第26章 二次函数 单元复习（10大知识点总结+12大题型+易错警示+解题技巧）2026-2027学年人教版数学九年级上册易错题重难点培优讲义

第26章 二次函数 知识点1：二次函数的概念 　　1.定义：一般地，形如（是常数，）的函数叫做二次函数。 　　2.必须满足：解析式为整式、化简后自变量最高次数是2、二次项系数不为0。 　　3.自变量的取值范围一般是全体实数，实际问题需使问题有意义。 知识点2：二次函数的图象与性质 项 共同点 开口 向上 向下 顶点在原点，关于y轴对称 增减性 对称轴左侧随增大而减小，右侧增大 对称轴左侧随增大而增大，右侧减小 对称轴两侧增减性相反 最值 当时，有最小值0 当时，有最大值0 越大开口越小 　　画法：列表、描点、连线；以顶点为中心对称取点。 知识点3：顶点式与平移规律 　　1.顶点式：，顶点为，对称轴为直线。 　　2.平移规律：左加右减、上加下减（对顶点坐标操作）。 　　3.平移过程中a不变，抛物线形状不变，只需平移顶点。 知识点4：一般式与顶点式互化 　　1.用配方法化一般式为顶点式：。 　　2.对称轴：直线；顶点：。 　　3.当时，y取最值（为最小、为最大）。 知识点5：二次函数图象与系数a、b、c的关系 系数 决定因素 图象特征 a 开口方向 开口向上；开口向下 b 对称轴位置 的符号确定，同号对称轴在y轴左侧，异号在右侧 c 与y轴交点 交于y轴正半轴，过原点，交于负半轴 与x轴交点个数 两个交点，一个交点，无交点 知识点6：待定系数法求解析式 形式 适用范围 设解析式 一般式 已知图象上任意三个点 顶点式 已知顶点或对称轴、最值 交点式 已知与x轴两交点 　　代入点坐标，解方程（组）求未知系数。 知识点7：二次函数与一元二次方程的关系 　　1.抛物线与x轴交点的横坐标即方程的根。 　　2.图象在x轴上方的部分对应，下方对应，可直观比较函数值、判断解的范围。 　　3.可利用图象估算一元二次方程的近似解。 知识点8：给定自变量范围求最值 　　1.当顶点在给定范围内，最值在顶点处取得。 　　2.当顶点不在给定范围内，最值在区间端点处取得。 　　3.先画草图结合对称轴位置，判断增减趋势，再比较端点函数值。 知识点9：二次函数的实际应用 　　1.利润最值：总利润=单件利润×销量；单件利润=售价－进价。 　　2.面积最值（围栏、几何图形）：用周长等列代数式，配方求最大面积。 　　3.抛物线形实物与轨迹（拱桥、喷泉、投篮、丢沙包）：建系、求解析式、代点求值。 　　4.步骤：审题意、设未知量、列关系式、求最值、验证是否符合实际。 知识点10：易错警示 易错点 错误做法 正确做法 二次项系数 忽略 先化为一般式，判 最值 只算顶点 看顶点是否在给定范围内，不在则取端点值 平移 对解析式整体加减 先化顶点式，对顶点"左加右减、上加下减" 实际取解 结果脱离实际 检验解是否符合实际意义 【易错题型】 【题型1】二次函数概念的判断 　　1.易错点总结 　　（1）忽略二次项系数不为0，导致字母取值出错； 　　（2）未化简就判断最高次数； 　　（3）把分式、根式形式误当作二次函数。 　　2.纠错技巧 　　（1）先化简成一般形式； 　　（2）判定三条件：整式、最高次数2、； 　　（3）由求字母取值范围。 【例题1】.（26-27九年级上·西藏日喀则·期中）若是二次函数则__________． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，需同时满足自变量最高次数为2、二次项系数不为0两个条件，联立求解并排除系数为0的解即可． 【详解】解：∵二次函数要求自变量的最高次数为2，且二次项系数不为0 ∴且 解关于的方程， 移项得， 因式分解得， 解得 或 ， 结合约束条件，即，舍去， ∴． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）已知是关于的二次函数，那么的值为（     ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】需同时满足x的次数为2、二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：由二次函数定义得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 【变式题1-2】.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需先化简部分选项的函数表达式，再结合二次函数的特征逐一判断． 【详解】解：A选项：是整式，x的最高次数为2，二次项系数不为0，是二次函数，符合题意； B选项：未限定，当时不是二次函数，不符合题意； C选项：是分式，不是整式，不是二次函数，不符合题意； D选项：，是一次函数，不是二次函数，不符合题意． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·上海静安·阶段检测）下列函数是关于x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：的右边含分式，不是二次函数； B选项：化简得，符合二次函数定义； C选项：化简得，是一次函数，不是二次函数； D选项：当时，函数解析式为，是一次函数，故该函数不一定是二次函数． 【基础题型】 【题型2】抛物线的开口、对称轴与顶点 　　解题技巧： 　　（1）由判断开口方向； 　　（2）顶点式直接读顶点与对称轴； 　　（3）一般式用配方或公式求顶点； （4）画草图辅助判断。 【例题2】.（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）抛物线的顶点坐标是___________． 【答案】 【分析】题干给出的抛物线解析式为顶点式，直接匹配对应参数即可得到顶点坐标． 【详解】解：∵ 抛物线的顶点式为，其顶点坐标为． ∴ 对比解析式，可得，． ∴ 该抛物线的顶点坐标为． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）对于二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线 C．时，随x的增大而减小 D．顶点坐标 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而减小， ∵，即在范围内， ∴时，随的增大而减小， 故A、B、D选项错误，C选项正确． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·新疆巴州·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．开口向下 C．对称轴为轴 D．顶点在轴上 【答案】A 【分析】由二次项系数判断开口方向，结合解析式确定对称轴与顶点，判断各选项正误． 【详解】解：二次函数解析式为， ∵二次项系数， ∴抛物线开口向上，A正确，B错误； ∵函数为的形式， ∴对称轴为直线（即轴），顶点坐标为，在轴上，C错误，D错误． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）抛物线的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 题中抛物线解析式为，对应， ∴ 其对称轴为直线． 【题型3】利用图象性质判断增减性与最值 　　解题技巧： 　　（1）对称轴为分界，两侧增减性相反； 　　（2）有最小值、有最大值； 　　（3）比较函数值大小看到对称轴距离； （4）开口、对称轴、最值三者结合。 【例题3】.（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）对于二次函数，当时，的取值范围是_________． 【答案】 【分析】通过判断，二次函数开口方向向下，对称轴是轴，再结合的取值范围找到的范围内的最大值和最小值即可． 【详解】解：二次函数中， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 即当时，取得最大值， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小； 由于， 当时，代入得， 当时，代入得， 当时，y的取值范围是． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）已知二次函数，当________时，取得最大值________． 【答案】 【分析】根据二次函数顶点式的开口方向与顶点坐标性质，确定取最大值时的自变量值与最大值． 【详解】解：∵函数解析式为，二次项系数， ∴抛物线开口向下，顶点为函数的最高点， ∵该函数为顶点式，对应顶点坐标为， ∴当时，取得最大值． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）抛物线 当时，y随x增大而减小，则m的取值范围___． 【答案】 【分析】根据二次函数顶点式的开口方向与增减性，结合给定的x的取值范围，确定对称轴的位置要求，列不等式求解. 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧，即时，随的增大而减小， ∵当时，随增大而减小， ∴， 解不等式得． 【变式题3-3】.（黑龙江大庆市肇源县农村联盟2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题）二次函数 的最大值是（     ） A．4 B． C．0 D．2 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，取得最大值． 【题型4】二次函数图象的平移 　　解题技巧： 　　（1）先化顶点式； 　　（2）平移规律左加右减、上加下减； 　　（3）平移中a不变； （4）求平移后解析式：由新顶点代回。 【例题4】.（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·期中）将抛物线 向下平移1个单位，再向右平移4个单位，则所得抛物线的解析式是_____________． 【答案】 【分析】先将原抛物线的一般式配方为顶点式，再依据抛物线平移的“上加下减、左加右减”规则逐步计算，平移过程中二次项系数保持不变． 【详解】解：∵， ∴将抛物线 向下平移1个单位，再向右平移4个单位，则所得抛物线的解析式是． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·甘肃兰州·期中）在平面直角坐标系中，抛物线向右平移1个单位长度得到的抛物线为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线平移“左加右减”的规律求解． 【详解】解：∵抛物线向右平移1个单位长度， ∴平移后的抛物线解析式为． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·辽宁营口·阶段检测）将抛物线的图象经过怎样的平移可得到抛物线的图象（     ） A．先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B．先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 【答案】B 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，得到，再向下平移个单位长度，得到. 【变式题4-3】.（26-27九年级上·新疆昌吉·阶段检测）已知二次函数的图象的顶点坐标为． (1)写出m，k的值． (2)判断点是否在这个函数的图象上． (3)将该二次函数的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得函数．求a，b，c的值． 【答案】(1) ， (2) 点在这个函数的图象上 (3) ，， 【分析】（1）直接根据顶点式的性质，作答即可； （2）把代入函数解析式，求出函数值，进行判断即可； （3）根据平移规则求出平移后的解析式，即可得出结果. 【详解】（1）解：∵二次函数的顶点坐标为， 又∵图象顶点坐标为， ∴，； （2）解：由（1）得函数解析式为， 当时，， 故点在该函数图象上； （3）解：由（1）得原函数解析式为， 向左平移1个单位，得， 向下平移2个单位，得， ∵， ∴，，. 【题型5】求抛物线与坐标轴的交点 　　解题技巧： 　　（1）与y轴交点：令得； 　　（2）与x轴交点：令解一元二次方程； 　　（3）由对称轴求另一交点（中点）； （4）用判别式判断交点个数。 【例题5】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)求抛物线与轴、轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)与轴的交点坐标为、，与轴的交点坐标为 【详解】（1）解：把代入得， 解得； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， 令得，则抛物线与轴的交点坐标为； 令得，解得，则抛物线与轴的交点坐标为、． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·广东惠州·期中）如图是抛物线，其顶点为，与轴的交点为，（点在点的左边），与轴的交点为． (1)直接写出抛物线的解析式__________________； (2)抛物线与轴的交点的坐标________，点的坐标________，点的坐标________； (3)当时，的取值范围________． 【答案】(1)（或） (2)；； (3) 【分析】（1）根据抛物线的顶点式表达式与顶点坐标的关系解答即可； （2）令，求抛物线与x轴的交点，令，求抛物线与y轴的交点，解答即可； （3）根据函数的性质，增减性，解答即可． 【详解】（1）解：抛物线，其顶点为， 故抛物线的解析式为或； （2）解：根据题意，得， 令，得， 解得； 令，， 故抛物线与轴交点坐标为、，与轴交点坐标为； （3）解：根据题意，得， 抛物线的对称轴为直线，函数的顶点坐标为，函数的最小值为，且函数图象的点与对称轴的距离越大，函数值就越大； 在的范围内， 此范围内，函数有最小值，且最小值为， ， 当时，函数取得最大值，且最大值为， y的取值范围为． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数． (1)求证：该函数图象与x轴一定有两个不同的交点； (2)若该函数图象与x轴的一个交点是，求另一个交点坐标． 【答案】(1)证明：在二次函数中， ，，， ， ∵， ∴，即， ∴该函数图象与轴一定有两个不同的交点； (2)另一个交点坐标为． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式的范围即可证明结论； （2）根据函数图象与x轴的一个交点是得到，解方程即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵二次函数，该函数图象与x轴的一个交点是， ∴ 解得 ∴二次函数为 当时，， 解得， ∴该函数图象与x轴的另一个交点坐标为． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线（是常数） (1)求证：无论为何值，该抛物线与轴一定有交点； (2)若该抛物线与轴交于点、，且，求的值． 【答案】(1)证明：令，得方程， ， ∵ 无论取何值，，即， ∴ 无论为何值，该抛物线与轴一定有交点． (2)的值为或． 【分析】（1）令，得方程，可证，再根据二次函数与方程的关系，即可求证； （2）根据二次函数与方程的关系，可得，是方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，从而，列出方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：令，得方程， 该抛物线与轴交于点、， ，是方程的两个根， ，， ， ，即， ， ，解得，， 则的值为或． 【提升题型】 【题型6】待定系数法求解析式 　　解题技巧： 　　（1）按已知条件选形式（一般式、顶点式、交点式）； 　　（2）代入点坐标列方程（组）； 　　（3）解出系数； （4）代回验证另一点是否在图象上。 【例题6】.（25-26九年级上·吉林·期中）已知二次函数的顶点坐标为，且图象经过点，求函数解析式． 【答案】二次函数的解析式为． 【分析】根据顶点坐标设函数解析式，利用待定系数法求解． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 二次函数的解析式可设为， 图象经过点， ， 解得， ， 故二次函数的解析式为． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·湖南湘西·阶段检测）抛物线经过点 (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的顶点坐标及对称轴． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线 【详解】（1）解：把代入中，得 解得， ∴； （2）解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·吉林松原·期中）如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上第一象限内一点，当以点为顶点构成的的面积为2时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先把点A坐标代入解析式中，即可求解； （2）根据轴，可求得点的坐标为，可得，设，由点是抛物线上第一象限内一点，可得，再由轴，可得的边上的高为，根据三角形面积公式列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵轴， ∴当时，， ∴， ∴点的坐标为， ∴， 设点的坐标为， ∵点是抛物线上第一象限内一点， ∴， ∵轴， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴或 ∴，（舍去），，（舍去）， 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，点的坐标为或． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·辽宁营口·阶段检测）探究不同情境，回答下面问题． (1)已知二次函数的图像经过点和点，且经过点，求二次函数的解析式． (2)已知二次函数的图像的顶点坐标为，且经过点，求二次函数的解析式． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2)二次函数的解析式为 【分析】（1）设二次函数解析式为，将点代入求得a的值，再将解析式化成一般式即可； （2）设二次函数解析式为，将点代入求得c的值，再将解析式化成一般式即可； 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 将点代入解析式，得 ，解得：， ∴ 二次函数解析式为，整理得． （2）解：设二次函数解析式为， 将点代入解析式，得 ，解得， ∴ 二次函数解析式为，整理得． 【题型7】由图象判断系数符号 　　解题技巧： 　　（1）a看开口，c看与y轴交点； 　　（2）b由对称轴与a符号判； 　　（3）看时y值； （4）看时y值，数形结合。 【例题7】.（26-27九年级上·内蒙古通辽·期中）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．若，在图象上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点情况，结合二次函数性质逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵，抛物线的对称轴位于轴左侧， ∴， ，故A错误，该选项不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线，即， ， ∴，故B正确，该选项符合题意； C、抛物线对称轴为，且过点，根据对称性，抛物线与轴的另一个交点为， 当 时，，故C错误，该选项不符合题意； D、，， 点与关于对称轴对称， ，故D错误，该选项不符合题意． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·天津滨海新区·期中）二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由图象开口方向、对称轴、与 轴的交点确定 ，， 的符号与关系，再用图象的对称性和最值判断各结论． 【详解】由图象开口向下知；对称轴，得； 图象过，得，即． ∴，①正确； ∵图象过，对称轴， ∴抛物线与轴的另一交点为， ∴，②错误； ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，开口向下，距离越大函数值越小， ∴，③错误； ∵顶点纵坐标为，开口向下时它是最大值， ∴当时，成立，④正确； ，⑤正确． ∴正确的有个． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·辽宁营口·阶段检测）如图，点P是抛物线的顶点．下列结论正确的有______（填序号），①，②，③对任意实数t，总成立，④若点，在抛物线上，则． 【答案】②③ 【分析】根据抛物线的对称轴即可判断①；当时，，即抛物线与轴交于点，由图像可知，，据此即可判断②；利用函数的最大值即可判断③；利用抛物线上点到对称轴的距离和函数值的大小即可判断④． 【详解】解：由二次函数的图像可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，顶点为， ∴， ∴，， 即，故①错误； 当时，，即抛物线与轴交于点， 由图像可知，， ∴ 解得，故②正确； ∵抛物线开口向下，顶点为， ∴当时，有最大值为， ∴对任意实数t，总成立， 即对任意实数t，总成立，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， 当时，，此时，故④错误． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图是二次函数 图象的一部分，对称轴为直线，且经过点，下列选项正确的是（     ） A． B． C．若，则时的函数值小于时的函数值 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向及对称轴为直线即可判断A；把代入即可判断B；利用二次函数图象开口向下，离对称轴越远函数值越小，然后比较与对称轴的距离即可判断C；先确定的关系，作差配方即可判断D． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴， ∵图象对称轴为直线， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴A项错误； ∵图象经过点， ∴， ∴B项错误； 由图可知二次函数图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越远函数值越小， ，，且， 离对称轴的距离小于离对称轴的距离， 时的函数值大于时的函数值， C项错误； ，， ，解得， ， 又∵， ∴， ∴， ∴D项正确． 【题型8】二次函数与一元二次方程 　　解题技巧： 　　（1）交点的横坐标即方程的根； 　　（2）判别式定交点个数； 　　（3）由图象估算根的范围； （4）对称性求另一根。 【例题8】.（26-27九年级上·天津静海·期中）抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】令，求出x的值，即可求解． 【详解】解：令，得， ∵， ∴， 解得或， ∴抛物线与轴的交点为，， ∴两交点之间的距离为． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·江西鹰潭·阶段检测）根据下列表格的对应值，可判断方程必有一个根满足（    ） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.24 0.89 1.56 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格中的取值正负变化，确定方程根的所在区间． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程必有一个根满足． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·福建南平·阶段检测）若抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】将交点坐标代入抛物线解析式，得到的取值，再通过整体代入法计算目标代数式的值． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点为， ∴将，代入抛物线解析式，得， ∴， ∴． 【变式题8-3】.（26-27九年级上·上海·阶段检测）已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】分和两类讨论，结合函数图象与轴有交点的条件求解 【详解】解：当时，函数为，是一次函数，与轴有交点，符合题意； 当时，函数为二次函数，图象与轴有交点，则， ， 解得， 综上，的取值范围是 【题型9】给定自变量范围求最值 　　解题技巧： 　　（1）先求对称轴与顶点； 　　（2）判顶点是否在给定范围内； 　　（3）在则顶点取最值，不在则端点取； （4）画草图结合增减性。 【例题9】.（26-27九年级上·广东广州·期中）已知二次函数，当时，该函数的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将二次函数配方为顶点式，确定开口方向与对称轴，结合x的取值范围，通过比较区间端点到对称轴的距离确定最大值位置，代入计算即可． 【详解】解：． ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线． 在范围内， ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ， ∴当时，函数取得最大值， 此时． 【变式题9-1】.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数，当时，函数有最大值为4，则k的值为(     ) A． B． C．1或 D．或 【答案】D 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，利用分类讨论的方法，可以求得k的值． 【详解】解：∵函数解析式为， ∴该函数的对称轴是直线， 若，抛物线开口向下，抛物线上离对称轴越近的点，其对应的函数值越大， ∴当时，函数有最大值，为， ∵当时，函数有最大值为4， ∴，解得． 若，抛物线开口向上，抛物线上离对称轴越远的点，其对应的函数值越大， ∵，，， ∴若，则当时，函数有最大值，为， ∵当时，函数有最大值为4， ∴，解得． 综上所述，k的值为或． 【变式题9-2】.（26-27九年级上·湖北随州·阶段检测）已知抛物线（m 为常数），当时，y 的最小值为 3，则 m 的值为_______________ 【答案】或 【分析】将抛物线解析式化为顶点式，结合开口方向，根据对称轴与给定取值范围的相对位置分情况确定最小值的取点位置，结合最小值为3列方程求解，舍去不符合前提的解． 【详解】解：∵ ， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 分三种情况讨论对称轴与的位置关系： ① 当时，对称轴在取值范围左侧， ∵ 开口向上，取值范围内随的增大而增大， ∴ 当时，取得最小值， 将代入解析式，令最小值为3，得 ， 整理得， 解得，， ∵ 前提为， ∴ 不符合条件，舍去，保留． ② 当时，对称轴在取值范围内部， ∵ 开口向上，顶点为取值范围内的最低点， ∴ 此时的最小值为顶点的纵坐标， ∵ 题目要求最小值为3，， ∴ 该情况无符合条件的值． ③当时，对称轴在取值范围右侧， ∵ 开口向上，取值范围内随的增大而减小， ∴ 当时，取得最小值， 将代入解析式，令最小值为3，得 ， 整理得， 解得，， ∵ 前提为， ∴ 不符合条件，舍去，保留． 综上，的值为或． 【变式题9-3】.（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）若二次函数的最小值为，最大值为4，则m的取值范围是____________． 【答案】 【分析】将二次函数配方得到顶点式，确定对称轴与最小值点，结合最大值对应的自变量取值，根据抛物线开口方向即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵ ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，函数的最小值为． ∵二次函数的最小值为， ∴， 令，则， 解得，， ∵抛物线开口向上，离对称轴越远的点函数值越大，且当时，对应函数值为， ∴， 综上，的取值范围为． 【培优题型】 【题型10】实际应用中的利润与面积最值 　　解题技巧： 　　（1）设自变量与函数； 　　（2）列等量关系（利润=单件利润×销量；面积用周长表）； 　　（3）化为二次函数顶点式； （4）结合取值范围求最值并验证实际。 【例题10】.（26-27九年级上·吉林·期中）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边为． (1)求围成的矩形花圃的面积y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)围成的矩形花圃的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，围成的矩形花圃的面积最大，最大值为. 【分析】（1）根据可求出长与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）将二次函数解析式化成顶点式，然后根据自变量的取值范围和二次函数的性质求二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∵平行于墙的边， 而，且， ∴． ∴； （2）解： ∵，且， ∴当时，y取得最大值800． 答：围成的矩形花圃的面积存在最大值，最大值为，此时x的值为20． 【变式题10-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设． (1)由题意可知，则_______________（用含的代数式表示）； (2)设矩形羊圈的面积为，请写出与的关系式，并写出的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据栅栏总长列式得出表达式即可； （2）根据矩形面积公式求出与的关系式，根据，及外墙长列不等式组解决即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得：， 外墙长且， ， 解得：， 与的关系式为． 【变式题10-2】.（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）云南鲜花饼是“云品出滇”的代表性伴手礼．某超市购进一种品牌的鲜花饼，每盒进价是50元，规定每盒的售价不低于60元．试销后发现，当每盒售价定为60元时，日销售量为600盒，每盒售价每提高1元，日销售量就减少10盒．设每盒售价为元，日销售量为盒． (1)当每盒的售价为_________元时，日销售量为300盒． (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大？最大日销售利润是多少？ (3)小明说：“当日销售利润不低于10000元时，每盒售价的范围是．”请判断小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)90 (2)当每盒售价定为85元时，日销售利润最大，最大日销售利润是12250元 (3)解：不正确，理由： 当时，， 解得，， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当日销售利润不低于10000元时，每盒售价的范围是． 小明的说法不正确． 【分析】（1）根据“日销售量为300盒”列出一元一次方程求解； （2）首先表示出日销售量，然后表示出日销售利润，然后利用二次函数的性质求解； （3）将代入求出，，然后根据二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得 ∴当每盒的售价为90元时，日销售量为300盒； （2）解：由题意知，， ， ， ∴抛物线开口向下， 当时，取得最大值，最大值为12250． 答：当每盒售价定为85元时，日销售利润最大，最大日销售利润是12250元； （3）略 【变式题10-3】.（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）泥塑，俗称“彩塑”，是中国传统的一种古老常见的民间艺术形式．某泥塑作坊主营泥塑制作与销售业务，请根据以下素材，完成任务． 素材1 泥塑的制作成本为30元/件，销售数据显示，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少10件． 素材2 设每件泥塑售价上涨元，月销售量为件． 问题解决 (1)任务1 求出与之间的关系式，并写出自变量的取值范围． (2)任务2 为使月销售利润达到6000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应上涨多少元? (3)任务3 若该作坊希望获得最大月销售利润，此时泥塑的售价应定为多少元/件?最大月销售利润是多少元? 【答案】(1)（） (2)元 (3)售价：元，最大利润：元 【分析】（1）根据“每件售价每上涨1元，则月销售量将减少10件”求解即可； （2）根据利润单件利润销售量列方程求解即可； （3）设月销售利润为元，根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后由二次函数图象与性质分析求出最大利润即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴， 又， ∴自变量取值范围， ∴（）； （2）解：根据题意，得， 解得，， ∵要让顾客实惠，涨价少， ∴， 答：该泥塑的售价应上涨10元； （3）解：设月销售利润为元， 根据题意，得 ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为6250， ∴当售价为元时，月销售利润最大，最大值为6250元． 【题型11】二次函数与一次函数图象综合 　　解题技巧： 　　（1）交点即联立方程组解； 　　（2）比较大小看图象上下位置； 　　（3）含参分类讨论判别式； （4）草图辅助判断公共点个数。 【例题11】.（26-27九年级上·广东湛江·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点O作交抛物线于点P，求点P的坐标； (3)点是直线下方抛物线上一动点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) ， (3)4 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，待定系数法等知识． （1）利用待定系数法作答即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，直线沿y轴向上平移4个单位，即可得到过原点O的直线的解析式，联立的解析式和抛物线的解析式，即可作答； （3）连接，设，，根据，用t表示出的面积，利用二次函数求最值的方法即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， 将，，代入解析式有：， 解得：， 即抛物线解析式为：； （2）设直线的解析式为：， 将，代入解析式有：， 解得：， 即直线的解析式为：， ∵， ∴直线沿y轴向上平移4个单位，即可得到过原点O的直线的解析式， ∴直线的解析式为， 联立：， 解得：，， 点P的坐标为： ，； （3）连接，如图， 设，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 当时，的面积有最大值，最大值为． 【变式题11-1】.（26-27九年级上·西藏日喀则·期中）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是坐标原点，点的坐标是，点的坐标是． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求直线的函数表达式和的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）先求出点B的坐标，得到，进而求出，再利用待定系数法求解即可 【详解】（1）解：把点的坐标，点的坐标代入抛物线得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：令，则， 解得：， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入得：，解得：, ∴直线的解析式为： 【变式题11-2】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点和点B、与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式及点B的坐标； (2)如图，点P为线段上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求所在直线的表达式与线段长度的最大值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）把，代入，即可求得抛物线的函数表达式，当时，即可求得点B的坐标； （2）设直线的表达式为，把，代入，即可求得直线的表达式，设，由轴，可得，可得，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， 解得，， ∴． （2）解：设直线的表达式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， 设， ∵轴， ∴， ∵点P为线段上的一个动点（点P不与点B，C重合）， ∴， ∴， ∵， ∴当时，长度的最大值为． 【变式题11-3】.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示， (1)求其函数解析式； (2)根据图象，直接写出方程的解和不等式的解集． 【答案】(1) (2)，； 【分析】（1）根据图象可知，二次函数与轴有两个交点，坐标已知，且顶点坐标已知，可将与轴交点坐标和顶点坐标代入二次函数的顶点式求解，再将顶点式化为一般式即可． （2）根据图象，方程的解是二次函数与直线交点处的值，可利用二次函数的对称性得到；不等式的解集是抛物线在直线上方时对应的取值范围． 【详解】（1）解：由图象可知，抛物线顶点坐标为，且经过点， 设抛物线的顶点式为， 将代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， 化为一般式，得． （2）解：由于二次函数的顶点坐标为，对称轴为， 且图象中已给出与在轴上的交点，与对称轴的距离为， 根据二次函数的对称性可知与直线存在两个交点为和， 方程的解为，； 由图象可知，直线经过点和， 当时，二次函数的图象位于直线的上方， 不等式的解集是． 【题型12】动点问题中的面积最值与存在性 　　解题技巧： 　　（1）用参数t表示动点坐标； 　　（2）面积化二次函数求最值； 　　（3）存在性问题设点列方程（等腰、直角三角形）； 　　（4）检验解的可行性。 【例题12】.（26-27九年级上·广东惠州·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点是直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点的坐标； (3)若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求出相应点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)有三个位置能够使得点、、、为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为或或或． 【分析】（1）已知抛物线与x轴两个交点，，优先选用交点式设解析式，代入点坐标求出系数，即可得到抛物线解析式． （2）先求出直线的解析式，过点作轴平行线交于点，用横坐标表示、纵坐标，得到长度，把拆成两个三角形，面积表示为关于的二次函数，利用二次函数性质求最大值以及对应点坐标． （3）设，，根据平行四边形对角线中点重合的性质，分为对角线、为对角线、为对角线三类，利用中点坐标公式列出等式，结合抛物线解析式联立求解，得到的值，进而求出坐标． 【详解】（1）解：由抛物线经过， ，设抛物线解析式：， 把代入得， ， 解得， ∴，即； （2）解：过点作轴平行线交于点， 设直线解析式：， ，， ∴， 解得，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ， ∴时，的面积最大， 此时，， ∴； （3）解：设，， ①当为以点、、、为顶点的平行四边形的对角线时， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， 解得，， 不符合题意，舍去， ∴； ②当为以点、、、为顶点的平行四边形的对角线时， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，； ③当为以点、、、为顶点的平行四边形的对角线时， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， 不符合题意，舍去， ∴； 综上，有三个位置能够使得点、、、为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式求解、二次函数最值、平行四边形的性质、中点坐标公式，熟练掌握二次函数的图象性质和平行四边形对角线互相平分的性质是解题的关键． 【变式题12-1】.（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P横坐标为3时，求的面积； (3)过点P作x轴的垂线，交直线于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点P的横坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法，即可求解； （2）由点P横坐标为3，可得，再利用割补法，即可求解； （3）设，由轴，轴，可得，可得，由抛物线的对称性可得，再求得直线的解析式，可得，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与坐标轴分别交于点，，， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵点P横坐标为3， 当时，， ∴， 如图，过点作轴于点，则， ∵，，，， ∴，，，， ∴ ． （3）解：如图，设， ∵轴，轴， ∴， ∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，即， ∴或， 解得，，，， ∴点P的横坐标为或或或． 【变式题12-2】.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线经过点和，且对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线与x轴的另一个交点为点C，过线段上一点E，作轴，交抛物线于点F，求线段长度的最大值； (3)在抛物线上有一点P，满足的面积是24，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)线段长度的最大值为4； (3)点的坐标为和． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式，再设，则，用含的二次函数表示出，利用二次函数的性质求解即可； （3）求得直线的解析式，过点P作竖直线(垂直x轴)，交直线于点Q，利用割补法列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为点， 设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为，即； （2）解：由（1）知，， ∴设直线的解析式为， 将代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则，其中， ∴ ， ∵， ∴当时，线段的长度有最大值，最大值为4； （3）解：同（2）得直线的解析式为， 过点P作竖直线（垂直x轴），交直线于点Q， 设，则， 线段就是铅垂高，， 水平宽为， 由题意得， 解方程，得，； 解方程，整理得， ∵， ∴方程无实数解； ∴点的坐标为和． 【变式题12-3】.（26-27九年级上·湖北随州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是该抛物线上位于第一象限内的一动点，连接．当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)若点M是对称轴上一点，是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)P点坐标为，最大值为； (3)存在，满足条件的M点坐标为，，，． 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）过点P作轴于点F，交于点E，根据题意得出，利用待定系数法确定直线解析式为，设，，确定，结合图象利用，列出函数关系式，利用二次函数的性质即可求解； （3）根据题意得出对称轴为，，再由等腰三角形分三种情况分析：①当时，②当时，③当时，结合图象利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ， 解得： ∴抛物线解析式为； （2）过点P作轴于点F，交于点E， ∵， ∴当时，， ∴， 设直线解析式为， ∵， ， 解得， ∴ 根据题意设，， ∴， 由图象得：， ∴， 整理得：， ， ∴当时，S有最大值，最大值为，此时P点坐标为； （3）存在， 由（1）得， ∴对称轴为， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴分三种情况分析： ①当时，如图，设对称轴l与交于点E， ∴， ， ， 解得：， ∴M点的坐标为或， ②当时，则为的垂直平分线， ∴M与E重合， ∴M点的坐标为； ③当时，如图，设M点的坐标为， 则， ， 解得：， ∴M点的坐标为， 综上可知，满足条件的M点共四个，其坐标为，，，． 同步练习 一、单选题 1．函数化成的形式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配方法计算即可得出结果． 【详解】解：． 2．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．与轴有两个交点 【答案】D 【分析】把函数解析式化为顶点式，运用性质逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，故、、选项错误，不符合题意； 令，得， ∵， ∴抛物线与轴有两个交点，故选项正确，符合题意． 3．在同一平面直角坐标系中，函数与（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数顶点坐标排除部分选项，再利用的符号一致性判断一次函数图象位置，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴顶点坐标为，在轴的正半轴，故A、B选项不符合题意， ∵C、D选项的抛物线开口向下， ∴， ∴函数的图象经过一、二、四象限， ∴D选项不符合题意，C选项符合题意． 二、填空题 4．抛物线的对称轴是直线____． 【答案】 【分析】根据抛物线的一般式确定对应系数，代入对称轴公式计算即可． 【详解】解：对于二次函数（），其图象的对称轴为直线， 题目中抛物线的解析式为， 可得：，， 将、的值代入对称轴公式，可得：， 该抛物线的对称轴是直线． 5．将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为________． 【答案】 【分析】已知原抛物线解析式为，平移规则为先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，结合二次函数图象平移规律推导最终解析式． 【详解】解：∵二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规律， ∴将抛物线向左平移2个单位，得到第一次平移后的解析式为， ∵沿y轴方向向下平移1个单位时，需在整个解析式后减去平移的单位长度， ∴对第一次平移得到的抛物线向下平移1个单位后，得到最终的抛物线解析式为． 6．已知二次函数 ，点 、、 都在该函数图象上，则 、、 的大小关系是______． 【答案】 【分析】把三个点的横坐标代入二次函数解析式求出纵坐标的值，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴． 三、解答题 7．已知二次函数，回答下列问题： (1)求的值及二次函数解析式． (2)求出该二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标． 【答案】(1)，二次函数解析式为. (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为. 【分析】（1）利用二次函数最高次项次数为2、二次项系数不为0的条件列方程与不等式，求解得到m的值，代入原式得解析式． （2）将二次函数一般式配方为顶点式，根据二次项系数符号判断开口方向，直接读取对称轴与顶点坐标． 【详解】（1）解：∵是二次函数， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 将代入原式，得； （2）解： ， ∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 8．如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，若在直线上方的抛物线上有一点N，使得，求点N的坐标． 【答案】(1)该抛物线的解析式为； (2)点N的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得，根据，得到，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，两点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：求点的坐标： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点到轴的距离等于， ∵点在直线的上方， ∴， 由题意得， 解得， ∴点N的坐标为或． 9．已知一个二次函数． (1)将二次函数转化为的形式，并写出转化过程； (2)对称轴为直线_________； (3)随的增大而减小时自变量的取值范围为_________； (4)当时，的取值范围为_________； 【答案】(1) 解： ； (2) (3) (4) 【详解】（1）略 （2）解：∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线； （3）解：∵ ， ∴抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为直线； ∴当时，随的增大而减小； （4）解：∵ ， ∴抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为直线； ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最小为；当时，函数值最大为4； ∴的取值范围为. 10．某广场喷泉水流轨迹为抛物线，喷水头距地面0.7m，水流在距喷水头水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m．建立如图所示的平面直角坐标系，其中（m）是水流距喷水头的水平距离，（m）是水流距地面的高度． (1)求抛物线的函数解析式； (2)身高1.6m的小红站在水流下方，当她的头顶恰好接触到水流时，求此时她与喷水口的水平距离； (3)水池边缘距离喷水口水平11米，判断水流是否会落到水池外，并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不会，理由如下： 当时，， 解得：或（舍去）， ， 水流不会落到水池外． 【分析】（1）根据题意得出抛物线顶点坐标，根据抛物线顶点式进行求解即可； （2）当时，求出的值即可； （3）当时，求出的值，再与进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点坐标为，则抛物线的解析式为， 将点代入，得， ， ． （2）解：当时，， 解得：或， 她与喷水口的水平距离为或． （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 二次函数 知识点1：二次函数的概念 　　1.定义：一般地，形如（是常数，）的函数叫做二次函数。 　　2.必须满足：解析式为整式、化简后自变量最高次数是2、二次项系数不为0。 　　3.自变量的取值范围一般是全体实数，实际问题需使问题有意义。 知识点2：二次函数的图象与性质 项 共同点 开口 向上 向下 顶点在原点，关于y轴对称 增减性 对称轴左侧随增大而减小，右侧增大 对称轴左侧随增大而增大，右侧减小 对称轴两侧增减性相反 最值 当时，有最小值0 当时，有最大值0 越大开口越小 　　画法：列表、描点、连线；以顶点为中心对称取点。 知识点3：顶点式与平移规律 　　1.顶点式：，顶点为，对称轴为直线。 　　2.平移规律：左加右减、上加下减（对顶点坐标操作）。 　　3.平移过程中a不变，抛物线形状不变，只需平移顶点。 知识点4：一般式与顶点式互化 　　1.用配方法化一般式为顶点式：。 　　2.对称轴：直线；顶点：。 　　3.当时，y取最值（为最小、为最大）。 知识点5：二次函数图象与系数a、b、c的关系 系数 决定因素 图象特征 a 开口方向 开口向上；开口向下 b 对称轴位置 的符号确定，同号对称轴在y轴左侧，异号在右侧 c 与y轴交点 交于y轴正半轴，过原点，交于负半轴 与x轴交点个数 两个交点，一个交点，无交点 知识点6：待定系数法求解析式 形式 适用范围 设解析式 一般式 已知图象上任意三个点 顶点式 已知顶点或对称轴、最值 交点式 已知与x轴两交点 　　代入点坐标，解方程（组）求未知系数。 知识点7：二次函数与一元二次方程的关系 　　1.抛物线与x轴交点的横坐标即方程的根。 　　2.图象在x轴上方的部分对应，下方对应，可直观比较函数值、判断解的范围。 　　3.可利用图象估算一元二次方程的近似解。 知识点8：给定自变量范围求最值 　　1.当顶点在给定范围内，最值在顶点处取得。 　　2.当顶点不在给定范围内，最值在区间端点处取得。 　　3.先画草图结合对称轴位置，判断增减趋势，再比较端点函数值。 知识点9：二次函数的实际应用 　　1.利润最值：总利润=单件利润×销量；单件利润=售价－进价。 　　2.面积最值（围栏、几何图形）：用周长等列代数式，配方求最大面积。 　　3.抛物线形实物与轨迹（拱桥、喷泉、投篮、丢沙包）：建系、求解析式、代点求值。 　　4.步骤：审题意、设未知量、列关系式、求最值、验证是否符合实际。 知识点10：易错警示 易错点 错误做法 正确做法 二次项系数 忽略 先化为一般式，判 最值 只算顶点 看顶点是否在给定范围内，不在则取端点值 平移 对解析式整体加减 先化顶点式，对顶点"左加右减、上加下减" 实际取解 结果脱离实际 检验解是否符合实际意义 【易错题型】 【题型1】二次函数概念的判断 　　1.易错点总结 　　（1）忽略二次项系数不为0，导致字母取值出错； 　　（2）未化简就判断最高次数； 　　（3）把分式、根式形式误当作二次函数。 　　2.纠错技巧 　　（1）先化简成一般形式； 　　（2）判定三条件：整式、最高次数2、； 　　（3）由求字母取值范围。 【例题1】.（26-27九年级上·西藏日喀则·期中）若是二次函数则__________． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）已知是关于的二次函数，那么的值为（     ） A． B．2 C． D．0 【变式题1-2】.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·上海静安·阶段检测）下列函数是关于x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【基础题型】 【题型2】抛物线的开口、对称轴与顶点 　　解题技巧： 　　（1）由判断开口方向； 　　（2）顶点式直接读顶点与对称轴； 　　（3）一般式用配方或公式求顶点； （4）画草图辅助判断。 【例题2】.（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）抛物线的顶点坐标是___________． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）对于二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线 C．时，随x的增大而减小 D．顶点坐标 【变式题2-2】.（26-27九年级上·新疆巴州·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．开口向下 C．对称轴为轴 D．顶点在轴上 【变式题2-3】.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）抛物线的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【题型3】利用图象性质判断增减性与最值 　　解题技巧： 　　（1）对称轴为分界，两侧增减性相反； 　　（2）有最小值、有最大值； 　　（3）比较函数值大小看到对称轴距离； （4）开口、对称轴、最值三者结合。 【例题3】.（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）对于二次函数，当时，的取值范围是_________． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）已知二次函数，当________时，取得最大值________． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）抛物线 当时，y随x增大而减小，则m的取值范围___． 【变式题3-3】.（黑龙江大庆市肇源县农村联盟2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题）二次函数 的最大值是（     ） A．4 B． C．0 D．2 【题型4】二次函数图象的平移 　　解题技巧： 　　（1）先化顶点式； 　　（2）平移规律左加右减、上加下减； 　　（3）平移中a不变； （4）求平移后解析式：由新顶点代回。 【例题4】.（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·期中）将抛物线 向下平移1个单位，再向右平移4个单位，则所得抛物线的解析式是_____________． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·甘肃兰州·期中）在平面直角坐标系中，抛物线向右平移1个单位长度得到的抛物线为（     ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·辽宁营口·阶段检测）将抛物线的图象经过怎样的平移可得到抛物线的图象（     ） A．先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B．先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 【变式题4-3】.（26-27九年级上·新疆昌吉·阶段检测）已知二次函数的图象的顶点坐标为． (1)写出m，k的值． (2)判断点是否在这个函数的图象上． (3)将该二次函数的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得函数．求a，b，c的值． 【题型5】求抛物线与坐标轴的交点 　　解题技巧： 　　（1）与y轴交点：令得； 　　（2）与x轴交点：令解一元二次方程； 　　（3）由对称轴求另一交点（中点）； （4）用判别式判断交点个数。 【例题5】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)求抛物线与轴、轴的交点坐标． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·广东惠州·期中）如图是抛物线，其顶点为，与轴的交点为，（点在点的左边），与轴的交点为． (1)直接写出抛物线的解析式__________________； (2)抛物线与轴的交点的坐标________，点的坐标________，点的坐标________； (3)当时，的取值范围________． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数． (1)求证：该函数图象与x轴一定有两个不同的交点； (2)若该函数图象与x轴的一个交点是，求另一个交点坐标． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线（是常数） (1)求证：无论为何值，该抛物线与轴一定有交点； (2)若该抛物线与轴交于点、，且，求的值． 【提升题型】 【题型6】待定系数法求解析式 　　解题技巧： 　　（1）按已知条件选形式（一般式、顶点式、交点式）； 　　（2）代入点坐标列方程（组）； 　　（3）解出系数； （4）代回验证另一点是否在图象上。 【例题6】.（25-26九年级上·吉林·期中）已知二次函数的顶点坐标为，且图象经过点，求函数解析式． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·湖南湘西·阶段检测）抛物线经过点 (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的顶点坐标及对称轴． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·吉林松原·期中）如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上第一象限内一点，当以点为顶点构成的的面积为2时，求点的坐标． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·辽宁营口·阶段检测）探究不同情境，回答下面问题． (1)已知二次函数的图像经过点和点，且经过点，求二次函数的解析式． (2)已知二次函数的图像的顶点坐标为，且经过点，求二次函数的解析式． 【题型7】由图象判断系数符号 　　解题技巧： 　　（1）a看开口，c看与y轴交点； 　　（2）b由对称轴与a符号判； 　　（3）看时y值； （4）看时y值，数形结合。 【例题7】.（26-27九年级上·内蒙古通辽·期中）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．若，在图象上，则 【变式题7-1】.（26-27九年级上·天津滨海新区·期中）二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题7-2】.（26-27九年级上·辽宁营口·阶段检测）如图，点P是抛物线的顶点．下列结论正确的有______（填序号），①，②，③对任意实数t，总成立，④若点，在抛物线上，则． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图是二次函数 图象的一部分，对称轴为直线，且经过点，下列选项正确的是（     ） A． B． C．若，则时的函数值小于时的函数值 D． 【题型8】二次函数与一元二次方程 　　解题技巧： 　　（1）交点的横坐标即方程的根； 　　（2）判别式定交点个数； 　　（3）由图象估算根的范围； （4）对称性求另一根。 【例题8】.（26-27九年级上·天津静海·期中）抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 【变式题8-1】.（26-27九年级上·江西鹰潭·阶段检测）根据下列表格的对应值，可判断方程必有一个根满足（    ） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.24 0.89 1.56 A． B． C． D． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·福建南平·阶段检测）若抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为______． 【变式题8-3】.（26-27九年级上·上海·阶段检测）已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【题型9】给定自变量范围求最值 　　解题技巧： 　　（1）先求对称轴与顶点； 　　（2）判顶点是否在给定范围内； 　　（3）在则顶点取最值，不在则端点取； （4）画草图结合增减性。 【例题9】.（26-27九年级上·广东广州·期中）已知二次函数，当时，该函数的最大值是（     ） A． B． C． D． 【变式题9-1】.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数，当时，函数有最大值为4，则k的值为(     ) A． B． C．1或 D．或 【变式题9-2】.（26-27九年级上·湖北随州·阶段检测）已知抛物线（m 为常数），当时，y 的最小值为 3，则 m 的值为_______________ 【变式题9-3】.（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）若二次函数的最小值为，最大值为4，则m的取值范围是____________． 【培优题型】 【题型10】实际应用中的利润与面积最值 　　解题技巧： 　　（1）设自变量与函数； 　　（2）列等量关系（利润=单件利润×销量；面积用周长表）； 　　（3）化为二次函数顶点式； （4）结合取值范围求最值并验证实际。 【例题10】.（26-27九年级上·吉林·期中）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边为． (1)求围成的矩形花圃的面积y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)围成的矩形花圃的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值；若不存在，说明理由． 【变式题10-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设． (1)由题意可知，则_______________（用含的代数式表示）； (2)设矩形羊圈的面积为，请写出与的关系式，并写出的取值范围； 【变式题10-2】.（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）云南鲜花饼是“云品出滇”的代表性伴手礼．某超市购进一种品牌的鲜花饼，每盒进价是50元，规定每盒的售价不低于60元．试销后发现，当每盒售价定为60元时，日销售量为600盒，每盒售价每提高1元，日销售量就减少10盒．设每盒售价为元，日销售量为盒． (1)当每盒的售价为_________元时，日销售量为300盒． (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大？最大日销售利润是多少？ (3)小明说：“当日销售利润不低于10000元时，每盒售价的范围是．”请判断小明的说法是否正确，并说明理由． 【变式题10-3】.（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）泥塑，俗称“彩塑”，是中国传统的一种古老常见的民间艺术形式．某泥塑作坊主营泥塑制作与销售业务，请根据以下素材，完成任务． 素材1 泥塑的制作成本为30元/件，销售数据显示，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少10件． 素材2 设每件泥塑售价上涨元，月销售量为件． 问题解决 (1)任务1 求出与之间的关系式，并写出自变量的取值范围． (2)任务2 为使月销售利润达到6000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应上涨多少元? (3)任务3 若该作坊希望获得最大月销售利润，此时泥塑的售价应定为多少元/件?最大月销售利润是多少元? 【题型11】二次函数与一次函数图象综合 　　解题技巧： 　　（1）交点即联立方程组解； 　　（2）比较大小看图象上下位置； 　　（3）含参分类讨论判别式； （4）草图辅助判断公共点个数。 【例题11】.（26-27九年级上·广东湛江·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点O作交抛物线于点P，求点P的坐标； (3)点是直线下方抛物线上一动点，求面积的最大值． 【变式题11-1】.（26-27九年级上·西藏日喀则·期中）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是坐标原点，点的坐标是，点的坐标是． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求直线的函数表达式和的度数． 【变式题11-2】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点和点B、与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式及点B的坐标； (2)如图，点P为线段上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求所在直线的表达式与线段长度的最大值． 【变式题11-3】.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示， (1)求其函数解析式； (2)根据图象，直接写出方程的解和不等式的解集． 【题型12】动点问题中的面积最值与存在性 　　解题技巧： 　　（1）用参数t表示动点坐标； 　　（2）面积化二次函数求最值； 　　（3）存在性问题设点列方程（等腰、直角三角形）； 　　（4）检验解的可行性。 【例题12】.（26-27九年级上·广东惠州·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点是直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点的坐标； (3)若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求出相应点的坐标． 【变式题12-1】.（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P横坐标为3时，求的面积； (3)过点P作x轴的垂线，交直线于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由． 【变式题12-2】.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线经过点和，且对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线与x轴的另一个交点为点C，过线段上一点E，作轴，交抛物线于点F，求线段长度的最大值； (3)在抛物线上有一点P，满足的面积是24，求点P的坐标． 【变式题12-3】.（26-27九年级上·湖北随州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是该抛物线上位于第一象限内的一动点，连接．当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)若点M是对称轴上一点，是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 同步练习 一、单选题 1．函数化成的形式是（     ） A． B． C． D． 2．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．与轴有两个交点 3．在同一平面直角坐标系中，函数与（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．抛物线的对称轴是直线____． 5．将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为________． 6．已知二次函数 ，点 、、 都在该函数图象上，则 、、 的大小关系是______． 三、解答题 7．已知二次函数，回答下列问题： (1)求的值及二次函数解析式． (2)求出该二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标． 8．如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，若在直线上方的抛物线上有一点N，使得，求点N的坐标． 9．已知一个二次函数． (1)将二次函数转化为的形式，并写出转化过程； (2)对称轴为直线_________； (3)随的增大而减小时自变量的取值范围为_________； (4)当时，的取值范围为_________； 10．某广场喷泉水流轨迹为抛物线，喷水头距地面0.7m，水流在距喷水头水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m．建立如图所示的平面直角坐标系，其中（m）是水流距喷水头的水平距离，（m）是水流距地面的高度． (1)求抛物线的函数解析式； (2)身高1.6m的小红站在水流下方，当她的头顶恰好接触到水流时，求此时她与喷水口的水平距离； (3)水池边缘距离喷水口水平11米，判断水流是否会落到水池外，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $