第27章 反比例函数 单元复习（6大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2026-2027学年人教版九年级数学上学期培优讲义

该初中数学反比例函数单元复习讲义通过分层梳理构建知识体系，运用表格对比反比例函数图象性质，结合思维导图呈现概念、K几何意义等六大知识点，清晰展现重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础概念判定到压轴跨学科综合应用，如物理杠杆原理建模题，培养数学思维与模型意识。每个题型配解题技巧，如K几何意义割补法，助力不同层次学生提升，易错点总结支持教师精准教学。

第27章 反比例函数 知识点 1：反比例函数的概念与三种表达式 1.定义：形如 （ 为常数，）的函数叫做反比例函数；自变量取值范围 ，函数值 。 2.三种等价表达形式 分式标准式： 乘积式：（多用于快速求） 负指数式： 判定核心条件：自变量次数为，且系数。 知识点 2：反比例函数图象与基本性质 对比项目 图象形状 双曲线，分两支，不与坐标轴相交 双曲线，分两支，不与坐标轴相交 象限分布 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内， 随 增大而减小 在每个象限内， 随 增大而增大 对称性 中心对称（原点）；轴对称（、） 中心对称（原点）；轴对称（、） 知识点 3：比例系数K的几何意义 1.矩形面积：过双曲线上任意一点向、轴作垂线，围成矩形面积 。 2.直角三角形面积：该点、垂足、原点构成直角三角形，面积 。 3.拓展模型：平行于坐标轴的两点、双双曲线组合图形，可通过和割补法求阴影面积。 知识点 4：待定系数法求反比例函数解析式 1.步骤：设解析式→代入图象上点坐标→解方程求→写出完整解析式。 2.特殊技巧：已知乘积可直接得，无需分步计算。 知识点 5：反比例与一次函数综合 3.交点规律：正比例与反比例交点关于原点对称；一次函数与反比例联立方程求交点。 4.图象解不等式：以交点横坐标、为分界，观察图象上下位置确定解集，必须排除。 知识点 6：反比例函数实际建模（跨学科） 1.建模核心：总量固定，两个变量乘积为定值。 2.常见跨学科等量关系 物理：（压力定值）、（电压定值） 化学：溶液溶质固定，浓度与溶液体积成反比 生活：工程总量、矩形面积、行程路程固定 【基础必考题型】 【题型 1】反比例函数概念与参数判定 1. 核心知识点: 　反比例函数三种表达式 　、自变量次数为双重判定条件 2. 解题方法技巧: 　先整理解析式，将统一化为负指数形式再判断次数 　含参数题型联立不等式组，同时满足次数与系数限制 【例题1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）下列函数是y关于x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数．根据反比例函数的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、分母为，不是反比例函数； B、分母为，不是反比例函数； C、符合反比例函数定义，是反比例函数； D、分母是常量，不是反比例函数． 【变式题1-1】.（2022九年级·广西防城港·竞赛）反比例函数的解析式有三种表现形式，分别是_______，________，______．（为常数，且）． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的概念，只需根据反比例函数的定义整理出其三种常见的表现形式即可． 【详解】解：根据反比例函数的定义，反比例函数是形如（为常数，）的函数， 对该式变形可得到另外两种表现形式， 将根据负整数指数幂的定义变形可得（为常数，）； 将两边同乘变形可得（为常数，）． 【变式题1-2】.（2025九年级上·北京·专题练习）若函数是反比例函数，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义列式计算即可求出答案． 【详解】解：∵反比例函数可表示为（），函数是反比例函数， ∴． 解得． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数，反比例函数的形式为，因此指数必须为且系数非零，解答即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴． 故选：C． 【题型 2】图象象限与增减性基础判断 1. 核心知识点: 　符号与象限对应关系 　增减性 “每个象限内” 限定条件 2. 解题方法技巧: 　跨象限比较函数值，不能直接用增减性，代入数值计算更稳妥 　图象越远离坐标轴，数值越大 【例题2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（     ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象的性质判断即可． 【详解】反比例函数，观察函数图象在第一象限，在第一象限内，随着值的增大，的值随之减小． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，图象在第一象限，随的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵当时，图象在第三象限，随的增大而减小， ∴当时，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围是或，故C错误，符合题意； 若点在函数图象上，则，即， ∴，即点也在函数图象上，故D正确，不符合题意． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·河南南阳·期末）已知y是关于x的反比例函数，当时，函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的m的值_________． 【答案】（答案不唯一，只要小于0即可） 【分析】根据反比例函数的性质，先确定的取值范围，再写出取值范围内一个符合条件的值即可． 【详解】解：由题意得，当时，随的增大而增大， ∴， 取的一个符合条件的值为（答案不唯一）． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知、两点在反比例函数的图像上，且，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的性质判断的增减性，再由且，判断出，两点分别位于不同象限，根据象限内点的坐标特征列不等式组求解． 【详解】解：反比例函数中，， 该反比例函数图像在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， ， 又， 点，不在同一象限，即在第三象限，在第一象限， ∴ ， ∴的取值范围为． 【题型 3】图象上点坐标特征基础计算 1. 核心知识点: 　双曲线上点满足 　反比例函数对称性坐标规律 2. 解题方法技巧: 　同一条双曲线上任意两点横纵坐标乘积相等 　关于原点对称点：，直接快速写坐标 【例题3】.（25-26九年级上·福建·期末）若点在反比例函数的图象上，则点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，点在反比例函数的图象上，则其坐标满足，计算各选项横纵坐标之积，等于者即为正确答案． 【详解】解：A、，符合条件； B、，不符合条件； C、，不符合条件； D、，不符合条件； 故点的坐标可能是， 故选：A． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·湖南郴州·期中）若函数与函数的图象交于两点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的中心对称性，掌握相关知识是解决问题的关键．正比例函数 和反比例函数 （）的图象都关于原点对称，因此它们的交点也关于原点对称，据此解答即可． 【详解】解：正比例函数 和反比例函数 （）的图象都关于原点对称， ∴它们的交点也关于原点对称， ∵其中一个交点的坐标为， ∴另一个交点为 ． 故答案为：． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知正比例函数（为常数）与反比例函数的图象交于点、，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数与正比例函数的对称性问题，熟悉关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．先通过反比例函数求点坐标，再根据反比例函数与一次函数的对称性即可解答． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴点． ∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都关于原点对称， ∴点和点关于原点对称， ∴点坐标为． 故选：A． 【变式题3-3】.（2026·江苏盐城·三模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A、B．若点A的横坐标为2，则点B的坐标为________． 【答案】 【分析】设点坐标为，将点分别代入直线和双曲线的解析式，求出的值，再根据正比例函数与反比例函数交点的中心对称性质求解点的坐标． 【详解】解：设， ∵点是直线与双曲线的交点， ∴，， ∴， 解得， ∴直线解析式为，双曲线解析式为， 根据反比例函数图象的中心对称性质，直线过原点，交点和关于原点中心对称，点横坐标为， 因此点的横坐标为， 将代入，得， 因此点的坐标为． 【题型 4】待定系数法求基础解析式 1. 核心知识点: 　待定系数法四步解题流程 　点在函数图象上的坐标性质 2. 解题方法技巧: 　已知单一点坐标即可直接求出，无需多组数据 　求出后代回原解析式验证坐标是否匹配 【例题4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知与成反比例关系，且当时，，则关于的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与的函数解析式为，根据已知的、值求出值即可． 【详解】解：设与的函数解析式为，将，代入解析式，得，解得， ∴与的函数解析式为． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·吉林长春·期末）功率P与时间t成反比例，图像经过，若，则_________． 【答案】45 【分析】设此函数表达式为：，用待定系数法求出表达式解决即可． 【详解】解：根据图像经过， 设此函数表达式为： ， 则 ， ∴若，则. 【变式题4-2】.（25-26八年级下·上海松江·期末）已知y与x成反比例，z与y成正比例，又当时，；当时，． (1)求z关于x的函数表达式； (2)当时，求z的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意设把时，代入，求得的值；设，把，，代入计算求出的值，即可确定与的函数解析式；将代入，可求得与的函数解析式， （2）将代入（1）中的解析式再计算即可． 【详解】（1）解：∵y与x成反比例，z与y成正比例， ∴设，， 当时，， ， ， ， 当时，， ， ， ， ，即. （2）解：将代入， 得． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·上海崇明·期末）某函数符合如下条件：①图像经过；②当时，随的增大而减小．请写出一个满足条件的函数表达式：____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定条件，满足要求的函数可以为反比例函数，可设反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可，确定函数类型再求解是解题关键． 【详解】解：选择反比例函数进行求解，设函数表达式为， 函数图象经过点， 将代入得， 满足条件的函数表达式可以为 【培优高频题型】 【题型 5】K几何意义单图形面积计算 1. 核心知识点: 　矩形面积、直角三角形面积 　面积与符号对应规则 2. 解题方法技巧: 　先根据图象象限判断正负，再结合面积绝对值计算 　题目未说明象限时，存在正负两种解，需分类 【例题5】.（25-26九年级上·江西新余·期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，作轴于点，连接，则的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．先判断四边形是矩形，得出，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解∶∵轴， 轴，轴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：4 【变式题5-1】.（25-26九年级上·云南文山·期末）如图，点为反比例函数的图像上的一点，轴，轴，垂足分别为，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数系数的几何意义求解即可，即过反比例函数图象上任意一点向坐标轴引垂线，所得垂线与坐标轴围成矩形的面积为是解题的关键． 【详解】解：∵轴，轴，垂足分别为， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点分别为反比例函数的图象上的点，且轴，已知的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义与三角形面积的计算，关键是通过设的纵坐标为，求出、两点的横坐标，从而得到的长度，再结合三角形面积公式求解． 【详解】解：设点的纵坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为； ∵轴，点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为； ∴； ∵点在轴上， ∴中边上的高为； ∴的面积为； 故选：B． 【变式题5-3】.（25-26九年级上·江西萍乡·期末）如图，已知点是反比例函数图象上的一点，过点作轴，交轴于点，点在轴负半轴上，连接、交轴于点，若，则________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质及三角形面积公式的应用．首先设点的坐标为，接着根据的线段比例关系，求出与的长度；再利用的平行关系，判定，通过相似三角形对应边成比例的性质求出的长度；最后以为底、为高，代入三角形面积公式计算出的面积． 【详解】解：设点的坐标为，则点的坐标为，． ， ， ． ， ， ，即，解得， ． 故答案为：． 【题型 6】跨学科基础建模 1. 核心知识点: 　实际问题反比例关系识别 　自变量实际取值范围标注 2. 解题方法技巧: 　提取不变总量，列出等量关系建立模型 　物理、化学情境自变量均大于 0，解集舍去负数 【例题6】.（26-27九年级上·全国·课后作业）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 【答案】50 【分析】设p关于V的函数关系式为，利用待定系数法求出函数关系式，再求出时对应的自变量值即可． 【详解】解：设p关于V的函数关系式为， 由题意可知，点在反比例函数图象上， 则， 解得：， 则p关于V的函数关系式为， 当时，汽缸内气体的体积． 【变式题6-1】.（2022·陕西西安·模拟预测）某物体对地面的压强与物体和地面的接触面积成反比例函数关系，其图象如图，当压强小于等于时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据图象上的点坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据压强P的取值范围列出不等式，结合S的实际意义求解即可． 【详解】解：设P与S的反比例函数解析式为：， 把点代入得：， ∴， 即反比例函数解析式为：， 当时，则， 解得：． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·山西长治·期末）小秦在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔（jié）槔（gāo）的古代汲水工具（如图1）．若图中人物竖直向下施加的拉力为（单位：N），当改变点与点之间的距离（单位：m）时，横杆始终处于水平状态，小秦发现与之间满足反比例函数关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示．当竖直向下施加的拉力为75N时，要使横杆仍处于水平状态，则点与点之间的距离为（   ）． A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m 【答案】B 【分析】已知与是反比例函数关系，先设反比例函数解析式，从图像读取一组对应点代入求出，再把代入解析式求出对应的． 【详解】解：由题意，设反比例函数解析式为．从图2中可得，当m时，N，将代入解析式： ， 解得，因此函数解析式为： ， 当拉力N时，代入解析式： ， 解方程： ， 即点与点之间的距离为4m． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·福建漳州·期末）某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】待定系数法求出反比例函数解析式为，然后结合图象逐项分析求解判断即可． 【详解】解：由图象得，当时，，故A错误； 设反比例函数解析式为， 将代入得，， 解得， ∴， ∴当时，，故C错误； 当时，， ∵当时，h随的增大而减小， ∴当时，，故B正确； 由图象得，当时，，故D错误． 【题型 7】K几何意义割补法求不规则面积 1. 核心知识点: 　面积割补转化思想 　同坐标轴平行线等积模型 2. 解题方法技巧: 　不规则阴影转化为矩形、三角形的和或差 　平行于轴线段分割图形，直接套用简化运算 【例题7】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边交于点D，分别连接，，则的面积为_________． 【答案】9 【分析】过点A作于点E，设，求得，，得到，于是得到结论． 【详解】解：过点A作于点E，设． ， ∵点A是的中点， ， ∵   的图象经过点A， ， ． ∵点D在反比例函数的图象上， ， ， ． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，交x轴于点B，点C在x轴负半轴上，连接交y轴于点D，若，则________． 【答案】1 【分析】首先设点的坐标为，接着根据的线段比例关系，求出的面积． 【详解】解：设点的坐标为， 则点的坐标为，，， 则． ， ． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，点为反比例函数的图像上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被反比例函数的图像上一点分成两部分，且，连接，则的面积为______． 【答案】 【分析】设点的横坐标为，根据垂线定义及线段比例关系表示出点的横坐标，利用点、纵坐标相等建立关于的方程求出值，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：设点的坐标为，其中， 过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为， 轴，轴， 点的坐标为，点的坐标为， 的长度为， 点在线段上，且， ， 点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标与点相同， 点的坐标为， ， 整理得：， 解得：， ， ， 为直角三角形， ， ， ． 【变式题7-3】.（25-26九年级下·云南曲靖·期中）在平面直角坐标系中，点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，则四边形的面积为______． 【答案】6 【分析】根据反比例函数系数的几何意义即可求出四边形的面积． 【详解】解：因为点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、， 所以矩形的面积． 【题型 8】反比例与一次函数交点、不等式解集 1. 核心知识点: 　联立方程组求交点坐标 　数形结合解函数不等式 2. 解题方法技巧: 　联立消元得到一元二次方程，判别式判断交点个数 　数轴分段时分三段：左交点左侧、两交点中间、右交点右侧，排除 【例题8】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求，的值； (2)结合图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）把点代入反比例函数关系式即可确定的值，再把代入求出的值，把，分别代入直线即可求出的值； （2）先把不等式进行变形，再观察图象写出答案． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象交于，两点． ， ，即， 点坐标为． 一次函数的图象过，两点， ，解得， ，； （2）解：由得， ，， 不等式的解集为或． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·云南临沧·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线，与y轴交于点A，与x轴交于点B，反比例函数与直线l交于点C，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据函数图象，直接写出的x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点A，点B的坐标，取中点D，易得点D的坐标，分别过点C，点D作y轴的垂线，垂足分别为，求出，证明，可得，进而得到点C的坐标，即可解答； （2）根据图象即可解答． 【详解】（1）解：令，解得，则， 将代入，则， ∴， ∴， 取中点D，则，，即， 分别过点C，点D作y轴的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直线与反比例函数交于点C， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵，， 当时，反比例函数的图象在直线的图象上方，且反比例函数的图象与直线的图象都在轴上方， ∴的x的取值范围为． 【变式题8-2】.（2026·山东威海·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】先求出点的坐标，再找出一次函数图象在反比例函数图象的下方部分即可． 【详解】解：将代入反比例函数的解析式得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数解析式得， ∴， ∴， ∵直线与双曲线交于点和点， ∴由函数图象可得，不等式的解集是或． 【变式题8-3】.（2026·甘肃嘉峪关·二模）反比例函数的图象与直线相交于点，， (1)求反比例函数与直线的解析式； (2)连接，，求的面积S． (3)直接写出当x取何值时，． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）先求得直线与y轴的交点坐标，再利用坐标与图形的性质，结合三角形的面积公式求解即可； （3）找出函数的图象位于直线下方部分的点的横坐标的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：由题意，将代入中，得， ∴； 将代入中，得， ∴， 将，代入中，得， 解得， ∴； （2）解：如图，设直线与y轴的交点为D， 当时，，则， ∴， ∴； （3）解：由图象可知，当或时，． 【压轴素养题型】 【题型9】反比例函数跨学科综合应用（物理杠杆/化学溶液情境） 1.核心知识点: 反比例函数建模规律，定值总量下函数关系 跨学科（物理杠杆原理、化学溶液稀释）数量关系转化 2.解题方法技巧: 锁定题目恒定不变的物理量、化学量，快速建立反比例函数模型 结合学科性质确定自变量取值范围，利用函数增减性求解取值、最值问题 【例题9】.（26-27九年级上·全国·单元复习）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数，速度v（千米/时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如表： 速度v（千米/时） … 5 10 20 32 40 48 … 流量q（辆/时） … 550 1000 1600 1792 1600 1152 … (1)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是_____________；（只填正确答案的序号） ①；②；③． (2)请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ (3)已知q，v，k满足．某市交通运行监控平台显示，当时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵． 【答案】(1)③ (2)当该路段的车流速度为30千米/时时，流量达到最大值1800辆/时 (3)当时，该路段将出现轻度拥堵 【分析】（1）根据一次函数、反比例函数、二次函数的特征分析即可得出结果； （2）根据二次函数的性质解答即可； （3）求出，再结合一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由表格可得，随着的变化，先增大后减小， 函数①，随的增大而增大，显然不符合题意； 函数②，时，随的增大而减小，显然不符合题意； 函数③，随先增大后减小，符合题意； 故刻画，关系最准确的是③； （2）解：由（1）知，． ， 时，q达到最大值，最大值为1800， 即当该路段的车流速度为30千米/时时，流量达到最大值1800辆/时； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，此时， 当时，此时， ∴当时，该路段将出现轻度拥堵． 【变式题9-1】.（2026·山西运城·一模）在校园科技节活动中，同学们自制了一套定量溶液稀释实验装置，用于探究溶液稀释规律．已知稀释过程中溶质质量保持不变，溶液浓度（单位：）与溶液体积（单位：）成反比例函数关系．实验测得：当溶液体积为时，浓度为． (1)求出与之间的函数关系式； (2)实验要求稀释后溶液浓度不得低于，那么稀释后溶液体积应不高于多少？ 【答案】(1) (2)当稀释后溶液浓度不低于时，溶液体积不高于 【分析】（1）根据反比例函数的定义设出函数关系式，将已知的、对应值代入，求出比例系数，从而确定函数关系式； （2）先根据反比例函数的单调性，结合浓度不低于的条件，求出对应的溶液体积，再根据函数的增减性判断体积的取值范围． 【详解】（1）解：设（）， 将代入上式，得， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， ， 时，溶液浓度随溶液体积的增大而减少 所以，当稀释后溶液浓度不低于时，溶液体积不高于． 【变式题9-2】.（2026·河北石家庄·二模）杆秤是中国传统的不等臂杠杆式称重工具，是古代度量衡的代表．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为，，．根据杠杆原理、可得：．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） (1)已知一款秤杆长度，提纽到秤盘固定点距离； ①根据题意，求出关于的函数表达式； ②在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离； (2)在（1）的条件下．由于秤砣生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，求生锈秤砣的质量； (3)若杆秤可用长度，为保证杆秤的最大刻度不小于，请计算的取值范围． 【答案】(1)①；②零刻度所对应的点与点之间的距离为 (2)生锈秤砣的质量为 (3) 【分析】（1）①根据公式代入已知数量可得答案；②由零刻度时，，即可求解； （2）根据题意可得当一个物体的质量为，，设生锈的秤砣的质量为，可得，即可求解； （3）把 ，代入，可得，从而得到越大，越小，即可求解． 【详解】（1）解：① ，，， ， ． ②∵零刻度时， ， ． ∴零刻度所对应的点与点之间的距离为． （2）解：∵当一个物体的质量为， ， ， 设生锈的秤砣的质量为， ， 解得：， ∴生锈秤砣的质量为． （3）解：由题意得： ，代入．得： ， ， ， 越大，越小， 当时，， ． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·山西·期中）综合与实践 问题背景：黄河壶口瀑布坐落于山西省临汾市吉县，是晋陕交界的国家级级旅游景区．为优化景区观景动线，工程团队依托瀑布西侧自然地貌，修建多级观景平台及曲线连接步道．施工中，工程师将该设施侧面结构抽象为平面直角坐标系几何模型，通过数学建模为施工精准度、安全规范及后续工程设计提供数学支撑． 实测数据：以地面为轴、竖直方向为轴，原点为基准点建立平面直角坐标系．矩形为核心观景平台区域，曲线段为反比例函数图象的一部分(连接高低平台的景观步道)．经现场实测，获取关键数据：米，米，点在轴上． (1)数学建模：根据实测数据及几何模型特征，求曲线段所在反比例函数的表达式(无需写出自变量取值范围)． (2)问题解决：步道终点为下层观景出口，经施工校准，其距离地面的竖直高度为米．结合已建立的数学模型，求两点间的水平距离． (3)安全评估：为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，安全规范明确要求：警示牌距地面竖直高度不低于3米．若警示牌拟设置在点处，且点到直线的水平距离为2米，结合数学模型验证该位置是否符合安全设置要求，并说明理由． (4)工程设计：工程团队拟在地面上距原点水平距离米处新增观景点，为实现步道无缝衔接，需确定衔接点高度．过点作轴的垂线，交曲线的延长线于点，结合已建立的数学模型，直接写出点距地面的竖直高度． 【答案】(1)； (2)米； (3) 该位置符合安全设置要求，理由如下： ∵，，点到的水平距离为米， ∴点横坐标， 将代入得， ∵，满足“距地面竖直高度不低于3米”的要求， ∴该位置符合安全设置要求． (4)米 【分析】（1）利用待定系数法代入点坐标求反比例函数解析式； （2）根据点纵坐标代入解析式求横坐标，计算横坐标差得到水平距离； （3）求出点横坐标，代入得纵坐标，和安全要求比较验证； （4）将点横坐标代入解析式，求出纵坐标即为竖直高度． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，已知，， ∴点坐标为． 设反比例函数表达式为， 将代入得：，解得， ∴曲线段所在反比例函数的表达式为． （2）解：∵点距离地面竖直高度为米， ∴点纵坐标， 将代入得：，解得， ∵点横坐标为， ∴、两点水平距离为(米)． 答：、两点间的水平距离为米． （3）解：略； （4）解：由题意，点的横坐标为， 将代入得： ， 因此点距地面的竖直高度为米． 【题型 10】反比例函数动点与特殊图形存在性 1. 核心知识点: 　动点参数坐标表示 　等腰、直角、平行四边形判定条件 2. 解题方法技巧: 　设双曲线上动点，用表示线段长度 　按直角顶点、腰相等分类讨论，解后检验符合定义域 【例题10】.（2026·山西长治·三模）阅读与思考 请阅读小明的数学日记，并完成相应的任务． 日期：3月16日星期一天气：晴  心情：愉悦 猜想、证明与拓广 今天的数学课热闹非凡，李老师提出了一个探究问题：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积均是已知正方形周长和面积的2倍？大家都觉得可以，李老师让同学们对猜想的结果进行证明，结果发现不存在这样的正方形． 此时李老师又提出：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积均是已知矩形周长和面积的2倍？经过一阵激烈地讨论，最后大家决定先从特殊的矩形开始探究：已知矩形的宽和长分别为1和2，那么是否存在满足条件的矩形？ 根据前面的经验，同学们都想到了先设大矩形的宽和长，并思考存在的数量关系： 假设存在这样的矩形，令倍增后矩形的宽和长分别为x和y． 根据题意可得二元二次方程组： 思路①：从“数”的角度，可将该方程消元转化成一元方程，再求解．若方程组有解，说明存在满足条件的矩形，若方程组无解，说明不存在满足条件的矩形． 思路②：从“形”的角度，可将该方程组变形为通过函数图象进行判断，若两个函数图象有交点，说明存在满足条件的矩形，若两个函数图象没有交点，说明不存在满足条件的矩形． 课后同学们积极讨论，是否所有的矩形都满足存在周长和面积倍增的矩形． 任务： (1)请按照思路①写出完整的证明过程，若存在，计算出满足条件的矩形宽和长；若不存在，请通过计算说明理由． (2)请按照思路②在下面的平面直角坐标系中画出满足条件的函数图象，给出相应的结论，并说明理由． 【答案】(1)解：化简得 由②得，，③ 将③代入①，，即， 去分母，得， 解得，． 将代入③，得．此时，不符合题意． 将代入③，得，符合题意． 答：存在满足条件的矩形，该矩形的宽为，长为． (2)描点、连线： 结论：存在满足条件矩形． 理由：由图可知，函数与的图象有交点，则存在满足条件的矩形 【分析】（1）代入消元，转化为解一元二次方程即可； （2）描点、连线即可作出函数图象，再根据两函数图象得到有交点，即可判断． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题10-1】.（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于， 两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点 的右侧，连接，，△的面积为5． (1)求点 ， 的坐标及反比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)探究在 轴上是否存在点，在平面内存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，反比例函数解析式为 (2) (3)点坐标为或或或, 【分析】（1）先求出点m值，可得点A坐标，进而可得反比例函数解析式，根据对称性可得B坐标； （2）过作轴，设，表示出的长，用面积公式代入计算，可得答案； （3）先求出的长，分情况讨论计算即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， 正比例函数表达式为， ， 反比例函数解析式为， 点 、 关于原点对称， ； 综上，，，反比例函数解析式为； （2）过作轴，交于点， 设， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ； （3）， ． 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，、为对角线， 此时点与点关于 轴对称，则； 当为菱形的对角线时，有如下一种情况： 过作轴于点， 设，则，， 在△中，， 解得， ， ,； 综上，点坐标为或或或,． 【变式题10-2】.（2026·山东济南·一模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点．一次函数的图象过点与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式 (2)求的面积； (3)连接，在直线上是否存在点，使以为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，或． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （）把点坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点坐标，再把点和点坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式； （）求出点的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可； （）利用对称性可得点坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明，则只存在和这两种情况，当时，则，此时点D为的中点，利用中点坐标公式可得答案；当时，则，可求出，；设，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把，代入到中得：，解得， ∴一次函数的表达式为， （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵直线经过原点， ∴由反比例函数的对称性可得点的坐标为，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与不垂直， ∵与相似， ∴只存在和这两种情况， 当时，则，， ∴，， ∴此时点D为的中点， ∴点D的坐标为； 当时，则，， ∴，， 设， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接． (1)求的值； (2)若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）通过解一元二次方程得到m，n的值，得到点的坐标，再根据矩形的性质即可得到点B的坐标，然后代入反比例函数即可解答； （2）根据中点的定义得到，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，设，，分3种情况讨论：①与互相平分；②与互相平分；③与互相平分，分别列出方程组，求出的值，即可得到Q点的坐标； （3）先利用A、D两点坐标求出直线解析式，联立直线与反比例函数，通过一元二次方程判别式算出双曲线与线段有一个交点时的临界；再求出双曲线过点B时的临界，分区间分析双曲线与四边形边的交点数量，得到恰好有两个交点时k的取值范围。 【详解】（1）解：， ， 解得：，， 由题意得，，， ，， ，， 四边形是矩形， ， 点的坐标为； 将代入，得． （2）解：存在， 点是的中点，， ， ， 反比例函数的解析式为， 设，， 以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形， 下面分3种情况讨论： ①当与互相平分，则 解得， ； ②当与互相平分，则 解得， ； ③当与互相平分，则 解得， ； 综上所述，点的坐标为或或． （3）已知，，设直线解析式为， 将两点代入得： 把代入，得 ， 解得， 直线的解析式为． 当的图象与直线恰好有一个交点时，联立方程： 两边同乘整理得：， 只有一个交点， 一元二次方程判别式， ， 解得． 当反比例函数图象经过点时，， 此时双曲线仅与四边形交于点，只有1个交点． 当时，双曲线与线段产生2个交点，交点总数超过2个，不符合题意； 当时，双曲线仅与线段、线段各有1个交点，恰好共2个交点； 当时，双曲线与四边形无交点． 反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点时，． 易错点 1、增减性表述遗漏 “在每个象限内”，跨两点直接用增减性比较函数值导致错误。 2、几何意义忘记加绝对值，未结合图象象限判断正负。 3、解函数不等式忽略，解集出现错误区间。 4、实际建模遗漏自变量取值范围（物理、工程变量必须大于 0）。 5、对称变换、双曲面积计算混淆符号，两条双曲线模型面积加减符号颠倒。 6、存在性问题分类讨论不全，求出参数后未验证是否满足反比例定义域。 重点 1、反比例函数定义、三种表达式、图象象限与增减核心性质。 的几何意义基础模型、割补法求各类图形面积。 3、待定系数法求解析式，反比例与一次函数交点、不等式数形结合解法。 4、跨学科、生活情境反比例建模，利用增减性解决实际最值。 难点 1、双双曲线组合、不规则阴影面积综合计算，多种面积模型叠加。 2、动点、特殊图形存在性分类讨论，代数与几何综合计算。 3、新定义、规律探究类创新题型，阅读理解与知识迁移能力要求高。 4、反比例与菱形、正方形、直角三角形结合压轴综合题，坐标等量关系推导复杂。 一、单选题 1．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．y随x增大而减小 D．图象与x轴有交点 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质可得当时，图象位于第四象限，且随增大而增大；图象与坐标轴无交点，由此逐项分析即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数为，， ∴当时，图象位于第四象限，且随增大而增大；图象与坐标轴无交点； A、当时，，该项正确； B、由于，图象仅位于第四象限，不涉及第一、三象限，该项错误； C、当时，随增大而增大，该项错误； D、反比例函数图象不与轴相交，该项错误． 2．若点，在双曲线上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由确定双曲线的象限分布，结合点的横坐标符号判断函数值正负即可比较． 【详解】解：∵， ∴双曲线的两支分别位于第二、第四象限， ∵点的横坐标， ∴该点在第二象限，， ∵点的横坐标， ∴该点在第四象限，， ∴． 3．若点是反比例函数图象上一点，则点A位于第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义及各象限上的点的坐标特点．根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点是反比例函数，求出的值，再根据点的特征即可判断． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∵横坐标，纵坐标， ∴点A在第三象限． 故选：C． 二、填空题 4．已知函数是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，则此函数的表达式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质和定义，熟练掌握反比例函数的定义与性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义，指数需为，且系数需大于0以保证函数在每一象限内y随x的增大而减小． 【详解】解：由反比例函数的定义，得， 解得或， ∵图象在每一个象限内y随x的增大而减小， ∴， 当时，，满足条件， 当时， ，不满足条件， ∴， ∴函数的表达式为． 故答案为：． 5．反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是________． 【答案】或 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据增减性求解即可． 【详解】解：把代入，得， 解得：， ∴该反比例函数表达式为， 当时，， 解得， ∵， ∴函数图象在第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∴当时，或． 6．如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 或 【分析】先利用正比例函数和反比例函数的对称性，因为两个函数的交点关于原点对称，所以由点A的横坐标为1，可得到点B的横坐标．将不等式变形为，问题转化为找正比例函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围．结合函数图象，分和两个区间，根据两个交点的横坐标，确定满足的x的范围． 【详解】解：正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的交点、也关于原点对称． 已知点横坐标为，因此点横坐标为． ，即找正比例函数值大于反比例函数值时的范围． 观察图象可得：当时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，满足； 当时，正比例函数图象也在反比例函数图象上方，满足． 因此不等式的解集为 或 ． 三、解答题 7．一次函数与反比例函数交于、两点，两点横坐标分别为和． (1)求、的值； (2)求直线与坐标轴围成的的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）联立一次函数与反比例函数，由题意可知，和是方程的两根，代入求解即可 （2）求出点和点的坐标，进而计算出的面积． 【详解】（1）解：联立一次函数与反比例函数，得， ， 整理，得， 由题意可知，和是方程的两根， ∴， 解得； （2）解：由（1）可知，一次函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴． 8．如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题． (1)图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取点和点，如果，那么b、有怎样的大小关系？ 【答案】(1)第四象限， (2) 【分析】（1）根据一支所处象限可求得另一支所在象限，同时可知反比例函数的系数小于零，即可解得答案； （2）根据反比例函数的性质，在图象的每一个象限内随增大而增大，即可求得答案． 【详解】（1）解：根据图象知：该函数的图象的另一支位于第四象限， ∵这个反比例函数图象位于第二、四象限， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴在这个函数图象的任意一支上，都随的增大而增大， ∴当时，． 9．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求和的值； (2)是一次函数在第一象限内的图象上的点，垂直于轴，垂足为．是反比例函数的图象上的点．若点到轴的距离是点到轴的距离的倍，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)， (2)面积的最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征，将代入求得，得，再将代入可得的值； （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，得，，，继而得到，进一步得到，再根据二次函数的最值可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：反比例函数的解析式为， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设， ∵是一次函数在第一象限内的图象上的点，垂直于轴， ∴，，， ∴， ∵是反比例函数的图象上的点，且点到轴的距离是点到轴的距离的倍， ∴， ∴点的横坐标为， ∴， ∵ ， 又∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时， ∴面积的最大值为，此时点的坐标为． 10．我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一．某公司测试一款新型电动汽车的续航能力，在匀速行驶等理想状态下，收集到的数据如下： 行驶速度（） 50 60 70 80 90 基础能耗（） 12.35 11.75 11.55 11.75 12.35 该款电动汽车的电池容量为，考虑到各种因素，实际能耗是基础能耗的1.2倍 实际续航里程． (1)根据上述表格中的数据，在答题纸的坐标系中画出相应的点， (2)请你根据（1）中点在坐标系中的分布特征，从一次函数、反比例函数、二次函数中，选出最符合基础能耗与行驶速度之间关系的函数，并求出该函数表达式； (3)当该款电动汽车匀速行驶时的速度在和之间（含和）时，求其实际续航里程的最小值． 【答案】(1) (2)最符合的是二次函数，函数表达式为： (3)420 千米 【分析】（1）根据表格描点即可； （2）根据点的分布得出其符合二次函数的抛物线特征，再根据待定系数法解答即可； （3）根据题意求出实际续航里程，从而得当最大时，取最小值，求出二次函数在范围内的最大值即可解答； 【详解】（1）略 （2）解：观察点的分布：数据先降后升，且和、和均关于对称，符合二次函数的抛物线特征，因此最符合的是二次函数， 设函数表达式为（对称轴为，顶点为）：， 将点代入得：， 解得， 验证其余点均满足该式， ∴函数表达式为：（展开也可写为）； （3）解：根据题意： 实际能耗为， 代入续航里程公式：实际续航里程， ∴随的增大而减小， ∴当最大时，取最小值， ∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴在范围内，随增大而减小，在范围内，随增大而增大； 当时，，当时，， ∴在范围内的最大值为12， ∴， 故实际续航里程的最小值为420 千米． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27章 反比例函数 知识点 1：反比例函数的概念与三种表达式 1.定义：形如 （ 为常数，）的函数叫做反比例函数；自变量取值范围 ，函数值 。 2.三种等价表达形式 分式标准式： 乘积式：（多用于快速求） 负指数式： 判定核心条件：自变量次数为，且系数。 知识点 2：反比例函数图象与基本性质 对比项目 图象形状 双曲线，分两支，不与坐标轴相交 双曲线，分两支，不与坐标轴相交 象限分布 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内， 随 增大而减小 在每个象限内， 随 增大而增大 对称性 中心对称（原点）；轴对称（、） 中心对称（原点）；轴对称（、） 知识点 3：比例系数K的几何意义 1.矩形面积：过双曲线上任意一点向、轴作垂线，围成矩形面积 。 2.直角三角形面积：该点、垂足、原点构成直角三角形，面积 。 3.拓展模型：平行于坐标轴的两点、双双曲线组合图形，可通过和割补法求阴影面积。 知识点 4：待定系数法求反比例函数解析式 1.步骤：设解析式→代入图象上点坐标→解方程求→写出完整解析式。 2.特殊技巧：已知乘积可直接得，无需分步计算。 知识点 5：反比例与一次函数综合 3.交点规律：正比例与反比例交点关于原点对称；一次函数与反比例联立方程求交点。 4.图象解不等式：以交点横坐标、为分界，观察图象上下位置确定解集，必须排除。 知识点 6：反比例函数实际建模（跨学科） 1.建模核心：总量固定，两个变量乘积为定值。 2.常见跨学科等量关系 物理：（压力定值）、（电压定值） 化学：溶液溶质固定，浓度与溶液体积成反比 生活：工程总量、矩形面积、行程路程固定 【基础必考题型】 【题型 1】反比例函数概念与参数判定 1. 核心知识点: 　反比例函数三种表达式 　、自变量次数为双重判定条件 2. 解题方法技巧: 　先整理解析式，将统一化为负指数形式再判断次数 　含参数题型联立不等式组，同时满足次数与系数限制 【例题1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）下列函数是y关于x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（2022九年级·广西防城港·竞赛）反比例函数的解析式有三种表现形式，分别是_______，________，______．（为常数，且）． 【变式题1-2】.（2025九年级上·北京·专题练习）若函数是反比例函数，求m的值． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 【题型 2】图象象限与增减性基础判断 1. 核心知识点: 　符号与象限对应关系 　增减性 “每个象限内” 限定条件 2. 解题方法技巧: 　跨象限比较函数值，不能直接用增减性，代入数值计算更稳妥 　图象越远离坐标轴，数值越大 【例题2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（     ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 【变式题2-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【变式题2-2】.（25-26八年级下·河南南阳·期末）已知y是关于x的反比例函数，当时，函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的m的值_________． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知、两点在反比例函数的图像上，且，则的取值范围为__________． 【题型 3】图象上点坐标特征基础计算 1. 核心知识点: 　双曲线上点满足 　反比例函数对称性坐标规律 2. 解题方法技巧: 　同一条双曲线上任意两点横纵坐标乘积相等 　关于原点对称点：，直接快速写坐标 【例题3】.（25-26九年级上·福建·期末）若点在反比例函数的图象上，则点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·湖南郴州·期中）若函数与函数的图象交于两点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标是______． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知正比例函数（为常数）与反比例函数的图象交于点、，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（2026·江苏盐城·三模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A、B．若点A的横坐标为2，则点B的坐标为________． 【题型 4】待定系数法求基础解析式 1. 核心知识点: 　待定系数法四步解题流程 　点在函数图象上的坐标性质 2. 解题方法技巧: 　已知单一点坐标即可直接求出，无需多组数据 　求出后代回原解析式验证坐标是否匹配 【例题4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知与成反比例关系，且当时，，则关于的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·吉林长春·期末）功率P与时间t成反比例，图像经过，若，则_________． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·上海松江·期末）已知y与x成反比例，z与y成正比例，又当时，；当时，． (1)求z关于x的函数表达式； (2)当时，求z的值． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·上海崇明·期末）某函数符合如下条件：①图像经过；②当时，随的增大而减小．请写出一个满足条件的函数表达式：____________． 【培优高频题型】 【题型 5】K几何意义单图形面积计算 1. 核心知识点: 　矩形面积、直角三角形面积 　面积与符号对应规则 2. 解题方法技巧: 　先根据图象象限判断正负，再结合面积绝对值计算 　题目未说明象限时，存在正负两种解，需分类 【例题5】.（25-26九年级上·江西新余·期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，作轴于点，连接，则的面积为_____． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·云南文山·期末）如图，点为反比例函数的图像上的一点，轴，轴，垂足分别为，则四边形的面积为______． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点分别为反比例函数的图象上的点，且轴，已知的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式题5-3】.（25-26九年级上·江西萍乡·期末）如图，已知点是反比例函数图象上的一点，过点作轴，交轴于点，点在轴负半轴上，连接、交轴于点，若，则________． 【题型 6】跨学科基础建模 1. 核心知识点: 　实际问题反比例关系识别 　自变量实际取值范围标注 2. 解题方法技巧: 　提取不变总量，列出等量关系建立模型 　物理、化学情境自变量均大于 0，解集舍去负数 【例题6】.（26-27九年级上·全国·课后作业）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 【变式题6-1】.（2022·陕西西安·模拟预测）某物体对地面的压强与物体和地面的接触面积成反比例函数关系，其图象如图，当压强小于等于时，的取值范围是________． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·山西长治·期末）小秦在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔（jié）槔（gāo）的古代汲水工具（如图1）．若图中人物竖直向下施加的拉力为（单位：N），当改变点与点之间的距离（单位：m）时，横杆始终处于水平状态，小秦发现与之间满足反比例函数关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示．当竖直向下施加的拉力为75N时，要使横杆仍处于水平状态，则点与点之间的距离为（   ）． A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m 【变式题6-3】.（25-26八年级下·福建漳州·期末）某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【题型 7】K几何意义割补法求不规则面积 1. 核心知识点: 　面积割补转化思想 　同坐标轴平行线等积模型 2. 解题方法技巧: 　不规则阴影转化为矩形、三角形的和或差 　平行于轴线段分割图形，直接套用简化运算 【例题7】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边交于点D，分别连接，，则的面积为_________． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，交x轴于点B，点C在x轴负半轴上，连接交y轴于点D，若，则________． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，点为反比例函数的图像上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被反比例函数的图像上一点分成两部分，且，连接，则的面积为______． 【变式题7-3】.（25-26九年级下·云南曲靖·期中）在平面直角坐标系中，点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，则四边形的面积为______． 【题型 8】反比例与一次函数交点、不等式解集 1. 核心知识点: 　联立方程组求交点坐标 　数形结合解函数不等式 2. 解题方法技巧: 　联立消元得到一元二次方程，判别式判断交点个数 　数轴分段时分三段：左交点左侧、两交点中间、右交点右侧，排除 【例题8】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求，的值； (2)结合图象，直接写出时x的取值范围． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·云南临沧·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线，与y轴交于点A，与x轴交于点B，反比例函数与直线l交于点C，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据函数图象，直接写出的x的取值范围． 【变式题8-2】.（2026·山东威海·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 【变式题8-3】.（2026·甘肃嘉峪关·二模）反比例函数的图象与直线相交于点，， (1)求反比例函数与直线的解析式； (2)连接，，求的面积S． (3)直接写出当x取何值时，． 【压轴素养题型】 【题型9】反比例函数跨学科综合应用（物理杠杆/化学溶液情境） 1.核心知识点: 反比例函数建模规律，定值总量下函数关系 跨学科（物理杠杆原理、化学溶液稀释）数量关系转化 2.解题方法技巧: 锁定题目恒定不变的物理量、化学量，快速建立反比例函数模型 结合学科性质确定自变量取值范围，利用函数增减性求解取值、最值问题 【例题9】.（26-27九年级上·全国·单元复习）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数，速度v（千米/时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如表： 速度v（千米/时） … 5 10 20 32 40 48 … 流量q（辆/时） … 550 1000 1600 1792 1600 1152 … (1)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是_____________；（只填正确答案的序号） ①；②；③． (2)请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ (3)已知q，v，k满足．某市交通运行监控平台显示，当时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵． 【变式题9-1】.（2026·山西运城·一模）在校园科技节活动中，同学们自制了一套定量溶液稀释实验装置，用于探究溶液稀释规律．已知稀释过程中溶质质量保持不变，溶液浓度（单位：）与溶液体积（单位：）成反比例函数关系．实验测得：当溶液体积为时，浓度为． (1)求出与之间的函数关系式； (2)实验要求稀释后溶液浓度不得低于，那么稀释后溶液体积应不高于多少？ 【变式题9-2】.（2026·河北石家庄·二模）杆秤是中国传统的不等臂杠杆式称重工具，是古代度量衡的代表．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为，，．根据杠杆原理、可得：．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） (1)已知一款秤杆长度，提纽到秤盘固定点距离； ①根据题意，求出关于的函数表达式； ②在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离； (2)在（1）的条件下．由于秤砣生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，求生锈秤砣的质量； (3)若杆秤可用长度，为保证杆秤的最大刻度不小于，请计算的取值范围． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·山西·期中）综合与实践 问题背景：黄河壶口瀑布坐落于山西省临汾市吉县，是晋陕交界的国家级级旅游景区．为优化景区观景动线，工程团队依托瀑布西侧自然地貌，修建多级观景平台及曲线连接步道．施工中，工程师将该设施侧面结构抽象为平面直角坐标系几何模型，通过数学建模为施工精准度、安全规范及后续工程设计提供数学支撑． 实测数据：以地面为轴、竖直方向为轴，原点为基准点建立平面直角坐标系．矩形为核心观景平台区域，曲线段为反比例函数图象的一部分(连接高低平台的景观步道)．经现场实测，获取关键数据：米，米，点在轴上． (1)数学建模：根据实测数据及几何模型特征，求曲线段所在反比例函数的表达式(无需写出自变量取值范围)． (2)问题解决：步道终点为下层观景出口，经施工校准，其距离地面的竖直高度为米．结合已建立的数学模型，求两点间的水平距离． (3)安全评估：为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，安全规范明确要求：警示牌距地面竖直高度不低于3米．若警示牌拟设置在点处，且点到直线的水平距离为2米，结合数学模型验证该位置是否符合安全设置要求，并说明理由． (4)工程设计：工程团队拟在地面上距原点水平距离米处新增观景点，为实现步道无缝衔接，需确定衔接点高度．过点作轴的垂线，交曲线的延长线于点，结合已建立的数学模型，直接写出点距地面的竖直高度． 【题型 10】反比例函数动点与特殊图形存在性 1. 核心知识点: 　动点参数坐标表示 　等腰、直角、平行四边形判定条件 2. 解题方法技巧: 　设双曲线上动点，用表示线段长度 　按直角顶点、腰相等分类讨论，解后检验符合定义域 【例题10】.（2026·山西长治·三模）阅读与思考 请阅读小明的数学日记，并完成相应的任务． 日期：3月16日星期一天气：晴  心情：愉悦 猜想、证明与拓广 今天的数学课热闹非凡，李老师提出了一个探究问题：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积均是已知正方形周长和面积的2倍？大家都觉得可以，李老师让同学们对猜想的结果进行证明，结果发现不存在这样的正方形． 此时李老师又提出：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积均是已知矩形周长和面积的2倍？经过一阵激烈地讨论，最后大家决定先从特殊的矩形开始探究：已知矩形的宽和长分别为1和2，那么是否存在满足条件的矩形？ 根据前面的经验，同学们都想到了先设大矩形的宽和长，并思考存在的数量关系： 假设存在这样的矩形，令倍增后矩形的宽和长分别为x和y． 根据题意可得二元二次方程组： 思路①：从“数”的角度，可将该方程消元转化成一元方程，再求解．若方程组有解，说明存在满足条件的矩形，若方程组无解，说明不存在满足条件的矩形． 思路②：从“形”的角度，可将该方程组变形为通过函数图象进行判断，若两个函数图象有交点，说明存在满足条件的矩形，若两个函数图象没有交点，说明不存在满足条件的矩形． 课后同学们积极讨论，是否所有的矩形都满足存在周长和面积倍增的矩形． 任务： (1)请按照思路①写出完整的证明过程，若存在，计算出满足条件的矩形宽和长；若不存在，请通过计算说明理由． (2)请按照思路②在下面的平面直角坐标系中画出满足条件的函数图象，给出相应的结论，并说明理由． 【变式题10-1】.（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于， 两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点 的右侧，连接，，△的面积为5． (1)求点 ， 的坐标及反比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)探究在 轴上是否存在点，在平面内存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式题10-2】.（2026·山东济南·一模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点．一次函数的图象过点与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式 (2)求的面积； (3)连接，在直线上是否存在点，使以为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接． (1)求的值； (2)若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围． 易错点 1、增减性表述遗漏 “在每个象限内”，跨两点直接用增减性比较函数值导致错误。 2、几何意义忘记加绝对值，未结合图象象限判断正负。 3、解函数不等式忽略，解集出现错误区间。 4、实际建模遗漏自变量取值范围（物理、工程变量必须大于 0）。 5、对称变换、双曲面积计算混淆符号，两条双曲线模型面积加减符号颠倒。 6、存在性问题分类讨论不全，求出参数后未验证是否满足反比例定义域。 重点 1、反比例函数定义、三种表达式、图象象限与增减核心性质。 的几何意义基础模型、割补法求各类图形面积。 3、待定系数法求解析式，反比例与一次函数交点、不等式数形结合解法。 4、跨学科、生活情境反比例建模，利用增减性解决实际最值。 难点 1、双双曲线组合、不规则阴影面积综合计算，多种面积模型叠加。 2、动点、特殊图形存在性分类讨论，代数与几何综合计算。 3、新定义、规律探究类创新题型，阅读理解与知识迁移能力要求高。 4、反比例与菱形、正方形、直角三角形结合压轴综合题，坐标等量关系推导复杂。 一、单选题 1．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．y随x增大而减小 D．图象与x轴有交点 2．若点，在双曲线上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．若点是反比例函数图象上一点，则点A位于第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 二、填空题 4．已知函数是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，则此函数的表达式为___________． 5．反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是________． 6．如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 三、解答题 7．一次函数与反比例函数交于、两点，两点横坐标分别为和． (1)求、的值； (2)求直线与坐标轴围成的的面积． 8．如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题． (1)图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取点和点，如果，那么b、有怎样的大小关系？ 9．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求和的值； (2)是一次函数在第一象限内的图象上的点，垂直于轴，垂足为．是反比例函数的图象上的点．若点到轴的距离是点到轴的距离的倍，求面积的最大值及此时点的坐标． 10．我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一．某公司测试一款新型电动汽车的续航能力，在匀速行驶等理想状态下，收集到的数据如下： 行驶速度（） 50 60 70 80 90 基础能耗（） 12.35 11.75 11.55 11.75 12.35 该款电动汽车的电池容量为，考虑到各种因素，实际能耗是基础能耗的1.2倍 实际续航里程． (1)根据上述表格中的数据，在答题纸的坐标系中画出相应的点， (2)请你根据（1）中点在坐标系中的分布特征，从一次函数、反比例函数、二次函数中，选出最符合基础能耗与行驶速度之间关系的函数，并求出该函数表达式； (3)当该款电动汽车匀速行驶时的速度在和之间（含和）时，求其实际续航里程的最小值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $