度）转化为反比例； 　　（2）建立函数模型； 　　（3）用图象与性质求值或范围； 　　（4）回归实际并验证。 【例题12】.（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）材料一：某款冰柜内部温度上升到时，冰柜运行；当内部温度下降到时，冰柜停止运行、当内部温度上升到时，冰柜再次运行……如此循环（冰柜不运行时，耗电量忽略不计）． 材料二：从某一时刻起，该款冰柜内部温度与时间之间的函数关系如图所示． 当时，是的一次函数；当时，是的反比例函数． 材料三：冰柜内部温度不高于时为有效制冷时间． 结合以上材料，解决下列问题． (1)求当时，关于的函数表达式，并求出的值； (2)求这款冰柜一天内（）的有效制冷时间有多长． 【变式题12-1】.（26-27九年级上·河南开封·期中）“行车规范要牢记，安全守护每一程”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 30 40 50 60 75 100 视野角度（度） 100 75 60 50 40 30 (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（单位：度）与行车速度（单位：）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 【变式题12-2】.（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）阅读与思考 下面是小宇学习了“反比例函数的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 已知蓄电池的电压（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）满足的反比例函数关系，它的图象如图所示． 问题一：请写出这个反比例函数的表达式： 问题二：如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 方法 分析问题 解答过程 解法一 因为中电流，可以得到关于的不等式并求解 解：①，且， ②， 又， ③，（依据：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变） ④． 解法二 因为，可以求出当电流时相应的值，并通过反比例函数的增减性求的取值范围 任务： (1)问题一中反比例函数的表达式为___________； (2)补充问题二中解法一的过程，①表示：___________，②表示：___________，③表示：___________，④表示：___________； (3)完成问题二中解法二的解答过程． 【变式题12-3】.（26-27九年级上·天津和平·阶段检测）阅读素材，完成任务． 制作简易密度计 素材1 制作原理：装有钢珠且下端密封的吸管漂浮在液体中时，吸管浸在液体中的深度会因液体密度的改变而改变 素材2 小明将简易密度计放入不同密度的液体中，当简易密度计漂浮在液体中时，记录其浸入的深度，得到如下几组数据： … 19.8 18 16.5 13.2 … 密度 … 1.0 1.1 1.2 1.5 … (1)分析上述素材，发现是关于的 函数，关于的函数解析式为 ； (2)小明将该简易密度计放入50%酒精中，当简易密度计悬浮于其中时，测得其浸入的深度为22 cm，据此求50%酒精的密度为 ； (3)小明查阅资料获取到如下信息：①酒精与水的密度分别为，；②浓度为的酒精密度．请根据以上信息判断第（2）中小明所测得的数据“深度为22 cm”是否准确，并说明理由： (4)在（3）的条件下，若将该简易密度计放入40%酒精中，则测得其浸入的深度约为 （结果保留小数点后一位）． 同步练习 一、单选题 1．已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（     ） A．3 B． C． D．6 2．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．某物理小组探究电热水壶的功率（单位：千瓦）与烧开一壶水所需的时间（单位：分钟）之间的关系，在电压恒定、水量相同的条件下，记录了个不同功率的电热水壶的实验数据如下： 功率/千瓦 时间/分钟 经分析，与之间满足某种函数关系，则与之间的函数关系式为（      ） A． B． C． D． 二、填空题 4．某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）的函数表达式为．当时，，若从升到，则的变化量为__________． 5．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点是轴上的一点，若的面积为4，则的值为__________． 6．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴和轴上，点，点，反比例函数的图象经过点，则的值为___________． 三、解答题 7．已知与成反比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． 8．已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求m的取值范围； (2)若点、、在该反比例函数的图象上，请直接写出函数值、、的大小关系（用“”连接）． 9．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若点是轴上的一点，的面积是9，求点的坐标． 10．在矩形中，，，当时，我们把这个矩形称为“等和积矩形”，根据此定义，解答下列问题： (1)如图，若矩形是“等和积矩形”，且，求的值； (2)分别以矩形的边，所在的直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，点在第一象限，点与点重合，若“等和积矩形”的面积为，则点的坐标为___________； (3)从函数的角度研究“等和积矩形”，已知一个“等和积矩形”的邻边长分别为，． ①直接写出与之间的函数表达式； ②请直接在图中画出①中函数的图象，并观察图象，写出该函数的一条性质； ③若将“等和积矩形”的邻边长分别增加，则这个新矩形还是不是“等和积矩形”？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $